Combinatoria. Capítulo Métodos elementales de conteo Principio de inclusión-exclusión

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1 Capítulo 4 Combiatoria La combiatoria trata del estudio de las posibles agrupacioes de objetos. Cotar el úmero de objetos que verifica ciertas propiedades es uo de los objetivos de la combiatoria. Problemas muy diversos, como determiar el úmero posible de apuestas diferetes e ua quiiela, el úmero posible de posicioes e que uos corredores puede termiar ua carrera, el úmero posible de matrículas de los coches de u país o las diferetes formas de distribuir ua serie de objetos e cajas so problemas que se aborda mediate las técicas de coteo que veremos e este capítulo. Lo que pretedemos es por tato, cotar los elemetos de u cojuto, o más precisamete, determiar su cardial. Dado u cojuto A deotaremos por A a su cardial. Nosotros aquí trataremos úicamete co cojutos que tiee u úmero fiito de elemetos. E tal caso, se dice que u cojuto A tiee cardial si existe ua biyecció etre el cojuto A y el cojuto {0,,, }. Es claro que si dos cojutos so biyectivos tiee el mismo cardial. A la hora de cotar ciertos objetos, lo que haremos será idetificar estos objetos co los elemetos de algú cojuto del cual sepamos determiar su cardial es decir, estableceremos ua biyecció etre el cojuto de objetos que queremos cotar y otro cojuto del cual hallaremos su cardial. Para comezar, estudiaremos e primer lugar cómo determiar el cardial de alguos cojutos. 4.. Métodos elemetales de coteo 4... Pricipio de iclusió-exclusió Proposició 4.. Pricipio de la suma. Sea A y A dos cojutos disjutos es decir, A A. Etoces A A A A. Ituitivamete está claro lo que sigifica este pricipio. No obstate, si quisiéramos ua demostració, ésta se basaría e que los cojutos {0,,, m } y {,,, m } so biyectivos. El pricipio puede extederse a tres o más cojutos. E tal caso, dice que si A, A,, A so cojutos disjutos dos a dos es decir, A i A j para i j etoces A A A A A A El pricipio de la suma podría euciarse tambié como sigue: Si ua primera tarea se puede realizar de formas, y ua seguda tarea se puede realizar de formas, y las dos tareas so icompatibles, etoces hay formas de realizar ua de las dos tareas. Este pricipio de la suma es muy restrictivo, pues requiere que los cojutos sea disjutos, o que las tareas sea icompatibles. Si embargo, e geeral, la situació es que los cojutos o sea disjutos. E este caso se tiee: Proposició 4... Sea A y A dos cojutos. Etoces A A A A A A. La idea de este resultado está clara. Si queremos cotar los elemetos que está e A A, cotamos por ua parte los que está e A y por otra parte los que está e A, lo que os da A A. Si 97

2 98 COMBINATORIA embargo, los que se ecuetra e A A los hemos cotado dos veces, luego hemos de restar A A a la suma aterior. Ua demostració algo más rigurosa podría ser: Demostració: Es claro que A A \ A A A. Además, A \ A A A, luego A A \ A A A, luego A \ A A A A De la misma forma se obtiee que A \ A A A A. Dado que A A A \ A A A A \ A y que estos cojutos so disjutos se tiee que: A A A \A A A A \A A A A A A A A A A A A A Ejemplo 4... Vamos a determiar, cuatos úmeros etre y 00 so, bie divisibles por, bie divisibles por 3. Sea A y A los úmeros que so múltiplos de y 3 respectivamete. A tiee cicueta elemetos desde hasta 50, mietras que A 3 tiee 33 desde 3 hasta Por otra parte, A A so los múltiplos de 6, luego tiee 6 elemetos desde 6 hasta 6 6. Por tato A A A A A A Esta proposició tiee ua geeralizació a la uió de tres o más cojutos. El resultado se cooce como pricipio de iclusió exclusió Proposició 4..3 Pricipio de iclusió-exclusió. Sea A, A,, A cojutos. Etoces: A A A A i i A i A i k A i A ik i <i i < <i k A A A La demostració del pricipio de iclusió-exclusió se haría por iducció. Para el resultado es trivialmete cierto, y supuesto cierto para cojutos se demostraría para cojutos poiedo A A A A A A A A. La demostració es bastate egorrosa. Veamos aquí como se haría el paso de a 3. A A A 3 A A A 3 A A A 3 A A A A A 3 A A 3 A A 3 A A A A A 3 [ A A 3 A A 3 A A 3 A A 3 ] A A A A A 3 A A 3 A A 3 A A A 3 A A A 3 A A A A 3 A A 3 A A A 3 Ejemplo 4... Vamos a ver cuatos úmeros etre y so compuestos lo que os dará imediatamete cuátos úmeros primos hay meores que. Dado que <, se tiee que si u úmero meor o igual que es compuesto, tiee u divisor primo meor que. Por tato, será múltiplo de, múltiplo de 3, múltiplo de 5 o múltiplo de 7. Cosideramos etoces: A {Números compuestos múltiplos de } { x : x 55}. Por tato A 54. A {Números compuestos múltiplos de 3} {3 x : x 37}. Por tato A 36. A 3 {Números compuestos múltiplos de 5} {5 x : 5 x }. Por tato A 3. Departameto de Álgebra

3 4.. Métodos elemetales de coteo 99 A 4 {Números compuestos múltiplos de 7} {7 x : x 5}. Por tato A 4 4. Luego A A {6 x : x 8}, que tiee cardial 8. De la misma forma, obteemos: A A 3 ; A A 4 7; A A 3 7; A A 4 5; A 3 A 4 3. A A A 3 3; A A A 4 ; A A 3 A 4 ; A A 3 A 4 ; A A A 3 A 4. Por tato, deducimos que A A A 3 A Es decir, etre y hay 8 úmeros compuestos, de dode deducimos que hay 9 úmeros primos el o es i primo i compuesto Pricipio del producto. Variacioes Proposició 4..4 Pricipio del producto. Sea A, A dos cojutos. Etoces, A A A A. Aquí tambié el pricipio es ituitivamete muy claro. No obstate, si quisiéramos hacer ua demostració de este hecho, deberíamos ecotrar ua biyecció etre {0,,, m } y {0,,, m } {0,,, }. Esta biyecció vedría dada por a a mód m, a div m Este pricipio puede geeralizarse a tres o más cojutos, teiédose e dicho caso: A A A m A A A m El pricipio del producto podría euciarse tambié como sigue: Si ua tarea podemos dividirla e dos o más tareas cosecutivas, de forma que hay formas de realizar la primera tarea, y formas de realizar la seguda tarea, etoces hay formas de completar la tarea. Ejemplo Vamos a ver cuatas apuestas diferetes de ua quiiela puede hacerse. La tarea de elegir ua combiació la podemos dividir e catorce pasos. E cada uo de ellos hacemos ua elecció etre tres posibilidades, X,. Por tato, el úmero de apuestas es Nótese que si A {, X, } ua combiació es simplemete u elemeto del cojuto cuyo cardial es 3 4. A A A A A A A A A A A A A A. E el sistema de matriculació vigete cada matrícula se compoe de cuatro dígitos y tres cosoates salvo la "Ñ". Si cosideramos los cojutos D {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} C {B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N, P, Q, R, S, T, V, W, X, Y, Z} cada matrícula puede idetificarse etoces co u elemeto de D D D D C C C cuyo cardial es existe ua biyecció etre el cojuto de posibles matrículas y D D D D C C C 3. Vamos a calcular cuatos úmeros de 6 cifras, escritos e biario, cotiee la secuecia 00. Los úmeros co estas características puede adquirir ua de las cuatro formas siguietes: Llamemos A al cojuto de los úmeros de la forma 00, A al cojuto de los úmeros de la forma _00 y así hasta A 4. Jesús García Mirada

4 00 COMBINATORIA Por el pricipio del producto cada uo de estos cojutos tiee 8 elemetos, pues para elegir u elemeto de uo de estos cojutos hemos de hacer tres eleccioes co dos opcioes para cada ua. Razoado de forma aáloga se tiee que A A A A 3 A 3 A 4 4 u elemeto de A A es de la forma 000. A A 3 A A 4 A A 4 u elemeto de A A 3 es de la forma 0000_. A A A 3 A A 3 A 4. A A A 4 A A 3 A 4 A A A 3 A 4. Y ahora, el pricipio de iclusió-exclusió os dice que A A A 3 A de dode deducimos que hay 9 úmeros de seis cifras e biario que cotiee la secuecia 00. Como cosecuecia del pricipio del producto se tiee: Proposició Sea A y B dos cojutos fiitos. Etoces el úmero de aplicacioes de A e B es B A. Demostració: Supogamos que A m y B. Podría hacerse ua demostració a partir de la represetació de u úmero meor que m e base. Nosotros aquí emplearemos el pricipio del producto. La elecció de ua aplicació f : A B podemos dividirla e m etapas. Cada etapa cosiste e defiir la image de cada uo de los elemetos de A, para lo cual teemos posibilidades ua por cada elemeto de B. Por tato, el úmero posible de aplicacioes es m. De hecho, si A {a, a,, a m }, dar ua aplicació f : A B es equivalete a dar u elemeto de B B B e cocreto, el elemeto fa, fa,, fa m. Notació: E ocasioes se represeta al cojuto de aplicacioes de A e B como B A, es decir: Co esta otació se tiee que B A B A. B A {f : A B; f es aplicació} Ejemplo Ua apuesta quiielística puede ser idetificada co ua aplicació f : {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4} {, X, } por tato, el úmero posible de aplicacioes es 3 4, como ya habíamos visto ates. Vamos a ver tambié cuatas aplicacioes iyectivas podemos defiir de u cojuto a otro. Proposició Sea A u cojuto co m elemetos y B u cojuto co elemetos. El úmero de aplicacioes iyectivas de A e B es m. Demostració: Nótese que si m < o existe igua aplicació iyectiva f : A B. Por tato, supodremos que m. Supogamos que A {a, a,, a m }. Para dar ua aplicació iyectiva f : A B ecesitamos dar fa, fa,, fa m. Para elegir fa teemos u total de posibilidades. Al ser f iyectiva, para elegir fa teemos posibilidades pues o podemos hacer la misma elecció que para fa. De la misma forma, para fa 3 teemos posibilidades. Cotiuado co este razoamieto, llegamos a que para elegir fa m teemos m posibilidades. Por tato, el úmero de aplicacioes iyectivas es m. Notemos que e el caso de que m < la expresió aterior es tambié válida, pues uo de los factores es 0. Departameto de Álgebra

5 4.. Métodos elemetales de coteo 0 Defiició 5.. Se llama variacioes co repetició de elemetos, tomados de m e m a cada ua de las posibles eleccioes de m elemetos, detro de u cojuto de elemetos, pudiédose tomar elemetos repetidos. Dos posibles eleccioes se diferecia, bie e la aturaleza de los elemetos elegidos, bie e el orde e que se ha elegido.. Se llama variacioes si repetició de elemetos, tomados de m e m a cada ua de las posibles eleccioes de m elemetos, detro de u cojuto de elemetos, o pudiedo aparecer u elemeto más de ua vez. Dos posibles eleccioes se diferecia, bie e la aturaleza de los elemetos elegidos, bie e el orde e que se ha elegido. El úmero de variacioes co repetició de elemetos, tomados de m e m es igual a m. El úmero de variacioes si repetició de elemetos, tomados de m e m es m! m!. Ejemplo Para hacer ua quiiela, debemos elegir ua lista de 4 elemetos etre los elemetos de u cojuto co 3, X,. So por tato, variacioes co repetició de 3 elemetos tomados de 4 e 4. El úmero total de posibles apuestas es por tato E ua carrera participa 35 persoas. El gaador recibe ua medalla de oro, el segudo clasificado ua medalla de plata y el tercer clasificado ua medalla de broce. El úmero de formas diferetes e que se puede repartir las medallas correspode al úmero de variacioes si repetició de 35 elemetos, tomados de 3 e 3. Por tato es El pricipio del palomar Auque su euciado pueda parecer trivial, es coveiete recordarlo, pues de él deduciremos alguas cosecuecias. Proposició 4..7 Pricipio del palomar. Si queremos repartir objetos e m cajas, y > m etoces al meos ua caja ha de coteer o más objetos. Nótese que repartir objetos e cajas es equivalete a defiir ua aplicació del cojuto de objetos e el cojuto de las cajas la image de u elemeto os dice e que caja se coloca. Decir que ua caja tiee dos o más objetos se traduce e que la aplicació o es iyectiva pues esos dos elemetos tedría la misma image. El pricipio del palomar se euciaría etoces: Si > m o existe aplicacioes iyectivas de u cojuto de cardial e u cojuto de cardial m. Ejemplo Si teemos u grupo de 500 persoas bastaría co teer 367 debe haber dos que celebre el cumpleaños el mismo día siempre y cuado todas celebre su cumpleaños. E este caso las cajas sería cada uo de los días del año, mietras que los objetos a repartir so las persoas.. Vamos a comprobar que cualquier úmero atural tiee u múltiplo suyo que escrito e el sistema decimal está formado úicamete por ceros y uos. Para esto, sea N y cosideramos los úmeros aturales siguietes: x, x 0, x 3 0 0, x 0 0 cuya expresió e base decimal está formada úicamete por uos. Reducimos estos elemetos módulos es decir, cosideramos estos úmeros e Z. Debe haber al meos dos que coicida es decir, x k x l mód m si k < l se tiee que 0 k 0 k 0 l es múltiplo de. La expresió decimal de este úmero está formada por k ceros y l k uos. Jesús García Mirada

6 0 COMBINATORIA Vamos a realizar los cálculos para 6. Tomamos los úmeros: Reducimos módulo de dode deducimos que 0 es múltiplo de U razoamieto semejate a este permite probar que dado u cojuto formado por úmeros eteros, podemos ecotrar u subcojuto suyo cuya suma sea múltiplo de. Sea el cojuto de partida {x, x,, x }, y costruimos: y x y x x y x x x reducimos módulo, y obteemos elemetos de Z. Si alguo de estos elemetos es cero, digamos y k, teemos que x x k es múltiplo de. Si iguo de ellos vale cero, etoces elemetos de Z \ {0}. Por tato, dos de estos elemetos so iguales. Si estos so y k e y l se tiee que y l y k x k x l es múltiplo de. Nótese que e el ejemplo aterior se ha empleado el mismo razoamieto, tomado los elemetos x, x 0, x k 0 k. Proposició 4..8 Pricipio del palomar geeralizado. Si queremos repartir objetos e m cajas, al meos ua caja ha de coteer al meos /m elemetos. Obviamete, si /m o es etero, se toma el úmero etero imediatamete superior. Ejemplo Si teemos u grupo de 00 persoas, dado que hay sigos zodiacales y 00/ 6, 3... sabemos que debe haber al meos 7 persoas co el mismo sigo del Zodíaco. 4.. Combiacioes E seccioes ateriores estudiamos como, de u cojuto de elemetos podíamos extraer m, de forma que el orde e que se extraía los elemetos fuera sigificativo. E esta trataremos de ecotrar como extraer m elemetos de u cojuto que tiee, pero ahora o importa el orde e que se elija, sio úicamete la aturaleza de estos elemetos. E térmios de cojutos, os pregutamos cuátos subcojutos de cardial m tiee u cojuto co elemetos. Vamos a deotar por m a tal catidad. Es fácil ver que 0, pues cada cojuto de cardial tiee u úico subcojuto co 0 elemetos, a saber, el cojuto vacío. De la misma forma se tiee que pues el úico subcojuto de cardial de u cojuto de elemetos es el propio cojuto. Tambié es fácil ver que m m pues cada subcojuto de m elemetos determia de forma úica u subcojuto de m elemetos cocretamete, el de los elemetos que o perteece a él y viceversa. Por último, ua tercera propiedad referete a estos úmeros os dice que m m m. Razoemos esto último. Supogamos que A {a, a,, a, a } es u cojuto de cardial, y queremos ver cuátos subcojutos de m elemetos tiee. Departameto de Álgebra

7 4.. Combiacioes 03 Si queremos elegir u subcojuto X de A co m elemetos, teemos dos opcioes, mutuamete excluyetes: que a X o que a X. E el primer caso, está determiado por los m elemetos de {a, a,, a } que perteece a X. Podemos etoces elegir u total de m subcojutos co estas codicioes. E el segudo caso, está determiado por los m elemetos que perteece a él, y que sabemos co seguridad que está e el cojuto {a, a,, a }. Podemos por tato hacer la elecció de m formas. El pricipio de la suma os asegura etoces que m m m, como queríamos. Estas tres propiedades os permite demostrar la siguiete proposició. Proposició 4... Sea m, N co m. Etoces! m m! m! Demostració: Haremos la demostració por iducció. Para 0, y para m el resultado es cierto lo que os dice que es cierto para Supogamos que k! k! k! para cualquier k tal que 0 k. Sea m compredido etre y. E ese caso se tiee que m m! m m! m!! m! m!!m m! m!! m m! m!!m m m! m!! m! m! y para m 0 o m sabemos que el resultado es cierto. Ejemplo El úmero de subcojutos co elemetos del cojuto {a, b, c, d, e} es 5 5!!3! 5 4 0! Éstos so: {a, b} {a, c} {a, d} {a, e} {b, c} {b, d} {b, e} {c, d} {c, e} {d, e} Nótese que de estos 0 sobcojutos hay 4 4 que cotiee al elemeto e y 4 6 que o cotiee al elemeto e {a, e} {b, e} {c, e} {d, e} {a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {b, d} {c, d}. El úmero de cadeas de bits que cotiee exactamete m uos y por tato m ceros es m. Para justificar esta afirmació umeramos los bits desde hasta. Elegir ua cadea e estas codicioes es equivalete a tomar u subcojuto del cojuto {,,, } co m elemetos. 3. Sabemos que si X es u cojuto co elemetos, etoces X tiee subcojutos las álgebras de Boole B y PX so isomorfas. Deducimos etoces que, para cualquier N se verifica que k0 k 0 4. Supogamos que u departameto está formado por 7 mujeres y 9 hombres, y se quiere formar ua comisió co cico miembros, de forma que haya al meos u hombre y ua mujer e la comisió. Vamos a determiar cuatas posibles comisioes puede formarse co esas codicioes. Para esto, vemos e primer lugar que puede formarse posibles comisioes co 5 miembros. De Jesús García Mirada

8 04 COMBINATORIA ellas, o cotiee igua mujer está formadas úicamete por hombres, mietras que 7 5 o cotiee igú hombre. Por tato, el úmero posible de comisioes es Nótese que para realizar esta operació se ha cosiderado los cojutos: - Cojuto de todas las comisioes co 5 miembros: X. - Cojuto de las comisioes co al meos u hombre: A. - Cojuto de las comisioes co al meos ua mujer: B. Lo que queremos calcular es A B, y sabemos que: X 4368, A X \ A, B 6, A B. Por tato, se tiee: A B X A B X A B X A B Teorema 4.. Teorema del biomio. Sea A u aillo comutativo, y a, b A. Etoces, para cualquier N se verifica que: a b k0 a k b k k a 0 a b Demostració: La demostració la haremos por iducció e. Para 0 o el resultado es trivialmete cierto. Supogamos que se verifica que a b a k b k. Etoces: k0 a b a ba b a a b b a b a [ 0 a a b k a k b k ] b [ b a a k b k ab b ] 0 k k 0 a a b k a k b k ab 0 a b k a k b k ab b 0 a [ 0] a b 0 a a b k [ k b k ] a k b k a k b k [ ab b ] ab b que es la expresió que buscábamos. Ejemplo Sabemos que ab a abb. Esta igualdad puede obteerse a partir del teorema del biomio teiedo e cueta que 0, mietras que.. Para expoete 5 se tiee que: ab 5 a 5 a 4 b a 3 b a b 3 ab 4 b 5 a 5 5a 4 b0a 3 b 0a b 3 5ab 4 b El coeficiete de a 7 b 3 e a b 0 es Departameto de Álgebra

9 4.. Combiacioes Usado el teorema del biomio se tiee que: 0 algo que ya habíamos obteido ateriormete. Hasta ahora hemos estudiado, como de u cojuto de elemetos podemos elegir m, si que ifluya el orde e que se puede elegir los elemetos, y si que pueda repetirse los elemetos. Es lo que se llama combiacioes si repetició de elemetos tomados de m e m. Nos plateamos a cotiuació el caso e el que los elemetos pueda repetirse. Por ejemplo, teemos e ua caja bolas rojas, egras y blacas, y extraemos 4 bolas. Cuátas extraccioes distitas podemos realizar?. Se trata, de u cojuto de tres elemetos {R, N, B} elegir cuatro, pudiédose repetir los elemetos, y si que ifluya el orde e que los elegimos. Da igual la extracció RNBN que RNNB. Lo úico que importa es que se ha elegido ua bola roja, dos bolas egras y ua blaca. E este caso, las posibles extraccioes so supoemos que teemos al meos cuatro bolas de cada color: RRRR RRRN RRRB RRN N RRN B RRBB RN N N RN N B RNBB RBBB NNNN NNNB NNBB NBBB BBBB es decir, u total de 5. Para ecotrar ua forma de geeralizar esto, vamos a escribir las quice posibles extraccioes como sigue: RRRRxx RRRxN x RRRxxB RRxN N x RRxN xb RRxxBB RxN N N x RxN N xb RxNxBB RxxBBB xnnnnx xnnnxb xnnxbb xnxbbb xxbbbb y vemos que cada extracció está determiada por la posició que ocupa las dos x e la cadea El úmero de posicioes que queda a la izquierda de las dos equis os idica la catidad de bolas rojas; el úmero de posicioes que queda etre las dos equis os idica el úmero de bolas egras mietras que el úmero de posicioes a la derecha de las dos equis os idica la catidad de bolas blacas. Así, colocado las equis e las posicioes y 4 os queda _x_x, lo que os da ua bola roja, ua bola egra y dos bolas blacas. Puesto que etre las seis posicioes podemos colocar las dos equis de 6 5 formas diferetes obteemos que se puede hacer u total de 5 extraccioes diferetes. Situémoos e el caso geeral. Supogamos que teemos u cojuto co elemetos, que podría ser bolas de colores diferetes, y extraemos m elemetos se supoe que de cada color hay al meos m bolas. Esto es lo que se llama combiacioes co repetició de elemetos tomados de m e m. Para determiar cuatas combiacioes co repetició hay, idetificamos cada combiació co la elecció de la posició de m equis de u total de m posibles posicioes. El úmero de combiacioes co repetició de elemetos, tomados de m e m resulta ser etoces m m m. Ejemplo Vamos a determiar cuatas solucioes aturales tiee la ecuació x y z t 3. Para resolverlo, plateamos el problema de otra forma. Supogamos que teemos cuatro tipos de bolas rojas, egras, blacas y azules, y extraemos trece bolas. Cada extracció la podemos idetificar co ua solució de la ecuació aterior, dode x es el úmero de bolas rojas, y es el úmero de bolas egras, z es el úmero de bolas blacas y t es el úmero de bolas azules. El úmero de posibles extraccioes es el úmero de combiacioes co repetició de 4 elemetos tomados de 3 e 3. Su valor es Supogamos ahora que queremos resolver la misma ecuació, pero queremos que las variables tome valores mayores o iguales que. E ese caso, llamamos x x, y y, z z, t t, Jesús García Mirada

10 06 COMBINATORIA co lo que la ecuació se trasforma e x y z t 9, y está permitidas todas las solucioes aturales. El úmero de solucioes es Por tato, de las 560 solucioes de la ecuació x y z t 3 hay e las que algua de las variables toma el valor cero.. Supogamos que teemos 5 caramelos iguales y los queremos repartir etre 5 iños. Podemos ver que el úmero de posibles repartos es el de combiacioes co repetició de 5 elemetos tomados de 5 e 5, que resulta ser Permutacioes E esta secció estudiaremos las formas diferetes de ordear los elemetos de u cojuto. Dado u cojuto X co elemetos, ua permutació e X es ua ordeació de los elemetos de X. Otra forma de defiir ua permutació e X es como ua aplicació biyectiva X X. Por ejemplo, si X {,, 3}, hay seis permutacioes e X que se correspode co las seis formas de ordear los elemetos de X. Éstas so: Las seis biyeccioes de X e X so: Y vemos como cada biyecció se correspode co ua ordeació de los elemetos de X y viceversa. E geeral, si X es u cojuto co elemetos, el úmero de permutacioes e X es igual al úmero de aplicacioes iyectivas X X, pues toda aplicació iyectiva X X es biyectiva. Este úmero fue calculado e la secció dedicada a las variacioes, y sabemos que vale!. Algo más complicado es ordear los elemetos de u cojuto cuado alguo de sus elemetos aparece repetido. Por ejemplo, os pregutamos de cuátas formas podemos ordear las letras de la palabra cara. Para ordearlas, supogamos que distiguimos las dos aes que aparece e la palabra, escribiedo ua de ellas e egrita, y realizamos las 4 ordeacioes posibles: cara caar craa rcaa raca raac cara caar craa rcaa raca raac acra acar arca arac aacr aarc acra acar arca arac aacr aarc Vemos que cada ordeacioes de las letras de cara da lugar a la misma ordeació de las letras de cara la que resulta de itercambiar "a" co "a". Por tato, las letras de cara se puede ordear de 4 formas distitas. Si quisiéramos ahora estudiar de cuatas formas podemos ordear las letras de la palabra rara, tedríamos, si distiguimos las dos letras "r" u total de ordeacioes diferetes. Si embargo, cada dos de ellas da lugar a ua sola ordeació de las letras de rara. Teemos etoces u total de 6 ordeacioes diferetes. Otra forma de razoar este resultado es como sigue: Para ordear las letras de cara, situamos e primer lugar las dos "aes". Esto podemos hacerlo de 4 formas diferetes. Ua vez situadas las dos "aes", colocamos la "c", para la que teemos dos posibilidades. Por tato, hay 4 formas diferetes de colocarla. La posició de la "r" queda determiada por la de la "c" y las "aes". Departameto de Álgebra

11 Permutacioes 07 Para ordear las letras de rara, situamos e primer lugar las dos "aes", cosa que podemos hacer de formas diferetes. Puesto que esto determia el lugar e que va las letras "r", cocluimos que hay seis maeras de ordear las letras de rara. Situémoos e el caso geeral. Proposició Supogamos que teemos ua lista de objetos, de r tipos diferetes. Del tipo hay u total de objetos, todos ellos idistiguibles. Del tipo hay objetos, y así hasta el tipo r, del que hay r objetos. Etoces el úmero total de ordeacioes de estos objetos es!!! r! Demostració: Igual que hemos hecho ates, podemos razoarlo de dos formas diferetes.. Supogamos que todos los objetos sea distiguibles. Etoces, podemos ordearlos de! formas diferetes. Si embargo, de todas estas, cada! ordeacioes resulta ser la misma salvo e los objetos del tipo que está reordeados etre sí. Por tato, si cosideramos los objetos del tipo idistiguibles teemos u total de!!. Razoado de la misma forma, cada! ordeacioes de las obteidas resulta ser la misma salvo e los objetos del tipo que está itercambiados etre ellos. Por tato, cosiderado tambié los objetos del tipo idistiguibles teemos u total de!!!. Repitiedo el razoamieto, llegamos a que el úmero de ordeacioes diferetes es!!! r!.. Para situar los objetos, situamos e primer lugar los objetos del tipo. Para esto, úicamete hay que elegir el lugar e que va a situarse estos objetos, y eso puede hacerse de. Ua vez hecho esto, situamos los objetos del tipo. Ahora teemos úicamete lugares dode colocarlos, luego podemos colocarlos de. Razoado de esta forma, el úmero total de ordeacioes posibles es: Desarrollado se obtiee r 3 r!!!!!!! 3! 3! r! r!0!!!! r! Como vemos, de las dos formas se obtiee el mismo resultado. Este problema es equivalete al de repartir objetos distiguibles e cajas distiguibles. Supogamos que teemos objetos, y queremos repartirlos e r cajas, de forma que e la primera caja haya objetos, e la seguda carta haya objetos, y así, hasta la r-ésima caja, e la que debe haber r objetos. Los objetos que va a la primera caja se puede elegir de formas. Nos queda etoces objetos, y de estos elegimos para la seguda caja, lo cual podemos hacerlo de formas. Repitiedo el razoamieto, y usado el pricipio del producto llegamos a que las formas distitas e que podemos repartir los objetos e las cajas es r!!! r! Se deja como ejercicio ecotrar ua biyecció etre las distitas ordeacioes de objetos dode r tipos de objetos, y del tipo k-ésimo hay k objetos, y las distribucioes de objetos distiguibles e r cajas distiguibles, de forma que e la caja k-ésima haya k -objetos. r Jesús García Mirada

12 08 COMBINATORIA Ejemplo Teemos cuatro jugadores, y repartimos cico cartas a cada uo de ua baraja de 40 cartas. Vamos a calcular de cuatas formas distitas se puede repartir. Para esto, cosideramos las cartas como las bolas, a las que hay que distribuir e 5 cajas: 4 por cada uo de los jugadores, y ua quita por las 0 cartas que queda si repartir. Se trata etoces de distribuir 40 objetos distiguibles e cico cajas tambié distiguibles, de forma que e las cuatro primeras haya 5 objetos y e la última haya 0. El úmero de formas de hacerlo es 40! 5!5!5!5!0! Defiició 53. Sea N, y,,, r N tales que r. Se defie el coeficiete multiomial r como! r!! r! E el caso r se tiee que. E este caso se deomia coeficietes biomiales. El teorema del biomio tiee ahora ua geeralizació. Para ello, ecesitamos el siguiete lema: Lema Sea N, y,,, r tales que r. Etoces r k r r k si para algú i etre y r, i fuera igual a cero, el sumado para k i valdría igualmete cero. Demostració: Se tiee que r r r!!! r!!!! r!!!! r!!!!! r!!! r! r!!! r! r!!! r!!!! r! r Teorema 4.3. Teorema Multiomial. Sea A u aillo comutativo, y x, x, x r A. Etoces, para cada N se verifica que: x x x r x x xr r r r Demostració: La demostració la haremos por iducció. Para el resultado es cierto, pues dice simplemete que x x x x x x pues las úicas formas de poer como suma de r úmeros aturales es 0 0 que da lugar al sumado x, 0 0 que da lugar al sumado x y así sucesivamete. Supogamos que el resultado es cierto para u expoete y vamos a demostrarlo para. Etoces se tiee que x x x r x x x r x x x r a x x x r Departameto de Álgebra

13 4.3. Permutacioes 09 dode a x x x r. Dados,, r N tales que r, el coeficiete de x x x r r x x x r se obtedrá sumado los coeficietes de x x x r r, x x x r r x x y e y así hasta x r r e a. Por hipótesis de iducció, estos coeficietes vale r, r, y su suma, segú el lema precedete es r. r Ejemplo El úmero 3 se puede expresar de formas diferetes como suma de 3 úmeros aturales. Éstas so: Por tato, e el desarrollo de x y z 3 aparece 0 sumados. El desarrollo es: es decir, 3! 3!0!0! x3 y 0 z 0 3!!!0! x y z 0 3!!0!! x y 0 z 3!!!0! x y z 0 3!!!! x y z 3!!0!! x y 0 z 3! 0!3!0! x0 y 3 z 0 3! 0!!! x0 y z 3! 0!!! x0 y z 3! 0!0!3! x0 y 0 z 3 x y z 3 x 3 3x y 3x z 3xy 6xyz 3xz y 3 3y z 3yz z 3 El teorema multiomial tiee tambié ua demostració combiatoria. x x x r x x x r x x x r x x x r }{{}}{{}}{{} c c Cada térmio de x x x r se obtiee multiplicado u sumado de c, co u sumado de c y así hasta c. El coeficiete de x x x r r e x x x r se obtedrá cotado cuatos térmios obteidos como acabamos de decir hay e los que ha elegido veces el sumado x, veces el sumado x y así sucesivamete. E defiitiva, lo que hay que hacer es ver de cuatas maeras diferetes se puede distribuir los "objetos" c, c,, c e r cajas distiguibles x, x,, x r ; y esto sabemos que se puede hacer de r formas diferetes. c Jesús García Mirada

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