Apuntes sobre series numéricas: preguntas frecuentes y ejemplos resueltos. 1) Preguntas frecuentes. Conceptos, teoremas y ejemplos básicos

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1 Cálculo I ( o de Grado e Iformática, 202-3) Aputes sobre series uméricas: pregutas frecuetes y ejemplos resueltos ) Pregutas frecuetes. Coceptos, teoremas y ejemplos básicos P-. Ua serie ifiita es ua suma ifiita (e esta asigatura, siempre será ua suma de úmeros reales). Cómo debemos etederla? E qué difiere ua suma ifiita de ua suma fiita? Respuesta. Ua suma fiita de úmeros reales como so, por ejemplo, π + ( 2 e ) + 0, 8 + 3, = a + a a k= siempre existe como u úmero real. Coociedo los valores de los sumados a, a 2,..., a, el valor de su suma fiita se puede calcular siempre, usado las reglas básicas para operar co los úmeros reales. Ua suma (o serie) ifiita: a = a + a 2 + a 3 + a , formada a partir de ua sucesió ifiita de úmeros reales: a, a 2,... es, para empezar, ta sólo ua expresió formal y es posible que o tega sigificado como u valor umérico. Si lo tiee o o, depede de los valores de los úmeros a. He aquí dos ejemplos de series (sumas ifiitas formales): 2 + = , 3 + = Veremos que a la primera le podemos asigar como valor u úmero real y a la seguda o. Por tato, primero teemos que iterpretar cada serie de algua maera para darle u sigificado y luego decidir si se le puede asigar u valor umérico o o. P-2. Debemos distiguir etre ua sucesió y ua serie? Cuál es exactamete la diferecia? Respuesta. Por supuesto. Jamás debemos cofudir la serie a co la sucesió (a ). Es decir, o es lo mismo la suma ifiita (que o bie o tiee sigificado o bie es u úmero real) que la sucesió asociada, 4, 9, 6, 25,... (que es u listado ifiito de úmeros reales). O sea, se trata de dos tipos de objetos muy distitos. Los úmeros a se deomia los térmios de la serie. Los úmeros (que toma valores, 2, 3, etc.) se deomia ídices, al igual que para las sucesioes.

2 P-3. Qué sigifica decir que ua serie ifiita coverge (es sumable) o diverge? Respuesta. La maera más razoable de iterpretar ua serie pasa por utilizar uestro coocimieto de las sucesioes, para las que ya teemos desarrollados los coceptos de covergecia y divergecia. E primer lugar, formamos las sumas parciales de la serie: S N = a + a a N = N a. Estas sumas so fiitas y, por tato, más fáciles de cotrolar. Así obteemos ua ueva sucesió (S N ) N=, siedo S = a, S 2 = a + a 2, S 3 = a + a 2 + a 3,... Cuado N aumeta, añadimos cada vez más térmios a la suma, acercádoos e el ĺımite a lo que podríamos cosiderar como la suma ifiita. Por tato, tiee setido pregutarse si esta sucesió (S N ) N= tiee ĺımite fiito o o. Si lo tiee, diremos que la serie iicial a coverge (o que es sumable). E ese caso, la suma de la serie se defie como el úmero a = lím N S N = lím N N a. Si lím N S N o bie o existe o bie existe como uo de los símbolos +, (recordemos: so sólo símbolos, o so úmeros reales), diremos que la serie a es divergete. No obstate, cuado lím N S N = + ó, es de costumbre tambié e esos casos decir que la suma de la serie es + (ó ). P-4. E ua serie ifiita, importa qué letra que se utiliza para escribir el ídice? Respuesta. Al igual que e ua itegral defiida o importa la variable de itegració (para quiees haya visto ya la itegració co aterioridad), para ua serie tambié da lo mismo si el ídice de sumació se deota, m, k ó j, mietras la otació sea coherete y o haya cofusió. Es decir, es correcto escribir: a + a 2 + a = a = a k = k= j= a j, = 2 = No obstate, estaría mal poer, por ejemplo, para escribir la suma aterior. Eso sigificaría que k 2 a = /k 2 para todo N, etediedo que cambia mietras que k es cierto valor fijo. Es decir, e ese caso la suma sólo se podría iterpretar como k 2 = k 2 + k 2 + k , ua suma divergete cuyo valor deberíamos eteder como + (ya que las sumas parciales so crecietes y tiede al ifiito). Mecioemos da paso que, más geeralmete, para ua costate fija c 0, la serie c = c + c + c k= k 2.

3 es divergete, ya que las sumas parciales so S N = c + c c = Nc, ua catidad que + cuado c > 0 y a cuado c < 0. Cuado a = 0 para todo N (caso c = 0 e el ejemplo aterior), etoces es obvio que todas las sumas parciales so S N = 0, luego la serie es covergete y su suma es cero, como era de esperar: 0 = lím N N 0 = lím N 0 = 0. P-5. Cosideramos siempre sólo sumas que empieza desde el ídice uo, como a? Respuesta. No. A veces os coviee cosiderar las sumas como a = a 0 + a + a 2 + a , =0 a j = a 3 + a 4 + a j=3 Por ejemplo, tiee setido cosiderar las series ifiitas como =0! = , ( )( 2) = Obsérvese que, para la última serie, el térmio a i siquiera existe cuado = ó = 2 (pero sí existe para todos los demás ídices 3). Eso es lo que importa: que a exista para todo a partir de u ídice N, ya sea a partir de N = 4 ó N = 36, por ejemplo. Si tratamos co ua serie que o empieza e =, ajustamos las sumas parciales. Por ejemplo, para la serie =0 a podemos defiir S N = =3 N a = a 0 + a + a a N, =0 mietras que para =3 a podemos defiir S N = N a = a 3 + a 4 + a a N, N 3. =3 P-6. Cómo podemos saber si ua serie arbitraria coverge o diverge? Respuesta. E geeral, o podemos. Aparte del ejemplo trivial visto arriba (co la suma de costates), existe alguas otras series cuyas sumas parciales y sus ĺımites puede determiarse de forma expĺıcita. Aprederemos a recoocerlas. Dos ejemplos de tales series so las llamadas geométricas y telescópicas. Para las demás series, podemos aplicar alguo de los diversos criterios de covergecia. P-7. Qué so los criterios (o tests) de covergecia? Respuesta. So teoremas que os permite decidir si determiados tipos de series coverge o diverge. Coviee resaltar que o existe igú criterio uiversal que valga para decidir la covergecia o divergecia de todas las series posibles. Cada criterio es aplicable sólo a cierta clase de series co características comues. 3

4 P-8. E qué cosiste el criterio del térmio geeral para la covergecia de ua serie? Respuesta. El criterio dice lo siguiete: Teorema (Criterio del térmio geeral). Si la serie a es covergete, etoces lím a = 0. (Dicho de ua maera meos formal, para que la serie coverja, su térmio geeral debe ser pequeño e cierto setido auque es imposible precisar e geeral cómo de pequeño debe ser). Demostració. Si la serie coverge, etoces S S, u ĺımite fiito, cuado, luego tambié S S. Por tato, a = (a + a a + a ) (a + a a ) = S S S S = 0,. Por tato, lím a = 0 y el resultado queda demostrado. P-9. E qué situacioes es útil aplicar el criterio del térmio geeral? Respuesta. Este criterio es útil cuado pretedemos demostrar que ua serie es divergete, porque se puede formular de la siguiete maera equivalete: Si a o coverge a cero (o sea, o bie o tiee límite fiito o bie tiee u límite fiito pero distito de cero), etoces la serie a es divergete. Por ejemplo, esta formulació os permite ver imediatamete que las series = , ( ) = so ambas divergetes, ya que la primera tiee como a = que diverge (al + ) y, para la seguda, a = ( ), ua sucesió que, como ya sabemos, o tiee ĺımite. Es muy importate observar que el criterio del térmio geeral es úicamete útil para establecer la divergecia. Es decir, o se puede usar para probar la covergecia de igua serie. La razó es que el criterio NO os dice que si lím a = 0 etoces la serie a coverge. Eso es falso porque existe ejemplos de series tato covergetes como divergetes co lím a = 0. Por ejemplo, es coocido para las series 2, que la primera coverge (y su suma es exactamete π 2 /6, lo cual ya requiere uas técicas avazadas) mietras que la seguda diverge. No obstate, e ambos casos es imediato que lím = lím 2 = 0. Por tato, si los térmios de ua serie cumple la codició lím a = 0, del criterio del térmio geeral o podemos deducir ada acerca de su covergecia. P-0. Qué es ua suma telescópica? Respuesta. Es ua serie e cuyas sumas parciales se produce muchas cacelacioes; por tato, sus sumas parciales so fáciles de calcular. Por ejemplo, la serie l + 4

5 es telescópica porque l + = l l( + ), luego N l + N = (l l( + )) = (l l 2) + (l 2 l 3) + (l 3 l 4) (l(n ) l N) + (l N l(n + )) = l l(n + ) = l(n + ), N. Puesto que las sumas parciales o tiee ĺımite fiito, cocluimos que la serie l + es divergete. Obsérvese que e este ejemplo o os hubiera ayudado el Criterio del térmio geeral para deducir la divergecia puesto que /( + ) cuado y, por tato, l + 0 cuado, luego o podemos deducir directamete i la covergecia i la divergecia por dicho criterio. De ahí que hemos teido que recurrir a otro método. P-. Qué es ua serie geométrica? Respuesta. Es ua serie a dode el cociete de cada térmio co el aterior es fijo: a + a = q, =, 2, 3,... para cierto úmero fijo q deomiado la razó de la serie. Ua serie geométrica siempre se puede escribir como dode a es su térmio iicial. Por ejemplo, dada la serie aq = a + aq + aq 2 + aq =0 ( 2 ) = , =0 vemos que el cociete de cada térmio co el térmio aterior es igual exactamete a /2: 2 = 4 2 = 8 4 = 6 8 =... = 2. Para = 0, teemos a 0 =. Por tato, la serie es geométrica co a = y q = /2. P-2. Cuádo coverge ua serie geométrica y cómo se calcula su suma? Respuesta. Auque o existe u criterio uiversal para todas las series posibles, detro de la clase de series geométricas sí existe u criterio claro. Esto se así porque las sumas parciales e este caso tambié se puede calcular. Teorema (Criterio de covergecia para las series geométricas). La serie =0 aq coverge si y sólo si q < ; es decir, si y sólo si < q <. Si este es el caso, la suma de la serie se calcula segú la fórmula aq = =0 5 a q.

6 Demostració. Ahora debemos defiir las sumas parciales de la serie como S N = N aq = a + aq + aq aq N. =0 Es fácil ver que, cuado q =, las sumas parciales so S N = (N + )a y, por tato, diverge, salvo e el caso a = 0 que o tiee igú iterés. Cuado q, observado que la multiplicació por ( q) produce muchas cacelacioes, vemos que ( q)s N = ( q)(a+aq+aq aq N ) = a+aq+aq aq N (aq+aq aq N +aq N+ ) = a aq N+. Puesto que q, podemos dividir por q, cocluyedo que S N = a qn+ q Segú alguos ejemplos importates de ĺımites (vistos ates e clase), la sucesió (q N+ ) N= diverge si q > y tambié si q = ; si q <, etoces lím N q N+ = 0. Esto os lleva a la coclusió de que las sumas parciales S N de la serie geométrica coverge si y sólo si q < y que, e ese caso, su ĺımite es lím S qn+ N = lím a N N q = a q. U ejemplo cocreto. Para la serie geométrica mecioada ateriormete: ( 2 ) = , =0 teemos q = /2. Puesto que /2 = /2 <, la serie coverge y su suma es ( 2 ) = =0 ( 2 ) = 3 2 P-3. Hay otros ejemplos básicos de series covergetes o divergetes que os pueda ser útiles? Respuesta. Sí. Por ejemplo, las series de la forma, p R, forma ua clase extremadamete útil p de ejemplos. Se puede demostrar el siguiete Teorema. coverge si y sólo si p >. p (Este resultado se puede probar usado o bie el criterio de la itegral o el criterio de codesació, de las que aquí o hablaremos.) Por tato, las series como so todas covergetes mietras que, 2, π, 2 = 2, 6 = 2 3.,000 0,9999

7 so divergetes. La utilidad de estas series es eorme ya que las usamos como ua escala básica de ejemplos e las aplicacioes del criterio de comparació. P-4. Qué operacioes aritméticas se puede hacer co las series y sus sumas? Respuesta. Al igual co los ĺımites de sucesioes, podemos multiplicar las series covergetes por ua costate y sumar dos series covergetes. Si teemos ua serie covergete, a, ésta se puede multiplicar por ua costate c R, obteiedo ua ueva serie, (ca ). Esta ueva serie es covergete y su suma se puede calcular segú la siguiete regla: (ca ) = c a. Esto se puede comprobar comparado las sumas parciales de las series e ambos lados de la igualdad y aplicado las reglas habituales para los ĺımites de sucesioes: lím (ca +... ca ) = c lím (a a ). Así mismo, supoiedo que c 0, si la serie a es divergete, tambié lo es (ca ) y viceversa. Si teemos dos series covergetes, a y b, su suma se defie como la ueva serie (a + b ). Esta serie tambié es covergete y podemos calcular su suma segú la fórmula (a + b ) = a + b. Qué ocurre si sumamos ua serie covergete, a, y otra divergete, b? Etoces la suma, tambié defiida formalmete como (a + b ), será ua serie divergete. Eso se puede comprobar tambié cosiderado las sumas parciales. No obstate, si sumamos dos series divergetes, especialmete si sus térmios cambia de sigo, es posible obteer tato ua serie covergete como divergete. Por ejemplo, si a diverge, sabemos que tambié va a ser divergete ( a ). Si embargo, su suma será (a + ( a )) = 0 = 0. Por tato, e geeral, o podemos hacer operacioes co series divergetes. P-5. E qué cosiste el criterio de comparació y e qué situacioes es útil? Respuesta. El euciado es el siguiete. Teorema (Criterio de comparació para las series de térmios positivos). Supogamos que las sucesioes a, b cumple la codició 0 a b para todo N (o para todo N para cierto N fijo). (a) Si b coverge, etoces a coverge. (b) Si a diverge, etoces b diverge. Las coclusioes e ambos apartados so bastate lógicas, si comparamos las sumas parciales de ambas series: a + a a b + b b y recordamos que las sumas parciales so crecietes e ambos casos, al tratarse de dos series positivas. (Esecialmete, esta es la prueba del teorema.) 7

8 Este test es útil cuado podemos comparar el térmio geeral de la serie dada co el térmio geeral de otra serie, típicamete más secilla, cuya covergecia o divergecia ya coocemos. Dos ejemplos cocretos. ) Sabiedo que la serie geométrica 2 coverge, podemos deducir que la serie tambié coverge. A saber, es obvio que 2 2 +, luego 0 < 2 + 2, así que podemos aplicar el apartado (a) del criterio de comparació. 2) Recordado que la serie armóica diverge, si observamos que 0 < log, (puesto que 3 > e implica que log > log e = ) y aplicamos el apartado (b) del criterio, cocluimos que la serie es divergete. log P-6. Hay situacioes e las que el criterio de comparació o fucioa? Respuesta. Por supuesto, y so bastate frecuetes. Hablado de maera iformal, si los térmios de ua serie so más grades que los de ua que coverge, podría ser grades o pequeños y por tato daros tato ua serie divergete como covergete. U ejemplo cocreto. Veamos qué es lo que ocurriría si e lugar de 2 + tuviéramos la serie 2. (Por cierto, coviee probar por iducció que 2 > 0 para todo N para ver que la fracció está bie defiida.) Nos gustaría compararla co la geométrica 2 pero resulta que 2 < 2 para todo, luego 2 > 2, y de ahí o podemos sacar igua coclusió porque o estamos e codicioes de aplicar i el apartado a) i el b) del test de comparació. P-7. Qué otro criterio podemos usar e esas situacioes y cuál es su euciado exacto? Respuesta. Cuado la comparació falla por poco, como e el ejemplo aterior, suele ser muy efectivo el criterio asitótico de comparació. Este criterio se adapta a uestra ituició de que, auque 2 > 2 (y, por tato, o se puede aplicar el criterio de comparació habitual), los dos térmios se comporta igual o so bastate parecidos cuado se hace grade. De ahí que primero defiimos el siguiete cocepto. Defiició. Sea (a ) y (b ) dos sucesioes de úmeros positivos (al meos, para > N, u ídice fijo). Diremos que so asitóticamete equivaletes (o comparables) si existe el ĺımite lím a /b = L y 0 < L < +. Notació: a b,. (Hacemos otar que, e todo caso, al ser a /b > 0, se cumple 0 L + obligatoriamete; si embargo, para este criterio es fudametal excluir los casos L = 0 y L + porque o queremos que a sea mucho más grade que b i tampoco al revés.) 8

9 Observemos que da igual el orde e que se divide: si a /b L y 0 < L < +, etoces es obvio que b /a /L y 0 < /L < +. U ejemplo cocreto. Observemos que 2, puesto que 2 lím = lím 2 = lím ( ) 2 = ( 0, + ). Aquí hemos usado el hecho de que /2 0 cuado, algo que se puede comprobar; es obvio que 2 es mucho más grade que, para grade. Veamos ahora el euciado de este uevo test. Teorema (Criterio asitótico de comparació). Si a b cuado (siedo ambas sucesioes positivas), las series a y b coverge o diverge simultáeamete. (A veces decimos tambié que las dos series so equicovergetes o comparables.) Segú lo arriba expuesto, las series 2 y so covergetes o divergetes a la par; puesto 2 que la seguda es geométrica co q = /2, es covergete, luego ambas coverge. U ejemplo cocreto. Si cosideramos la serie haciedo la divisió y tomado el ĺımite) que es divergete, cocluimos que la serie +, es fácil comprobar (pero hay que comprobarlo +, y, puesto que la serie = servido el criterio de comparació ordiario, dado que /2 + tambié lo es. Observemos que aquí tampoco os hubiera <. + P-8. Qué otros criterios existe para las series de térmios positivos? Respuesta. Hay muchos pero dos so básicos y útiles, además de teer uos euciados algo similares. Uo es el criterio de la raíz (o de Cauchy) y el otro es el del cociete (o de d Alembert). P-9. E qué cosiste los criterios de la raíz y del cociete? Respuesta. E ambos casos, ecesitamos que a > 0. Para aplicar el criterio de la raíz, cosideramos el ĺımite (si existe) r = lím a. Para el criterio del cociete, cosideramos el ĺımite (si existe) a + r = lím. a E ambos casos, si r < (está admitido el caso r = 0), la serie a coverge; si r > (está admitido el caso r = + tambié), la serie diverge. 9

10 No obstate, iguo de los dos criterios es cocluyete cuado r =. (Es decir, o lo podemos aplicar para llegar a igua coclusió defiitiva.) La razó es que, por ejemplo, para las series habituales, el valor de los ĺımites, e ambos casos, es r = (ya sea co la raíz o co el cociete) y, si embargo, ua diverge y la otra coverge. P-20. Cuádo coviee aplicar el criterio de la raíz y cuádo es mejor usar el criterio del cociete? Respuesta. Si el térmio geeral de la serie cotiee factoriales, e la mayoría de los casos es coveiete usar el criterio del cociete. Si a cotiee potecias -ésimas y poliomios de, coviee probar co el criterio de la raíz. Dos ejemplos cocretos. () Es fácil ver que la serie =0! coverge (más adelate, veremos que su suma total es exactamete e) aplicado el test del cociete: a + a = (+)!! = 2! ( + )! = ( + ) = + 0,. Puesto que r = 0, el test del cociete os dice que la serie coverge. (2) Para estudiar la covergecia de la serie =0 r = lím Segú el criterio de la raíz, la serie diverge. a = lím ( /2, coviee aplicar el criterio de la raíz: 2 ) / /2 2 = lím 2 = +. P-2. Cuado veo ua serie ueva, qué estrategia debo seguir para decidir su covergecia? Respuesta. No hay u orde exacto para ir aplicado los diversos criterios, pero el siguiete podría resultar práctico. E primer lugar, vamos a supoer que se trata de ua serie de térmios positivos (salvo quizás u úmero fiito de ellos). ) Si el térmio geeral cotiee factoriales, coviee empezar por el criterio del cociete. Si obteemos r < ó r >, ya hemos termiado. 2) Si o es así o si resulta r = e el criterio del cociete, habrá que usar otro criterio. Coviee comprobar si acaso se trata de ua suma de cierto tipo especial: geométrica o telescópica. 3) Si o es geométrica pero cotiee potecias -ésimas y poliomios de, coviee probar tambié co el criterio de la raíz. 4) Si uestra serie o es de iguo de los tipos ateriores o si el criterio de la raíz os da r =, coviee comprobar si el térmio geeral tiede a cero; de o ser así, sabremos que la serie es divergete. 4) Si el térmio geeral tiee ĺımite cero, aú o podemos cocluir ada. Etoces coviee ver si los térmios de la serie se parece a los de ua serie relativamete secilla (co potecias de o similar). 5) Si vemos que los térmios de la serie iicial so más pequeños que los de la serie más secilla y resulta que ésta coverge, podremos aplicar el criterio de comparació para ver que uestra serie diverge. 0

11 Si los térmios de la serie estudiada so más grades que los de la serie co la que comparamos y ésta diverge, el criterio de comparació os dirá que uestra serie diverge. 6) Si o estamos e codicioes de aplicar el criterio de comparació pero los térmios de la serie se parece a los térmios de otra serie (ormalmete más secilla) cuya covergecia o divergecia somos capaces de establecer, etoces coviee emplear el criterio asitótico. P-22. Cómo podemos decidir la covergecia o divergecia de series que tiee ifiitos térmios positivos e ifiitos egativos (cambia de sigo)? Respuesta. Las estudiamos comparado la serie dada, a, co su serie asociada co valores absolutos: a. Los térmios de esta ueva serie so todos o egativos (y, por tato, puede estudiarse por los métodos ateriormete expuestos). De fudametal importacia aquí es el siguiete resultado. Teorema Si la serie a coverge, etoces tambié coverge la serie iicial, a. Coviee observar que el recíproco es falso: si a coverge, es posible que a sea divergete. No obstate, el teorema aterior puede iterpretarse tambié de la siguiete forma: si a diverge, etoces tambié diverge a. Por tato, para ua serie geeral so posibles sólo los tres siguietes casos: () la serie a coverge (y, por tato, tambié a ). (2) la serie a coverge pero a diverge; (3) la serie a es divergete (y, por tato, tambié diverge a ). La siguiete termiología es estádar. E el caso (), diremos que la serie a coverge absolutamete. E el caso (2), diremos que a coverge codicioalmete. E el caso (3), seguiremos diciedo que diverge. Por tato, existe tres tipos de series: las absolutamete covergetes, las codicioalmete covergetes y las divergetes. Obviamete, esto es de iterés sólo para las series que cambia de sigo ya que, para ua serie de térmios positivos siempre se cumple a = a, luego tales series siempre so o absolutamete covergetes o divergetes. P-23. Sigifica lo aterior que el estudio de ua serie de sigo variable exige más trabajo? Respuesta. A veces, sí, porque e muchos casos teemos que respoder a dos pregutas: ua sobre la covergecia de a y otra sobre la de a. Obviamete, si costatamos que a coverge, ya sabremos qué es lo que ocurre co a. Igualmete, si somos capaces de demostrar que a diverge, quedará claro que a que tambié diverge. Es e el caso de ua serie que codicioalmete covergete cuado más averiguacioes hay que hacer porque etoces teemos que demostrar que a coverge y tambié que a diverge. P-24. Existe algua clasificació sistemática de las series que cambia de sigo? Respuesta. No hay igua categorizació exacta pero co frecuecia os ecotramos co dos tipos de series de sigo variable que so maejables. Por ejemplo, muchas series que cotiee expresioes de tipo seo y coseo (y otras fáciles de acotar) so maejables, por ejemplo: cos(!) + 2 se + e Luego veremos cómo se maeja esta serie.

12 Otro tipo importate so las series alteradas como, por ejemplo, , So series e las que los térmios positivos y egativos se va alterado e u orde estricto. (Como se puede ver del segudo ejemplo, ua serie puede ser geométrica y alterada a la vez.) E geeral, cualquier serie alterada tiee ua de las siguietes dos formas: ( ) c, ( ) c, dode c > 0 para todo N, depediedo de si empieza por u úmero egativo o por u térmio positivo. Coviee observar que ( ) + = ( ) ( ) 2 = ( ). Por tato, ( ) c es exactamete lo mismo que ( )+ c. P-25. Cómo podemos decidir que ua serie alterada es covergete? Respuesta. Aplicado el siguiete resultado. Criterio de Leibiz: Si los úmeros c cumple las siguietes tres codicioes: () c > 0 para todo N; (2) la sucesió (c ) es decreciete; (3) lím c = 0, etoces las series alteradas ( ) c y ( ) c coverge. U ejemplo cocreto. Podemos usar este criterio para ver que la serie =2 ( ) log coverge. E este caso, teemos c = log. Obviamete, para 2 vemos que log log 2 > log = 0, luego c > 0 para todo 2. La codició (3) tambié se cumple claramete, así que sólo hace falta comprobar (2). Cuado, tambié log ; ambas expresioes so positivas, luego log. Por lo tato, c = log cumple las codicioes del criterio de Leibiz, así que la serie =2 ( ) log coverge.. Se P-26. Para las series que cambia de sigo, es fácil ecotrar ejemplos de las tres situacioes: absolutamete covergete, codicioalmete covergete y divergete? Respuesta. Sí. Veamos u ejemplo de cada. () A pesar de su complicada apariecia, la serie cos(!+3) 4/3 0 cos(! + 3) 4/3 4/3 y la serie 4/3 coverge, por el criterio de comparació podemos deducir que coverge, es decir, la serie cos(!+3) 4/3 cos(! + 3) 4/3 coverge absolutamete. 2 requiere poco trabajo: puesto que

13 ( ) (2) La serie es covergete debido al criterio de Leibiz, pues los valores c = / so positivos, decrecietes y tiede a cero. Si embargo, la serie asociada de valores absolutos, ( ) es armóica y, por tato, divergete. Cocluimos que la serie iicial, coverge codicioalmete. (3) Fialmete, la serie ( ) 9+3 es alterada pero diverge, ya que su térmio geeral o tiede a cero. Recordemos el siguiete detalle importate: lím a = 0 si y sólo si lím a = 0 (recordemos que esto o pasa co otros valores del ĺımite pero si co el valor cero). ( ) Por cosiguiete, lím = 0, lo cual es falso ya que lím 9+3 = 0 sería equivalete a lím 9+3 = /9. Por el criterio del térmio geeral, la serie 2) Ejemplos resueltos. 9+3 ( ) 9+3 es divergete. E-. Examiar la covergecia de las series ( ) l, Solució. El térmio -ésimo de la primera serie es a = ( ) l. Es fácil ver que a = l + cuado. Por ello es imposible que lím a = 0; de hecho, es fácil ver que o existe lím a al ser la sucesió (a ) oscilate. Por el criterio del térmio geeral para la covergecia, la serie diverge. La situació es similar para la seguda serie. Su térmio geeral a = sí tiee ĺımite: lím a = 5 pero, como éste es distito de cero, la serie diverge. Obsérvese que, gracias al Criterio del térmio geeral de la serie, o hemos teido que calcular las sumas parciales de igua de las dos series. E-2. Examiar la covergecia y, si procede, determiar la suma de la serie 2 ( + 2). 2 Solució. E este ejemplo, el térmio geeral a = 0,, así que o podemos deducir ( + 2) i la covergecia i la divergecia. Por tato, tedremos que hacer u cálculo directo. 2 Usado las fraccioes parciales (simples), es fácil ver que ( + 2) =. Usado esta represetació para escribir la suma parcial N-ésima de la serie, vemos que muchos térmios se cacela, quedado + 2 sólo cuatro de ellos al fial: N ( S N = ) + 2 ( = ) + ( ) + ( 3 5 ) + ( 4 6 ) ( N 2 N ) + ( N N + ) + ( N N + 2 ) = + 2 N + N + 2. (Todos los demás térmios se cacela; es decir, se trata de ua suma telescópica.) Evidetemete, S N 3 2 cuado N. Por tato, la serie es covergete y su suma es igual a tres medios. 3

14 E-3. Discutir la covergecia y calcular la suma de la serie Solució. E primer lugar, se trata de ua serie geométrica co el primer térmio a = 4 y de razó q = 2/3, luego es covergete. Esto se comprueba fácilmete dividiedo dos térmios cosecutivos: a + a = = 2 3. El primer térmio (obteido sustituyedo = ) es a = 4, luego es fácil ver que la serie tambié se puede escribir como = ( ) 2 k 4. 3 Esto se puede ver tambié de otra maera, haciedo el cambio de ídice = k: k= = 4 ( ) 2 = 4 3 k=0 ( ) 2 k. 3 (E efecto, siedo = k, se observa que cuado =, se tiee que k = 0, cuado = 2, k =, etc.) Fialmete, segú la fórmula para la suma de ua serie geométrica, = = 2. E-4. Es covergete la serie =0 π/2 e? De ser así, calcula su suma. Solució. Puesto que π π /2 e = e = ( ) π e =0 =0 uestra serie es geométrica de razó q = π/e. Puesto que q > 0 >, sólo teemos que ver que q < para comprobar que la serie coverge. Puesto que π < 4, se sigue que π < 2 < e, luego π/e <. Solució alterativa. Icluso si o os damos cueta de que la serie de arriba es geométrica, podemos aplicar el criterio de la raíz para deducir que r = lím a = lím π /2 e = lím π/2 e = lím π/e <. y, por tato, la serie coverge. E-5. Para qué valores reales de x coverge la serie =0 =0 ( 5x )? 2 Solució. Nuestra serie es geométrica, siedo su razó q = (5x )/2. Por tato, segú el criterio de covergecia para las series geométricas, la serie coverge si y sólo si < (5x )/2 <, es decir: 2 < 5x < 2. Es fácil ver que esta doble desigualdad es equivalete a /5 < x < 3/5. 4

15 E-6. Es covergete o o la serie 3 +? Solució. Sí. E primer lugar, es ua serie de térmios positivos. Segudo, coviee observar que para todo se cumple 3 + > 3, así que 3 + <, luego 3 0 < 3 + < 3 = 2. Puesto que ya sabemos que la serie es covergete, el criterio de comparació os permite deducir 2 que la serie tambié es covergete. 3 + E-7. Discute la covergecia de la serie =2. Solució. Puesto que, para 2, se tiee que >, luego es 2 > (multiplicado por ) y, por tato, > (tomado raíces), así que teemos la desigualdad 0 < < para todo 2. Se sigue que >, 2. Puesto que la serie armóica tambié diverge. es divergete, el criterio de comparació os permite cocluir que E-8. Discute la covergecia de la serie + 7 = Solució. La serie parece demasiado complicada para aplicar el test de comparació pero es apropiado y cómodo usar el criterio asitótico e este caso. Es fácil comprobar que + 7, y tambié que ( Compruébalo por defiició!) Implica esto que =,? La respuesta es: sí. A saber, es fácil ver que, cuado a b y c d, (co todos los térmios positivos), etoces tambié a /c b /d, ; es decir, siempre podemos sustituir u térmio (por muy complicado que sea) por otro asitóticamete equivalete. Esto se puede comprobar tambié aplicado la defiició de dos sucesioes asitóticamete equivaletes. Por tato, aplicado el test asitótico y recordado que la serie diverge, llegamos a la coclusió de que tambié es divergete la serie dada e el problema. E-9. Examia la covergecia de la serie =2 (log ) /4. Solució. Dado que aparece potecias -ésimas, probamos el criterio de la raíz: a = (log ) /4. Recordemos que el umerador tiede a uo, segú ua fórmula vista e clase, mietras que el umerador + cuado. Por tato, el cociete tiede a cero, o sea, r = 0 e este caso. Se sigue que la serie coverge. 5

16 E-0. Discute si la serie cos(!) + 2 se + e coverge absoluta o codicioalmete o diverge. luego Solució. Puesto que 0 < e = /e <, la desigualdad triagular implica que cos(!) + 2 se + e cos(!) + 2 se + e < = 4, cos(!) + 2 se + e < < 4 2. Aplicado el test de comparació, vemos que la serie dada coverge absolutamete. E-. Discute la covergecia de la serie ( ) =2 2. Solució. E este caso, teemos ua serie alterada co c = 2. Obviamete, c > 0 y c 0 cuado. Veamos que es ua sucesió decreciete: cuado, es obvio que 2 tambié; por tato, 2 y, como 2 > 0, se sigue que 2. Ahora ya podemos aplicar el criterio de Leibiz para deducir que la serie coverge. Queda por comprobar si coverge absoluta o codicioalmete. Para ello, cosideremos la serie asociada co valores absolutos: =2. Aplicado el criterio asitótico, es fácil ver que esta serie se comporta 2 igual que la serie =2, la cual es divergete. Por tato, la serie iicial o es absolutamete covergete. Coverge codicioalmete. Preparado por: Draga Vukotić Profesor de la asigatura 6

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