CAPÍTULO 5 TEORÍAS SOBRE LA RESISTENCIA A ROTURA DE UNA LÁMINA

Transcripción

1 CAPÍTULO 5 TORÍA OBR LA RITNCIA A ROTURA D UNA LÁMINA

2 5.. INTRODUCCIÓN xisen diversos rierios de roura relaivos a una lámina oróropa. La bondad de ada uno de ellos sólo puede ser esableida omparando los resulados eórios on los experimenales. n ese apíulo se desriben los rierios más uilizados. Normalmene, las ensiones o deformaiones de roura de una lámina se deerminan mediane ensaos unidireionales en la direión de las fibras o en direión perpendiular a las mismas. in embargo, ha que ener siempre presene que, en general, una lámina denro de un laminado se enuenra someida a un esado de ensión biaxial de ore (, 6 disinas de ero). n lo que sigue se uilizará la siguiene nomenlaura, enendiendo que, la direión longiudinal es la de las fibras la ransversal la orogonal a ella en el plano de la lámina. resisenia a raión longiudinal resisenia a ompresión longiudinal resisenia a raión ransversal resisenia a ompresión ransversal resisenia al ore n la abla 3. se reogen algunos resulados de esos parámeros para diferenes ipos de refuerzos denro de una marix epoxi suponiendo un volumen de fibra del 60%. También se inluen los módulos de elasiidad los oefiienes de dilaaión érmia en direión de las fibras (direión ) en direión ransversal a ellas (direión ). 90

3 Figura 5.. VIDRIO ARAMIDA CARBONO Densidad (kg/m 3 ) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa) ( GPa) ( GPa) 56 7 α x x x0-5 (º C) α.6.0x x x0-5 (º C) Tabla CRITRIO D TNIÓN MÁIMA se rierio se basa en suponer que la lámina no rompe si las ensiones denro de la lámina, expresadas en unos ejes que oinidan on la direión de las fibras, son menores que las resisenias respeivas obenidas de un ensaos de arga uniaxiales de izalladura pura. Para 9

4 fijar ideas supóngase el esado ensional represenado en la figura 5. en el que, además, se han dibujado las fibras. i fueran ensiones de raión, Figura 5. la lámina no rompería mienras se verifiase: τ < < máx < (5.) si las ensiones auanes fueran de ompresión (negaivas) la ondiión sería: > > (5.) Podemos ombinar las dos euaiones aneriores en una sola: - < < < < (5.3) maneniéndose la relaión exisene para la ensión angenial. i no se verifiase alguna de las ineuaiones aneriores la lámina rompería. Como se observa no exise ninguna ineraión enre los 9

5 posibles modos de fallo; es deir, si superara el valor la lámina rompe independienemene de los valores alanzados por las oras ensiones siempre que ésas, a su vez, no superen sus respeivos valores de roura. i la lámina se enonrara argada en una direión que no oinidiese on la direión de las fibras en la lámina es neesario expresar el esado ensional en ejes loales. Para el aso de un esado de raión uniaxial el rierio de roura anerior podría expresarse del siguiene modo: Figura 5.3 os θ < os θ sen θ < sen θ (5.4) τ senθ os θ < senθ os θ 93

6 5.3. CRITRIO D DFORMACIÓN MÁIMA egún ese rierio, las deformaiones longiudinales de ore en el inerior de la lámina no deben superar unos deerminados valores. i llamamos: ( ) ( ) deformaión longiudinal a raión (o ompresión) máxima en la direión. deformaión longiudinal a raión (o ompresión) máxima en la direión. deformaión de ore máxima en el plano-. Las ondiiones para que la lámina no rompa son: γ < < máx < (5.5) siempre que las deformaiones fueran de raión (posiivas). i esas deformaiones fueran de ompresión (negaivas) el rierio sería: > > (5.6) maneniéndose el orrespondiene a la deformaión angular. Para deerminar la ensión de roura, apliando ese rierio, pueden presenarse dos asos: en el primero, la ensión auane sobre la lámina lo hae en la direión de las fibras, 94

7 Figura 5.4 n ese primer aso el esado de deformaiones es: γ 0 ν (5.7) Por ano: < C < ν (5.8) La ensión deberá ser menor que: < T < ν C (5.9), en el segundo, lo hae obliuamene a la direión de aquellas, resulando: 95

8 Figura 5.5 os θ sen θ τ máx senθ os θ ( ν ) ( os θ ν sen θ) ( ν ) ( sen θ ν os θ) (5.0) γ máx τ G máx G ( senθ os θ) sas úlimas expresiones proporionan el valor de las deformaiones longiudinales de ore en funión de la ensión apliada lo que permiiría su omparaión on los valores máximos que aquéllas pueden alanzar. Por ora pare, si se admiiera un omporamieno elásio-lineal hasa roura de la lámina, se endría, apliando la le de Hooke: G (5.3) 96

9 por lo que el rierio de roura equivalene expresado en ensiones pasaría a ser: < os θ ν sen θ < sen θ ν os θ (5.4) < osθsenθ n ese rierio, a diferenia de lo que suede on el de ensión máxima, se observa que se debe ener en uena el efeo Poisson CRITRIO D TAI-HILL (968) Para maeriales anisóropos, Hill esableió un rierio de plasifiaión basado en el de Von Mises ua validez omprobó para algunos maeriales meálios. se rierio hae inervenir una serie de parámeros de plasifiaión F,G,H,L,M N. u expresión general es: (G H) Lτ z x (F H) Mτ xz Nτ (F G) x z H x G x z F z (5.5) i se pariularizara ese rierio para el aso de maeriales isóropos se omprobaría que es eneramene equivalene al de Von Mises. i se admiiera un omporamieno del maerial elásio-lineal hasa roura, el rierio anerior podría ser onsiderado omo un rierio de roura en el aso de los maeriales ompuesos. Tsai relaionó los parámeros F, G, H, L, M N on las resisenias meánias en direión de las fibras,, en direión ransversal a ellas,, de la resisenia de la lámina en direión perpendiular a la misma, Z de la resisenia a oradura plana,, e inerlaminar xz z. Tsai supuso que sobre la lámina auaban esados de arga simples. i sólo auara una raión en direión de las fibras la roura se produiría uando la ensión se hiiera igual a la resisenia. 97

10 Figura 5.6. x (5.6) Por oro lado apliando el rierio de roura pariularizado para ese esado de arga en onreo: (G H) x (5.7) Por ano: ( G H) (5.8) De igual modo si sólo auara una raión en direión perpendiular a las fibras la roura se produiría uando la ensión se hiiera igual a la resisenia. 98

11 Figura 5.7. (5.9) Por oro lado apliando el rierio de roura pariularizado para ese esado de arga en onreo: (F H) (5.0) Por ano: ( F H) (5.) Análogamene suedería para una arga de raión auando en direión Z: Figura

12 Z z ( F G) Z ( F G) Z (5.) Las euaiones (3.6), (3.9) (3.0) forman un sisema de euaiones on res inógnias F,G H, resolviéndolo nos queda: H Z G F Z Z (5.3) Considerando ahora úniamene una ensión de oradura plana τ, la roura se produirá uando: Figura 5.9. τ x (5.4) Apliando el rierio de roura: N τ x (5.5) Por ano: 00

13 0 N (5.6) Análogamene ourre para las oras ensiones de oradura: z L (5.7) xz M (5.8) l rierio de Tsai-Hill queda finalmene expresado mediane la siguiene euaión: Z Z Z Z x xz xz z z z z x x z x τ τ τ (5.9) i, omo es usual, el problema se limiara al aso de una lámina unidireional rabajando en ensión plana según el plano - (las fibras en la direión ) admiiendo que Z, endríamos la siguiene expresión del rierio de Tsai-Hill: Figura 5.0. τ (5.0) que es la expresión más uilizada para resolver problemas. i uviéramos una soliiaión sobre la lámina omo la represenada en el roquis siguiene,

14 Figura 5.. os θ sen θ τ osθ senθ (5.) el ierio de Tsai-Hill se expresaría: os 4 θ 4 sen θ os θsen θ (5.) 5.5. CRITRIO D TAI-WU (97) Como se observa a lo largo de esa exposiión, la omplejidad de los rierios de roura va en asenso debido a que hubo que adeuarlos on los resulados experimenales que se iban obeniendo. l rierio de Tsai- Wu es algo más ompliado que el de Tsai-Hill, empleando una noaión ensorial, puede ponerse de la forma siguiene: F i i F ij i j i,j,,...6 (5.3) siendo Fi Fij dos ensores de orden 4 respeivamene. Para el aso de una lámina oróropa rabajando en ensión plana, la expresión anerior quedaría omo: F F F6 6 F F F666 F (5.4) 0

15 (i omponenes onraadas del ensor de ensiones) Para deerminar los oefiienes que apareen en el rierio se puede proeder del siguiene modo: i realizamos un ensao de raión en la direión de las fibras la roura de la lámina se produirá uando: Figura 5.. (5.5) Apliando el rierio de Tsai-Wu la roura se produirá uando: F F (5.6) Combinando ambas euaiones nos queda: F F (5.7) Haiendo un ensao de ompresión la roura se produirá uando: 03

16 Figura 5.3. ' (5.8) Apliando el rierio de Tsai-Wu: F F (5.9) por ano: F ' F' (5.30) Combinando las euaiones (3.35) (3.38) es posible deerminar el valor de los oefiienes F F F F (5.3) De manera análoga, realizando los ensaos en direión, se podría demosrar que: F F (5.3) 04

17 Realizando ahora un ensao de oradura la roura se produiría uando: Figura 5.4. τ x (5.33) independienemene del signo de diha ensión. Apliando el rierio de roura si la ensión es posiiva: F6 6 F666 (5.34) si es negaiva: F6 6 F666 (5.35) De donde se puede deduir que: F 6 0 F 66 (5.36) l problema surge on la deerminaión de la omponene F a que no puede ser obenida de los resulados de un ensao uniaxial en alguna de las direiones prinipales de la lámina a que es juso el oefiiene que muliplia al produo de las ensiones. Para su deerminaión supongamos que, a la lámina, se la impone un esado biaxial de ensión: 05

18 Figura 5.5. n la roura: R R (5.37) Apliando el rierio de roura: F F F F F (5.38) Imponiendo que las dos ensiones apliadas sean iguales: (F F ) (F F F ) (5.39) Despejando F de la euaión anerior susiuendo las expresiones a obenidas para las oras omponenes de ese ensor, se obiene que: F (5.40) e dedue, pues, que la omponene F depende de las resisenias meánias de la lámina así omo ambién del valor de la ensión biaxial de roura,, apliada. No es, por ano, una propiedad de la lámina sino que es funión de las ensiones apliadas. s deir: F f( roura biaxial ) (5.4) 06

19 Para onoer ese parámero es neesario, por ano realizar un ensao de raión biaxial que es mu omplejo. Una manera alernaiva de alular F es por equivalenia on el rierio de Von Mises. i apliamos el rierio de Tsai-Wu omo rierio de plasifiaión de un maerial meálio isóropo en ejes prinipales: ' ' (5.4) Donde es el límie elásio del maerial: F F F F F F F (5.43) F Por oro lado apliando el rierio de Von Mises: (5.44) Idenifiando érminos: F (5.45) Generalizando a un maerial anisóropo: F F F (5.46) n ausenia de ora informaión se suele esimar el parámero F mediane la siguiene euaión: F 0.5 < * F < 0 (5.47) * F F F 07