GEOMETRIA 1 + = c) 4. d) e) 1 = 2. f) = 3 = g) 2 1 = h) 1. 6)Consideramos la recta r de ecuación 2

Transcripción

1 GEOMETRIA )Dados el punto A(l,-,) el vector v(,,-), escribe las ecuaciones paramétricas continua de la recta cua determinación lineal es (A,v). )Escribe las ecuaciones paramétricas continua de la recta determinada por los puntos A(,,) B(,,-). )Estudia si están alineados los siguientes puntos: A(,-,), B(,,-) C(,-,5/). )Consideramos la siguiente recta: 5 -. Escribe: a)una determinación lineal de dicha recta. b)sus ecuaciones paramétricas. c)su ecuación continua. 5)Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas: a) b) c) 8 d) e) f) g) h) )Consideramos la recta r de ecuación.halla las ecuaciones paramétricas de la recta paralela a r que pasa por el punto A(,-,5). 7) Consideramos el punto A(,-,) los vectores u(,,) v(-,,). Determina las ecuaciones paramétricas la ecuación general del plano determinado por los tres elementos citados. 8)Escribe las ecuaciones paramétricas general del plano determinado por los siguientes puntos: A(,,-), B(,-,) C(,-,). 9)Estudia si son o no coplanarios los siguientes puntos: A(,,), B(5,-,-), C(,,) D(5,, l). )Determina la posición relativa de los siguientes pares de planos: a) - b) - c) -5 d) ) Estudia si los planos π : - - π : - definen un ha de planos. En caso afirmativo, escribe la ecuación de dicho ha la ecuación continua del eje del mismo. )a)determina la ecuación del ha de planos del que es eje la recta. b)halla la ecuación del plano del ha que pasa por el punto A(,-,).

2 )Determina la posición relativa de las siguientes ternas de planos: a) - - b) - - c) 5 d) )Determina la posición relativa de los siguientes planos rectas: a) 5 b) c) d) e) 5)Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (,,-) que es paralela a los siguientes planos: π :- π : -l. )Halla la ecuación del plano que contiene a la recta de ecuación r: 5 es perpendicular al plano π : - l. 7)Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el punto (,,-l) que es perpendicular a las rectas siguientes: r: s: 8)Halla la ecuación del plano al que pertenece el punto (l,-,/) sabiendo que es perpendicular a los planos π : - - π :--. 9)Halla la distancia entre el punto A(,,) la recta de ecuación )Halla la distancia entre el punto (,-/,) el plano π: - - l. )Halla la ecuación de la recta perpendicular común a las siguientes rectas (recta que corta perpendicularmente a ambas): r: s: )Halla el ángulo determinado por la recta - con el plano --. )Halla el ángulo determinado por las rectas citadas en el problema ). )Halla la ecuación del plano que contiene a la recta que dista una unidad del punto (,,). 5)Halla el área del paralelogramo ABCD que tiene por vértices los siguientes puntos: A(,,-), B(,-,-), C(,-,) D(,,).

3 )Consideramos el segmento de etremos A(,-,5) B(,7,).a)Halla las coordenadas del punto medio del segmento. b)halla las coordenadas de los puntos que dividen el segmento en tres partes iguales. c)halla las coordenadas del punto C, alineado con A con B, perteneciente al segmento de etremos A B, que está a doble distancia de A que de B. 7)Halla el valor que debe tener K para que las siguientes rectas se corten en un punto. Para dicho valor de K halla la ecuación del plano que determinan. k r: s: 8)Consideramos el siguiente ha de planos: t.(-l) s.(-). a)halla la ecuación del plano de dicho ha al que pertenece el punto (l,-,). b)halla la ecuación del plano del ha que es paralelo al vector (l,-,). 9)Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (,/,5) es perpendicular al plano π: - -l. )Halla la ecuación del plano que divide perpendicularmente al segmento de etremos A(,,-) B(,,) en dos partes iguales. ) Halla la ecuación de la recta proección de la recta r: sobre el plano π: -. )Halla la longitud de la proección del segmento de etremos A(,,) B(-,,7) sobre el plano π: )Halla el área el volumen del tetraedro que tiene los siguientes vértices: (,,) (,,-) ; (,,7) ; (-5,-,8). )Halla la ecuación del plano determinado por el punto A(,,) por la recta - - r: )Halla la ecuación del plano al que pertenecen los puntos A(,,) B(,,-l) que es - paralelo a la recta r:. - )Halla la ecuación del plano al que pertenece el punto (l,,) que es paralelo a las rectas r s dadas a continuación. r: s: 7)Halla la ecuación del plano determinado por el punto (,,) por la recta de ecuación r: 8)Consideramos la recta r: el plano π: ---l. a)halla las coordenadas del punto de corte. b)halla tres planos cua intersección sea la recta dada. 9)Halla el punto simétrico del punto A(-,,5) respecto del plano π: --. t )Halla el punto simétrico del punto A(-,,5) respecto de la recta r: t t )Halla la distancia entre los siguientes planos π : - - π :

4 )Calcula la distancia entre las siguientes rectas: 5 r: s: ) Halla la proección del punto A(,,) sobre el plano π: --. )Consideramos las siguientes rectas: r: s: Estudia si eiste algún plano que perteneca al ha que tiene a r por arista que, además, contenga a s. 5)Halla un vector de longitud que sea perpendicular a los siguientes vectores: a(,,) b(-,,5). )Estudia la posición relativa de los siguientes planos, según los valores de m: m - ; m - ; l. 7)Los puntos A(,,), B(,,), C(5,,) D(-,-,) son los vértices de un cuadrilátero. a)halla su área. b)demuestra que los puntos medios de los lados del cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo. 8)Consideramos las rectas r: s: 5 el vector v(,,).halla, caso de que eistan, dos puntos M N, uno de cada recta, tales que MN v. 9)Halla los valores que han de tener m n para que el plano m n perteneca al ha siguiente: t.(- -l) s.(--) 5) Consideramos las rectas:. Halla dos puntos M N, uno de cada recta tales que el vector MN sea perpendicular a ambas rectas. 5)Halla la ecuación de un plano que diste tres unidades del origen que sea paralelo al plano de ecuación -. 5)Dos caras de un cubo están contenidas en los siguientes planos: --; -l. Halla el volumen de dicho cubo. 5) Halla la ecuación de un plano que determina con los planos coordenados un tetraedro de volumen u que es paralelo a las siguientes rectas: 5)Halla el volumen de la pirámide que tiene por base el cuadrilátero de vértices A(,,), B(,,), C(5,,), D(,,) por vértice de la pirámide el punto (,,5). 55)Consideramos los puntos A(,,-), B(,,) la recta r determinada por los siguientes planos: a)halla un punto C, perteneciente a la recta r, tal que el triángulo ABC sea rectángulo en C. b)halla las coordenadas del baricentro del citado triángulo. 5)Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (,,) corta perpendicularmente a la recta

5 57)Determina para qué valores de a, b c el plano de ecuación a b c d cumple lo siguiente: a) es paralelo al plano coordenado OXY ; b) es paralelo al eje OZ ; c) no es paralelo a ningún eje. 58)Estudia, según los valores de K, la intersección de los tres planos siguientes: k -. - k -.. k. 59)Estudia, según los valores de a, la posición relativa de la recta con a a la recta que pasa por el punto (l,-,) es paralela a los planos π : π :. )Estudia, según los valores de m, la posición relativa de los siguientes planos: m ; m m; m m. )Halla el plano al que pertenecen los puntos A(l,,) B(,,) sabiendo, además, que corta al eje OZ en un punto C tal que el área del triángulo ABC es. t ) Halla el plano que pasa por la recta r: t dista cuatro unidades del origen t de coordenadas. )Dado el plano π: -, halla el área del triángulo cuos vértices son las intersecciones de dicho plano con los ejes coordenados. Halla el volumen del tetraedro formado por este triángulo el origen de coordenadas. )Dados los puntos A(,,), B(-,,), C(,-,), halla, como intersección de dos planos, la recta r que contiene a B a C. Calcula el área del triángulo ABC. Halla el volumen del tetraedro de vértices los puntos anteriores A,B,C el punto D(,,l). 5)Prueba que la recta r: es paralela al plano π: -7. Halla la distancia de r a π. t )Halla el ángulo formado por la recta r: t el plano π:-. t 7)Prueba que el plano π que pasa por el punto P(,l,-l) que contiene a la recta r: es paralelo a la recta s:. Eiste alguna recta que pase por P que se apoe en las rectas dadas? Raona la respuesta. 8)Dado el vector u(,,-), halla un vector unitario con la misma dirección de u con sentido contrario. Halla un vector ortogonal a u. Raona las respuestas. 9)Sean A B vértices opuestos de un cubo ó heaedro regular. Demuestra que la diagonal AB es ortogonal al plano π que pasa por los tres vértices contiguos de A. Son paralelos el plano π el plano que pasa por los tres vértices contiguos a B? Raona la respuesta. 5

6 7)Determina un punto de la recta r: que equidiste de los planos π : π : -- l. Es única la solución? Puede haber algún caso, en general, que tenga solución única? Justifica las respuestas. 7)Estudia la posición relativa de las rectas s: (,,)(,,-l) t.(,-,b) -8 r: según los valores del parámetro b. - 7)Halla el ángulo que forma la recta r: con el plano π: l k 7)Determina la posición relativa de la recta r: el plano k π: k -7, según los valores del parámetro K. 7)Halla los etremos de la proección ortogonal del segmento de etremos P(,,), Q(-,,) sobre el plano π: - -l. Comprueba que el punto medio del segmento PQ se proecta ortogonalmente en el punto medio del segmento proectado. 75) Halla la distancia entre la recta que pasa por los puntos A(l,,) B(,,) el eje coordenado OY. 7) Puede haber dos vectores u, v tales que u.v -, u l, v?. Qué se puede decir del ángulo de dos vectores que verifican... Justifica las respuestas. 77) Sea el triángulo de vértices A(l,,), B(,,) C(,,). Halla las ecuaciones de las rectas medianas que pasan por los vértices A C (medianas son rectas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto). Halla el centro de gravedad (baricentro) del triángulo (intersección de medianas). 78)Halla el punto de la recta r: cua distancia al punto A(,,) sea mínima. 79)Se tienen los puntos A (,,-l) B (,a,) la recta r:. Halla el valor ó valores de a para que eista un plano perpendicular a r pasando por los puntos A B. 8) Utiliando las propiedades de dependencia e independencia lineal de vectores, halla la posición relativa de la recta r: el plano π determinado por los puntos P (,l,-), Q(,,-l) R(,,). 8)Sea π el plano de ecuación a (a: ). Si O es el origen de coordenadas A,B,C los puntos de corte de π con cada uno de los ejes coordenados, halla a para que el volumen del tetraedro de vértices O,A,B,C sea u. 8)Encontrar los valores de a b para que los cuatro puntos A(,-), B(,), C(l,b) D(a,-) formen un paralelogramo. Calcular su área. (Zaragoa, Sel. 95) 8) Sean u v dos vectores del plano. Demostrar que si los vectores uv u-v tienen el mismo módulo entonces u v son ortogonales. (Zaragoa, Sel. 95) t 8) De todos los planos que contienen a la recta r: t escribir la ecuación t del que pasa por el punto P(,,). (Zaragoa, Sel. 95)

7 85)Usando vectores, averiguar si los puntos A(,,), B(O,,), C(,,-), D(,,) son coplanarios o no lo son. (Zaragoa, Sel. 95). 8) Calcular los valores de a para los que el plano π: a - - a 5 es paralelo a la recta r:. Averiguar si eiste algún valor de a para el que la recta r esté - contenida en el plano π. (Zaragoa, Sel. 95) 87) Utiliando las propiedades de dependencia e independencia lineal de vectores averiguar la posición relativa de la recta r determinada por los puntos A(l,,-l) B(,,) la recta s determinada por C(,,) D(,,). (Zaragoa, Sel. 9) k 88)Encontrar el punto de intersección de la recta r: k con el plano π k perpendicular a r que pasa por el origen de coordenadas. (Zaragoa, Sel. 9) 89) Dado el punto A(,,) el plano π de ecuación -, hallar el punto de intersección de π con la recta que pasa por A es perpendicular a π. (Zaragoa, Sel. 9) 9)Utiliando las propiedades de dependencia e independencia lineal de vectores deducir la posición relativa de la recta r determinada por los puntos A (,,), B (,,) la recta s determinada por los puntos C(,,) D(,-,). (Zaragoa, Sel. 9) 9) Sea (u,v,w) una base ortonormal, hallar todos los vectores que son ortogonales a u a uvw que tengan módulo. (Zaragoa, Sel. 97). 9) Nos dan la recta determinada por los puntos A(,,), B(,-,-l) la recta s determinada por los puntos C(,,-l) D(,,-). Raonar su posición relativa. (Zaragoa, Sel. 97) λ 9)Hallar el punto P de la recta r de ecuaciones paramétricas r: λ que con los puntos A(,,) B(,,) forma un triángulo rectángulo de hipotenusa BP. (Zaragoa, Sel. 97) λ 9) Hallar el punto de la recta r: λ más próimo al punto A(,-,) (Zaragoa, λ Sel. 97) 95)Hallar el punto del eje OY que es coplanario con los puntos P(,,), Q(,,) R(,,). (Zaragoa, Sel. 97) 9)Hallar el punto simétrico del punto A(-,,) respecto al plano π de ecuación general -5. (Zaragoa, Sel. 98) 97)Nos dan la recta determinada por los puntos A (,,) B (,,) la recta dada - - por: - Se pide: a) Averiguar su posición relativa. b) Si eiste, hallar la ecuación general del plano que las contiene. (Zaragoa, Sel. 99) 98)Se sabe que el producto mito [u,v,w] vale que el módulo del vector v w es. Se pide: i) Hallar, raonadamente, el volumen del tetraedro de vértices A, B, C D sabiendo que AB u - v, AC w AD wv ii) Hallar raonadamente la longitud de la altura de dicho tetraedro que une el vértice B con la cara ACD. (Zaragoa, Sel. 99) 7

8 - 99)Dada la recta r: la recta s determinada por los puntos P(,,) - Q(a, a, l), se pide hallar a para que estas rectas estén contenidas en un plano. Escribir la ecuación general de dicho plano. (Zaragoa, Sel. 99) α ) Dada la recta r de ecuaciones paramétricas r: α los puntos P(,,) Q(,-,), se pide : a) Encontrar la posición relativa de r la recta determinada por P Q. b) Hallar el punto ó puntos R de r para los que el triangulo PQR es isósceles de lados iguales PR QR. (Zaragoa, Sel. Junio ) ) Suponer que el plano coordenado es un espejo ( reflectante en ambas caras ). Desde el punto A(,,) se emite un rao de lu, que reflejándose en este espejo ilumina el punto B(,-,) a) En que punto del espejo debe incidir el rao citado. b) Halla la ecuación general del plano que contiene a los raos incidentes reflejado. (Zaragoa, Sel. Junio ) ) Hallar el valor del parámetro m para que las rectas r s dadas por r: 5 m s: se corten.encontrar el punto de intersección. (Zaragoa, Sel. Septiembre ) ) Sea r la recta determinada por los puntos A(,,-) B(,-,-) s la recta de ecuación.se pide: 5 a) Averiguar su posición relativa. B) Hallar, si eiste, una recta que pase por el punto C(,,) que corte a las rectas r s. (Zaragoa, Sel. Junio ). )Dados los puntos A(,,),B(-,,),C(,,) D(,,) ; se pide : hallar el punto P perteneciente a la recta determinada por A B tal que el triangulo CDP sea rectángulo con hipotenusa CP. (Zaragoa, Sel. septiembre ) 5)La recta corta en P Q respectivamente a los planos λ a) Determinar los puntos ( si los ha ) en el eje OZ que equidistan de P Q. Naturalmente estos `posibles puntos dependen del valor de λ. b) B) Determinar λ para que además los puntos del eje OZ formen con P Q un triángulo equilátero (Zaragoa Sele junio ) ) Sean el plano π el punto P(,-,) a)calcular la distancia δ entre el plano π el punto P. b) Hallar la ecuación del plano paralelo a π distinto del mismo, que también diste de P la misma distancia δ. C)Calcular el volumen de la figura limitada por el plano π los tres planos coordenados. 7)Sea el triángulo de vértices A(,),B(,5) C(,). a)hallar la ecuación de la altura que pasa por el vértice C b)calcular la longitud de los dos segmentos en que la altura anterior corta al lado AB. (Septiembre ) 8)La recta corta a los tres planos coordenados en tres puntos. Determinar las coordenadas de estos puntos, las distancias eistentes entre cada par de ellos e indicar cuál es el que se encuentra en medio de los otros dos. (Septiembre ). 8

9 9)Sea r la recta que pasa por los puntos (,,) (-,,). a)determinar las ecuaciones de los planos π σ que son perpendiculares a la recta r que pasan respectivamente por los puntos (,-,-) (,-,-). b)calcular la distancia que ha entre ambos planos π σ. (Septiembre ). )Sean los puntos A(,,) B(-,,). Determinar: a)ecuación del plano π mediatri del segmento AB. b)el volumen del tetraedro formado por π los tres planos coordenados. c)ecuación de la recta perpendicular al plano π que pasa por el origen. (Junio ). )Sea el plano π de ecuación -5 sean r s las rectas con ecuaciones r s. Determinar: a)los puntos de intersección del plano π con cada una de las dos rectas. b)el área perímetro del triángulo formado por los dos puntos anteriores el origen de coordenadas. (Junio ). ) Sea el plano π :- el punto A(5,-5,). a) Determinar el punto simétrico de A respecto de π. b) Volumen de la figura del espacio limitada por el plano π los tres planos cartesianos. (Junio 5). ) Determinar el punto simétrico del (,-8,) respecto del plano -7. (Septiembre 5) ) Sea r la recta interseccion de los dos planos a)determinar el plano π que contiene a la recta r que pasa por el origen de coordenadas b)escribir la ecuacion de la recta perpendicular a π que pasa por el punto (,,).(Septiembre 5) 9