Problemas Tema 1: Señales

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1 Curso Académico Problemas Tema : Señales PROBLEMA. Una señal continua (t) se muestra en siguiente figura. Dibuje y marque cuidadosamente cada una de las siguientes señales [Prob.. del Oppenheim]: a) ( t ) b) ( t) d) ( t + ) e) ( t / ) c) [ ( t) + ( t) ] u( t) 4 f) ( t) [ δ ( t + 3 / ) δ ( t 3 / )] PROBLEMA. Una señal discreta se muestra en siguiente figura. Dibuje y marque cuidadosamente cada una de las siguientes señales [Prob.. del Oppenheim]: a) [n-4] b) [3-n] c) [3n] n d) [3n+] e) [n]u[3-n] f) [ n] + ( ) [ n] g) [ n ] [ n ] δ h) [(n-) ] PROBLEMA 3. Realice las transformaciones de señal indicadas en cada caso: t a) Siendo (t) = u(t) - u(t - ), calcule (t), y (-t). b) Siendo (t) = u(t + ) - u(t - ), calcule (t - ) y (t + 3). c) Siendo (t) = u(t + ) - u(t - 3), calcule (t) + y (t) -. PROBLEMA 4. Calcule la parte par y la parte impar de las siguientes señales continuas [Prob..3 del Oppenheim]:

2 Curso Académico PROBLEMA 5. Calcule la parte par y la parte impar de las siguientes señales discretas [Prob..4 del Oppenheim]: Problema 6. Determinar si cada una de las siguientes señales es o no periódica. Si la señal es periódica, especifique su periodo fundamental [Prob..9,.0,. y.5 del Oppenheim]. a) t je j 0 ( ) = t b) ( t) e d) 4[ ] n = 3e j n 3π ( + / )/ 5 f) 6 ( t) = cos( 0t + ) sen( 4t ) g) 7[ ] π n = + e e j4 n/ 7 jπn/ 5 e) 5[ ] ( j) t = + c) 3[ ] n = 3e j n 3/ 5( + / ) h) 8 ( t) = [ cos( t π / 3) ] n e j 7π = n PROBLEMA 7. Sean las señales en tiempo continuo siguientes. [Febrero 003]. cos π t π 4 3 π t 8 π 6 ( t) = + ; ( t) = sen a) Son señales periódicas? Cuál es el periodo fundamental de cada una? Cuál es el periodo fundamental de (t) = (t) + (t)? b) Sea la señal 3 (t) = (t) + (t) + 5. Determine su periodo fundamental. PROBLEMA 8. Sean las señales en tiempo discreto siguientes. [Septiembre 003]. cos π π 4 3 π 8 π [ n] = n + ; [ n] = sen n a) Razonar si son señales periódicas o no, y en caso de que lo sean, decir cuál es el periodo fundamental de cada una. b) Sea la señal 3 [n] = [n] + [n] + 5. Determine su periodo fundamental.

3 Curso Académico PROBLEMA 9. Sea una señal continua (t) y una secuencia discreta [n] tales que: j j j0t j0n ( t) = e ; [ n] = e a) Estudie la periodicidad de ambas señales. b) Calcule el módulo de (t), (t). c) Calcule la parte imaginaria de (t), Im{(t)}. PROBLEMA 0. Dada la siguiente señal, (t). a) Obtenga la epresión analítica y la representación gráfica de su derivada. b) Eprese la señal (t) en función de escalones. PROBLEMA. Considere la señal discreta siguiente [Prob.. del Oppenheim]: [ ] = δ [ ] n n k Determine los valores de los enteros M y n 0 de manera que [n] se eprese como: k = 3 [ n] = u[ Mn n 0 ] PROBLEMA. Considere una señal periódica [Prob..4 del Oppenheim]: 0 t ( t) = < t < con periodo T =. La derivada de esta señal está relacionada con el tren de impulsos con periodo T =. Puede demostrarse que: g( t) = δ ( t k) k = d( t) dt = A g( t t ) + A g( t t ) Determine los valores de A, t, A y t. 3

4 Curso Académico PROBLEMA 3. Determinar los valores de la potencia media y la energía para cada una de las siguientes señales [Prob..3 del Oppenheim]: a) (t)= e -t u(t) b) (t) = e j(t+π/4) c) 3 (t) = cos (t) d) [n] = (/) n u[n] e) [n] = e j(π/n+π/8) f) 3 [n] = cos((π/4)n) PROBLEMA 4. Considere la señal continua ( t) = δ ( t + ) δ ( t ). Calcule el valor de la energía para la señal [Prob..3 del Oppenheim]: PROBLEMA 5. Considere la señal continua: t y( t) = ( τ ) dτ ( t) = cos( 6π t) + sen( π t 6π ) + a) Determine si (t) es periódica. Caso de serlo, determine su periodo fundamental. b) Calcule el valor medio de (t). c) Calcule la potencia de (t). PROBLEMA 6. Dada la secuencia discreta: 5 [ n] = δ [ n 5k] δ [ n 5k] δ [ n 3 k] k= a) Calcule el valor medio de [n]. b) Calcule la potencia de [n]. c) Calcule la parte impar de [n]. k= k= PROBLEMA 7. Considere el siguiente par de señales continuas: ( t) = u( t ) + ( t 3) u( t 3) + ( 5 t) u( t 5) u( t 6) u( t 7) a) Calcule la energía de (t). b) Escriba la señal y(t) en función de (t). t 5 c) Calcule la señal z ( t) = u( t 0) u( t 5). Estudie su simetría. 4

5 Curso Académico PROBLEMA 8. Considere la señal de la figura [Septiembre 004]. (t) t Represente gráficamente las siguientes señales. a) ( t) = d( t) dt b) ( t) ( t) ( ) d t = + dt 3 t = t 4 + t + 4 c) ( ) ( ) ( ) t 4 t = d) ( ) PROBLEMA 9. Considere el esquema de procesado de señal de la figura. [Septiembre 006]. a) Para la señal (t), analice la periodicidad y la simetría, y calcule su valor medio, su energía y su potencia. b) Construya la señal 5 (t). c) Para la señal 5 (t), analice la periodicidad y la simetría, y calcule su valor medio y su potencia. 5

6 Curso Académico Soluciones PROBLEMA. t PROBLEMA 3. a) (t) = u(t) - u(t ); = u(t) - u(t 4); (-t) = u(t + ) - u(t). b) (t - ) = u(t) - u(t 3); (t + 3) = u(t + 4) - u(t + ); c) u(t + ) - u(t - 3) + ; u(t + ) - u(t -3) -. 6

7 Curso Académico PROBLEMA 4. PROBLEMA 5. PROBLEMA 6. a) (t) periódica, de periodo T = π/0 sg.; b) (t) no es periódica; c) 3 [n] periódica, de periodo N = ; d) 4 [n] periódica, de periodo N = 0; e) 5 [n] no es periódica; f) 6 (t) periódica, de periodo T = π sg.; g) 7 [n] periódica, de periodo N = 35; h) 8 (t) periódica, de periodo T = π/ sg. PROBLEMA 7. a) (t) periódica, de periodo T = 8 sg.; (t) periódica, de periodo T = 6 sg.; (t) periódica, de periodo T = 6; b) T = 6. PROBLEMA 8. a) [n] periódica, de periodo N = 8; [n] periódica, de periodo N = 6; (n) periódica, de periodo N = 6; b) N = 6. PROBLEMA 9. a) [n] no es periódica; (t) periódica, de periodo T = π/5 sg.; b) (t) =; c) Im{(t)} = sen(0t + 3π/4). 7

8 Curso Académico ( t) = d PROBLEMA 0. a) δ(t + ) - δ (t + ) - δ (t) + δ (t - ) + δ (t - ) - δ (t - 3); dt b) (t) = u(t + ) - u(t + ) - u(t) + u(t - ) + u(t - ) - u(t - 3) PROBLEMA. M = -; n 0 = -3. PROBLEMA. A = 3, t = 0; A = -3, t =. PROBLEMA 3. a) P = 0 W, E = 0,5 J (definida en energía); b) P = W, E = (definida en potencia); c) P = 0,5 W, E = (definida en potencia); d) P = 0 W, E = 4/3 J (definida en energía); e) P = W, E = (definida en potencia); (f) P = 0,5 W, E = (definida en potencia). PROBLEMA 4. E = 4 J. PROBLEMA 5. a) (t) periódica, de periodo T = /3 sg.; b) ; c) 7/ W. PROBLEMA 6. a) 0; b) 3/0 W; c) 0. t 5 PROBLEMA 7. a) E = 68/3 J; b) y ( t) = ; c) z(t) tiene simetría impar. 8