1. NUMEROS REALES a. Los Números Reales

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Susana Hernández Carmona
hace 7 años
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1 1. NUMEROS REALES a. Los Números Reales Los números reales comprenden todo el campo de números que utilizamos en las matemáticas, a excepción de los números complejos que veremos en capítulos superiores. Los números reales comprenden a los naturales, enteros, decimales (exactos, periódicos puros y periódicos mixtos) e irracionales. Un número irracional posee infinitas cifras decimales y por ello NO se puede expresar como fracción, es decir, no posee fracción generatriz. Ejemplos:, e, número áureo En el siguiente esquema puedes comprobar la notación de cada campo de números: Este campo de números se representa en la RECTA REAL. En la figura puedes ver como representar un número irracional mediante el uso de teorema de Pitágoras: En relación con lo anterior, ten en cuenta que sobre la recta real podemos representar INTERVALOS, esto es, partes de dicha recta, que pueden ser de varios tipos:

2 - Abiertos: los extremos del intervalo no están incluidos. (, ) - Cerrados: los extremos del intervalo si están incluidos. [, ] - Semiabiertos: únicamente el extremo inicial está incluido (desde la izquierda) [, ) - Semicerrados: únicamente el extremo final está incluido (desde la izquierda) (, ] Cuando un intervalo no posee extremo izquierdo o derecho, esto es, tiende al infinito, se dice que es una SEMIRRECTA. Si escoges un punto concreto de la recta real, por ejemplo, el valor 10, puedes representar un intervalo donde dicho valor sea el centro, lo cual se conoce como ENTORNO: b. Potencias Como ya sabes, una potencia es una operación matemática en la que el número conocido como base se multiplica tantas veces por sí mismo como indique el exponente. Recordemos algunas propiedades de las potencias: a 0 = 1 a 1 = a Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. a m a n = a m+n ( 2) 5 ( 2) 2 = ( 2) 5+2 = ( 2) 7 = 128 División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. a m : a n = a m - n ( 2) 5 : ( 2) 2 = ( 2) 5-2 = ( 2) 3 = 8 Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (a m ) n =a m n [( 2) 3 ] 2 = ( 2) 6 = 64

3 Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases a n b n = (a b) n ( 2) 3 (3) 3 = ( 6) 3 = 216 Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. a n : b n = (a : b) n ( 6) 3 : 3 3 = ( 2) 3 = 8 c. Radicales Un radical es una expresión matemática de la forma b a donde el valor b se conoce como índice de la raíz y a como radicando. Estos parámetros pueden tomar cualquier valor real, exceptuando aquellas en las que el radicando es negativo y el índice par. Cualquier radical se puede expresar como potencia, por lo que, podemos escribir de trabajar con radicales es muy importante conocer las siguientes operaciones: b c b c a = a. Asimismo, a la hora - Simplificación de radicales: Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o exponentes) del radicando, se obtiene el radical simplificado = 5 2 = Reducción de radicales a índice común: Para realizar dicha operación buscamos el MCM de los índices, dividimos este último por cada índice y cada resultado se multiplica por el exponente del radicando correspondiente , 10 2, 10 - Extracción / Introducción de factores en radicales Debemos descomponer el valor en multiplicación de sus números primos, de tal forma que aquel cuyo exponente iguale o supere al índice de la raíz podrá ser extraído o introducido sin más que dividir dicho exponente por el índice (extracción) o multiplicarlo (introducción) = 5 2 = = Operaciones con radicales

4 Suma de radicales Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando. Multiplicación de radicales Radicales del mismo índice Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice. Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible. Radicales de distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se multiplican. División de radicales Radicales del mismo índice Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

5 Radicales de distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se dividen. Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible. Potencia de radicales Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice. Raíz de un radical La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

6 Racionalizar Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones. Podemos distinguir tres casos. Del tipo Se multiplica el numerador y el denominador por. Del tipo Se multiplica numerador y denominador por. Del tipo, y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

7 También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados". d. Logaritmos El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

8 De la definición de logaritmo podemos deducir: No existe el logaritmo de un número con base negativa. No existe el logaritmo de un número negativo. No existe el logaritmo de cero. El logaritmo de 1 es cero. El logaritmo en base a de a es uno. El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente. Propiedades de los logaritmos: A. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: B. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

9 C. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: D. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz: E. Cambio de base:

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