SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES"

Transcripción

1 José A. Jiméez Nieto SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. TÉRMINO GENERAL E las siguietes figuras observa el proceso que lleva a la creació de uevos triágulos egros. Siguiedo co el proceso, cuátos triágulos egros tedrá la figura? Y, e geeral, la figura? Figura Nº de triágulos E la figura eésima, el úmero de triágulos egros es. Así, por ejemplo, a partir de la fórmula aterior podemos afirmar que e la figura 0 se obtedrá triágulos egros. La secuecia ordeada de úmeros que hemos obteido e la tabla aterior,, 9, 7, 8, 4, es ua sucesió de úmeros reales y a la expresió a se le llama térmio geeral. Ua sucesió de úmeros reales a, a, a, a 4,, a, es ua secuecia ordeada de ifiitos úmeros reales. Cada uo de los úmeros de la misma (a, a, a, ) se deomia térmio de la sucesió. Los úmeros aturales,,, se llama ídices, e idica el lugar que ocupa el térmio e la sucesió. A cada úmero atural (ídice) se le hace correspoder u úmero real (térmio). Al térmio a se le llama térmio -ésimo o térmio geeral, y es la expresió que permite coocer el valor de u determiado térmio si se cooce previamete el lugar que ocupa e la misma. Se acostumbra represetar la sucesió por el cojuto ordeado de sus térmios, co o si parétesis, o bie por su térmio geeral. a, a, a, a 4,, a, o bie (a ), N Halla el térmio geeral de las siguietes sucesioes. a) El cojuto ordeado de los úmeros impares. b) 0,, 8,, 4,, 4 c),,,,,... d) 0,,,,,, a) a b) b c) c d) d + Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

2 José A. Jiméez Nieto Escribir los seis primeros térmios de la sucesió cuyo térmio geeral es a. a 0 a 6 a 4 a a a La obteció del térmio geeral de ua sucesió puede etrañar ua otable dificultad. No obstate, se estudiará más adelate dos clases de tipos de sucesioes particulares e las que el hallazgo del térmio geeral es secillo.. Escribe los térmios primero, segudo, tercero, décimo y vigésimo de las sucesioes dadas por los térmios geerales siguietes. + a) a + b) b c) c ( ) +. Halla el térmio geeral de las siguietes sucesioes. a), 4, 6, 8, 0,, 4, b),, 4, 8, 6,, 64, c), 8, 7, 64,, d),,,,, K e) 4,,,, K f),,,,, K SUCESIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Cosidera la sucesió de los úmeros impares:,,, 7, 9,, Se observa que cada térmio es meor o igual que el térmio siguiete. E este caso se dice que la sucesió es moótoa creciete. Ua sucesió (a ) es moótoa creciete cuado cada térmio es meor o igual que el térmio siguiete; es decir: a a a a a + O abreviadamete, si a a + cualquiera que sea el úmero atural. Cosideremos ahora la sucesió de los iversos de los cuadrados de los úmeros aturales:,,,,, Vemos ahora que cada térmio es mayor o igual que el siguiete. E este caso se dice que la sucesió es moótoa decreciete. Ua sucesió (a ) es moótoa decreciete cuado cada térmio es mayor o igual que el térmio siguiete; es decir: a a a a a + O abreviadamete, si a a + cualquiera que sea el úmero atural. Hay sucesioes que puede o ser moótoas crecietes i decrecietes. ( ) ( + ) Por ejemplo, la sucesió de térmio geeral a, cuyos primeros térmios so: 7,,,,,... Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

3 José A. Jiméez Nieto Observa las represetacioes gráficas de las ateriores sucesioes:,,, 7, 9,, Moótoa creciete,,,,, Moótoa decreciete 7,,,,,... No moótoa creciete i decreciete Averigua si las siguietes sucesioes so moótoas crecietes o decrecietes. a),,,,, c),,,,,,,, b) La sucesió de térmio geeral a. d),,,,,, a) Moótoa decreciete. c) No es moótoa creciete i decreciete. b) Moótoa creciete. d) Moótoa creciete y moótoa decreciete (sucesió costate).. Estudia si so moótoas crecietes o decrecietes las siguietes sucesioes dadas por su térmio geeral. Te puede ayudar la represetació gráfica de las sucesioes. a) e) e a b) b 0 c) c d) d ( ) f) f g) g ( ) ( + ) h) h. SUCESIONES ACOTADAS 4 Cosidera la sucesió de térmio geeral a, cuyos primeros térmios so,,,,, Observa que todos sus térmios so meores o iguales que. Se dice etoces que la sucesió está acotada superiormete, y que es ua cota superior (tambié so cotas superiores todos los úmeros mayores que ). Ua sucesió (a ) está acotada superiormete si todos sus térmios so meores o iguales que u úmero real k; es decir: a k, a k, a k, a k, O abreviadamete, si a k cualquiera que sea el úmero atural. Se dice que k es ua cota superior de la sucesió. Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

4 José A. Jiméez Nieto 4 Tambié se verifica que todos los térmios de la sucesió,,,,,... so mayores o iguales que. Se 4 6 dice etoces que la sucesió está acotada iferiormete, y que / es ua cota iferior (tambié so cotas iferiores todos los úmeros meores que /). Ua sucesió (a ) está acotada iferiormete si todos sus térmios so mayores o iguales que u úmero real h; es decir: a h, a h, a h, a h, O abreviadamete, si a h cualquiera que sea el úmero atural. Se dice que h es ua cota iferior de la sucesió. 4 Como la sucesió,,,,,... está acotada superior e iferiormete, se dice que es ua sucesió acotada. 4 6 Ua sucesió (a ) está acotada si está acotada superior e iferiormete. Gráficamete: 4 La sucesió,,,,,... está acotada superiormete por 4 6 e iferiormete por. Por tato, se dice que esta sucesió está acotada. Está acotada la sucesió de térmio geeral a? a, a 4, a 7, a 4 0, a, a 6 6, Como , es cota iferior, pero o tiee cota superior. Por tato, está acotada iferiormete, pero o está acotada. 4. Estudia la acotació de las siguietes sucesioes dadas por su térmio geeral. Te puede ayudar la represetació gráfica de las sucesioes. + a) a b) b 4 + c) c d) d e) e ( ) f) f ( ) Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 4

5 José A. Jiméez Nieto 4. OPERACIONES CON SUCESIONES Se defie la sucesió producto de u úmero real k por la sucesió (a ) como aquella sucesió que asocia a cada úmero atural el valor ka : k(a ) (ka ) Se defie la sucesió suma de las sucesioes (a ) y (b ) como aquella sucesió que asocia a cada úmero atural el valor a + b : (a ) + (b ) (a + b ) Se defie la sucesió producto de las sucesioes (a ) y (b ) como aquella sucesió que asocia a cada úmero atural el valor a b : (a ) (b ) (a b ) Dadas las sucesioes (a ) (,,, 7, 9, ) y (b ) (0,,, 6, 0, ), escribe los primeros térmios de las siguietes sucesioes. a) (a ) b) (a ) + (b ) c) (a ) (b ) a) (a ) (a ) (, 9,,, 7, ) b) (a ) + (b ) (a + b ) (, 4, 8,, 9, ) c) (a ) (b ) (a b ) (0,, 6,, 80, ) Dadas las sucesioes de térmio geeral a y b +, calcula: a) (a ) b) (a ) + (b ) c) (a ) (b ) a),,,,,, K b) + + ( + ) ,,,,,, K c),,,,,, K. Dadas las sucesioes (a ) (4, 6, 9, 8,, ) y (b ) (,,, 4,,, ), escribe los primeros térmios de las siguietes sucesioes. a) (a ) b) (a ) + (b ) c) (a ) (b ) 6. Dadas las sucesioes de térmio geeral a, b y c +, realiza las siguietes operacioes. + a) (b ) (c ) b) (a ) (b ) c) (b ) (c ) d) (a ) [(b ) + (c )] e) (b ) + (c ) Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

6 José A. Jiméez Nieto. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Cosideremos las siguietes sucesioes:,, 8,, 4, ; 6,,, 6, 0, ;,,,,, Observa que, e todas ellas, cada térmio se obtiee a partir del aterior sumado o restado u úmero fijo; estas sucesioes se llama progresioes aritméticas. Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros reales e la que cada térmio se obtiee a partir del aterior sumádole u úmero fijo, llamado diferecia, y que represetamos por d: a a + d, a a + d, a 4 a + d,, a a - + d.. Térmio geeral Podemos hallar fácilmete el térmio geeral de estas sucesioes e fució de los térmios que tegamos: Coocidos el primer térmio a y la diferecia d. Cosideremos la progresió aritmética a, a, a, a 4,, a, de diferecia d, y expresemos todos los térmios e fució de a y de d. Teiedo e cueta la defiició de progresió aritmética, se obtiee: a a + d a a + d a + d + d a + d a 4 a + d a + d + d a + d a a 4 + d a + d + d a + 4d a a + d a + ( )d + d a + ( )d Por tato, la expresió del térmio geeral de ua progresió aritmética es: Coocidos el térmio k-ésimo a k y la diferecia d. a a + ( ) d - De forma aáloga, obteemos que si k <, etoces: a ak + ( - k) d Halla el térmio geeral de la progresió aritmética,, 8,, 4, a, d a a + ( )d + ( ) + a Halla el térmio geeral de ua progresió aritmética sabiedo que a y d 4. er método: a, d 4 a a + ( )d + ( ) a 4 9 º método: Calculemos previamete el primer térmio a : a a + ( ) d a + ( ) 4 a a + 40 a 40 Así, a a + ( ) d a + ( ) a 4 9 Halla el primer térmio y la diferecia de ua progresió aritmética sabiedo que a / y a 7/. 7 Para y k, obteemos: a a + ( ) d + 8d 4 8d d Para teemos: a a + ( ) d a + 4 a + a Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 6

7 José A. Jiméez Nieto.. Iterpolació de medios aritméticos Iterpolar medios aritméticos etre dos úmeros coocidos a y b cosiste e costruir ua progresió aritmética de la forma a, m, m,, m, b. Los úmeros m, m,, m, se llama medios aritméticos. Para resolver este problema basta coocer la diferecia que ha de teer la progresió, la cual se deduce si más que teer e cueta dos cosas: La sucesió tiee + térmios. El primer térmio a es a y el térmio a + es b: a a, a + b. Iterpolar cico medios aritméticos etre 4 y. Debemos completar los espacios puteados para que la sucesió 4,,,,,, sea ua progresió aritmética. El úmero de térmios es + + 7, y co la expresió del térmio geeral a a + ( )d hallamos la diferecia: a 7 a + (7 )d 4 + 6d 4 6d 8 6d d La progresió aritmética es, por tato: 4, 7, 0,, 6, 9,. 7. Estudia si las siguietes sucesioes so progresioes aritméticas y, e caso afirmativo, halla su térmio geeral. a) 0, 7, 4,, 8, b) 9,,,, 9, c) 4, 8, 6,, 64, d) 4/, /,, 7/, 8/, 8. El quito térmio de ua progresió aritmética es y la diferecia. Halla el térmio geeral. 9. E ua progresió aritmética coocemos los térmios a 9 y a Halla su térmio geeral. 0. Halla el primer térmio y la diferecia de ua progresió aritmética e la que el tercer térmio es 4 y el décimo 66.. Halla el térmio geeral de ua progresió aritmética de la cual se cooce los térmios a y a Los seis águlos de u hexágoo está e progresió aritmética. La diferecia etre el mayor y el meor es 60º. Calcula el valor de cada águlo.. Halla la medida de los tres lados de u triágulo rectágulo sabiedo que so térmios cosecutivos de ua progresió aritmética de diferecia. 4. Cuátos úmeros de cuatro cifras so múltiplos de?. a) Iterpola tres medios aritméticos etre y. b) Iterpola tres medios aritméticos etre y. c) Iterpola cuatro medios aritméticos etre y... Suma de térmios cosecutivos E ocasioes os referiremos a la progresió formada por los primeros térmios, tratádose e estos casos de ua progresió limitada. Cosideremos la progresió aritmética limitada formada por los siete primeros múltiplos de : a a 0 a a 4 0 a a 6 0 a Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 7

8 José A. Jiméez Nieto Podemos observar que la suma de dos térmios equidistates de los extremos es costate e igual a la suma de los extremos, es decir, es a + a 7 a + a 6 a + a a 4 + a E geeral, dada ua progresió aritmética a, a, a,, a de diferecia d, se tiee que: a + a (a + d) + (a d) a + a a + a (a + d) + (a d) a + a a h+ + a h (a + hd) + (a hd) a + a E toda progresió aritmética limitada, a, a, a,, a, la suma de los térmios equidistates de los extremos es costate e igual a la suma de los extremos: a + a a + a - a + a - a 4 + a - Deotemos por S 7 la suma de los siete primeros térmios de la progresió aterior:, 0,, 0,, 0,. Ua forma de hallarla es mediate el procedimieto ivetado por el matemático Carl Frederich Gauss (777-8) a la edad de 0 años, cosistete e escribir la suma dos veces, ivirtiedo los térmios e ua de ellas: S S S ( + ) de dode: S ( + ) S 7 40 Siguiedo el procedimieto utilizado por Gauss, podemos hallar la suma de los primeros térmios de ua progresió aritmética: a, a, a,, a, a. S a + a + + a + a S a + a + + a + a S (a + a ) + (a + a ) + + (a + a ) + (a + a ) Como hay parétesis y el valor de cada uo es (a + a ), se tiee: S (a + a ) + (a + a ) + + (a + a ) + (a + a ) (a + a ) S ( a + a ) La suma de los primeros térmios de ua progresió aritmética, S a + a + a + + a, vale: ( a + a ) S Calcula la suma de los 00 primeros úmeros pares. La sucesió de úmeros pares, 4, 6, 8, 0, es ua progresió aritmética dode a y d. El térmio 00 de esta progresió es a 00 a + (00 )d Por tato, la suma de los 00 primeros úmeros pares vale: 00( a + a00 ) 00( +.000) S Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 8

9 José A. Jiméez Nieto 6. Calcula la suma de los úmeros que se idica. a) De los primeros térmios de la sucesió, 8,, b) De los 40 primeros térmios de la sucesió /, /8, /4, c) De todos los úmeros pares de dos cifras. d) De todos los úmeros que, teiedo tres cifras, so múltiplos de Cuátos térmios de la progresió aritmética, 4,, 0, hay que sumar para obteer como resultado 70? 8. Halla la expresió de la suma de los primeros úmeros impares. A partir de esta expresió, calcula la suma de los primeros úmeros impares. 9. Ferado estuvo perfeccioado su iglés el verao pasado e Lodres. Cuáto diero llevó si el primer día gastó 70 euros, fue dismiuyedo gastos e 9 euros diarios, y el diero le duró 0 días? 0. U idividuo ha ahorrado durate u año 4. euros, igresado cada mes 4 euros más que el aterior. Cuáto diero ahorró el primer mes? Cuáto diero igresó el último mes?. Las cico cifras que forma u úmero está colocadas e progresió aritmética. La suma de todas ellas es igual a, y la seguda (deceas) es doble de la quita (deceas de millar). Qué úmero es este? 6. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Cosideremos las siguietes sucesioes:, 6, 8, 4, 6, ;,, /, /4, /8, ;,,,,,, Observa que, e todas ellas, cada térmio se obtiee a partir del aterior multiplicado o dividiedo por u úmero fijo; estas sucesioes se llama progresioes geométricas. Ua progresió geométrica es ua sucesió de úmeros reales e la que cada térmio se obtiee a partir del aterior multiplicádolo por u úmero fijo, llamado razó, y que represetamos por r: a a r, a a r, a 4 a r,, a a - r 6.. Térmio geeral Al igual que e el caso de las progresioes aritméticas, podemos deducir ua expresió que os proporcioes el térmio geeral. Coocidos el primer térmio a y la razó r. Cosideremos la progresió geométrica a, a, a, a 4,, a, de razó r, y expresemos todos los térmios e fució de a y de r. Teiedo e cueta la defiició de progresió geométrica, se obtiee: a a r a a r a r r a r a 4 a r a r r a r a a 4 r a r r a r 4 a a r a r r a r Por tato, la expresió del térmio geeral de ua progresió geométrica es: a a r - Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 9

10 José A. Jiméez Nieto Coocidos el térmio k-ésimo a k y la razó r. De forma aáloga, obteemos que si k <, etoces: a a k r -k Halla el térmio geeral de la progresió geométrica,,, 9, K a /, r a a r a Halla el térmio geeral de ua progresió geométrica sabiedo que a 6 y r. er método: a 6, r a a r 6 4 a º método: Calculemos previamete el primer térmio a : a a r 6 a 4 a 8 a Así, a a r a Halla el primer térmio y la razó de ua progresió geométrica sabiedo que a 4 8/ y a 9 8/79. a a 8 8 r a4 r r r 4 4 a r a a 8 a Iterpolació de medios geométricos Iterpolar medios geométricos etre dos úmeros coocidos a y b cosiste e costruir ua progresió geométrica de la forma a, m, m,, m, b. Los úmeros m, m,, m, se llama medios geométricos. Para resolver este problema basta coocer la razó que ha de teer la progresió, la cual se deduce si más que teer e cueta dos cosas: La sucesió tiee + térmios. El primer térmio a es a y el térmio a + es b: a a, a + b. Iterpolar cuatro medios geométricos etre 8 y 4. Debemos completar los espacios puteados para que la sucesió 8,,,,, 4 sea ua progresió geométrica. El úmero de térmios es , y co la expresió del térmio geeral a a r hallamos la razó: a 6 a r r 4 r r 8 La progresió es 8, 64,, 6, 8, 4.. Estudia si las siguietes sucesioes so progresioes geométricas y, e caso afirmativo, halla su térmio geeral. a), 6, 8, 4, b),,,,, c) 0, 0, 8, 6, 44, d) 8, 6,, /, /9, Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 0

11 José A. Jiméez Nieto. El sexto térmio de ua progresió geométrica de razó es 96. Calcula el térmio geeral. 4. E ua progresió geométrica se sabe que a y a /8. Halla el térmio geeral.. Halla el térmio geeral de ua progresió geométrica de la cual se cooce los térmios a 0 0 y a E ua progresió geométrica el quito térmio es 8, y el segudo. Halla el térmio geeral. 7. Halla cuatro úmeros e progresió geométrica de maera que los dos primeros sume / y los dos últimos /8. 8. a) Iterpola tres medios geométricos etre y 48. b) Iterpola dos medios geométricos etre / y 9. c) Iterpola tres medios geométricos etre /6 y Producto de térmios cosecutivos Cosideremos la siguiete progresió geométrica limitada:, 6,, 4, 48. Podemos observar e ella que el producto de dos térmios equidistates de los extremos es costate e igual al producto de los extremos. a a 6 a a 4 4 a E geeral, dada ua progresió geométrica a, a, a,, a de razó r, se tiee que: a a (a r) (a : r) a a a a (a r ) (a : r ) a a a h+ + a h (a r h ) (a : r h ) a a E toda progresió geométrica limitada, a, a, a,, a, el producto de los térmios equidistates de los extremos es costate e igual al producto de los extremos: a a a a - a a - a 4 a - Si deotamos por P el producto de los cico primeros térmios de la progresió aterior:, 6,, 4, 48, resulta: P P (P ) de dode: (P ) (44) ( 48) P ( 48) 44 ( 44) E geeral, siguiedo el procedimieto aterior, podemos hallar el producto (P ) de los primeros térmios de ua progresió geométrica: a, a, a,, a, a. Para ello, escribimos el producto de los térmios dos veces ivirtiedo los térmios e uo de ellos y aplicamos la propiedad aterior: P a a a a P a a a a (P ) (a a ) (a a ) (a a ) (a a ) Como e el segudo miembro hay parétesis y el valor de cada uo es (a a ), se tiee: (P ) (a a ) (a a ) (a a ) (a a ) (a a ) (P ) (a a ) P ± ( a ) a Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

12 José A. Jiméez Nieto El producto de los primeros térmios de ua progresió geométrica, P a a a a, vale: ( a a P ) (para determiar el sigo ha de estudiarse cada caso e cocreto) El segudo térmio de ua progresió geométrica es y la razó. Calcula el producto de los siete primeros térmios. a a r a ( ) a ; a 7 a r 6 ( ) ( ) 6 64 ; Observa que los siete primeros térmios de esta progresió so,, 4, 8, 6,, 64, Por tato, P ( a a ) [( ) ( 64)] 64 ( 64) Multiplica los veite primeros térmios de la progresió geométrica /6, /8, /4, /, 0. Calcula el producto de los siete primeros térmios de la progresió geométrica,, 4, 8,. Halla el producto de los primeros térmios de ua progresió geométrica, si el térmio cetral vale Suma de térmios cosecutivos Sea a, a, a,, a, ua progresió geométrica de razó r y hallemos la suma de los primeros térmios: S a + a + a + + a + a + a Para ello, multiplicamos por la razó r ambos miembros y obteemos: r S a r + a r + a r + + a r + a r + a r a + a + a a + a + a r Restamos esta expresió a la primera igualdad: r S a + a + a a + a + a r S a + a + a + a a + a r S S a + a r Operado obteemos: r S S a + a r (r ) S a r a Teiedo e cueta que a a r, la expresió aterior queda: S ar a r S ar a r a r r a r a r a r S a( r ) r La suma de los primeros térmios de ua progresió geométrica, S a + a + a + + a, vale: S ar - a a( r -), si r r - r - Sabiedo que e ua progresió geométrica los térmios a y a.87, halla la suma de los cico primeros térmios. Hallemos, previamete, la razó: a a r 4.87 r 4 r 4 6 r 6 ± Teemos, por tato, dos posibilidades: 4 Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

13 José A. Jiméez Nieto ( ).4 Si r, dichos térmios so:,, 7, 7,.87 S. 4 4 [( ) ] (.6) Si r, los térmios so:,, 7, 7,.87 S El tercer térmio de ua progresió geométrica es y la razó. Calcula la suma de los diez primeros térmios.. Calcula las sumas de los úmeros que se idica. a) b) De los 0 primeros térmios de la sucesió,,,, 4, c) De los 0 primeros térmios de la sucesió, /4, /6, /64, /6, 4. Si hoy me das cétimo de euro, mañaa, pasado 4, al siguiete día 8, y así sucesivamete, cuátos euros me habrás dado al cabo de u mes?. Ua motocicleta de gra cilidrada costó iicialmete.00 euros. Al cabo de u año se vedió por la mitad de su precio, pasado otro año se volvió a veder a la mitad del último precio, y así sucesivamete. a) Cuáto le costo la motocicleta al quito propietario? Y al décimo? b) Qué catidad pagaro etre los seis primeros propietarios? Y etre los diez primeros? 6. Cuátos térmios se ha tomado e ua progresió geométrica, sabiedo que el primer térmio es 7, el último 448 y su suma 889? 6.. Suma ifiitos térmios si < r < La relevacia de este apartado es que se trata de sumar todos los térmios de la progresió y o sólo ua parte de ellos. a ) Partiedo de la fórmula ( r S dode < r <, a medida que se va haciedo muy grade la potecia r r se va haciedo cada vez más pequeña e valor absoluto (tiede a cero), de maera que se puede despreciar. Sirva de muestra los siguietes ejemplos: M 4 0 0' 4 0' 8 6 0'06 0' ' K M 4 0 0' 4 0' 8 6 0'06 0' ' K Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

14 José A. Jiméez Nieto Si el úmero de térmios es ifiito, se tiee etoces: S a ( r ) a(0 ) a a r r r r La suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica co razó < r < vale: a S a + a + K + a- + a + a+ + K, si - < r < - r Halla la suma de los térmios de la progresió geométrica ilimitada 8, 4,,, /, /4, /8, E esta progresió, a 8 y r / ; a 8 8 como < r <, la suma de todos sus térmios vale: S 6 r Obtegamos la fracció geeratriz del úmero decimal periódico mixto ' ). Expresemos dicho úmero como la suma de otros dos, siedo uo de ellos su parte decimal periódica: ) ) ' ' + 0'0 El decimal periódico 0 '0 ) se puede cosiderar como la siguiete suma ifiita: ) 0 '0 0'0 + 0'00 + 0' ' K K esto es, como la suma de los térmios de ua progresió geométrica ilimitada dode a y 0 Como < r <, obteemos: ) a '0 S 9 r r. 0 Por tato, la fracció geeratriz de ' ) es: ) ) ' ' + 0' E ua progresió geométrica de razó / el tercer térmio es. Halla la suma de sus ifiitos térmios. 8. La suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica decreciete es, y el primer térmio es /. Calcula la razó. 9. E u triágulo equilátero de 6 metros de lado, se ue los putos medios de sus lados, obteiédose así otro triágulo iscrito e el primero. Este proceso se repite idefiidamete. Calcular la suma de las áreas de todos los triágulos formados. 40. Dado u círculo de radio R, se costruye u segudo círculo cuyo diámetro es el radio del aterior, u tercero cuyo diámetro es el radio del segudo y así sucesivamete. Cuál será la suma de las áreas de todos los círculos así formados? 4. Halla, mediate aplicacioes co progresioes, las fraccioes geeratrices de los úmeros decimales ' y ' 4. Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 4

15 José A. Jiméez Nieto Solucioes a los ejercicios propuestos. Escribe los térmios primero, segudo, tercero, décimo y vigésimo de las sucesioes dadas por los térmios geerales siguietes. + a) a + b) b c) c ( ) + a) a ; a - ; a -4 ; a 0 - ; a 0 - b) b ; b / ; b 7/ ; b 0 /9 ; b 0 4/9 c) c -4 ; c 8 ; c -6 ; c ; c Halla el térmio geeral de las siguietes sucesioes. a), 4, 6, 8, 0,, 4, b),, 4, 8, 6,, 64, c), 8, 7, 64,, d),,,,, K e) 4,,,, K f),,,,, K 4 8 a) a b) a - c) a d) a Ł ł e) ( + ) f) a a. Estudia si so moótoas crecietes o decrecietes las siguietes sucesioes dadas por su térmio geeral. Te puede ayudar la represetació gráfica de las sucesioes. a) a b) b 0 c) c d) d ( ) + + e) e + f) f g) g ( ) ( + ) h) So moótoas crecietes las sucesioes c) y e) So moótoas decrecietes las sucesioes a), f) y h) Es moótoa creciete y decreciete (sucesió costate) la sucesió b) No so moótoas crecietes i decrecietes las sucesioes d) y g) h 4. Estudia la acotació de las siguietes sucesioes dadas por su térmio geeral. Te puede ayudar la represetació gráfica de las sucesioes. + a) a b) b 4 + c) c d) d e) e ( ) f) f ( ) a) Acotada iferiormete: es cota iferior. b) Acotada superiormete: - es cota superior. c) Acotada: es cota superior y es cota iferior. d) Acotada: -/ es cota iferior y 0 es cota superior. e) Acotada: - es cota iferior y es cota superior. f) No acotada, i superior i iferiormete.. Dadas las sucesioes (a ) (4, 6, 9, 8,, ) y (b ) (,,, 4,,, ), escribe los primeros térmios de las siguietes sucesioes. a) (a ) b) (a ) + (b ) c) (a ) (b ) a) (a ) (a ) (8,, 8, 6, 46, ) b) (a ) + (b ) (a + b ) (, 9, 7,, 0, ) c) (a ) (b ) (a b ) (-4, 8, -8, 7, -69, ) 6. Dadas las sucesioes de térmio geeral a, b y c +, realiza las siguietes operacioes. + a) (b ) (c ) b) (a ) (b ) c) (b ) (c ) d) (a ) [(b ) + (c )] e) (b ) + (c ) a) ( - - ) b) Ł + ł c) ( ) d) Ł + ł e) ( + + ) Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes

16 José A. Jiméez Nieto 7. Estudia si las siguietes sucesioes so progresioes aritméticas y, e caso afirmativo, halla su térmio geeral. a) 0, 7, 4,, 8, b) 9,,,, 9, c) 4, 8, 6,, 64, d) 4/, /,, 7/, 8/, a) Sí, a - + b) Sí, a 7-6 c) No es ua prog. arit. d) Sí, a ( + )/ 8. El quito térmio de ua progresió aritmética es y la diferecia. Halla el térmio geeral. a - 9. E ua progresió aritmética coocemos los térmios a 9 y a Halla su térmio geeral. a Halla el primer térmio y la diferecia de ua progresió aritmética e la que el tercer térmio es 4 y el décimo 66. a ; d 6 (por tato, a 6 + 6). Halla el térmio geeral de ua progresió aritmética de la cual se cooce los térmios a y a a. Los seis águlos de u hexágoo está e progresió aritmética. La diferecia etre el mayor y el meor es 60º. Calcula el valor de cada águlo. Los águlos tiee ua amplitud de 90, 0, 4, 6, 8 y 0 grados, respectivamete.. Halla la medida de los tres lados de u triágulo rectágulo sabiedo que so térmios cosecutivos de ua progresió aritmética de diferecia. El triágulo tiee por lados 9, y, respectivamete. 4. Cuátos úmeros de cuatro cifras so múltiplos de?.000 úmeros. a) Iterpola tres medios aritméticos etre y. b) Iterpola tres medios aritméticos etre y. c) Iterpola cuatro medios aritméticos etre y. a), -, -, -9, - b), 9/4, /, /4, c), 49/, 8/, 7/, 6/, 6. Calcula la suma de los úmeros que se idica. a) De los primeros térmios de la sucesió, 8,, b) De los 40 primeros térmios de la sucesió /, /8, /4, c) De todos los úmeros pares de dos cifras. d) De todos los úmeros que, teiedo tres cifras, so múltiplos de 6. a).7 b) / c).40 d) Cuátos térmios de la progresió aritmética, 4,, 0, hay que sumar para obteer como resultado 70? 0 térmios. 8. Halla la expresió de la suma de los primeros úmeros impares. A partir de esta expresió, calcula la suma de los primeros úmeros impares. La suma de los primeros úmeros impares es S ; e particular, S.6 9. Ferado estuvo perfeccioado su iglés el verao pasado e Lodres. Cuáto diero llevó si el primer día gastó 70 euros, fue dismiuyedo gastos e 9 euros diarios, y el diero le duró 0 días? Ferado llevó 4.8 euros. 0. U idividuo ha ahorrado durate u año 4. euros, igresado cada mes 4 euros más que el aterior. Cuáto diero ahorró el primer mes? Cuáto diero igresó el último mes? El primer mes ahorró 0, y el último mes igresó 8.. Las cico cifras que forma u úmero está colocadas e progresió aritmética. La suma de todas ellas es igual a, y la seguda (deceas) es doble de la quita (deceas de millar). Qué úmero es este? Se trata del úmero Estudia si las siguietes sucesioes so progresioes geométricas y, e caso afirmativo, halla su térmio geeral. a), 6, 8, 4, b),,,,, c) 0, 0, 8, 6, 44, d) 8, 6,, /, /9, a) Sí, a - b) Sí, a (-) - c) No es ua prog. geom. d) Sí, a -. El sexto térmio de ua progresió geométrica de razó es 96. Calcula el térmio geeral. a - Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 6

17 José A. Jiméez Nieto 4. E ua progresió geométrica se sabe que a y a /8. Halla el térmio geeral. Teemos dos posibilidades, a - ó a (-). Halla el térmio geeral de ua progresió geométrica de la cual se cooce los térmios a 0 0 y a 6. Teemos dos posibilidades, a ó a (-) E ua progresió geométrica el quito térmio es 8, y el segudo. Halla el térmio geeral. a (-) Halla cuatro úmeros e progresió geométrica de maera que los dos primeros sume / y los dos últimos /8. Los úmeros buscados so /, /6, / y /4; otra posible solució es, -/, /4 y -/8 8. a) Iterpola tres medios geométricos etre y 48. b) Iterpola dos medios geométricos etre / y 9. c) Iterpola tres medios geométricos etre /6 y 6. a), 6,, 4, 48 ó, tambié,, -6,, -4, 48 b) /, -,, -9 c) /6, /4,, 4, 6 ó, tambié, /6, -/4,, -4, 6 9. Multiplica los veite primeros térmios de la progresió geométrica /6, /8, /4, /, P Calcula el producto de los siete primeros térmios de la progresió geométrica,, 4, 8, P Halla el producto de los primeros térmios de ua progresió geométrica, si el térmio cetral vale. P.048. El tercer térmio de ua progresió geométrica es y la razó. Calcula la suma de los diez primeros térmios. La suma de los diez primeros térmios es.069. Calcula las sumas de los úmeros que se idica. a) b) De los 0 primeros térmios de la sucesió,,,, 4, c) De los 0 primeros térmios de la sucesió, /4, /6, /64, /6, a) 88.7 b) ( + ) c) 4/ 4. Si hoy me das cétimo de euro, mañaa, pasado 4, al siguiete día 8, y así sucesivamete, cuátos euros me habrás dado al cabo de u mes? Ua motocicleta de gra cilidrada costó iicialmete.00 euros. Al cabo de u año se vedió por la mitad de su precio, pasado otro año se volvió a veder a la mitad del último precio, y así sucesivamete. a) Cuáto le costo la motocicleta al quito propietario? Y al décimo? b) Qué catidad pagaro etre los seis primeros propietarios? Y etre los diez primeros? a) 98 7 y 9 4 euros, respectivamete. b) y euros, respectivamete. 6. Cuátos térmios se ha tomado e ua progresió geométrica, sabiedo que el primer térmio es 7, el último 448 y su suma 889? 7 térmios. 7. E ua progresió geométrica de razó / el tercer térmio es. Halla la suma de sus ifiitos térmios. Sus ifiitos térmios suma 7/4 8. La suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica decreciete es, y el primer térmio es /. Calcula la razó. La razó de dicha progresió es r /4 9. E u triágulo equilátero de 6 metros de lado, se ue los putos medios de sus lados, obteiédose así otro triágulo iscrito e el primero. Este proceso se repite idefiidamete. Calcular la suma de las áreas de todos los triágulos formados. La suma de las ifiitas áreas vale cm. Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 7

18 José A. Jiméez Nieto 40. Dado u círculo de radio R, se costruye u segudo círculo cuyo diámetro es el radio del aterior, u tercero cuyo diámetro es el radio del segudo y así sucesivamete. Cuál será la suma de las áreas de todos los círculos así formados? 4 La suma de las ifiitas áreas vale p R 4. Halla, mediate aplicacioes co progresioes, las fraccioes geeratrices de los úmeros decimales ' y ' 4. Las fraccioes geeratrices pedidas so 7 ' y '4 4 Matemáticas o ESO Sucesioes de úmeros reales. Progresioes 8

ALGEBRA 9. Curso: 3 E.M. Progresiones aritméticas y geométricas. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO:

ALGEBRA 9. Curso: 3 E.M. Progresiones aritméticas y geométricas. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: Progresioes aritméticas y geométricas Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió.

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

Si la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE:

Si la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE: Ua progresió es geométrica, si cada termio después del primero se obtiee multiplicado el aterior por u valor costates Este valor costate se llama razó geométrica (q) E geeral: a a : a......... a ; 3 Si

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga

Más detalles

UNIDAD 3. b b.1 Es una P.G. con a 1 5 y d 0,5. Por tanto: a n a 1 n 1 d 5 n 1 0,5 5 0,5n 0,5 0,5n 4,5 a n 0,5n 4,5

UNIDAD 3. b b.1 Es una P.G. con a 1 5 y d 0,5. Por tanto: a n a 1 n 1 d 5 n 1 0,5 5 0,5n 0,5 0,5n 4,5 a n 0,5n 4,5 UNIDAD 3 a Escribe los cico primeros térmios de las sucesioes: a.1) a 2, a 3 1 2 a a a 1 2 a.2 b 2 + 1 b Halla el térmio geeral de cada ua de estas sucesioes: b.1 3, 1, 1, 3, 5,... b.2 2, 6, 18, 54,...

Más detalles

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.-

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros tales que cada uo de ellos, excepto el primero, se obtiee sumado al aterior ua costate d, que se deomia diferecia de la progresió.

Más detalles

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18 Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales

Más detalles

Sucesiones numéricas.

Sucesiones numéricas. SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El

Más detalles

Los números complejos

Los números complejos Los úmeros complejos Los úmeros complejos Forma biómica Defiició z = a + bi, o bie, z = (a, b) siedo a la parte real y b la parte imagiaria. a = r cos α b = r se α Opuesto z = a bi Cojugado z = a bi Represetació

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales

Más detalles

2 Halla la diferencia de una progresión aritmética sabiendo que el segundo término es 8 y el quinto 17.

2 Halla la diferencia de una progresión aritmética sabiendo que el segundo término es 8 y el quinto 17. EJERCICIOS EXTRA PROGERSIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS 1 15 Halla la suma de los 1 primeros térmios de la progresió aritmética: 8,, 7,... Halla la diferecia de ua progresió aritmética sabiedo que el segudo

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54

Más detalles

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio

Más detalles

IES ATENEA. EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS. 3º ESO A. Nombre:

IES ATENEA. EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS. 3º ESO A. Nombre: IES ATENEA. EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS. º ESO A Nombre: Evaluació: Primera. Feca: 0 de diciembre de 00 NOTA Ejercicio º.- Aplica el orde de prioridad de las operacioes para calcular: 64 : 5

Más detalles

LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO Sugerecias al Profesor: Resaltar que las sucesioes geométricas ifiitas so objetos matemáticos que permite modelar alguos procesos ifiitos, y que a la vez su costrucció

Más detalles

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8 Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que

Más detalles

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,

Más detalles

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que

Más detalles

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre Escuela Pública Eperimetal Descocetrada Nº Dr. Carlos Jua Rodríguez Matemática º Año Ciclo Básico de Secudaria Teoría Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros racioales Los úmeros racioales so aquellos

Más detalles

Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1

Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros racioales: Se caracteriza porque puede expresarse: E forma

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:

Más detalles

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los valores observados e la muestra, dividida

Más detalles

Problemas de Sucesiones

Problemas de Sucesiones Capítulo Problemas de Sucesioes Problema. Calcular los siguietes ites: l se i e + 3 ii 5 iii l iv + + + Solució: l se i [ escala de iitos se acotada ] 0 acotada 0. e + e ii 5 + [ úmero meor que uo 5 ]

Más detalles

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general 5 Progresioes Objetivos E esta quicea aprederás a: Recoocer ua sucesió de úmeros. Recoocer y distiguir las progresioes aritméticas y geométricas. Calcular él térmio geeral de ua progresió aritmética y

Más detalles

(finitas o infinitas)

(finitas o infinitas) Series ifiitas. SUCESIONES: Es u cojuto de úmeros: a,a a, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de formació, que se expresa por ua formula Sucesió fiita: umero itado de térmios:, 5,8-5.

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee

Más detalles

Importancia de las medidas de tendencia central.

Importancia de las medidas de tendencia central. UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació

Más detalles

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir: Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.

Más detalles

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,

Más detalles

Técnicas para problemas de desigualdades

Técnicas para problemas de desigualdades Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x,

Más detalles

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)

Más detalles

TEMA IV. 1. Series Numéricas

TEMA IV. 1. Series Numéricas TEMA IV Series uméricas. Ídice. Series uméricas. 2. Propiedades geerales de las series. 3. Series de térmios positivos. Covergecia. 4. Series alteradas. 5. Series de térmios arbitrarios. 6. Ejercicios

Más detalles

PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 14

PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 14 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº 4 PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 4 OBJETIVOS: Lograr que el Alumo: Resuelva correctamete aritmos y aplique sus propiedades. Resuelva ecuacioes epoeciales.

Más detalles

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números. Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,

Más detalles

3Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 79

3Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 79 Solucioes a los ejercicios y problemas PÁGINA 79 Pág. P RACTICA Sucesioes formació térmio geeral Escribe los cico primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) Cada térmio se obtiee sumado 7 al aterior.

Más detalles

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL.

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Grafica las fucioes Moto e Iterés: a) C = + 0, co C e miles de pesos ; : meses y R. Para graficar estar fucioes, debemos dar valores a, por

Más detalles

CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos.

CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO VIII CONVERGENCIA DE SUCESIONES SECCIONES A Criterios de covergecia B Ejercicios propuestos 347 A CRITERIOS DE CONVERGENCIA Ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales se dice sucesió

Más detalles

Tema 5 Series numéricas

Tema 5 Series numéricas Tema 5 Series uméricas Objetivos 1. Defiir series co wxmaxima. 2. Calcular sumas parciales de ua serie. 3. Iterpretar la defiició de suma de ua serie. 4. Calcular la suma de ua serie geométrica. 5. Calcular

Más detalles

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)

Más detalles

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes

Más detalles

Mó duló 21: Sumatória

Mó duló 21: Sumatória INTERNADO MATEMÁTICA 16 Guía del estudiate Mó duló 1: Sumatória Objetivo: Coocer y aplicar propiedades para el cálculo de sumatorias. Para calcular alguas sumatorias es ecesario coocer sus propiedades

Más detalles

APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA. Problemas Tema 2.3: Series, representación de funciones y construcción de tablas en HC.

APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA. Problemas Tema 2.3: Series, representación de funciones y construcción de tablas en HC. APLICACIONES INFORMÁTICAS EN QUÍMICA Problemas Tema 2.3: Series, represetació de fucioes y costrucció de tablas e HC Grado e Química º SEMESTRE Uiversitat de Valècia Facultad de Químicas Departameto de

Más detalles

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series. CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió

Más detalles

INTEGRALES DE RIEMANN

INTEGRALES DE RIEMANN NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES DE RIEMANN Ig. Jua Sacerdoti Departameto de Matemática Facultad de Igeiería Uiversidad de Bueos Aires 00 INDICE.- INTEGRAL..- INTRODUCCIÓN..-

Más detalles

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel x Estimado alumo: Aquí ecotrarás las claves de correcció, las habilidades y los procedimietos de resolució asociados a cada preguta, o obstate, para reforzar tu apredizaje es fudametal que asistas a la

Más detalles

TEOREMA DE PITAGORAS

TEOREMA DE PITAGORAS TEOREMA DE PITAGORAS INTRODUCCION El Teorema de Pitágoras lleva este ombre porque su descubrimieto recae sobre la escuela pitagórica. Ateriormete, e Mesopotamia y el Atiguo Egipto se coocía teras de valores

Más detalles

UNIDAD 1 PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE

UNIDAD 1 PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE UNIDAD PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE Propósitos. Explorar diversos problemas que ivolucre procesos ifiitos a través de la maipulació tabular, gráfica y simbólica para propiciar u acercamieto

Más detalles

La sucesión de Lucas

La sucesión de Lucas a sucesió de ucas María Isabel Viggiai Rocha Cosideramos la sucesió umérica { } defiida por: - - si 3 y y 3. Esta sucesió es coocida como la sucesió de ucas y a sus térmios se los llama úmeros de ucas.

Más detalles

3. Volumen de un sólido.

3. Volumen de un sólido. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Itegrales y aplicacioes.. Volume de u sólido. E esta secció veremos cómo podemos utilizar la itegral defiida para calcular volúmees de distitos tipos

Más detalles

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS E el leguaje matemático, se deomia expresioes algebraicas a toda combiació de letras y/o úmeros viculados etre si por las operacioes de suma, resta, multiplicació y poteciació de

Más detalles

MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan

MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL Viceç Fot Departamet de Didàctica de les CCEE i de la Matemàtica de la Uiversitat de Barceloa Resume: E este artículo se muestra como las trasformacioes

Más detalles

Sobrantes de 2004 (Septiembre Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

Sobrantes de 2004 (Septiembre Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Ua pastelería elabora dos tipos de trufas, dulces y amargas Cada trufa dulce lleva 20 g de cacao, 20 g de ata y 30 g de azúcar y se vede a 1 euro la uidad Cada trufa amarga

Más detalles

Recuerda lo fundamental

Recuerda lo fundamental 3 Progresioes Recuerda lo fudametal Curso:... Fecha:... PROGRESIONES SUCESIONES Ua sucesió es u cojuto de...... Se llama térmio geeral de ua sucesió a... Por ejemplo, e la sucesió 1, 4, 9, 16, 5, el térmio

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Apédice A Sucesioes de úmeros reles Ejercicios resueltos. Está l sucesió de térmio geerl U cot iferior es pues 5 cotd? 5 5 4 4 lo cul se cumple culquier que se el úmero turl. U cot superior es pues 5 5

Más detalles

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas RADICACIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ates de etrar e el tema Radicació, vamos a comezar por recordar u poco sore Poteciació: Saemos que e lugar de escriir, utilizamos la otació: de Poteciació, dode el

Más detalles

R. Urbán Ruiz (notas de clase)

R. Urbán Ruiz (notas de clase) R. Urbá Ruiz (otas de clase) Fucioes E las ciecias Ecoómicas las fucioes so de mucho valor para resolver problemas dode haya que relacioar variables; como por ejemplo, la producció, la oferta, la demada,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 4, Opció A Juio, Ejercicio 4, Opció B Reserva 1, Ejercicio 4, Opció

Más detalles

INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4.

INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita x que se verifica para valores mayores que 4. INECUACIONES DEFINICIÓN: Ua iecuació es ua desigualdad e las que hay ua o más catidades descoocidas (icógita) y que sólo se verifica para determiados valores de la icógita o icógitas. Ejemplo: La desigualdad

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA. Cálculo Diferencial Ejercicios y Problemas resueltos

MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA. Cálculo Diferencial Ejercicios y Problemas resueltos MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA Cálculo Diferecial Ejercicios y Problemas resueltos Juliá Rodríguez Ruiz (Catedrático de Ecoomía Aplicada. UNED) Mariao Matilla García (Profesor Titular

Más detalles

Qué es la estadística?

Qué es la estadística? Qué es la estadística? La estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Qué es la estadística? U agete recibe iformació e forma

Más detalles

Aptitud Matemática 5 RPTA.: E SUCESIONES RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN 5 4 7 6 9 8 11 ; ; ; ; ; ; 4 5 6 7 8 9 10

Aptitud Matemática 5 RPTA.: E SUCESIONES RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN 5 4 7 6 9 8 11 ; ; ; ; ; ; 4 5 6 7 8 9 10 SUCESIONES I. Determiar el térmio que cotiúa e cada ua de las siguietes sucesioes: 1. ; 5; 11; 0; 4. - ; 5; - 9 ; 19; A) 8 B) - 7 C) 7 D) - 8 E) 14 A) 8 B) 0 C) D) 1 E) 5. 5 4 7 6 9 8 ; ; ; ; ; ;... 4

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Ua fábrica de muebles dispoe de 600 kg de madera para fabricar librerías de 1 y de 3 estates.

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS, HISTOGRAMA, POLIGONO Y ESTADÍSITICOS DE TENDENCIA CENTRAL, DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y CURTOSIS. Prof.: MSc. Julio R. Vargas I. Las calificacioes fiales

Más detalles

Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas Semiario Uiversitario Matemática Módulo Expresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio,

Más detalles

UNIDAD 1 PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE

UNIDAD 1 PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE UNIDAD PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE Propósitos. Explorar diversos problemas que ivolucre procesos ifiitos a través de la maipulació tabular, gráfica y simbólica para propiciar u acercamieto

Más detalles

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O PRIMERA SESIÓN Problema N l. l. Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida por la relació de recurreca: U +l = a U + ~ U -, co > O Siedo: a y ~ úmeros fijos. Se supoe tambié coocidos los dos primeros

Más detalles

DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir:

DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir: DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( ) c Coceptos clave: 1. Derivada de la fució costate f ( ) c, dode c es ua costate, la derivada de esta fució es siempre cero, es decir: f '( ) 0 c. Derivada de ua fució

Más detalles

Figuras geométricas y números enteros. Introducción

Figuras geométricas y números enteros. Introducción Revista del Istituto de Matemática y Física Figuras geométricas y úmeros eteros Juaa Cotreras S. 6 Claudio del Pio O. 7 Istituto de Matemática y Física Uiversidad de Talca Itroducció Etre las muchas relacioes

Más detalles

Técnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20

Técnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20 Técicas Cuatitativas II 2012-2013 Muestra y Estadísticos Muestrales TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20 Ídice Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media Cocepto de muestra

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

CÁLCULO Ejercicios Resueltos Semana 1 30 Julio al 3 Agosto 2007

CÁLCULO Ejercicios Resueltos Semana 1 30 Julio al 3 Agosto 2007 CÁLCULO Ejercicios Resueltos Semaa 0 Julio al Agosto 007 Ejercicios Resueltos. Estime el área ecerrada por la curva de ecuació y, el eje X y, para ello, divida el itervalo [0,] e cico partes iguales, y

Más detalles

Intervalos de Confianza basados en una muestra. Instituto de Cálculo

Intervalos de Confianza basados en una muestra. Instituto de Cálculo Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky Hay dos razoes por las cuales el itervalo (6.63,.37) tiee mayor logitud que el obteido ateriormete (7.69, 0.3). la variaza

Más detalles

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Sucesiones y series de números reales 1. Sucesiones de números reales

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Sucesiones y series de números reales 1. Sucesiones de números reales - Ferado Sáchez - - 7 Sucesioes Cálculo I y series de úmeros reales Sucesioes de úmeros reales 20 205 De maera similar a como se hizo para sucesioes de úmeros racioales, se defie ua sucesió de úmeros reales

Más detalles

Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS

Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS E el mudo real hay feómeos regidos por leyes de tipo empírico (basadas e la experiecia), lógico o deductivo, e los que el efecto está determiado por ciertas causas. El

Más detalles

Cálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8

Cálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8 Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que

Más detalles

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna,

con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna, Tema 9 El plao complejo 9. Números complejos E IR, las operacioes suma producto de úmeros reales so operacioes iteras (el resultado de operar es otro úmero real) que permite la existecia de operacioes

Más detalles

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos

Más detalles

CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES

CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES (Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CAPÍTULO V. UCEIONE Y ERIE DEFINICIÓN. Ua sucesió ifiita, o simplemete sucesió, es ua fució cuyo domiio está costituido por el cojuto de los úmeros aturales

Más detalles

a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,... La sucesión {a 1, a 2, a 3,...}también se denota mediante a n n 1 a n 1 n n 1 a n sn 3, n 3 a n cos n 3, 4 125, 6

a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,... La sucesión {a 1, a 2, a 3,...}también se denota mediante a n n 1 a n 1 n n 1 a n sn 3, n 3 a n cos n 3, 4 125, 6 . SUCESIONES Se puede cosiderar que ua sucesió es ua lista de úmeros escritos e u orde defiido: a, a 2, a 3, a 4,..., a,... El úmero a recibe el ombre de primer térmio, a 2 es el segudo térmio y, e geeral,

Más detalles

9 SUCESIONES. LÍMITES DE SUCESIONES

9 SUCESIONES. LÍMITES DE SUCESIONES 9 SUCESIONES. LÍMITES DE SUCESIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 9. Co ua calculadora, forma térmios de las siguietes sucesioes y estudia a qué valores tiede. a) a b) b c) c 5 a) a a 8 5,6 a 0 00,98 a 0 00 0

Más detalles

CAPITULO 2. Aritmética Natural

CAPITULO 2. Aritmética Natural CAPITULO Aritmética Natural Itroducció 1 Sumatorias Iducció Matemática Progresioes Teorema del Biomio 1. Coteidos. Itroducció 1) Asumiremos que el cojuto de úmeros reales R, +,, ) es u cuerpo ordeado completo.

Más detalles

1. Sucesiones página 217. 2. Idea intuitiva de límite de una sucesión página 222. 3. Operaciones con sucesiones. página 224

1. Sucesiones página 217. 2. Idea intuitiva de límite de una sucesión página 222. 3. Operaciones con sucesiones. página 224 Límite y cotiuidad E S Q U E M A D E L A U N I D A D.. Térmio geeral de ua sucesió págia 7.. Progresioes aritméticas y geométricas págia 7. Sucesioes págia 7. Idea ituitiva de límite de ua sucesió págia..

Más detalles

1. Calcula, aplicando mentalmente la definición de raíz (no uses calculadora):

1. Calcula, aplicando mentalmente la definición de raíz (no uses calculadora): EJERCICIOS de RADICALES º ESO HOJA 1: Cocepto de raíz -ésima RECORDAR: Defiició de raíz -ésima: Caso particular de simplificació: a x x a x x (Añade estas fórmulas al formulario, juto co la lista de los

Más detalles

PRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE

PRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE PRÁCTICAS DE ANÁLISIS DE UNA VARIABLE Departameto de Aálisis Matemático Curso 00/003 Profesores resposables Oscar Blasco Atoio Galbis Jesús García Josep Martíez Aíbal Moltó Carme de las Obras Sergio Segura

Más detalles

Tema 4. Estimación de parámetros

Tema 4. Estimación de parámetros Estadística y metodología de la ivestigació Curso 2012-2013 Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Tema 4. Estimació de parámetros 1. Estimació putual 1 1.1. Estimació de la proporció e la distribució Bi(m, p).......................

Más detalles

Cálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera

Cálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera Cálculo para la igeiería Tomo II Salvador Vera 9 de eero de 5 ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 998-4. Ídice geeral 7. Series Numéricas 7.. El sigo del sumatorio: Sigma Σ... 7... Propiedades

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Matemáticas EJERCICIOS RESUELTOS: Fucioes de ua variable Elea Álvarez Sáiz Dpto. Matemática Aplicada y C. Computació Uiversidad de Catabria Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios:

Más detalles

ESTADISTICA UNIDIMENSIONAL

ESTADISTICA UNIDIMENSIONAL ESTADISTICA UIDIMESIOAL La estadística estudia propiedades de ua població si recurrir al sufragio uiversal. El estudio estadístico tiee dos posibilidades (1) Describir lo que ocurre e la muestra mediate

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

Tema 4 Sucesiones numéricas

Tema 4 Sucesiones numéricas Tema 4 Sucesioes uméricas Objetivos 1. Defiir sucesioes co wxmaxima. 2. Calcular elemetos de ua sucesió. 3. Realizar operacioes co sucesioes. 4. Iterpretar la defiició de límite de ua sucesió. 5. Calcular

Más detalles

α, entonces se cumple que: T ( x) α T ( x)

α, entonces se cumple que: T ( x) α T ( x) HÉCTOR ESCOAR Uidad 3 Álgebra Lieal ALGERA LINEAL UNIDAD 3: OPERADORES LINEALES CONCEPTO DE OPERADOR LINEAL: sea V, dos espacios lieales, etoces u operador lieal (trasformació lieal) es ua fució T : V

Más detalles

DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Ídice. INTRODUCCIÓN2 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES2 Defiicioes básicas.2 Iterpretació vectorial3

Más detalles

MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 3: Sucesiones LibrosMareaVerde.tk

MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 3: Sucesiones LibrosMareaVerde.tk MATEMÁTICAS I º Bachillerato Capítulo : Sucesioes www.aputesmareaverde.org.es Autora: Ferada Ramos Rodríguez Ilustracioes: Baco de Imágees de INTEF 0 Sucesioes Ídice. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.. DEFINICIONES..

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Capítulo INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Problema Calcula las partes real e imagiaria de los siguietes úmeros complejos: a) i + + i, b) + i i + i + i + i, c) d) + i), + ), + i e) f) ) + i 04, i +

Más detalles

1. Calcular, aplicando mentalmente la definición de raíz (no usar calculadora):

1. Calcular, aplicando mentalmente la definición de raíz (no usar calculadora): EJERCICIOS de RADICALES º ESO FICHA : Cocepto de raíz -ésima RECORDAR: Defiició de raíz -ésima: Caso particular de simplificació: a x x a x x (Añadir estas fórmulas al formulario, juto co la lista de los

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD INTRODUIÓN L PROBBILIDD EXPERIMENTOS LETORIOS Y DETERMINISTS Los experimetos o feómeos cuyo resultado o puede coocerse hasta haber realizado la experiecia se llama aleatorios o estocásticos. uado el resultado

Más detalles