Demostraciones a Teoremas de Límites

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1 Demostraciones a Teoremas de Límites Programa de Bachillerato.Universidad de Chile. Otoño, 009 En esta sección solo daremos los fundamentos teóricos que nos permiten resolver los problemas que se nos plantean, los ejemplos y aplicaciones se han visto en las secciones anteriores y se seguirán viendo, las motivaciones también se han visto y se seguirán viendo en las otras secciones de estos apuntes. Recordemos las definiciones básicas: Definición 0. Una vecindad de a es un intervalo abierto de centro a. Es decir, es un conjunto de la forma: V = (a δ,a + δ) o equivalentemente V = {x R/ x a < δ} para cierto δ > 0. Definición 0. Una vecindad pinchada de a es un intervalo abierto de centro a, al cual le hemos quitado el centro. Es decir, es un conjunto de la forma: V = (a δ,a + δ) {a} o equivalentemente V = {x R/0 < x a < δ} para cierto δ > 0. Por ejemplo: V = (0, ) es una vecindad de y V = (0, ) (, ) es una vecindad pinchada de. Definición 0.3 Sea f : D R una función, donde D es un subconjunto de R que contiene a una vecindad pinchada de a, es decir, f puede no estar definida en a pero si está definida en los vecinos de a. Diremos que el líimite de f cuando x tiende a a es L, en símbolos f(x) = L Si para cualquier vecindario V de L existe un vecindario pinchado U de a tal que para cualquier x U se tiene f(x) V.

2 o equivalentemente Si para cualquier ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < x a < δ se tiene que f(x) L < ǫ. o más sucintamente ǫ > 0, δ > 0, tal que si 0 < x a < δ se tiene que f(x) L < ǫ. Convenio: En lo que sigue D será un conjunto de números reales que contiene una vecindad pinchada de a, a menos que se diga otra cosa. Notemos por ejemplo que f(x) = 0 significa que ǫ > 0, δ > 0, tal que si 0 < x a < δ se tiene que f(x) < ǫ. Del mismo modo f(x) = 0 significa que ǫ > 0, δ > 0, tal que si 0 < x a < δ se tiene que f(x) < ǫ. Pero f(x) = f(x). Luego ambas cosas dicen lo mismo, es decir, hemos probado el siguiente Lema 0. Ahora bien f(x) = 0 si y solamente si f(x) = 0 f(x) = L significa que ǫ > 0, δ > 0, tal que si 0 < x a < δ se tiene que f(x) L < ǫ. Por otra parte f(x) L = 0 significa que ǫ > 0, δ > 0, tal que si 0 < x a < δ se tiene que f(x) L 0 < ǫ. Pero f(x) L 0 = f(x) L, luego ambas cosas dicen lo mismo, es decir, hemos probado el siguiente

3 Lema 0. f(x) = L si y solamente si f(x) L = 0 Uniendo estos dos lemas obtenemos el siguiente Corolario 0. f(x) = L si y solamente si f(x) L = 0 Lema 0.3 Si f(x) = 0 y g(x) = 0 entonces f(x) + g(x) = 0 Demostración: Sea ǫ > 0 entonces existe δ > 0 tal que si 0 < x a < δ se tiene que f(x) < ǫ. Del mismo modo existe δ > 0 tal que si 0 < x a < δ se tiene que g(x) < ǫ. Así pues tomando δ = Min{δ,δ } > 0, se tiene que para aquellos x tales que 0 < x a < δ se cumple que f(x)+g(x) f(x) + g(x) < ǫ + ǫ = ǫ Luego f(x) + g(x) = 0 Lema 0.4 Si f(x) = 0 y λ R entonces λf(x) = 0 Demostración: Si λ = 0 el resultado es obvio y no hay nada que demostrar. Supongamos entonces λ 0. Sea ǫ > 0 entonces existe δ > 0 tal que si 0 < x a < δ se tiene que f(x) < ǫ. λ Así pues si 0 < x a < δ se tiene que λf(x) = λ f(x) < λ ǫ = ǫ λ Luego λf(x) = 0 3

4 Lema 0.5 (Preliminar del Sandwich) Sean f, g : D R dos funciones tales que 0 f(x) g(x) en algún vecindario pinchado de a contenido en D, y g(x) = 0 entonces f(x) = 0 Demostración: Sea ǫ > 0 entonces existe δ > 0 tal que si 0 < x a < δ se tiene que g(x) < ǫ. Y sea δ tal que si 0 < x a < δ se tiene que 0 f(x) g(x). Tomemos ahora δ = Min{δ,δ } > 0. Para aquellos x tales que 0 < x a < δ se tiene que g(x) 0, luego g(x) = g(x), luego para aquellos x se tiene que 0 f(x) g(x) < ǫ. Es decir, para aquellos x tales que 0 < x a < δ se tiene que f(x) < ǫ. Pero como para aquellos x, f(x) 0, se tiene que f(x) = f(x), luego resumiendo se tiene si 0 < x a < δ se tiene que f(x) < ǫ. Luego f(x) = 0 Definición 0.4 Sea f : D R una función, y sea A es un subconjunto de D diremos que f es acotada en A si existen números reales m y M tales que m f(x) M x A Observación 0. Una función f : D R es acotada en A si y solamente si existe un número real R tal que f(x) R x A Lema 0.6 Si f : D R es una función tal que f(x) = L, entonces existe una vecindad pinchada de a donde f es acotada. Demostración: Sea R > 0 entonces existe δ > 0 tal que si 0 < x a < δ se tiene que f(x) L < R. Esto quiere decir que si x pertenece a la vecindad pinchada (a δ,a + δ) {a} se tiene que R < f(x) L < R. Esto es, que si x pertenece a la vecindad pinchada (a δ,a + δ) {a} se tiene que L R < f(x) < L + R, Luego f es acotada en el vecindario pinchado (a δ,a + δ) {a} 4

5 Lema 0.7 Si g : D R es una función tal que g(x) = B 0, entonces existe una vecindad pinchada V de a donde 0 < m < g(x) x V. Demostración: Como B 0 entonces B > 0 o bien B < 0. Supongamos que B > 0 (El caso B < 0 queda de ejercicio para el estudiante), luego B > 0, entonces existe δ > 0 tal que si 0 < x a < δ se tiene que g(x) B < B. Esto quiere decir que si x pertenece a la vecindad pinchada V = (a δ,a + δ) {a} se tiene que B < g(x) B < B, Esto es, que si x pertenece a la vecindad pinchada V = (a δ,a + δ) {a} se tiene que 0 < B < g(x) < 3B, en particular en este caso g(x) > 0 luego g(x) = g(x), resumiendo, si x pertenece a la vecindad pinchada V = (a δ,a + δ) {a} se tiene que 0 < m < g(x) donde m = B. Teorema 0. Sean f,g : D R dos funciones tales que f(x) = A y g(x) = B entonces i) f(x) + g(x) = A + B ii) f(x) g(x) = A B iii) f(x)g(x) = AB iv) Si B 0, f(x) g(x) = A B v) Si λ R, λf(x) = λa Demostración: Por el Corolario(0.) sabemos que f(x) A = 0 y que g(x) B = 0. i) Debemos demostrar que f(x) + g(x) (A + B) = 0, tenemos lo siguiente 0 f(x)+g(x) (A+B) = (f(x) A)+(g(x) B) f(x) A + g(x) B es decir 0 f(x) + g(x) (A + B) f(x) A + g(x) B 5

6 pero el término de la derecha es una suma de funciones que tienen por ite a 0 por Lema(0.3) se tiene que el término de la derecha tiene por ite cero y por Lema(0.5) se tiene que que era lo que queríamos probar. f(x) + g(x) (A + B) = 0 ii) Debemos demostrar que f(x) g(x) (A B) = 0, tenemos lo siguiente 0 f(x) g(x) (A B) = (f(x) A)+(B g(x)) f(x) A + B g(x), es decir 0 f(x) + g(x) (A + B) f(x) A + g(x) B pues g(x) B = B g(x) pero el término de la derecha es una suma de funciones que tienen por ite a 0, por Lema(0.3) se tiene que el término de la derecha tiene por ite cero y por Lema(0.5) se tiene que que era lo que queríamos probar. f(x) g(x) (A B) = 0 iii) Debemos demostrar que siguiente f(x)g(x) (AB) = 0, tenemos lo es decir 0 f(x)g(x) (AB) = f(x)g(x) f(x)b + f(x)b AB = f(x)(g(x) B) + B(f(x) A) f(x) g(x) B + B f(x) A 0 f(x)g(x) (AB) f(x) g(x) B + B f(x) A como f tiene ite en a entonces por Lema(0.6) se tiene que f es acotada en alguna vecindad pinchada de a, sea R esa cota, es decir, f(x) R. Luego se tiene 0 f(x)g(x) (AB) R g(x) B + B f(x) A 6

7 Luego el término de la derecha es una suma de funciones que tienen por ite a 0 multiplicadas por constantes, por Lema(0.4) y por Lema(0.3) se tiene que el término de la derecha tiene por ite cero y por Lema(0.5) se tiene que f(x)g(x) (AB) = 0 que era lo que queríamos probar. iv) Probaremos primero que g(x) =, y luego aplicaremos la parte B iii) de este teorema a las funciones f(x) y. g(x) Entonces debemos probar que g(x) B = 0, tenemos lo siguiente 0 g(x) B = B g(x) g(x)b, ( ) como B 0 por Lema(0.7) existe m tal que 0 < m < g(x) en cierto vecindario pinchado de a. Para ese vecindario tenemos que < luego g(x) m reemplazando en ( ) esta última desigualdad se tiene que 0 g(x) B B g(x) mb = g(x) B, m B Luego el término de la derecha es una función que tiene por ite a 0 multiplicada por una constante, por Lema(0.4) y por Lema(0.5) se tiene que g(x) B = 0 que era lo que queríamos probar. Pues bien ahora que sabemos que por la parte iii) se tiene que g(x) = B, f(x) g(x) = f(x) g(x) = A B = A B. 7

8 v) Debemos demostrar que λf(x) (λa) = 0, tenemos lo siguiente λf(x) λa = λ f(x) A Luego el término de la derecha es una función que tienen por ite a 0 multiplicada por una constante, por Lema(0.4) se tiene que que era lo que queríamos probar. λf(x) λa = 0 Lema 0.8 Si f,g : D R son dos funciones tales que f(x) = L, y g(x) f(x) = 0, entonces g(x) = L, Demostración: Tenemos que g(x) = (g(x) f(x)) + f(x) y por la parte i) del teorema anterior tenemos que g(x) = (g(x) f(x))+f(x) = g(x) f(x)+ f(x) = 0+L = L Teorema 0. (Teorema del Sandwich) Sean f, g, h : D R tres funciones tales que en un vecindario pinchado V de a contenido en D, se cumple f(x) g(x) h(x), y además se cumple que f(x) = h(x) = L, entonces g(x) = L. Demostración: Sea x V, entonces se tiene que f(x) g(x) h(x), restando en esta desigualdad f(x) se obtiene 0 g(x) f(x) h(x) f(x), por la parte ii) del Teorema(0.) se tiene que h(x) f(x) = 0, luego por el lema preliminar del sandwich (0.5) se tiene que g(x) f(x) = 0 y por el lema anterior se tiene que g(x) = L 8