1.3. Principios del Análisis Real
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- Pedro Giménez Roldán
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1 1.3. Principios del Análisis Real En este tema recogemos lo que bajo el nombre de Principios se presenta como herramienta esencial en nuestro camino Principio de Inducción Con este principio vamos a introducir el bien conocido conjunto Í de los números naturales. Lo haremos introduciendo una muy útil definición, la de conjunto inductivo, que dará nombre a un método de demostración que usaremos cada vez que queramos probar un resultado que involucre fórmulas donde aparezcan números naturales. Definición 1 Sea A un cto de números reales. Se dice que A es inductivo si se verifican las dos condiciones siguientes i) 1ŒA, y ii) Si xœa, x entonces x+ 1ŒA1
2 Definiciones Definición 2 Llamamos cto Í de los números naturales al cto intersección de todos los subctos inductivos de Ñ, es decir: Í:=»{AÕ Ñ / A es inductivo} Í es inductivo, aunque lo realmente importante es que Í es el cto inductivo más pequeño; eso es lo que nos dice la siguiente Proposición 1 Si A es un cto inductivo tal que AÕ Í, entonces A= Í La prueba es evidente, puesto que por ser Í inductivo, se tiene que Í Œ A. Teniendo esto en cuenta, obtenemos un principio, el cual nos proporciona un método matemático para demostrar la validez de una propiedad para todo número natural Página 2
3 Principio de Inducción Principio de Inducción Supongamos que para cada natural n podemos enunciar una proposición p(n) Entonces, si p(1) es verdadera y la veracidad de p(n) implica la veracidad de p(n+1) tendremos que p(n) es cierta para todo n natural Por ejemplo Ñ y Ñ + son inductivos, mientras que Ñ - y Ñ * no lo son La función potencia real de exponente natural (Fotocopias) Corolario 1 i) n 1, para todo nœí ii) Dados m,nœí se tiene que m+n,mnœí iii) nœífi-nœí iv) Si nœí y 1/nŒÍ fin=1. v) Si nœí y nπ1fin-1œí vi) Dados m,nœí se tiene que n<m m-nœí vii) Dados m,nœí se tiene que n<m n+1 m Página 3
4 Principios de Arquímedes y Buena Ordenación Principio de Arquímedes El cto Í de los números naturales no está mayorado, es decir, dado x ŒÑ, existe nœí tal que x<n. Presentamos ahora otro resultado relativo a Í de crucial importancia : Í es discreto, esto es, cada número natural tiene su siguiente a salto de uno, es lo que viene a decir la siguiente proposición: Proposición: Si nœí y x ŒÑ es tal que n<x<n+1fixœí Principio de la Buena ordenación Todo cto no vacío de números naturales tiene mínimo. Página 4
5 1.4. Conjuntos distinguidos En este tema recogemos contenidos que amplian la gama de conjuntos de números reales que son de interés por sí mismos. Llamamos conjunto Ù de los números enteros al conjunto Ù:=Í«{-n:nŒÍ}«{0} Es fácil probar que la diferencia de dos números naturales es siempre un número entero y que, recíprocamente, todo número entero se puede expresar como diferencia de dos naturales. Esta forma de expresar los números enteros es útil para probar el siguiente resultado: Página 5
6 Proposición Si pœ Ù fi -pœ Ù i) La suma y el producto de dos numeros enteros son números enteros. iii) Si pœ Ù\{0} y p -1 Œ Ù, entonces p=1 ó p=-1. iv) Ù no tiene ni máximo ni mínimo v) p, qœ Ù con p<qfip+1 q vi) Todo cto de números enteros no vacío y mayorado (resp. minorado) tiene máximo (resp. mínimo). Vemos tb que el orden de los enteros es discreto, como cabía esperar en vista de su definición a partir de los naturales. Página 6
7 Definición (Potencias de exponente entero) Sea x un número real. Las potencias de exponente natural de x vienen dadas por recurrencia del siguiente modo: x 1 =x,,x n+1 =x n x, para todo n natural Si xπ0, definimos además x 0 =1 y x -n =1/x n para todo n natural. Es inmediato a partir de esta def. que para cualesq. x en Ñ* y pœ Ù, se verifica que x p =1/x -p. Propiedades de las potencias de exponente entero Sean x,y en Ñ* y p,q Œ Ù. Entonces i) x p+q =x p x q ii) (xy) p =x p y p iii) (x/y) p =x p /y p iv)(x p ) q =x pq =(x q ) p. Si x,y ŒÑ + y p ŒÍ, se tiene además v) x<y x p <y p vi) Finalmente, para x>1: p<q x p <y q Página 7
8 La función parte entera Llamamos función parte entera a la función f de Ñ en Ù dada por E(x):={kŒ Ù :k x} Llamamos cto Ð de los números racionales al cto Ð:= {x ŒÑ tal que x=p/q con pœ Ù y qœí} El orden de los racionales no es discreto y existen muchos racionales que no son enteros Ð es un cuerpo conmutativo ordenado (con las operaciones y la relación heredada de Ñ ). Además, ÍÃÙÃÐÃÑ. Sabemos que las dos primeroas inclusiones son estrictas. Para comprobar la tercera hacemos uso del axioma del supremo. Dedicamos el resto del tema a poner de manifiesto que Ñ es más grande que Ð Página 8
9 Es fácil comprobar que no existe un número racional r tal que r 2 =2. En cambio, el axioma del Supremo permite probar que la situación es muy distinta en el caso real: Proposición Sea a ŒÑ, con a 0, y sea n un natural. Entonces existe un único número real x 0 tal que x n =a. El real x se llama raiz n-ésima no negativa de a y se denota por n a o bien a 1/n. Dados dos números reales no negativos a y b se tiene que ab= a b Es obvio, que cualquiera que sea n natural, la raiz n-ésima de cero es cero, y la de 1 es 1. Por otro lado, dado a Ñ + 0, costumbre en lugar de Ya tenemos garantizada la existencia de números reales que no son racionales. Tal es el caso de a = a a = a es Página 9
10 Proposición i) Existe un número real positivo x tal que x 2 =2. Este número se notará por 2 ii) 2œÐ Estamos en condiciones de afirmar que los Irracionales son muy abundantes. Piensese que La suma de racional +irracional=irracional, y el producto de un Racional (π0) Irracional=irracional La primera parte del siguiente enunciado nos habla tb de la abundancia de irracionales Teorema Sean x e y dos números reales tales que x<y. Entonces i) Existe un número irracional a tal que x< a <y. ii) Existe un número racional r tal que x< r <y. Solemos referirnos al contenido del Teorema anterior diciendo que los ctos Ñ y Ñ\Ð son densos en Ñ Página 10
11 Definición Llamamos un intervalo cerrado y acotado de extremos a y b, con a y b en Ñ y a b, al conjunto siguiente : [a,b]:={xœñ ; a x b} Además de éstos existen otros de la forma : [a,b[:={xœñ ; a x<b} ]a,b]:={xœñ ; a<x b} ]a,b[:={xœñ ; a<x<b} ]-,a]:={xœñ ; x a} ]-,a[:={xœñ ; x<a} [a, + [:={xœñ ; a x} ]a, + [:={xœñ ; a<x} Intervalo semiabierto a derecha de extremos a y b Intervalo semiabierto a izquierda de extremos a y b Intervalo abierto de extremos a y b Semirrecta cerrada de extremo a Semirrecta abierta de extremo a Semirrecta cerrada de origen a Semirrecta abierta de origen a Ejemplos: Ñ + 0:= [0, + [, Ñ - 0:= ]-,0] Ñ + := ]0, + [, Ñ - := ]-,0[ Página 11
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