SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES

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1 José A. Jiméez Nieto SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. TÉRMINO GENERAL E las siguietes figuras observa el proceso que lleva a la creació de uevos triágulos egros. Siguiedo co el proceso, cuátos triágulos egros tedrá la figura? Y, e geeral, la figura? Figura Nº de triágulos E la figura eésima, el úmero de triágulos egros es. Así, por ejemplo, a partir de la fórmula aterior podemos afirmar que e la figura 0 se obtedrá triágulos egros. La secuecia ordeada de úmeros que hemos obteido e la tabla aterior,, 9, 7, 8, 4, es ua sucesió de úmeros reales y a la expresió a se le llama térmio geeral. Ua sucesió de úmeros reales a, a, a, a 4,, a, es ua secuecia ordeada de ifiitos úmeros reales. Cada uo de los úmeros de la misma (a, a, a, ) se deomia térmio de la sucesió. Los úmeros aturales,,, se llama ídices, e idica el lugar que ocupa el térmio e la sucesió. A cada úmero atural (ídice) se le hace correspoder u úmero real (térmio). Al térmio a se le llama térmio -ésimo o térmio geeral, y es la expresió que permite coocer el valor de u determiado térmio si se cooce previamete el lugar que ocupa e la misma. Se acostumbra represetar la sucesió por el cojuto ordeado de sus térmios, co o si parétesis, o bie por su térmio geeral. a, a, a, a 4,, a, o bie (a ), N Halla el térmio geeral de las siguietes sucesioes. a) El cojuto ordeado de los úmeros impares. b) 0,, 8,, 4,, 4 c),,,,,... d) 0,,,,,, a) a b) b c) c d) d + Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

2 José A. Jiméez Nieto Escribir los seis primeros térmios de la sucesió cuyo térmio geeral es a. a 0 a 6 a 4 a a a La obteció del térmio geeral de ua sucesió puede etrañar ua otable dificultad. No obstate, se estudiará más adelate dos clases de tipos de sucesioes particulares e las que el hallazgo del térmio geeral es secillo.. Escribe los térmios primero, segudo, tercero, décimo y vigésimo de las sucesioes dadas por los térmios geerales siguietes. + a) a + b) b c) c ( ) +. Halla el térmio geeral de las siguietes sucesioes. a), 4, 6, 8, 0,, 4, b),, 4, 8, 6,, 64, c), 8, 7, 64,, d),,,,, K e) 4,,,, K f),,,,, K SUCESIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Cosidera la sucesió de los úmeros impares:,,, 7, 9,, Se observa que cada térmio es meor o igual que el térmio siguiete. E este caso se dice que la sucesió es moótoa creciete. Ua sucesió (a ) es moótoa creciete cuado cada térmio es meor o igual que el térmio siguiete; es decir: a a a a a + O abreviadamete, si a a + cualquiera que sea el úmero atural. Cosideremos ahora la sucesió de los iversos de los cuadrados de los úmeros aturales:,,,,, Vemos ahora que cada térmio es mayor o igual que el siguiete. E este caso se dice que la sucesió es moótoa decreciete. Ua sucesió (a ) es moótoa decreciete cuado cada térmio es mayor o igual que el térmio siguiete; es decir: a a a a a + O abreviadamete, si a a + cualquiera que sea el úmero atural. Hay sucesioes que puede o ser moótoas crecietes i decrecietes. ( ) ( + ) Por ejemplo, la sucesió de térmio geeral a, cuyos primeros térmios so: 7,,,,,... Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

3 José A. Jiméez Nieto Observa las represetacioes gráficas de las ateriores sucesioes:,,, 7, 9,, Moótoa creciete,,,,, Moótoa decreciete 7,,,,,... No moótoa creciete i decreciete Averigua si las siguietes sucesioes so moótoas crecietes o decrecietes. a),,,,, c),,,,,,,, b) La sucesió de térmio geeral a. d),,,,,, a) Moótoa decreciete. c) No es moótoa creciete i decreciete. b) Moótoa creciete. d) Moótoa creciete y moótoa decreciete (sucesió costate).. Estudia si so moótoas crecietes o decrecietes las siguietes sucesioes dadas por su térmio geeral. Te puede ayudar la represetació gráfica de las sucesioes. a) e) e a b) b 0 c) c d) d ( ) f) f g) g ( ) ( + ) h) h. SUCESIONES ACOTADAS 4 Cosidera la sucesió de térmio geeral a, cuyos primeros térmios so,,,,, Observa que todos sus térmios so meores o iguales que. Se dice etoces que la sucesió está acotada superiormete, y que es ua cota superior (tambié so cotas superiores todos los úmeros mayores que ). Ua sucesió (a ) está acotada superiormete si todos sus térmios so meores o iguales que u úmero real k; es decir: a k, a k, a k, a k, O abreviadamete, si a k cualquiera que sea el úmero atural. Se dice que k es ua cota superior de la sucesió. Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

4 José A. Jiméez Nieto 4 Tambié se verifica que todos los térmios de la sucesió,,,,,... so mayores o iguales que. Se 4 6 dice etoces que la sucesió está acotada iferiormete, y que / es ua cota iferior (tambié so cotas iferiores todos los úmeros meores que /). Ua sucesió (a ) está acotada iferiormete si todos sus térmios so mayores o iguales que u úmero real h; es decir: a h, a h, a h, a h, O abreviadamete, si a h cualquiera que sea el úmero atural. Se dice que h es ua cota iferior de la sucesió. 4 Como la sucesió,,,,,... está acotada superior e iferiormete, se dice que es ua sucesió acotada. 4 6 Ua sucesió (a ) está acotada si está acotada superior e iferiormete. Gráficamete: 4 La sucesió,,,,,... está acotada superiormete por 4 6 e iferiormete por. Por tato, se dice que esta sucesió está acotada. Está acotada la sucesió de térmio geeral a? a, a 4, a 7, a 4 0, a, a 6 6, Como , es cota iferior, pero o tiee cota superior. Por tato, está acotada iferiormete, pero o está acotada. 4. Estudia la acotació de las siguietes sucesioes dadas por su térmio geeral. Te puede ayudar la represetació gráfica de las sucesioes. + a) a b) b 4 + c) c d) d e) e ( ) f) f ( ) Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 4

5 José A. Jiméez Nieto 4. OPERACIONES CON SUCESIONES Se defie la sucesió producto de u úmero real k por la sucesió (a ) como aquella sucesió que asocia a cada úmero atural el valor ka : k(a ) (ka ) Se defie la sucesió suma de las sucesioes (a ) y (b ) como aquella sucesió que asocia a cada úmero atural el valor a + b : (a ) + (b ) (a + b ) Se defie la sucesió producto de las sucesioes (a ) y (b ) como aquella sucesió que asocia a cada úmero atural el valor a b : (a ) (b ) (a b ) Dadas las sucesioes (a ) (,,, 7, 9, ) y (b ) (0,,, 6, 0, ), escribe los primeros térmios de las siguietes sucesioes. a) (a ) b) (a ) + (b ) c) (a ) (b ) a) (a ) (a ) (, 9,,, 7, ) b) (a ) + (b ) (a + b ) (, 4, 8,, 9, ) c) (a ) (b ) (a b ) (0,, 6,, 80, ) Dadas las sucesioes de térmio geeral a y b +, calcula: a) (a ) b) (a ) + (b ) c) (a ) (b ) a),,,,,, K b) + + ( + ) ,,,,,, K c),,,,,, K. Dadas las sucesioes (a ) (4, 6, 9, 8,, ) y (b ) (,,, 4,,, ), escribe los primeros térmios de las siguietes sucesioes. a) (a ) b) (a ) + (b ) c) (a ) (b ) 6. Dadas las sucesioes de térmio geeral a, b y c +, realiza las siguietes operacioes. + a) (b ) (c ) b) (a ) (b ) c) (b ) (c ) d) (a ) [(b ) + (c )] e) (b ) + (c ) Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

6 José A. Jiméez Nieto. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Cosideremos las siguietes sucesioes:,, 8,, 4, ; 6,,, 6, 0, ;,,,,, Observa que, e todas ellas, cada térmio se obtiee a partir del aterior sumado o restado u úmero fijo; estas sucesioes se llama progresioes aritméticas. Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros reales e la que cada térmio se obtiee a partir del aterior sumádole u úmero fijo, llamado diferecia, y que represetamos por d: a a + d, a a + d, a 4 a + d,, a a - + d.. Térmio geeral Podemos hallar fácilmete el térmio geeral de estas sucesioes e fució de los térmios que tegamos: Coocidos el primer térmio a y la diferecia d. Cosideremos la progresió aritmética a, a, a, a 4,, a, de diferecia d, y expresemos todos los térmios e fució de a y de d. Teiedo e cueta la defiició de progresió aritmética, se obtiee: a a + d a a + d a + d + d a + d a 4 a + d a + d + d a + d a a 4 + d a + d + d a + 4d a a + d a + ( )d + d a + ( )d Por tato, la expresió del térmio geeral de ua progresió aritmética es: Coocidos el térmio k-ésimo a k y la diferecia d. a a + ( ) d - De forma aáloga, obteemos que si k <, etoces: a ak + ( - k) d Halla el térmio geeral de la progresió aritmética,, 8,, 4, a, d a a + ( )d + ( ) + a Halla el térmio geeral de ua progresió aritmética sabiedo que a y d 4. er método: a, d 4 a a + ( )d + ( ) a 4 9 º método: Calculemos previamete el primer térmio a : a a + ( ) d a + ( ) 4 a a + 40 a 40 Así, a a + ( ) d a + ( ) a 4 9 Halla el primer térmio y la diferecia de ua progresió aritmética sabiedo que a / y a 7/. 7 Para y k, obteemos: a a + ( ) d + 8d 4 8d d Para teemos: a a + ( ) d a + 4 a + a Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 6

7 José A. Jiméez Nieto.. Iterpolació de medios aritméticos Iterpolar medios aritméticos etre dos úmeros coocidos a y b cosiste e costruir ua progresió aritmética de la forma a, m, m,, m, b. Los úmeros m, m,, m, se llama medios aritméticos. Para resolver este problema basta coocer la diferecia que ha de teer la progresió, la cual se deduce si más que teer e cueta dos cosas: La sucesió tiee + térmios. El primer térmio a es a y el térmio a + es b: a a, a + b. Iterpolar cico medios aritméticos etre 4 y. Debemos completar los espacios puteados para que la sucesió 4,,,,,, sea ua progresió aritmética. El úmero de térmios es + + 7, y co la expresió del térmio geeral a a + ( )d hallamos la diferecia: a 7 a + (7 )d 4 + 6d 4 6d 8 6d d La progresió aritmética es, por tato: 4, 7, 0,, 6, 9,. 7. Estudia si las siguietes sucesioes so progresioes aritméticas y, e caso afirmativo, halla su térmio geeral. a) 0, 7, 4,, 8, b) 9,,,, 9, c) 4, 8, 6,, 64, d) 4/, /,, 7/, 8/, 8. El quito térmio de ua progresió aritmética es y la diferecia. Halla el térmio geeral. 9. E ua progresió aritmética coocemos los térmios a 9 y a Halla su térmio geeral. 0. Halla el primer térmio y la diferecia de ua progresió aritmética e la que el tercer térmio es 4 y el décimo 66.. Halla el térmio geeral de ua progresió aritmética de la cual se cooce los térmios a y a Los seis águlos de u hexágoo está e progresió aritmética. La diferecia etre el mayor y el meor es 60º. Calcula el valor de cada águlo.. Halla la medida de los tres lados de u triágulo rectágulo sabiedo que so térmios cosecutivos de ua progresió aritmética de diferecia. 4. Cuátos úmeros de cuatro cifras so múltiplos de?. a) Iterpola tres medios aritméticos etre y. b) Iterpola tres medios aritméticos etre y. c) Iterpola cuatro medios aritméticos etre y... Suma de térmios cosecutivos E ocasioes os referiremos a la progresió formada por los primeros térmios, tratádose e estos casos de ua progresió limitada. Cosideremos la progresió aritmética limitada formada por los siete primeros múltiplos de : a a 0 a a 4 0 a a 6 0 a Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 7

8 José A. Jiméez Nieto Podemos observar que la suma de dos térmios equidistates de los extremos es costate e igual a la suma de los extremos, es decir, es a + a 7 a + a 6 a + a a 4 + a E geeral, dada ua progresió aritmética a, a, a,, a de diferecia d, se tiee que: a + a (a + d) + (a d) a + a a + a (a + d) + (a d) a + a a h+ + a h (a + hd) + (a hd) a + a E toda progresió aritmética limitada, a, a, a,, a, la suma de los térmios equidistates de los extremos es costate e igual a la suma de los extremos: a + a a + a - a + a - a 4 + a - Deotemos por S 7 la suma de los siete primeros térmios de la progresió aterior:, 0,, 0,, 0,. Ua forma de hallarla es mediate el procedimieto ivetado por el matemático Carl Frederich Gauss (777-8) a la edad de 0 años, cosistete e escribir la suma dos veces, ivirtiedo los térmios e ua de ellas: S S S ( + ) de dode: S ( + ) S 7 40 Siguiedo el procedimieto utilizado por Gauss, podemos hallar la suma de los primeros térmios de ua progresió aritmética: a, a, a,, a, a. S a + a + + a + a S a + a + + a + a S (a + a ) + (a + a ) + + (a + a ) + (a + a ) Como hay parétesis y el valor de cada uo es (a + a ), se tiee: S (a + a ) + (a + a ) + + (a + a ) + (a + a ) (a + a ) S ( a + a ) La suma de los primeros térmios de ua progresió aritmética, S a + a + a + + a, vale: ( a + a ) S Calcula la suma de los 00 primeros úmeros pares. La sucesió de úmeros pares, 4, 6, 8, 0, es ua progresió aritmética dode a y d. El térmio 00 de esta progresió es a 00 a + (00 )d Por tato, la suma de los 00 primeros úmeros pares vale: 00( a + a00 ) 00( +.000) S Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 8

9 José A. Jiméez Nieto 6. Calcula la suma de los úmeros que se idica. a) De los primeros térmios de la sucesió, 8,, b) De los 40 primeros térmios de la sucesió /, /8, /4, c) De todos los úmeros pares de dos cifras. d) De todos los úmeros que, teiedo tres cifras, so múltiplos de Cuátos térmios de la progresió aritmética, 4,, 0, hay que sumar para obteer como resultado 70? 8. Halla la expresió de la suma de los primeros úmeros impares. A partir de esta expresió, calcula la suma de los primeros úmeros impares. 9. Ferado estuvo perfeccioado su iglés el verao pasado e Lodres. Cuáto diero llevó si el primer día gastó 70 euros, fue dismiuyedo gastos e 9 euros diarios, y el diero le duró 0 días? 0. U idividuo ha ahorrado durate u año 4. euros, igresado cada mes 4 euros más que el aterior. Cuáto diero ahorró el primer mes? Cuáto diero igresó el último mes?. Las cico cifras que forma u úmero está colocadas e progresió aritmética. La suma de todas ellas es igual a, y la seguda (deceas) es doble de la quita (deceas de millar). Qué úmero es este? 6. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Cosideremos las siguietes sucesioes:, 6, 8, 4, 6, ;,, /, /4, /8, ;,,,,,, Observa que, e todas ellas, cada térmio se obtiee a partir del aterior multiplicado o dividiedo por u úmero fijo; estas sucesioes se llama progresioes geométricas. Ua progresió geométrica es ua sucesió de úmeros reales e la que cada térmio se obtiee a partir del aterior multiplicádolo por u úmero fijo, llamado razó, y que represetamos por r: a a r, a a r, a 4 a r,, a a - r 6.. Térmio geeral Al igual que e el caso de las progresioes aritméticas, podemos deducir ua expresió que os proporcioes el térmio geeral. Coocidos el primer térmio a y la razó r. Cosideremos la progresió geométrica a, a, a, a 4,, a, de razó r, y expresemos todos los térmios e fució de a y de r. Teiedo e cueta la defiició de progresió geométrica, se obtiee: a a r a a r a r r a r a 4 a r a r r a r a a 4 r a r r a r 4 a a r a r r a r Por tato, la expresió del térmio geeral de ua progresió geométrica es: a a r - Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 9

10 José A. Jiméez Nieto Coocidos el térmio k-ésimo a k y la razó r. De forma aáloga, obteemos que si k <, etoces: a a k r -k Halla el térmio geeral de la progresió geométrica,,, 9, K a /, r a a r a Halla el térmio geeral de ua progresió geométrica sabiedo que a 6 y r. er método: a 6, r a a r 6 4 a º método: Calculemos previamete el primer térmio a : a a r 6 a 4 a 8 a Así, a a r a Halla el primer térmio y la razó de ua progresió geométrica sabiedo que a 4 8/ y a 9 8/79. a a 8 8 r a4 r r r 4 4 a r a a 8 a Iterpolació de medios geométricos Iterpolar medios geométricos etre dos úmeros coocidos a y b cosiste e costruir ua progresió geométrica de la forma a, m, m,, m, b. Los úmeros m, m,, m, se llama medios geométricos. Para resolver este problema basta coocer la razó que ha de teer la progresió, la cual se deduce si más que teer e cueta dos cosas: La sucesió tiee + térmios. El primer térmio a es a y el térmio a + es b: a a, a + b. Iterpolar cuatro medios geométricos etre 8 y 4. Debemos completar los espacios puteados para que la sucesió 8,,,,, 4 sea ua progresió geométrica. El úmero de térmios es , y co la expresió del térmio geeral a a r hallamos la razó: a 6 a r r 4 r r 8 La progresió es 8, 64,, 6, 8, 4.. Estudia si las siguietes sucesioes so progresioes geométricas y, e caso afirmativo, halla su térmio geeral. a), 6, 8, 4, b),,,,, c) 0, 0, 8, 6, 44, d) 8, 6,, /, /9, Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 0

11 José A. Jiméez Nieto. El sexto térmio de ua progresió geométrica de razó es 96. Calcula el térmio geeral. 4. E ua progresió geométrica se sabe que a y a /8. Halla el térmio geeral.. Halla el térmio geeral de ua progresió geométrica de la cual se cooce los térmios a 0 0 y a E ua progresió geométrica el quito térmio es 8, y el segudo. Halla el térmio geeral. 7. Halla cuatro úmeros e progresió geométrica de maera que los dos primeros sume / y los dos últimos /8. 8. a) Iterpola tres medios geométricos etre y 48. b) Iterpola dos medios geométricos etre / y 9. c) Iterpola tres medios geométricos etre /6 y Producto de térmios cosecutivos Cosideremos la siguiete progresió geométrica limitada:, 6,, 4, 48. Podemos observar e ella que el producto de dos térmios equidistates de los extremos es costate e igual al producto de los extremos. a a 6 a a 4 4 a E geeral, dada ua progresió geométrica a, a, a,, a de razó r, se tiee que: a a (a r) (a : r) a a a a (a r ) (a : r ) a a a h+ + a h (a r h ) (a : r h ) a a E toda progresió geométrica limitada, a, a, a,, a, el producto de los térmios equidistates de los extremos es costate e igual al producto de los extremos: a a a a - a a - a 4 a - Si deotamos por P el producto de los cico primeros térmios de la progresió aterior:, 6,, 4, 48, resulta: P P (P ) de dode: (P ) (44) ( 48) P ( 48) 44 ( 44) E geeral, siguiedo el procedimieto aterior, podemos hallar el producto (P ) de los primeros térmios de ua progresió geométrica: a, a, a,, a, a. Para ello, escribimos el producto de los térmios dos veces ivirtiedo los térmios e uo de ellos y aplicamos la propiedad aterior: P a a a a P a a a a (P ) (a a ) (a a ) (a a ) (a a ) Como e el segudo miembro hay parétesis y el valor de cada uo es (a a ), se tiee: (P ) (a a ) (a a ) (a a ) (a a ) (a a ) (P ) (a a ) P ± ( a ) a Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

12 José A. Jiméez Nieto El producto de los primeros térmios de ua progresió geométrica, P a a a a, vale: ( a a P ) (para determiar el sigo ha de estudiarse cada caso e cocreto) El segudo térmio de ua progresió geométrica es y la razó. Calcula el producto de los siete primeros térmios. a a r a ( ) a ; a 7 a r 6 ( ) ( ) 6 64 ; Observa que los siete primeros térmios de esta progresió so,, 4, 8, 6,, 64, Por tato, P ( a a ) [( ) ( 64)] 64 ( 64) Multiplica los veite primeros térmios de la progresió geométrica /6, /8, /4, /, 0. Calcula el producto de los siete primeros térmios de la progresió geométrica,, 4, 8,. Halla el producto de los primeros térmios de ua progresió geométrica, si el térmio cetral vale Suma de térmios cosecutivos Sea a, a, a,, a, ua progresió geométrica de razó r y hallemos la suma de los primeros térmios: S a + a + a + + a + a + a Para ello, multiplicamos por la razó r ambos miembros y obteemos: r S a r + a r + a r + + a r + a r + a r a + a + a a + a + a r Restamos esta expresió a la primera igualdad: r S a + a + a a + a + a r S a + a + a + a a + a r S S a + a r Operado obteemos: r S S a + a r (r ) S a r a Teiedo e cueta que a a r, la expresió aterior queda: S ar a r S ar a r a r r a r a r a r S a( r ) r La suma de los primeros térmios de ua progresió geométrica, S a + a + a + + a, vale: S ar - a a( r -), si r r - r - Sabiedo que e ua progresió geométrica los térmios a y a.87, halla la suma de los cico primeros térmios. Hallemos, previamete, la razó: a a r 4.87 r 4 r 4 6 r 6 ± Teemos, por tato, dos posibilidades: 4 Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

13 José A. Jiméez Nieto ( ).4 Si r, dichos térmios so:,, 7, 7,.87 S. 4 4 [( ) ] (.6) Si r, los térmios so:,, 7, 7,.87 S El tercer térmio de ua progresió geométrica es y la razó. Calcula la suma de los diez primeros térmios.. Calcula las sumas de los úmeros que se idica. a) b) De los 0 primeros térmios de la sucesió,,,, 4, c) De los 0 primeros térmios de la sucesió, /4, /6, /64, /6, 4. Si hoy me das cétimo de euro, mañaa, pasado 4, al siguiete día 8, y así sucesivamete, cuátos euros me habrás dado al cabo de u mes?. Ua motocicleta de gra cilidrada costó iicialmete.00 euros. Al cabo de u año se vedió por la mitad de su precio, pasado otro año se volvió a veder a la mitad del último precio, y así sucesivamete. a) Cuáto le costo la motocicleta al quito propietario? Y al décimo? b) Qué catidad pagaro etre los seis primeros propietarios? Y etre los diez primeros? 6. Cuátos térmios se ha tomado e ua progresió geométrica, sabiedo que el primer térmio es 7, el último 448 y su suma 889? 6.. Suma ifiitos térmios si < r < La relevacia de este apartado es que se trata de sumar todos los térmios de la progresió y o sólo ua parte de ellos. a ) Partiedo de la fórmula ( r S dode < r <, a medida que se va haciedo muy grade la potecia r r se va haciedo cada vez más pequeña e valor absoluto (tiede a cero), de maera que se puede despreciar. Sirva de muestra los siguietes ejemplos: M 4 0 0' 4 0' 8 6 0'06 0' ' K M 4 0 0' 4 0' 8 6 0'06 0' ' K Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

14 José A. Jiméez Nieto Si el úmero de térmios es ifiito, se tiee etoces: S a ( r ) a(0 ) a a r r r r La suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica co razó < r < vale: a S a + a + K + a- + a + a+ + K, si - < r < - r Halla la suma de los térmios de la progresió geométrica ilimitada 8, 4,,, /, /4, /8, E esta progresió, a 8 y r / ; a 8 8 como < r <, la suma de todos sus térmios vale: S 6 r Obtegamos la fracció geeratriz del úmero decimal periódico mixto ' ). Expresemos dicho úmero como la suma de otros dos, siedo uo de ellos su parte decimal periódica: ) ) ' ' + 0'0 El decimal periódico 0 '0 ) se puede cosiderar como la siguiete suma ifiita: ) 0 '0 0'0 + 0'00 + 0' ' K K esto es, como la suma de los térmios de ua progresió geométrica ilimitada dode a y 0 Como < r <, obteemos: ) a '0 S 9 r r. 0 Por tato, la fracció geeratriz de ' ) es: ) ) ' ' + 0' E ua progresió geométrica de razó / el tercer térmio es. Halla la suma de sus ifiitos térmios. 8. La suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica decreciete es, y el primer térmio es /. Calcula la razó. 9. E u triágulo equilátero de 6 metros de lado, se ue los putos medios de sus lados, obteiédose así otro triágulo iscrito e el primero. Este proceso se repite idefiidamete. Calcular la suma de las áreas de todos los triágulos formados. 40. Dado u círculo de radio R, se costruye u segudo círculo cuyo diámetro es el radio del aterior, u tercero cuyo diámetro es el radio del segudo y así sucesivamete. Cuál será la suma de las áreas de todos los círculos así formados? 4. Halla, mediate aplicacioes co progresioes, las fraccioes geeratrices de los úmeros decimales ' y ' 4. Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 4

15 José A. Jiméez Nieto Solucioes a los ejercicios propuestos. Escribe los térmios primero, segudo, tercero, décimo y vigésimo de las sucesioes dadas por los térmios geerales siguietes. + a) a + b) b c) c ( ) + a) a ; a - ; a -4 ; a 0 - ; a 0 - b) b ; b / ; b 7/ ; b 0 /9 ; b 0 4/9 c) c -4 ; c 8 ; c -6 ; c ; c Halla el térmio geeral de las siguietes sucesioes. a), 4, 6, 8, 0,, 4, b),, 4, 8, 6,, 64, c), 8, 7, 64,, d),,,,, K e) 4,,,, K f),,,,, K 4 8 a) a b) a - c) a d) a Ł ł e) ( + ) f) a a. Estudia si so moótoas crecietes o decrecietes las siguietes sucesioes dadas por su térmio geeral. Te puede ayudar la represetació gráfica de las sucesioes. a) a b) b 0 c) c d) d ( ) + + e) e + f) f g) g ( ) ( + ) h) So moótoas crecietes las sucesioes c) y e) So moótoas decrecietes las sucesioes a), f) y h) Es moótoa creciete y decreciete (sucesió costate) la sucesió b) No so moótoas crecietes i decrecietes las sucesioes d) y g) h 4. Estudia la acotació de las siguietes sucesioes dadas por su térmio geeral. Te puede ayudar la represetació gráfica de las sucesioes. + a) a b) b 4 + c) c d) d e) e ( ) f) f ( ) a) Acotada iferiormete: es cota iferior. b) Acotada superiormete: - es cota superior. c) Acotada: es cota superior y es cota iferior. d) Acotada: -/ es cota iferior y 0 es cota superior. e) Acotada: - es cota iferior y es cota superior. f) No acotada, i superior i iferiormete.. Dadas las sucesioes (a ) (4, 6, 9, 8,, ) y (b ) (,,, 4,,, ), escribe los primeros térmios de las siguietes sucesioes. a) (a ) b) (a ) + (b ) c) (a ) (b ) a) (a ) (a ) (8,, 8, 6, 46, ) b) (a ) + (b ) (a + b ) (, 9, 7,, 0, ) c) (a ) (b ) (a b ) (-4, 8, -8, 7, -69, ) 6. Dadas las sucesioes de térmio geeral a, b y c +, realiza las siguietes operacioes. + a) (b ) (c ) b) (a ) (b ) c) (b ) (c ) d) (a ) [(b ) + (c )] e) (b ) + (c ) a) ( - - ) b) Ł + ł c) ( ) d) Ł + ł e) ( + + ) Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

16 José A. Jiméez Nieto 7. Estudia si las siguietes sucesioes so progresioes aritméticas y, e caso afirmativo, halla su térmio geeral. a) 0, 7, 4,, 8, b) 9,,,, 9, c) 4, 8, 6,, 64, d) 4/, /,, 7/, 8/, a) Sí, a - + b) Sí, a 7-6 c) No es ua prog. arit. d) Sí, a ( + )/ 8. El quito térmio de ua progresió aritmética es y la diferecia. Halla el térmio geeral. a - 9. E ua progresió aritmética coocemos los térmios a 9 y a Halla su térmio geeral. a Halla el primer térmio y la diferecia de ua progresió aritmética e la que el tercer térmio es 4 y el décimo 66. a ; d 6 (por tato, a 6 + 6). Halla el térmio geeral de ua progresió aritmética de la cual se cooce los térmios a y a a. Los seis águlos de u hexágoo está e progresió aritmética. La diferecia etre el mayor y el meor es 60º. Calcula el valor de cada águlo. Los águlos tiee ua amplitud de 90, 0, 4, 6, 8 y 0 grados, respectivamete.. Halla la medida de los tres lados de u triágulo rectágulo sabiedo que so térmios cosecutivos de ua progresió aritmética de diferecia. El triágulo tiee por lados 9, y, respectivamete. 4. Cuátos úmeros de cuatro cifras so múltiplos de?.000 úmeros. a) Iterpola tres medios aritméticos etre y. b) Iterpola tres medios aritméticos etre y. c) Iterpola cuatro medios aritméticos etre y. a), -, -, -9, - b), 9/4, /, /4, c), 49/, 8/, 7/, 6/, 6. Calcula la suma de los úmeros que se idica. a) De los primeros térmios de la sucesió, 8,, b) De los 40 primeros térmios de la sucesió /, /8, /4, c) De todos los úmeros pares de dos cifras. d) De todos los úmeros que, teiedo tres cifras, so múltiplos de 6. a).7 b) / c).40 d) Cuátos térmios de la progresió aritmética, 4,, 0, hay que sumar para obteer como resultado 70? 0 térmios. 8. Halla la expresió de la suma de los primeros úmeros impares. A partir de esta expresió, calcula la suma de los primeros úmeros impares. La suma de los primeros úmeros impares es S ; e particular, S.6 9. Ferado estuvo perfeccioado su iglés el verao pasado e Lodres. Cuáto diero llevó si el primer día gastó 70 euros, fue dismiuyedo gastos e 9 euros diarios, y el diero le duró 0 días? Ferado llevó 4.8 euros. 0. U idividuo ha ahorrado durate u año 4. euros, igresado cada mes 4 euros más que el aterior. Cuáto diero ahorró el primer mes? Cuáto diero igresó el último mes? El primer mes ahorró 0, y el último mes igresó 8.. Las cico cifras que forma u úmero está colocadas e progresió aritmética. La suma de todas ellas es igual a, y la seguda (deceas) es doble de la quita (deceas de millar). Qué úmero es este? Se trata del úmero Estudia si las siguietes sucesioes so progresioes geométricas y, e caso afirmativo, halla su térmio geeral. a), 6, 8, 4, b),,,,, c) 0, 0, 8, 6, 44, d) 8, 6,, /, /9, a) Sí, a - b) Sí, a (-) - c) No es ua prog. geom. d) Sí, a -. El sexto térmio de ua progresió geométrica de razó es 96. Calcula el térmio geeral. a - Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 6

17 José A. Jiméez Nieto 4. E ua progresió geométrica se sabe que a y a /8. Halla el térmio geeral. Teemos dos posibilidades, a - ó a (-). Halla el térmio geeral de ua progresió geométrica de la cual se cooce los térmios a 0 0 y a 6. Teemos dos posibilidades, a ó a (-) E ua progresió geométrica el quito térmio es 8, y el segudo. Halla el térmio geeral. a (-) Halla cuatro úmeros e progresió geométrica de maera que los dos primeros sume / y los dos últimos /8. Los úmeros buscados so /, /6, / y /4; otra posible solució es, -/, /4 y -/8 8. a) Iterpola tres medios geométricos etre y 48. b) Iterpola dos medios geométricos etre / y 9. c) Iterpola tres medios geométricos etre /6 y 6. a), 6,, 4, 48 ó, tambié,, -6,, -4, 48 b) /, -,, -9 c) /6, /4,, 4, 6 ó, tambié, /6, -/4,, -4, 6 9. Multiplica los veite primeros térmios de la progresió geométrica /6, /8, /4, /, P Calcula el producto de los siete primeros térmios de la progresió geométrica,, 4, 8, P Halla el producto de los primeros térmios de ua progresió geométrica, si el térmio cetral vale. P.048. El tercer térmio de ua progresió geométrica es y la razó. Calcula la suma de los diez primeros térmios. La suma de los diez primeros térmios es.069. Calcula las sumas de los úmeros que se idica. a) b) De los 0 primeros térmios de la sucesió,,,, 4, c) De los 0 primeros térmios de la sucesió, /4, /6, /64, /6, a) 88.7 b) ( + ) c) 4/ 4. Si hoy me das cétimo de euro, mañaa, pasado 4, al siguiete día 8, y así sucesivamete, cuátos euros me habrás dado al cabo de u mes? Ua motocicleta de gra cilidrada costó iicialmete.00 euros. Al cabo de u año se vedió por la mitad de su precio, pasado otro año se volvió a veder a la mitad del último precio, y así sucesivamete. a) Cuáto le costo la motocicleta al quito propietario? Y al décimo? b) Qué catidad pagaro etre los seis primeros propietarios? Y etre los diez primeros? a) 98 7 y 9 4 euros, respectivamete. b) y euros, respectivamete. 6. Cuátos térmios se ha tomado e ua progresió geométrica, sabiedo que el primer térmio es 7, el último 448 y su suma 889? 7 térmios. 7. E ua progresió geométrica de razó / el tercer térmio es. Halla la suma de sus ifiitos térmios. Sus ifiitos térmios suma 7/4 8. La suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica decreciete es, y el primer térmio es /. Calcula la razó. La razó de dicha progresió es r /4 9. E u triágulo equilátero de 6 metros de lado, se ue los putos medios de sus lados, obteiédose así otro triágulo iscrito e el primero. Este proceso se repite idefiidamete. Calcular la suma de las áreas de todos los triágulos formados. La suma de las ifiitas áreas vale cm. Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 7

18 José A. Jiméez Nieto 40. Dado u círculo de radio R, se costruye u segudo círculo cuyo diámetro es el radio del aterior, u tercero cuyo diámetro es el radio del segudo y así sucesivamete. Cuál será la suma de las áreas de todos los círculos así formados? 4 La suma de las ifiitas áreas vale p R 4. Halla, mediate aplicacioes co progresioes, las fraccioes geeratrices de los úmeros decimales ' y ' 4. Las fraccioes geeratrices pedidas so 7 ' y '4 4 Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 8