Notas de Integral de Riemann-Stieltjes

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1 Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr en que F(x) = x nos quede l definición clásic de integrl de Riemnn. Definimos un prtición del intervlo [, b] como el conjunto finito P = { = x 0, x 1,..., x n = b} donde x i 1 < x i pr todo i = 1, 2..., n. Junto con l prtición, elegimos pr cd i = 1, 2..., n, puntos intermedios c i [x i 1, x i ]. Definición 1.1. Dds g, F : [, b] R y P prtición (con sus correspondientes puntos intermedios c i ), definimos l sum prcil de Riemnn-Stieltjes como S (P, g, F) = g (c i )(F (x i ) F (x i 1 )). Observmos que cundo F(x) = x, si le pedimos g que se integrble Riemnn, dichs sums se cercrán indefinidmente l vlor g(x)dx conforme finemos suficientemente l prtición, en es dirección puntremos. Definición 1.2. Dd P prtición en [, b] definimos y le llmremos norm de l prtición. P = máx {x i x i 1, i = 1, 2..., n} Definición 1.3. Dds g, F : [, b] R, diremos que lím P 0 S (P, g, F) = I si y sólo si ddo ε > 0, existe δ > 0 tl que pr tod P prtición de [, b] (con sus correspondientes puntos intermedios c i ) con P < δ, se cumple que S (P, g, F) I < ε. Definición 1.4. (Integrl de Riemnn-Stieltjes) Dds g, F : [, b] R, si existe lim P 0 S (P, g, F) = I, diremos que l integrl de Riemnn-Stieltjes de g respecto de F en el intervlo existe y vle I. Notción: gdf = g(x)df(x). 1

2 Observción 1.5. En el cso prticulr en que F(x) = x, l definición coincide con l de función integrble Riemnn en [, b]. Ejemplos 1.6. (verificrlos como ejercicio) 1. Si F(x) = k constnte, entonces culquier se g : [, b] R existe gdf y demás gdf = 0. { 1 si x [, c] 2. Si g : [, b] R es continu, F(x) = 1 [,c] = con c (, b) 0 si no existe gdf y demás gdf = g(c). { 1 si x [, c] 3. Si g(x) = F(x) = 1 [,c] = con c (, b) entonces no existe 0 si no gdf. Veremos en lo que sigue un pr de crcterizciones pr l existenci de gdf. Teorem 1.7. Dds g, F : [, b] R, entonces son equivlentes: () Existe I tl que lim P 0 S (P, g, F) = I. (b) Condición de Cuchy. Ddo ε > 0, existe δ > 0 tl que si P y Q son dos prticiones de [, b] tles que P < δ y Q < δ, se cumple que S (P, g, F) S (Q, g, F) < ε. (c) Pr tod sucesión{p n }de prticiones en [, b] tles que P n 0 se cumple que lím n S (P n, g, F) = I. Demostrción. () (b) Ddo ε > 0, existe δ > 0 tl que pr tod P prtición de [, b] (con sus correspondientes puntos intermedios c i ) tl que P < δ, se cumple que S (P, g, F) I < ε/2. Entonces si tommos P y Q dos prticiones de [, b] tles que P < δ y Q < δ, se cumplirá que S (P, g, F) S (Q, g, F) S (P, g, F) I + S (Q, g, F) I < ε/2 + ε/2 = ε. (b) (c) Fijmos {P n } sucesión de prticiones en [, b] tles que P n 0. Ddo ε > 0, tommos el δ > 0 de l condición de Cuchy, y por lo tnto existirá un n 0 tl que P n < δ pr todo n n 0. Entonces si considermos n, m n 0, obtendremos que S (P n, g, F) S (P m, g, F) < ε por lo que l sucesión {S (P n, g, F)} 2

3 es de Cuchy, entonces existirá I R tl que lim n + S (P n, g, F) = I. Observmos que el vlor de I depende de l elección de l sucesión de prticiones, fltrí probr que el límite es el mismo culquier se l sucesión de prticiones. Consideremos entonces {P n} otr sucesión de prticiones en [, b] tl que P n 0 y se I tl que lim n + S (P n, g, F) = I. Considermos entonces l siguiente sucesión de prticiones: P 1, P 1, P 2, P 2,..., P n, P n,... entonces es clro que est nuev sucesión, llmémosle {Q n }, cumple que Q n 0 y por lo tnto existe I tl que lím n + S (Q n, g, F) = I. Pero {S (P n, g, F)} y {S (P n, g, F)}son subsucesiones de {S (Q n, g, F)} y por lo tnto I = I = I. (c) () Supongmos por bsurdo que () no es cierto, entonces existe ε > 0 tl que pr todo δ > 0, existe un prtición P δ, tl que S (P δ, g, F) I ε. Tomndo δ = 1/n, encontrmos un sucesión de prticiones {P n } tl que pr todo n, S (P n, g, F) I ε, entonces lím n + S (P n, g, F) I. Teorem 1.8. Si g : [, b] R es continu y F : [, b] R es monóton, entonces existe gdf. Demostrción. Probremos que se cumple l condición de Cuchy. Fijmos ε > 0. Como g es uniformemente continu en [, b] existe δ > 0 tl que si x y < δ entonces g(x) g(y) < ε F(b) F(). Tommos un prtición P = {, x 1, x 2,..., x n 1, b} con puntos intermedios c i [x i 1, x i ] i = 1, 2,..., n y un prtición Q = {, y 1, y 2,..., y m 1, b} con puntos intermedios d i [y i 1, y i ] i = 1, 2,..., m. S (P, g, F) = g(c i )(F(x i ) F(x i 1 )), S (Q, g, F) = m g(d i )(F(y i ) F(y i 1 )). Unimos los puntos que formn l prtición P con l de Q, l que le llmmos {, z 1, z 2,..., z k 1, b} (k n + m 1 pues lgunos puntos de P pueden coincidir con lgunos de Q). Podemos escribir entonces y S (P, g, F) = S (Q, g, F) = k g(c i)(f(z i ) F(z i 1 )) k g(d i)(f(z i ) F(z i 1 )) 3

4 donde los c i son los mismos que los c i (más explícitmente, cundo [z j 1, z j ] [c i 1, c i ] entonces c j = c i). Análogmente, d i son los mismos que los d i. Observmos que c i d i < δ si le pedimos ls prticiones P y Q, P < δ/2 y Q < δ/2. Supongmos que F es creciente, el cso decreciente es nálogo, entonces S (P, g, F) S (Q, g, F) = k (g(c i ) g(d i )) (F(z i) F(z i 1 )) k g(c i ) g(d i ) F(z i) F(z i 1 ) = k g(c i ) g(d i ) (F(z i) F(z i 1 )) k ε F(b) F() (F(z i) F(z i 1 )) = ε. Not. Con l mism ide, se puede probr que si F es monóton creciente y g es cotd y tiene un cntidd finit de discontinuiddes, pero F y g no tienen discontinuiddes en común, entonces existe gdf. Teorem 1.9. Si g : [, b] R es continu y F : [, b] R es monóton y derivble tl que F (x) = f(x) pr todo x [, b], siendo f integrble Riemnn en [, b], entonces g(x)df(x) = g(x)f(x)dx. Demostrción. Dd un prtición P de [, b], existen d i [x i 1, x i ] i = 1, 2,..., n tles que F (x i ) F (x i 1 ) = f (d i ) (x i x i 1 ), hor si elegimos como puntos intermedios de l prtición los d i, obtenemos S (P, g, F) = g(d i )(F (x i ) F (x i 1 )) = g(d i )f (d i )(x i x i 1 ) Tomndo límite cundo P 0 se obtiene el resultdo y que l últim sumtori tiende l integrl de Riemnn de g(x)f(x) en [, b] (producto de funciones integrbles Riemnn es integrble Riemnn) Alguns propieddes Propiedd Si g, h, F : [, b] R son tles que existen ls integrles gdf y b hdf entonces tmbién existe (αg + βh)df culesquier sen α, β R y demás (αg + βh)df = α gdf + β hdf. 4

5 Demostrción. Culquier se P prtición de [, b], se tiene que S (P, αg + βh, F) = n (αg(c i) + βh(c i ))(F (x i ) F (x i 1 )) = α n g(c i)(f (x i ) F (x i 1 )) +β n h(c i)(f (x i ) F (x i 1 )) = αs (P, g, F) + βs (P, h, F) por lo que tomndo límite cundo P 0 se obtiene el resultdo. Propiedd Si h, F, G : [, b] R son tles que existen ls integrles hdf y hdg entonces tmbién existe hd (αf + βg) culesquier sen α, β R y demás hd (αf + βg) = α hdf + β hdg Demostrción. Culquier se P prtición de [, b], se tiene que S (P, h, αf + βg) = n h(c i)[α (F (x i ) F (x i 1 )) + β (G (x i ) G (x i 1 ))] = α n h(c i)[(f (x i ) F (x i 1 ))] +β n h(c i)[(g (x i ) G (x i 1 ))] = αs (P, h, F) + βs (P, h, G) por lo que tomndo límite cundo P 0 se obtiene el resultdo. Propiedd Si g, F : [, b] R son tles que existe gdf entonces culquier se c (, b), se cumple que existen c gdf y c gdf y demás gdf = c gdf + b c gdf. Demostrción. Primero probremos que existe c gdf usndo l condición de Cuchy. Como gdf existe, fijdo ε > 0, existe δ > 0 tl que si P y Q son dos prticiones de [, b], donde P < δ y Q < δ se cumple que S (P, g, F) S (Q, g, F) < ε. Consideremos entonces P y Q dos prticiones de [, c] tles que P < δ y Q < δ. Completmos P y Q P y Q prticiones de [, b], gregndo ( ) los ( mismos ) puntos de modo que P < δ y Q < δ. Entonces S P, g, F S Q, g, F = S (P, g, F) S (Q, g, F) < ε. Por lo tnto existe c gdf. Análogmente se prueb que existe c gdf. 5

6 Sbemos hor que ls tres integrles existen. Considermos entonces l sucesión de prticiones {P n } tles que P n 0 y tles que c P n pr todo n. Podemos escribir entonces P n = P n (1) P n (2), donde P n (1) es prtición de [, c] con P n (1) 0 y es prtición de [, c] con 0. Entonces, se tiene que P (2) n P n (2) ( ) ( ) S (P n, g, F) = S P n (1), g, F + S P n (2), g, F y tomndo límite cundo n + se obtiene gdf = c gdf + c gdf. Propiedd Se cumple kdf(x) = k (F(b) F()) culquier se F : [, b] R, k constnte. Demostrción. Culquier se P prtición de [, b], se tiene que S (P, k, F) = k (F (x i ) F (x i 1 )) = k (F(b) F()) por lo que l integrl siempre existe y vle k (F(b) F()). Propiedd Si g, F : [, b] R son tles que g 0, F es monóton creciente y existe g(x)df(x), entonces intb gdf 0. Demostrción. Culquier se P prtición de [, b], se tiene que S (P, g, F) = g(c i )(F (x i ) F (x i 1 )) 0 puesto que cd sumndo es no negtivo, entonces gdf 0. Propiedd Si g, h, F : [, b] R son tles que g h, F es monóton creciente y existen gdf, hdf, entonces gdf hdf. Demostrción. g h 0, entonces por l propiedd nterior 0 (g h)df = gdf hdf por lo que se deduce que gdf hdf. Propiedd Si g, F : [, b] R son tles que α g(x) β pr todo x [, b], F es monóton creciente y existe gdf entonces α (F(b) F()) gdf β (F(b) F()). 6

7 Demostrción. Es un corolrio inmedito de l propiedd nterior. Propiedd Si g : [, b] R es continu y F : [, b] R es monóton creciente, entonces g(x)df(x) g(x) df(x). Demostrción. Culquier se P prtición de [, b], se tiene que S (P, g, F) = n g(c i)(f (x i ) F (x i 1 )) n g(c i) (F (x i ) F (x i 1 )) = S (P, g, F). Tomndo límite cundo P 0 se obtiene el resultdo. Propiedd Teorem del vlor medio Si g, F : [, b] R son tles que g es continu, F es monóton creciente, entonces existe c [, b] tl que gdf = g(c)(f(b) F()). Demostrción. L existenci de l integrl se debe que g es continu y F es monóton. Como g es continu, por el teorem de Weierstrss tiene mínimo y máximo que les llmmos m y M respectivmente. Entonces por l propiedd nterior, se tiene que m que gdf F(b) F() gdf F(b) F() = g(c). 2. Métodos de integrción M y como g es continu, result que existe c [, b] tl Teorem 2.1. Fórmul de integrción por prtes Si g, F : [, b] R son tles que existe gdf, entonces tmbién existe Fdg y demás Fdg = gf b gdf. Demostrción. Recordmos l fórmul de Abel: si A n = n i entonces n 1 i b i = A i (b i b i+1 ) + A n b n. Tommos un prtición culquier P = {, x 1, x 2,..., x n 1, b} con correspondientes puntos intermedios c 1, c 2,..., c n. Si plicmos dich fórmul pr S (P, F, g) = 7

8 n F(c i)(g (x i ) g (x i 1 )) tomndo i = g (x i ) g (x i 1 ) y b i = F(c i ), obtenemos que S (P, F, g) = n 1 (g(x i) g()) (F(c i ) F(c i+1 )) + F(c n )(g(b) g()) = n 1 g(x i)(f(c i ) F(c i+1 )) (F(c 1 ) F(c n )) g() + F(c n )(g(b) g()) = n 1 g(x i)(f(c i ) F(c i+1 )) F(c 1 )g() + F(c n )g(b) = n 1 g(x i)(f(c i ) F(c i+1 )) + (F() F(c 1 )) g() + (F(c n ) F(b)) g(b) + F(b)g(b) F()g() = S( P, g, F) + g(b)f(b) g()f() siendo P l prtición formd por los puntos, c 1, c 2,..., c n, b y los puntos intermedios son, x 1, x 2,..., x n 1, b. Observmos demás que P 2 P por lo que tomndo límite cundo P 0 en l iguldd S(P, F, g) = S( P, g, F) + g(b)f(b) g()f() obtenemos que existe Fdg y l fórmul de prtes. Teorem 2.2. Cmbio de vrible Si g, F : [, b] R son tles que gdf existe, h : [c, d] [, b] es continu y biyectiv, entonces d c g h d (F h) y demás d c g(h(t))df(h(t)) = g(x)df(x) Demostrción. Supongmos en primer instnci que h es monóton creciente (el cso decreciente es nálogo). Por tnto, h(c) = y h(d) = b. Si P = {c, t 1, t 2,..., t n 1, d} es un prtición de [c, d] con puntos intermedios c i [t i 1, t i ] i = 1, 2,..., n entonces S (P, g h, F h) = ( ) g (h(c i )) [F (h(x i )) F (h(x i 1 ))] = S P, g, F siendo P = {, h(t 1 ), h(t 2 ),..., h(t n 1 ), b} con puntos intermedios h(c i ) (esto se puede hcer y que h es creciente y biyectiv). Además como h es continu, si P 0 entonces h(p) = P 0, lo cul se deduce y que h es uniformemente continu (ddo ε > 0 existe δ > 0 tl que si x y < δ entonces h(x) h(y) < ε). 8

9 Por lo tnto tomndo límite cundo P 0 se deduce que d c gohd (F h) existe y l fórmul buscd. 3. Aplicciones l teorí de l probbilidd Proposición 3.1. Si F X es función de distribución de un vrible letori X, entonces df X(x) = P ( < X b). Demostrción. De cuerdo l propiedd 1.13 de l integrl se tiene que df X(x) = F X () F X (b) de donde se deduce el resultdo. Not. Se puede probr que A df X(x) = P (X A) culquier se A borelino en R. Proposición 3.2. Si X es discret cuyo recorrido es A = {x 1, x 2,...} y g : [, b] R es continu, entonces g(x)df X (x) = x (,b] A g(x)p X (x). Demostrción. F X (x) = i \ x i x p X(x i ) = i p X(x i )1 [xi,+ )(x). Definimos pr cd n, A n = {x 1, x 2,..., x n } y F n (x) = n p X(x i )1 [xi,+ )(x). Ddo ε > 0, existe n 0 tl que pr cd n n 0 se cumple que P (X A n ) 1 ε. Por lo tnto pr cd x R se tiene que 0 F X (x) F n (x) ε (pr n n 0 ). Como g es continu, entonces g(x) k pr todo x [, b] y por lo tnto g(x)d (F X (x) F n (x)) 2kε g(x)df n(x) = g(x)d ( n p X(x i )1 [xi,+ )(x) ) = n p X(x i ) g(x)d1 [x i,+ )(x) = i \ x i (,b] A n g(x i )p X (x i ). g(x)df X(x) = g(x)df n(x) + g(x)d (F X(x) F n (x)) = i\x i (,b] A n g(x i )p X (x i ) + g(x)d (F X(x) F n (x)). Tomndo límite cundo n + se obtiene el resultdo. 9

10 Proposición 3.3. Si X es bsolutmente continu con densidd f X y g : [, b] R es continu, entonces g(x)df X (x) = g(x)f X (x)dx. Demostrción. Es corolrio inmedito del teorem Integrles impropis Definición 4.1. Si g, F : R R son tles que gdf existe culesquier sen y b, definimos + gdf = lím b + gdf en cso de exist el límite. Análogmente se definen gdf y + gdf. 5. Integrles de Riemnn-Stieltjes múltiples Si (X, Y ) es un vector letorio y F X,Y : R 2 R su función de distribución. Supongmos que g : [, b] [c, d] R, definiremos [,b] [c,d] g(x, y)df X,Y (x, y). Definición 5.1. Si F X,Y : R 2 R es un función de distribución conjunt y g : [, b] [c, d] R. Dd P X = { = x 0, x 1, x 2,..., x n 1, x n = b} un prtición de [, b] con puntos intermedios c i [x i 1, x i ] i = 1, 2,,..., n, P Y = {c = y 0, y 1, y 2,..., y m 1, y m = d} un prtición de [c, d] con puntos intermedios c i [y i 1, y i ] i = 1, 2,,..., m, definimos ls sums prciles de Riemnn-Stieltjes, sobre P X P Y como m S (P X P Y, g, F X,Y ) = g(c i, c j)p ij siendo p ij = P ((X, Y ) (x i 1, x i ] (y j 1, y j ]) j=1 = F X,Y (x i, y j ) F X,Y (x i 1, y j ) F X,Y (x i, y j 1 ) + F X,Y (x i 1, y j 1 ). Definimos l norm de l prtición como P = máx { P X, P Y }. Como en el cso univrido diremos que lim P 0 S (P, g, F X,Y ) = I si y sólo si ddo ε > 0, existe δ > 0 tl que pr tod P prtición de [, b] [c, d] (con sus correspondientes puntos intermedios c i y c i ) con P < δ, se cumple que S (P, g, F X,Y ) I < ε. 10

11 Definición 5.2. Definición de integrl doble deriemnn-stieltjes ds g : [, b] [c, d] R, F X,Y : R 2 R función de distribución de un vector letorio (X, Y ) si existe lím P 0 S (P, g, F) = I, diremos que l integrl de Riemnn-Stieltjes de g respecto de F X,Y en [, b] [c, d] existe y vle I. Notción: [,b][c,d] g(x, y)df X,Y (x, y). Es válido el mismo teorem de ls tres equivlencis pr l existenci de l integrl, probds en el cso univrido, con demostrciones nálogs. De mner nálog se pruebn tmbién el siguiente teorem y ls propieddes que siguen. Teorem 5.3. Si F es distribución, y g : [, b] [c, d] R es continu, entonces existe [,b] [c,d] gdf. Propieddes Si g, h : [, b] [c, d] R F = F X,Y son tles que existen ls integrles [,b] [c,d] gdf y [,b] [c,d] hdf entonces tmbién existe (αg + βh) df culesquier sen α, β R y demás [,b] [c,d] [,b] [c,d] (αg + βh) df = α gdf + β hdf [,b] [c,d] [,b] [c,d] 2. Si F, G son distribuciones, h : [, b] [c, d] R, son tles que existen ls integrles [,b] [c,d] hdf y [,b] [c,d] hdg entonces tmbién existe [,b] [c,d] culesquier sen α, β R y demás hd (αf + βg) = α [,b] [c,d] hd (αf + βg) [,b] [c,d] hdf + β hdg [,b] [c,d] 3. Si F es distribución, g : [, b] [c, d] R son tles que g 0, y existe [,b] [c,d] gdf, entonces [,b] [c,d] gdf Si F es distribución, g, h : [, b] [c, d] R son tles que g h, y existen [,b] [c,d] gdf y [,b] [c,d] hdf entonces [,b] [c,d] gdf [,b] [c,d] hdf. 11

12 5.1. Aplicciones l teorí de l probbilidd 1. Si F X,Y es l función de distribución de un vector letorio (X, Y ), entonces df X,Y (x, y) = P ( < X b, c < Y d). [,b] [c,d] 2. Si (X, Y ) es discreto cuyo recorrido es A = {(x i, y j )} i,j y g es tl que g : [, b] [c, d] R es continu, entonces g(x, y)df X,Y (x, y) = g(x, y)p X,Y (x, y). [,b] [c,d] (x,y) (,b] (c,d] A 3. Si (X, Y ) es bsolutmente continuo con función de densidd f X,Y y g : [, b] [c, d] R es continu, entonces g(x, y)df X,Y (x, y) = g(x, y)f X,Y (x, y)dxdy. [,b] [c,d] 5.2. Integrles dobles impropis [,b] [c,d] Definición 5.5. Dd g : R n R y F X1,X 2,...,X n distribución conjunt del vector (X 1, X 2,..., X n )... g(x 1, x 2,..., x n )df X1,X 2,...,X n (x 1, x 2,..., x n ) = R n lím i,b i +... g(x 1, x 2,..., x n )df X1,X 2,...,X n (x 1, x 2,..., x n ). [ 1,b 1 ] [ 2,b 2 ]... [ n,b n] 12

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