La integral doble sobre rectángulos

Transcripción

1 La itegral doble sobre rectágulos ISABEL MARRERO Departameto de Aálisis Matemático Uiversidad de La Lagua Ídice 1. Itroducció 1 2. La itegral de fucioes escaloadas 1 3. La itegral de fucioes defiidas y acotadas sobre rectágulos Itegral doble Sumas de Darboux Teorema de Fubii Itegrabilidad de fucioes acotadas co discotiuidades Cojutos de coteido ulo Cojutos de medida ula Oscilació de ua fució e u puto Caracterizació de Lebesgue de la itegrabilidad Riema Teoremas de la media e rectágulos 23 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12

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3 LA INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS 1/24 1. Itroducció Nos ocuparemos a cotiuació de defiir y estudiar la itegral doble sobre rectágulos del plao, e el setido de Riema. La teoría que desarrollaremos e R 2 se puede exteder a R p (p 2). Itroducimos e primer lugar la itegral de las llamadas fucioes escaloadas, para luego cosiderar fucioes más geerales. Nos detedremos e el teorema de Fubii, que permite obteer el valor de la itegral doble de ua fució cotiua por itegració simple reiterada e cualquier orde. Prestaremos ateció a la itegrabilidad de fucioes co discotiuidades y demostraremos el teorema de Lebesgue, que caracteriza las fucioes itegrables como aquellas cuyo cojuto de discotiuidades tiee medida ula. Cocluiremos co el estudio de los teoremas de la media e rectágulos. E lo sucesivo emplearemos ocasioalmete la otació x = (x 1,x 2 ) (x R 2 ; x i R, i = 1,2). 2. La itegral de fucioes escaloadas Defiició 2.1. U rectágulo cerrado e R 2 es el producto cartesiao de dos itervalos reales cerrados [a,b] y [c,d]: = [a,b] [c,d] = { (x,y) R 2 : a x b, c y d }. U rectágulo abierto I e R 2 es el producto cartesiao de dos itervalos reales abiertos ]a,b[ y ]c,d[: I =]a,b[ ]c,d[= { (x,y) R 2 : a < x < b, c < y < d }. Salvo idicació expresa e cotra, el térmio rectágulo hará referecia a u rectágulo cerrado. Defiició 2.2. Ua partició de u rectágulo = [a,b] [c,d] es el producto cartesiao P = P 1 P 2, dode P 1 = {a = x 0 < x 1 <... < x = b}, P 2 = {c = y 0 < y 1 <... < y m = d} so particioes de [a,b] y [c,d], respectivamete. Nótese que e la Defiició 2.2, la partició P = P 1 P 2 divide a e m rectágulos abiertos i j = ]x i 1,x i [ ]y j 1,y j [ (i, j N, 1 i, 1 j m) (Figura 1). CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12

4 2/24 I. MARRERO y d c a b x Figura 1. Partició del rectágulo = [a, b] [c, d]. Defiició 2.3. Los rectágulos abiertos determiados por ua partició P de u rectágulo se deomia subrectágulos de la partició P o del rectágulo. Defiició 2.4. Dadas dos particioes P, P de u rectágulo, se dirá que P es más fia que P (o tambié, que P es u refiamieto de P) si P P. Defiició 2.5. Ua fució f defiida y acotada e u rectágulo se llama escaloada si existe ua partició P de tal que f es costate e cada uo de los subrectágulos abiertos de P (Figura 2). Si P es ua partició del rectágulo e m subrectágulos { i j : i, j N, 1 i, 1 j m } y f es ua fució escaloada que toma el valor c i j e el subrectágulo i j (i, j N, 1 i, 1 j m), podemos escribir: f (x,y) = m j=1 c i j χ i j (x,y) ( (x,y) \,m i, j=1 i j ), dode, para A R 2, 1, (x,y) A χ A (x,y) = 0, (x,y) / A es la fució característica de A. OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

5 LA INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS 3/24 Proposició 2.6. El espacio E () de las fucioes escaloadas sobre u rectágulo es u espacio vectorial real co la suma y el producto por escalares defiidas puto a puto. DEMOSTRACIÓN. Sea f,g E () y sea M, N las particioes de asociadas a f y g, respectivamete. Para cualesquiera λ,µ R se cumple que λ f + µg es costate e cada subrectágulo de M N. z y x Figura 2. Gráfica de ua fució escaloada e. A cotiuació defiimos ya la itegral doble de fucioes escaloadas. Defiició 2.7. Sea P ua partició de e m subrectágulos i j =]x i 1,x i [ ]y j 1,y j [ (i, j N, 1 i, 1 j m), y sea f E () que toma el valor c i j e i j (i, j N, 1 i, 1 j m). La itegral doble de f sobre se deota f, y se defie por la fórmula dode f = m j=1 c i j x i y j = m j=1 c i j i j, x i = x i x i 1, y j = y j y j 1 (i, j N, 1 i, 1 j m) CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12

6 4/24 I. MARRERO y i j = x i y j es el área de i j (i, j N, 1 i, 1 j m). Esta itegral tambié se represeta e la forma f (x,y) dx dy. La itegral doble de fucioes escaloadas puede ser obteida por itegració simple reiterada: Proposició 2.8. Si = [a,b] [c,d] y f E (), etoces f = d c [ b a ] f (x,y) dx dy = b a [ d c ] f (x,y) dy dx. DEMOSTRACIÓN. Supogamos que f toma el valor c i j e i j =]x i 1,x i [ ]y j 1,y j [ (i, j N, 1 i, 1 j m). Etoces, para i, j N, 1 i, 1 j m: i j f = c i j x i y j = c i j (x i x i 1 )(y j y j 1 ) = = c i j y j x i = c i j (y j y j 1 )(x i x i 1 ) = xi x i 1 y j y j 1 [ y ] j c i j dy y j 1 [ xi ] c i j dx x i 1 xi dx = x i 1 y j dy = y j 1 [ y ] j f (x,y) dy dx y j 1 [ xi ] f (x,y) dx dy. x i 1 Sigue que f = = m j=1 m j=1 i j f = i j f = xi m y j j=1 x i 1 [ m j=1 y j 1 [ y j y j 1 f (x,y) dy xi x i 1 f (x,y) dx ] ] dx = dy = b a d c [ d c [ b a ] f (x,y) dy dx ] f (x,y) dx dy, como se pretedía. Proposició 2.9. Sea s,t E (). Se verifica las propiedades siguietes: (i) (Liealidad) Para cada λ,µ R, (λs + µt) = λ s + µ t. (ii) (Aditividad) Si 1 y 2 so dos rectágulos co iteriores disjutos cuya uió es otro rectágulo, OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

7 LA INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS 5/24 etoces s = s + 1 s. 2 (iii) (Comparació o mootoía) Si s(x, y) t(x, y) ((x, y) ), etoces s t. E particular, t(x, y) 0 ((x, y) ) implica t 0. DEMOSTRACIÓN. Es cosecuecia de la Defiició 2.7. Tambié puede aplicarse la Proposició 2.8 y los resultados correspodietes para itegrales simples. 3. La itegral de fucioes defiidas y acotadas sobre rectágulos 3.1. Itegral doble Sea u rectágulo y sea f : R tal que f (x,y) M ((x,y) ). Pogamos S = {s E () : s(x,y) f (x,y) ((x,y) )}, T = {t E () : f (x,y) t(x,y) ((x,y) )}. Nótese que S y T o so vacíos, ya que la fució costatemete igual a M está e S mietras que la fució costatemete igual a M perteece a T. Defiició 3.1. E las codicioes ateriores, si existe u úico I R tal que s I t (s S, t T ), etoces el úmero I se llama itegral doble de f e y se deota f, o bie f (x,y) dx dy, CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12

8 6/24 I. MARRERO diciédose e tal caso que f es itegrable sobre. Defiició 3.2. Se llama itegral iferior de f e al úmero real { } I( f ) = sup s : s S e itegral superior de f e al úmero real { } I( f ) = íf t : t T. La itegral de f sobre puede o existir, pero las itegrales iferior y superior siempre existe. La relació etre la itegral de f y sus itegrales iferior y superior viee dada por la siguiete Proposició 3.3, que caracteriza la itegrabilidad de las fucioes acotadas sobre rectágulos. Proposició 3.3. Toda fució f acotada e u rectágulo tiee ua itegral iferior I( f ) y ua itegral superior I( f ), que satisface s I( f ) I( f ) t para cualesquiera s,t E () tales que s(x,y) f (x,y) t(x,y) ((x,y) ). Además, f es itegrable sobre si, y sólo si, I( f ) = I( f ), y e tal caso f = I( f ) = I( f ). DEMOSTRACIÓN. El cojuto sobre el que se toma el supremo (ífimo) que defie la itegral iferior (superior) es o vacío y acotado superiormete (iferiormete), toda vez que S y T so o vacíos y, por mootoía, se tiee s t (s S, t T ). Así pues, I( f ) y I( f ) está defiidos y satisface s I( f ) I( f ) t (s S, t T ). Si f es itegrable e, existe u úico úmero real I = f tal que s I t (s S, t T ); (1) OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

9 LA INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS 7/24 por tato, I( f ) = I( f ) = I = f. Recíprocamete, si I( f ) = I( f ) y si I deota este valor comú, es claro que se cumple (1). Para demostrar la uicidad, supogamos que existe J R tal que (1) vale co J e vez de I. Por defiició de I( f ) y I( f ) se tiee etoces que I( f ) J I( f ). Al ser I( f ) = I( f ) = I se cocluye que J = I, probado que f es itegrable e, co f = I. Proposició 3.4. Las propiedades de liealidad, aditividad y mootoía vale para fucioes acotadas itegrables sobre u rectágulo. DEMOSTRACIÓN. Este resultado se prueba si dificultad combiado las Proposicioes 2.9 y Sumas de Darboux E esta secció daremos ua ueva caracterizació de la itegrabilidad, ahora e térmios de las llamadas sumas superior e iferior de Darboux. Sea f ua fució real defiida y acotada e u rectágulo, y sea P ua partició de e subrectágulos k (k N, 1 k ). Escribimos m k ( f ) = íf{ f (x,y) : (x,y) k }, M k ( f ) = sup{ f (x,y) : (x,y) k } (k N, 1 k ). El área de cada k será deotada k (k N, 1 k ). Defiició 3.5. E las codicioes ateriores, las sumas L( f,p) = k=1 m k ( f ) k, U( f,p) = k=1 M k ( f ) k se deomia, respectivamete, sumas iferior y superior de Darboux de f asociadas a la partició P. CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12

10 8/24 I. MARRERO Proposició 3.6. Sea f ua fució real defiida y acotada e u rectágulo. So equivaletes: (i) La fució f es itegrable sobre. (ii) Dado ε > 0 existe fucioes s,t E () tales que s f t y (t s) < ε. (iii) Dado ε > 0 existe ua partició P de tal que U( f,p) L( f,p) < ε. DEMOSTRACIÓN. Supogamos cierto (i). Si f es itegrable sobre, etoces s I( f ) = I( f ) t (s,t E (), s f t). Sea ε > 0. Por la defiició de I( f ) como u supremo, existe s E () tal que s f y s > I( f ) ε 2. Similarmete, por la defiició de I( f ) como u ífimo, existe t E () tal que f t y t < I( f ) + ε 2. E cosecuecia (t s) < I( f ) I( f ) + ε = ε, lo que establece (ii). Si se verifica (ii), dado ε > 0 existe fucioes s,t E () tales que s f t y (t s) < ε. Sea P u refiamieto de las particioes de asociadas a s y t. Es claro que s L( f,p) U( f,p) t. OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

11 LA INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS 9/24 Por tato U( f,p) L( f,p) (t s) < ε, probado (iii). Ahora, supogamos cierto (iii): dado ε > 0 existe ua partició P de e subrectágulos k (k N, 1 k ) tal que U( f,p) L( f,p) < ε. Defiimos fucioes s,t E (), s f t, mediate: s(x,y) = m k ( f ), t(x,y) = M k ( f ) ((x,y) k ; k N, 1 k ). Etoces (t s) = k=1 [M k ( f ) m k ( f )] k = U( f,p) L( f,p) < ε, lo que establece (ii). Para ver que (ii) implica (i) cosideremos la cadea de desigualdades s I( f ) I( f ) t (s,t E (), s f t). Si se verifica (ii), para cada ε > 0 y ciertas s,t E (), co s f t, se tiee 0 I( f ) I( f ) (t s) < ε, es decir, 0 I( f ) I( f ) < ε. Ya que ε > 0 es arbitrario, haciedo ε 0 ecotramos que I( f ) = I( f ), lo cual prueba (i) y completa la demostració Teorema de Fubii A cotiuació extederemos a fucioes itegrables acotadas el resultado de la Proposició 2.8. Proposició 3.7. Sea f defiida y acotada e = [a,b] [c,d], y supogamos que f es itegrable e. Si para cada y [c,d] existe y además existe b a f (x,y) dx = A(y) d c A(y) dy, CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12

12 10/24 I. MARRERO etoces d d b f (x,y) dx dy = A(y) dy = dy f (x,y) dx. c c a Bajo las hipótesis oportuas, se obtiee ua fórmula parecida para calcular la itegral doble mediate itegrales iteradas e las que el orde de itegració se ivierte. DEMOSTRACIÓN. Sea s,t E () tales que s f t. Por la mootoía de la itegral simple, b a b s(x,y) dx A(y) t(x,y) dx. a Aplicado la Proposició 2.8: d b d d b s = dy s(x,y) dx A(y) dy dy t(x,y) dx = t. c a c c a Al ser s, t arbitrarias y f itegrable, de la Defiició 3.1 se cocluye d d b f = A(y) dy = dy f (x,y) dx, c c a como pretedíamos. La Proposició 3.7 permite iterpretar geométricamete la itegral doble como u volume. Si = [a,b] [c,d] y f : R es ua fució acotada y o egativa, el cojuto O( f ) = { (x,y,z) R 3 : (x,y), 0 z f (x,y) } recibe el ombre de cojuto de ordeadas de f. Para cada y 0 [c,d] fijo, la iterpretació geométrica de la itegral simple os dice que A(y 0 ) represeta el área de la secció producida e O( f ) por el plao y = y 0. Por tato, la itegral de A(y) e el itervalo [c,d] proporcioa el volume de O( f ) (Figura 3). El siguiete Teorema 3.8 poe de maifiesto que la itegral doble de fucioes cotiuas se puede calcular como ua itegral iterada e cualquier orde. Teorema 3.8 (Fubii). Si f es cotiua e = [a,b] [c,d], etoces f es itegrable sobre y se verifica b d d b f (x,y) dx dy = dx f (x,y) dy = dy f (x,y) dx. a c c a OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

13 LA INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS 11/24 z z Gráfica de f c d y c d y a a b b x Cojuto de ordeadas de f sobre x Secció co área A(y) = a b f (x,y) dx Figura 3. La itegral doble como u volume. DEMOSTRACIÓN. Para probar que f es itegrable usaremos el criterio de la Proposició 3.6 (iii). Al ser f cotiua sobre el compacto, f es uiformemete cotiua e y, por tato, dado ε > 0 existe ua partició P de e subrectágulos k tales que M k ( f ) m k ( f ) < ε/ (k N, 1 k ), dode deota el área de. De aquí, U( f,p) L( f,p) = k=1 [M k ( f ) m k ( f )] k < ε k=1 k = ε. Hemos de demostrar ahora que la itegral doble de f e puede expresarse como ua itegral iterada e cualquier orde. Más precisamete, estableceremos la igualdad d b f = dy f (x,y) dx, c a ya que la prueba correspodiete al orde de itegració iverso es aáloga. Fijado y [c,d] existe A(y) = b a f (x,y) dx, pues al ser f cotiua sobre lo es e cada variable. Afirmamos que A(y) (y [c,d]) es cotiua. E efecto, sea y 0,y 1 [c,d]. Por la cotiuidad de la fució ϕ(x) = f (x,y 0 ) f (x,y 1 ) (a x b), para algú x [a,b] podemos escribir: A(y 0 ) A(y 1 ) = b a b [ f (x,y 0 ) f (x,y 1 )] dx f (x,y 0 ) f (x,y 1 ) dx a máx f (x,y 0) f (x,y 1 ) (b a) = f (x,y 0 ) f (x,y 1 ) (b a). a x b CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12

14 12/24 I. MARRERO Haciedo y 1 y 0 vemos que A(y 1 ) A(y 0 ), lo que establece uestra afirmació. E estas codicioes, existe d c d b A(y) dy = dy f (x,y) dx. c a Ahora basta co aplicar la Proposició 3.7. Ejemplo 3.9. Sea = [ 1,1] [0,π/2]. Demostrar que la itegral (xsey ye x ) dx dy existe y calcularla. RESOLUCIÓN. E virtud del teorema de Fubii (Teorema 3.8), la itegral del euciado existe y se puede calcular como ua itegral iterada e cualquier orde. Por tato: π/2 1 π/2 ( ) (xsey ye x ) dx dy = dy (xsey ye x ) dx = e x 1 π2 1 1 y dy = e e. Ivirtiedo el orde de itegració: = (xsey ye x ) dx dy = 1 1 π/2 1 ] π/2 dx (xsey ye x ) dy = [ xcosy y ex dx = π2 1 ( ) e x dx = π e e, se obtiee, efectivamete, el mismo resultado. 4. Itegrabilidad de fucioes acotadas co discotiuidades Hemos visto (Teorema 3.8) que las fucioes cotiuas so itegrables Riema sobre rectágulos. Por cotra, las fucioes muy discotiuas o so itegrables Riema, como muestra el siguiete ejemplo. Ejemplo 4.1. Sea I = [0,1] [0,1] el cuadrado uidad, y sea f = χ I 2 la fució característica de los putos de I co coordeadas racioales (llamada fució de Dirichlet, o fució «sal y pimieta»). Nótese que f es discotiua e todo puto de I. Para cualquier partició P de I se tiee que L( f,p) = 0 mietras OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

15 LA INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS 13/24 que U( f,p) = 1. E virtud de la Proposició 3.6, f o es itegrable Riema sobre I Cojutos de coteido ulo Probaremos a cotiuació que ua fució es itegrable Riema co tal de que su cojuto de discotiuidades o sea «demasiado grade». Para medir el tamaño de dicho cojuto itroduciremos el siguiete cocepto. Defiició 4.2. Sea A R 2 u cojuto acotado. Se dice que A tiee coteido ulo si dado ε > 0 existe ua familia fiita I 1,...,I de rectágulos abiertos satisfaciedo A I i dode I i deota el área de I i (i N, 1 i ). y I i < ε, Proposició 4.3. Tiee coteido ulo: (i) (ii) (iii) (iv) (v) Los subcojutos de cojutos de coteido ulo. Las uioes fiitas de cojutos de coteido ulo. Los cojutos uitarios. Los cojutos fiitos. Los segmetos de recta e el plao. DEMOSTRACIÓN. Es cosecuecia imediata de la Defiició 4.2. Observació 4.4. E la Defiició 4.2 es posible reemplazar los rectágulos abiertos por rectágulos cerrados. E efecto, sea A R 2 u cojuto acotado. Supogamos que dado ε > 0 existe ua familia fiita I 1,...,I de rectágulos abiertos tales que A I i y I i < ε. CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12

16 14/24 I. MARRERO Tomado F i = I i (i N, 1 i ) ecotramos que A I i F i y F i = I i < ε. Recíprocamete, supogamos que = [a,b] [c,d]. Afirmamos que para cada δ > 0 existe γ > 0 tal que γ < + δ, dode γ =]a γ,b + γ[ ]c γ,d + γ[. Para verlo, ótese que si γ 0 etoces γ = (b a + 2γ)(d c + 2γ) = (b a)(d c) + 2γ(b a + d c) + 4γ 2 es ua fució cotiua de γ, co 0 =. Supogamos ahora que dado ε > 0 existe ua familia fiita F 1,...,F de rectágulos cerrados tales que A F i y F i < ε 2. Eligiedo δ = ε/2 > 0, podemos ecotrar γ > 0 tal que I i = F i,γ es abierto, I i F i, y I i < F i + ε/2 (i N, 1 i ). Se tiee así que A F i I i y I i < F i + ε 2 < ε. Proposició 4.5. Si f es ua fució acotada e u rectágulo cuyo cojuto de putos de discotiuidad tiee coteido ulo, etoces f es itegrable sobre. DEMOSTRACIÓN. Aplicaremos el criterio de la Proposició 3.6 (iii). Sea M ua cota de f y D el cojuto de los putos de discotiuidad de f e. Como D tiee coteido ulo, dado ε > 0 existe u recubrimieto de D por rectágulos abiertos {I i } m, la suma de cuyas áreas es meor que ε/4m. Usamos los vértices de los rectágulos I i (i N, 1 i m) para geerar ua partició de. Sea J 1,...,J r los subrectágulos de esta partició completamete coteidos e algú I i, y K 1,...,K s los que so disjutos de todos los I i (i N, 1 i m). Para cada k N, 1 k s, se tiee que f es uiformemete cotiua e K k y, por tato, existe ua partició P k de K k tal que U( f,p k ) L( f,p k ) < ε/2s. Tomado P = P 1 P 2... P s OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

17 LA INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS 15/24 ecotramos que U( f,p) L( f,p) r j=1 m 2M [sup{ f (x) : x J j } íf{ f (x) : x J j }] J j + I i + s k=1 ε 2s < 2M ε 4M + s ε 2s = ε, s k=1 [U( f,p k ) L( f,p k )] como pretedíamos. El siguiete ejemplo muestra que o se verifica el recíproco de la Proposició 4.5. Ejemplo 4.6. Sea I = [0, 1] [0, 1] el cuadrado uidad, y defiamos f : I R mediate f (x,y) = 0, x = y = 0 0, x R \ ó y R \ 1, x = p/r, y = q/s, irreducibles; r,s N \ {0}; r + s p, q N, o simultáeamete ulos. Nótese que f es acotada sobre I: 0 f (x, y) 1 ((x, y) I). El cojuto de discotiuidades de f e I es D = {(x,y) I : f (x,y) > 0} = ( I 2) \ {(0,0)}. (2) Auque D o tiee coteido ulo, f es itegrable sobre I. RESOLUCIÓN. E primer lugar estableceremos (2). Se tiee, e efecto: Si f (x 0,y 0 ) > 0 y f es cotiua e (x 0,y 0 ), etoces existe u etoro U de (x 0,y 0 ) tal que f (x,y) > 0 ((x,y) U I). Pero U (I \ 2 ) /0, así que U I cotiee putos (x,y) tales que f (x,y) = 0. Por cosiguiete, f o es cotiua e (x 0,y 0 ). Supogamos ahora que f (x 0,y 0 ) = 0. Dado ε > 0, elegimos h > 0 tal que 1/h < ε. Sea A h el cojuto de los putos (x,y) I tales que x = p/r, y = q/s so irreducibles, co p,q N y r,s N \ {0}, 0 < r + s h. Ya que A h es fiito, existe u etoro U de (x 0,y 0 ) que o cotiee putos de A h. Fijemos (x,y) U I. Si f (x,y) = 0, etoces f (x 0,y 0 ) f (x,y) = 0 < ε; y si f (x,y) > 0, etoces, para ciertos r,s N \ {0}, se cumple que f (x 0,y 0 ) f (x,y) = 1 r + s < 1 h < ε. CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12

18 16/24 I. MARRERO Hemos probado que dado ε > 0 existe u etoro U de (x 0,y 0 ) tal que (x,y) U I implica f (x 0,y 0 ) f (x,y) < ε. Esto sigifica que f es cotiua e (x 0,y 0 ). Para ver que D o tiee coteido ulo, supogamos que dado 0 < ε < 1 existe rectágulos cerrados F 1,...,F tales que D F i y F i < ε. Ya que D = (I 2 ) \ {(0,0)} es deso e I, se tiee I = D F i, lo que coduce a la cotradicció 1 = I F i < ε. Fialmete, demostraremos que f es itegrable e I, y para ello recurriremos al criterio de la Proposició 3.6 (iii). Dado ε > 0, sea h > 2/ε. El correspodiete A h es fiito; supogamos que cotiee m putos. E cada uo de ellos cetramos cuadrados abiertos disjutos I i (i N, 1 i m) de arista meor que ε/2m, y usamos los vértices de estos cuadrados para geerar ua partició P de I. E P distiguimos los subrectágulos J j ( j N, 1 j r), coteidos e algú I i, y los subrectágulos K k (k N, 1 k s), disjutos de todos los I i (i N, 1 i m). Etoces U( f,p) L( f,p) = < r j=1 r sup{ f (x) : x J j } J j + j=1 J j + 1 h s k=1 K k < m s k=1 sup{ f (x) : x K k } K k I i + ε 2 I < m ε 2m + ε 2 = ε, probado que f es itegrable e I Cojutos de medida ula Hemos visto e la secció aterior que la codició de que el cojuto de discotiuidades de ua fució tega coteido ulo es suficiete, pero o ecesaria, para garatizar su itegrabilidad Riema. La caracterizació de la clase de las fucioes itegrables Riema precisa de u cocepto más restrictivo que el coteido ulo: la medida ula. OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

19 LA INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS 17/24 Defiició 4.7. U cojuto C R 2 es de medida ula si para cada ε > 0 existe ua sucesió {I } =1 de rectágulos abiertos tales que C I =1 y I < ε, =1 dode, como habitualmete, I deota el área de I ( N). Proposició 4.8. Tiee medida ula: (i) (ii) (iii) (iv) Los subcojutos de cojutos de medida ula. Las uioes umerables de cojutos de medida ula. Los cojutos de coteido ulo. Los cojutos umerables. Además, todo cojuto compacto de medida ula tiee coteido ulo. DEMOSTRACIÓN. Es cosecuecia imediata de la Defiició 4.7. Observació 4.9. E la Defiició 4.7 es posible reemplazar los rectágulos abiertos por rectágulos cerrados (compárese co la Observació 4.4) Oscilació de ua fució e u puto Si f es acotada e A R 2 y a A, se defie ω( f,a;ρ) = sup{ f (x) : x A U(a;ρ)} íf{ f (x) : x A U(a;ρ)} (ρ > 0), dode U(a;ρ) deota la bola abierta de cetro a y radio ρ. Defiició La oscilació de f e a es ω( f,a) = lím ω( f,a;ρ). ρ 0+ CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12

20 18/24 I. MARRERO Nótese que el límite aterior existe, ya que la fució ω( f,a; ) : ]0, [ [0, [ ρ ω( f,a;ρ) es creciete y acotada. Proposició Ua fució f real y acotada e u cojuto A R 2 es cotiua e a A si, y sólo si, ω( f,a) = 0. DEMOSTRACIÓN. Si f es cotiua e a etoces para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que x A U(a;δ) implica f (x) f (a) < ε/2, esto es: f (a) ε/2 f (x) f (a) + ε/2. Luego, m δ = m δ ( f ) = íf{ f (x) : x A U(a;δ)}, M δ = M δ ( f ) = sup{ f (x) : x A U(a;δ)} satisface f (a) ε 2 m δ M δ f (a) + ε 2. De aquí, [ ω( f,a;δ) = M δ m δ f (a) + ε ] [ f (a) ε ] = ε. 2 2 Cuado 0 < ρ δ, se cumple ω( f,a;ρ) ω( f,a;δ) < ε. Hemos probado que ω( f,a) = lím ω( f,a;ρ) = 0. ρ 0+ Recíprocamete, supogamos que ω( f,a) = 0, de modo que dado ε > 0 existe δ > 0 tal que, e la otació aterior, M δ m δ < ε. Para cada x A U(a;δ) se tiee m δ f (x) M δ ; e particular, m δ f (a) M δ, y cocluimos: f (x) f (a) < M δ m δ < ε. Así pues, f es cotiua e a Caracterizació de Lebesgue de la itegrabilidad Riema Nuestro objetivo ahora es probar que ua fució real f defiida y acotada e el rectágulo es itegrable sobre si, y sólo si, el cojuto de las discotiuidades de f e tiee medida ula. OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

21 LA INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS 19/24 A tal fi ecesitamos establecer previamete dos resultados auxiliares. Lema Sea u rectágulo e R 2 y sea f ua fució real, defiida y acotada e. Para cada δ > 0, el cojuto C δ = {x : ω( f,x) δ} es compacto. DEMOSTRACIÓN. Hemos de probar que C δ es cerrado y acotado. Como C δ, C δ es acotado. Veamos que es cerrado, y para ello que cotiee a todos sus putos adheretes. Sea a C δ. Para cada ε > 0 se tiee que U(a;ε) C δ /0. Si x U(a;ε) C δ y elegimos ρ > 0 suficietemete pequeño, se cumple que U(x;ρ) U(a;ε) y ω( f,x;ρ) δ. Sigue que δ ω( f,x;ρ) ω( f,a;ε), y de aquí, δ ω( f,a;ε). La arbitrariedad de ε > 0 permite cocluir que δ ω( f,a), por lo que a C δ. Lema Sea u rectágulo e R 2 y sea f ua fució real, defiida y acotada e. Si ω( f,x) < δ para todo x, etoces algua partició P de satisface U( f,p) L( f,p) < δ. DEMOSTRACIÓN. Existe ua partició P de tal que la oscilació de f e cada subrectágulo de P o supera a δ. E efecto, para cada N sea P la partició diádica de orde de (esto es, P se obtiee dividiedo los lados de e 2 partes iguales). Afirmamos que el resultado se ha de verificar para algua de estas particioes y, equivaletemete, estableceremos el cotrarrecíproco de esta afirmació. Co este objeto, supogamos que cada partició P cotiee u subrectágulo I tal que sup{ f (x) : x I } íf{ f (x) : x I } δ ( N). Si x es el cetro de I ( N) etoces {x } =1 admite ua subsucesió covergete a u cierto límite a. Cualquiera que sea ρ > 0, U(a;ρ) cotedrá algú I N ; se ifiere que ω( f,a;ρ) sup{ f (x) : x I N } íf{ f (x) : x I N } δ. Cosecuetemete, ω( f,a;ρ) δ (ρ > 0), obligado a que ω( f,a) δ, ua cotradicció. Ahora, si { k } m k=1 so los subrectágulos de P, y si m k ( f ) = íf{ f (x) : x k }, M k ( f ) = sup{ f (x) : x k } (k N, 1 k m), CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12

22 20/24 I. MARRERO ecotramos que U( f,p) L( f,p) = m k=1 [M k ( f ) m k ( f )] k < δ m k=1 k = δ, como se afirmaba. uedamos ya e disposició de obteer el resultado pricipal. Teorema 4.14 (Lebesgue). Sea f : R ua fució acotada e el rectágulo. Se verifica que f es itegrable e si, y sólo si, el cojuto de discotiuidades de f e tiee medida ula. DEMOSTRACIÓN. Supogamos que f es itegrable sobre. Necesitamos probar que el cojuto C de las discotiuidades de f e tiee medida ula. Usamos la Proposició 4.11 para escribir: C = {x : ω( f,x) > 0} = =1 { x : ω( f,x) 1 }. Puesto que todo cojuto de coteido ulo tiee medida ula y la uió umerable de cojutos de medida ula tiee medida ula, bastará probar que { C 1/ = x : ω( f,x) 1 } ( N) tiee coteido ulo. Más e geeral, estableceremos que si δ > 0, el cojuto C δ = {x : ω( f,x) δ} tiee coteido ulo, esto es: para cada ε > 0, existe rectágulos abiertos {I i } i=i tales que C δ I i, co I i < ε. Dado ε > 0, la itegrabilidad de f y la Proposició 3.6 (iii) proporcioa ua partició P de tales que U( f,p) L( f,p) < εδ/2. Llamamos J 1,...,J m a los subrectágulos de P que cotiee putos de C δ, y K 1,...,K r a los restates. Etoces m j=1 J j < ε/2: δ m j=1 J j < m j=1 [M j ( f ) m j ( f )] J j U( f,p) L( f,p) < εδ 2, OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

23 LA INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS 21/24 dode m j ( f ) = íf { f (x) : x J j }, Mj ( f ) = sup { f (x) : x J j } ( j N, 1 j m). Como las froteras de K 1,...,K r tiee coteido ulo, existe u recubrimieto de dichas froteras por rectágulos abiertos 1,..., s tales que la suma de sus áreas es meor que ε/2. Ahora {J 1,...,J m, 1,..., s } costituye u recubrimieto de C δ por rectágulos abiertos, la suma de cuyas áreas es meor que ε. Se cocluye que C δ tiee coteido ulo. Recíprocamete, supogamos que el cojuto C de las discotiuidades de f e tiee medida ula. Probaremos que f es itegrable, esto es, que para todo ε > 0 existe ua partició P de tal que U( f,p) L( f,p) < ε (Proposició 3.6 (iii)). Sea M ua cota de f e, y dado ε > 0 sea δ = ε/(2m + ). Como C δ = {x : ω( f,x) δ} C y C tiee medida ula, lo mismo ocurre co C δ, que es compacto (Lema 4.12). Sigue que C δ tiee coteido ulo (Proposició 4.8), y por lo tato existe u recubrimieto de C δ por rectágulos abiertos {I i } m, la suma de cuyas áreas es meor que δ. Usamos los vértices de los rectágulos I i (i N, 1 i m) para geerar ua partició de. Sea J 1,...,J r los subrectágulos de esta partició completamete coteidos e algú I i, y K 1,...,K s los que so disjutos de todos los I i (i N, 1 i m). E virtud del Lema 4.13, para cada k N, 1 k s, existe ua partició P k de K k tal que U( f,p k ) L( f,p k ) < δ K k. Tomado P = P 1... P s ecotramos que U( f,p) L( f,p) r j=1 m 2M [sup{ f (x) : x J j } íf{ f (x) : x J j }] J j + I i + δ s k=1 s k=1 K k < 2Mδ + δ = δ(2m + ) = ε. [U( f,p k ) L( f,p k )] Esto completa la demostració. Corolario Sea f : R, g : R fucioes acotadas e el rectágulo R 2. Se cumple: (i) Si las fucioes f y g tiee los mismos putos de discotiuidad etoces ua de ellas es itegrable si, y sólo si, la otra lo es. (ii) Si f = g excepto e u cojuto de medida ula, etoces f es itegrable si, y sólo si, lo es g. Cuado, además, f, g so itegrables sobre, se verifica: (iii) Si J es u subrectágulo cerrado de, etoces f es itegrable e J. CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12

24 22/24 I. MARRERO (iv) Las fucioes f g y λ f + µg (λ,µ R) so itegrables e. (v) Si g(x) k (x ) para cierto k > 0, etoces f /g es itegrable e. (vi) Si m, M deota, respectivamete, el ífimo y el supremo de f e, y si ϕ : [m,m] R es cotiua, etoces ϕ f : R es itegrable. (vii) La fució f es itegrable sobre, co f f. DEMOSTRACIÓN. E lo que sigue, el cojuto de discotiuidades de ua fució h e su domiio de defiició será deotado D(h). El aserto (i) es ua cosecuecia obvia del teorema de Lebesgue. Supogamos ahora que el cojuto E = {x : f (x) g(x)} tiee medida ula. Etoces: D( f ) = [D( f ) E] [D( f ) \ E], D(g) = [D(g) E] [D(g) \ E]. Como D( f ) E y D(g) E so subcojutos de E, ambos tiee medida ula. Si f es itegrable etoces D( f ) tiee medida ula, y lo mismo cabe afirmar de su subcojuto D( f ) \ E = D(g) \ E; de modo que D(g) tiee medida ula, y g es itegrable. Recíprocamete, si g es itegrable etoces el mismo argumeto, itercambiado los papeles de f y g, prueba que f es itegrable. Esto establece (ii). Para probar la itegrabilidad e (iii)-(vi) basta combiar el teorema de Lebesgue co el hecho de que todo subcojuto de u cojuto de medida ula es de medida ula, teiedo e cueta las siguietes observacioes específicas: D(λ f + µg) D( f ) D(g), D( f g) D( f ) D(g), D( f /g) D( f ) D(g), D(ϕ f ) D( f ). La itegrabilidad e (vii) sigue de (vi) tomado ϕ(t) = t (t R), e tato que la seguda parte de (vii) es elemetal. OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

25 LA INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS 23/24 5. Teoremas de la media e rectágulos Teorema 5.1 (Primer teorema de la media e rectágulos). Sea f ua fució real, defiida y acotada e el rectágulo R 2. (i) Si f es itegrable Riema e, y si m f (x) M (x ), etoces existe h [m, M] tal que f = h. (ii) Si f es cotiua e, etoces existe ξ tal que f = f (ξ ). DEMOSTRACIÓN. (i) Ya que m f (x) M (x ), se tiee: m f M. Por tato y es suficiete tomar m 1 f M, h = 1 f. (ii) Como f es cotiua e, f alcaza su míimo m y su máximo M e. El apartado (i) proporcioa h [m,m] tal que f = h. Nuevamete por cotiuidad, existe ξ tal que f (ξ ) = h. Teorema 5.2 (Segudo teorema de la media e rectágulos). Sea f, g fucioes reales acotadas sobre el rectágulo R 2. (i) Si f, g so itegrables Riema e, co m f (x) M (x ) y g o egativa e, etoces existe CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12

26 24/24 I. MARRERO h [m,m] tal que f g = h g. (3) (ii) Si f es cotiua e y g es itegrable Riema y o egativa e, etoces existe ξ tal que f g = f (ξ ) g. DEMOSTRACIÓN. (i) Ya que m f (x) M y g(x) 0 (x ), se tiee: mg(x) f (x)g(x) Mg(x) (x ). Luego, m g f g M g. (4) Si g = 0 sigue de (4) que f g = 0, y la igualdad (3) vale para cualquier h [m,m]. Si g > 0 y dividimos por g ambos miembros de (4), resulta m 1 g f g M; basta tomar h = 1 g f g para obteer (3). (ii) Como f es cotiua e, alcaza su míimo m y su máximo M e. El apartado (i) proporcioa h [m,m] tal que f g = h g. Nuevamete por cotiuidad, existe ξ satisfaciedo f (ξ ) = h. OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL