Seminario de problemas. Curso Hoja 9

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1 Semiario de prolemas. Curso Hoja Alero, Berardo y Carla se ha coocido e ua red social. Ellos pregua a Carla cuádo es su cumpleaños; e lugar de respoderles direcamee, ella decide poerles u prolema. Para ello les da ua lisa co diez posiles fechas: 5, 6 y 9 de mayo, 7 y 8 de juio, 4 y 6 de julio, 4, 5 y 7 de agoso. Después, Carla les dice por separado a Alero y a Berardo el mes y el día de su cumpleaños, respecivamee. Eoces Alero señala: No sé cuádo es el cumpleaños de Carla, pero sé que Berardo ampoco lo sae. A lo que Berardo respode: Al pricipio o saía cuádo era el cumpleaños de Carla, pero ahora ya lo sé. Alero reflexioa y cocluye: Eoces yo amié sé cuádo es su cumpleaños. Qué día es el cumpleaños de Carla? Solució. Carla cumple años el 6 de julio. Teemos que descarar los meses de mayo y juio porque e esos meses hay posiles días de cumpleaños que o aparece e oros meses (si Carla cumpliera años uo de esos meses, Alero o podría decir que él sae que Berardo, que sólo cooce el día de cumpleaños, o puede saer la fecha de cumpleaños. Tampoco puede cumplir años i el 4 de julio i el 4 de agoso, porque Berardo o podría decir que sae cuádo cumple años Carla. Además, o puede cumplir años e agoso porque Alero, después de oir que Berardo lo sae, o podría coocer cuado es el cumpleaños de Carla. 50. Sea x, y >. Proar que x + x + y + xy 0. + y Solució. Cosideramos a = + x > 0, = + y > 0. Eoces (a + a ( + (a ( 0 a + + a 3. Solució a. Si aplicamos la desigualdad ere la media ariméica y la medida geomérica (para res úmeros: si x, x,... x so úmeros posiivos, eoces x x x x + x + + x. La igualdad se iee si y sólo si x = x =... = x. Así, ( a + + a/3 3 a =. a Solució a. Por la desigualdad de las medias para dos úmeros Basa proar que si a = > 0, eoces que se ovia. + 3 a + + a + a. a ( + 0 ( ( + 0.

2 5. Sea A A, B B, C C 3 res segmeos de igual logiud e los lados de u riágulo equiláero. Proar que e el riágulo formado por las recas B C, C A, A B, los segmeos B C, C A, A B so proporcioales a los lados e los cuales ellos esá coeidos. Solució. Cosideramos el puo P dode se cora la reca que pasa por A y es paralela a A C y la reca que pasa por C y es paralela a AC (ver la figura adjua. Eoces A A P C es u paralelogramo, el riágulo C C P es equiláero, el cuadriláero B B C P es u paralelogramo y el riágulo A B P es semejae al A B C y sus lados mide igual a los segmeos A B, B C y C A, respecivamee, que demuesra lo que uscáamos. 5. Hallar odos los poliomios P (x co coeficiees reales ales que P (04 = y, para algú eero c: xp (x c = (x 04P (x Solució. Los poliomios que cumple las codicioes del prolema so P (x = κx(x d (x ld, dode d es u divisor posiivo de 04, l es al que 04 = d(l + y κ = d l+ (l+!. Así, por ejemplo, cosiderado d = 04, l = 0, P (x = 04 x. Oservar que 04 = 9 53, que iee 8 divisores; de modo que hay 8 poliomios que cumple la ecuació.

3 Demosremos lo aerior. Oservar que el poliomio ulo o es solució del prolema. Haciedo x = 0 e la ecuació del prolema, os queda P (0 = 0. Si c = 04, q(x := P (x P (x 04 = = q(x 04, x x 04 de modo que el poliomio q iee que ser cosae. Así P (x = cx, co c =. Esa es ua solució del prolema. 04 Cosideremos e lo que sigue c 04. Veamos que si P se aula e jc, eoces amié se aula e (j + c, a meos que (j + c = 04, co j Z, j 0. Haciedo x = c, os queda P (c = 0. Si hacemos x = (j + c 04, 0 = (j + cp (jc = ((j + c 04P ((j + c P ((j + c = 0. Como P o es idéicamee cero, iee que exisir l al que (l + c = 04; es decir, c iee que ser u divisor de 04. Así, dado u divisor d de 04 (c := d, y l 0 al que P se aula e 0, d,..., ld, es decir, (l + d = 04, P (x = x(x d (x ldq(x. Susiuyedo e la ecuació origial (co c = d, x(x d(x d (x 04Q(x d = (x 04x(x d (x ldq(x Q(x d = Q(x, de modo que Q iee que ser cosae. Por ao, evaluado e x = 04, os queda P (x = κx(x d (x ld, = P (04 = κ04(04 d (04 ld = κd(d (ld((l + d, κ = d l+ (l +! 53. Proar que para odo eero posiivo, + + o iee igú divisor de la forma 3j +, co j 0. Solució. Supogamos, para oeer ua coradicció, que exise aural, k 0 y m aural ales que + + = (3k + m.

4 Muliplicado la igualdad aerior por, os queda 3 = (3k + m, co m u úmero aural. Sea p u primo que divide a 3k +, co p = 3j + para ciero j 0. Tal p iee que exisir porque odos los divisores de 3k + o puede ser cogruees co módulo 3. Oservar que por la primera ecuació o es múliplo de p. Además, 3 (mod p. Por el eorema de Ferma p = 3j+ Comiado las dos úlimas relacioes eemos (mod p. 3j+ = ( 3 j (mod p Pero segú la primera relació y esa úlima (mod p De dode p divide a 3, que es imposile porque p = 3j Sea P, P,..., P sucojuos de dos elemeos disios de {a, a,..., a } ales que si P i y P j iee u elemeo comú, eoces {a i, a j } es uo de los cojuos P k. Demosrar que cada a k aparece exacamee e dos P l. Solució. Sea m j la caidad de cojuos P k que iee al elemeo a j. Como los elemeos de cada P k so disios, m + m + + m =. Por ora pare, el úmero de parejas P i, P j que iee a k como elemeo comú es ( m k (eediedo ese valor como 0 si m k y como asociado a cada par P i, P j que iee u puo comú eemos u P k = {a i, a j } y hay sólo cojuos P k, eoces ( m k m k = ( mk (m k (m k = Por la desigualdad ere las medidas de orde y de orde (ver oservació más aajo, eemos ( m k m k. y aplicado eso juo co la primera ideidad dada, os queda ( m k m k (4 / =. De modo que hay igualdad e la desigualdad ere las medias de orde y de orde, que sigifica que odos los m k so iguales. Por ao, m k = para odo k. Oservació. Si = 4 y cosideramos el cojuo {a, a, a 3, a 4 }, co P = {a, a }, P = {a, a 3 }, P 3 = {a 3, a 4 }, P 4 = {a 4, a } cumple las propiedades que se da e el prolema.

5 Oservació. La desigualdad de Cauchy-Schwarz plaea que si a, a,..., a y,,..., so úmeros reales, eoces a + a + + a (a + a + + a ( Hay igualdad si y sólo si los vecores (a, a,..., a y (,,..., so proporcioales. E paricular, si a = a =... = a =, eemos , que se cooce como desigualdad ere las medias de orde y de orde (por las poecias a las que esá elevadas los úmeros. E ese caso la igualdad se iee si y sólo si = =... =.

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