Primera Sección: Vectores. Ingeniería y vectores. v =

Transcripción

1 Primera Sección: Vectores Ingeniería ectores Los contaminantes de las aguas subterráneas pueden entrar en el agua potable de una comunidad atraezando la roca porosa del manto acuífero. Si las aguas freáticas fluen a una elocidad 1 por una zona de contacto entre dos tipos de rocas, su elocidad cambia a. En estos casos, la dirección la elocidad de circulación se pueden obtener mediante la fórmula: 1 tg φ tg φ onde los ángulos ϕ 1 ϕ son como se muestran en la figura: = 1 1 φ 1 Arenisca Caliza φ cm Sabiendo que para la Piedra Arenisca: 1 = 5 día que para la Piedra Caliza: cm =,8, calcule las componentes de los ectores 1 siendo ϕ 1 = 0º. día

2 Introducción Tanto en Física como en la ida cotidiana ha cantidades tales como el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad, la cantidad de carga eléctrica, la cantidad de baldosas necesarias para cubrir el piso de un patio, entre otras que quedan completamente definidas por un número real la unidad correspondiente. Este tipo de magnitudes se denominan magnitudes escalares. Sin embargo, otras cantidades tales como la elocidad, la fuerza necesaria para correr un mueble, tienen una cualidad direccional. Por ejemplo, imagine que dos pintores: Carlos Juan están pintando el liing de una casa, por tal motio deben correr un escritorio que se encuentra en un rincón apoado sobre dos paredes. Carlos le dice a su compañero que prepare la pintura mientras él lo corre. Entonces, Carlos decide colocar una soga alrededor del mueble, aplica una fuerza sobre el mismo para desplazarlo. Es suficiente decir que Carlos aplicó una fuerza de F unidades de fuerza para lograr su objetio?... Es claro, que no alcanza con especificar la fuerza aplicada mediante un número real, a que resulta importante la dirección el sentido en que dicha fuerza se aplica con el fin de lograr el objetio. El modelo matemático para representar estas cantidades en las cuales importa la dirección el sentido, además de la magnitud, es el concepto de ector se denominan magnitudes ectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas que se caracterizan mediante un número real con una unidad apropiada de medida. Se llaman magnitudes ectoriales aquellas que se caracterizan por su magnitud, su dirección su sentido En este módulo desarrollaremos conceptos del Álgebra Vectorial, estudiando las operaciones propiedades de los ectores en el espacio bidimensional: R tridimensional R. Propósitos Esperamos que logre dar respuesta a las siguientes preguntas cuando finalice la lectura comprensia actia de la presente unidad.

3 Qué es un ector? Cuándo dos ectores son equipolentes? Qué propiedades cumple la suma de ectores? Qué propiedades cumple el producto de un ector por un escalar? Cómo se determinan las componentes del ector posición de un punto de R de R? Cuáles son las componentes de un ector si se conocen las coordenadas del punto origen las coordenadas del punto etremo? Qué carasterística tiene un ersor?, Cómo determinar el ersor asociado a un ector? Cuáles son los ersores canónicos?, Cómo se define un ector en función de ellos? Cómo obtiene algebraica geométricamente el ector suma de dos ectores? Cómo obtiene algebraica geométricamente el ector resultado del producto entre un número real un ector? Recuérdelas a medida que aance en el estudio de los temas de la unidad uela a estas preguntas que son la guía de su estudio. Vector Un segmento de recta queda determinado por sus puntos etremos, si estos puntos están dados en cierto orden se dice que el segmento esta orientado a este segmento orientado se lo llama ector. En la figura, obseramos como representamos geométricamente a un ector: AB = A B r En la recta r elegimos dos puntos: A B, si consideramos que el punto A es el origen B es el etremo tendremos un segmento orientado, el ector AB, por ser una magnitud ectorial, se identifica: una dirección, un sentido una magnitud. La recta r es la dirección del segmento orientado. Al decir: con origen en A etremo en B estamos dando un sentido. Además, la longitud desde el origen A hasta el etremo B es la magnitud, norma o módulo del ector.

4 Clasificación de ectores Los ectores admiten una clasificación teniendo en cuenta el conteto en el cual se aplican. Podemos hablar de: ectores fijos, ectores deslizantes ectores libres. En Física trabajará con ectores de los tres tipos mencionados, pero en esta asignatura trabajaremos con los ectores libres. Para poder definir el concepto de ector libre necesitamos definir ectores equipolentes B F A C E Es sencillo comprobar que los ectores de la figura tienen el mismo sentido, el mismo módulo la misma dirección Imagínese que con una línea une los puntos A C con otra línea une los puntos B. Qué figura obtiene?... La figura que obtiene es un paralelogramo, en consecuencia puede afirmar que los ectores: - tienen la misma dirección. porqué?... - tienen el mismo módulo. porqué?... - el sentido es el mismo. porqué?... Por lo tanto, diremos que: os ectores son equipolentes cuando tienen la misma dirección, sentido módulo. Luego, un ector libre es el representante de todos los ectores que son equipolentes a uno dado. es el representante de los ectores del conjunto A B C E F 4

5 Adición de Vectores Retomando el problema de los pintores, supongamos que el escritorio es mu pesado que Carlos no puede moerlo solo, así que le pide auda a Juan, quién contribue entre los dos logran moerlo. Qué ocurrió?...eidentemente, las fuerzas aplicadas, generaron otra fuerza que actúa sobre el cuerpo que permite el moimiento del mismo. Además, durante el desplazamiento ambos pintores obseran que éste se produce en una dirección distinta. Qué dirección sentido tiene esta fuerza?...el modelo matemático que nos permite dar respuesta al interrogante es el concepto de adición de ectores. Si son dos ectores entonces podemos definir el ector suma: u = + El ector suma se obtiene gráficamente colocando al ector de modo que su punto inicial coincida con el punto terminal de. El ector suma: u se representa uniendo el punto inicial de con el punto terminal de. Es decir, sean: entonces: u = + Propiedades de la adición de ectores: 1) Le de composición interna: La suma de dos ectores es un ector: u = + ) Conmutatiidad: ) Asociatiidad: + = + + ( + u) = ( + ) + u = + + u 4) Eistencia de elemento neutro: Eiste un elemento denominado ector nulo 0 tal que para cualquier ector se cumple que elemento neutro para la suma de ectores. + 0 = 0+ = constitue el 5) Eistencia de elemento opuesto: Para todo ector eiste un ector opuesto tal que : + ( ) = + = 0. 5

6 Por cumplirse estas propiedades para la suma de ectores, diremos que: el par (V;+) es un Grupo Conmutatio o Abeliano, donde: V es el conjunto de ectores + es la suma de ectores que definimos anteriormente. Qué otros Grupos Abelianos conoce?... A raíz de las propiedades de la suma de ectores, podemos definir la diferencia entre ectores de la siguiente forma: Si son ectores cualesquiera, entonces podemos definir al ector diferencia: u = como: u = = + Ejemplo Los ectores representan los lados del paralelogramo ABC que se muestra en la figura. A B C etermine: a) La suma de los ectores: + b) La resta de los ectores: Ejercicio 1. Teniendo en cuenta la figura, determine el ector que se pide en cada caso: a) si + b = f b) si = b + c + h k b c c) z si z = g + h + e a f k g e h d 6

7 Producto de un ector por un escalar Sea un ector diferente del nulo un número real (escalar) diferente de cero, entonces el producto α se define como el ector cua longitud es α. cua dirección es la misma que la de si α > 0 opuesta si α < 0. Obseremos algunos casos gráficamente: u u Propiedades del producto por un escalar 1 1) Le de composición eterna: El producto entre un ector un escalar es un ector, es decir: u = α ) Asociatiidad Mita : α ( β u ) = (α β) u = β (α u ) ) Propiedad distributia respecto a la suma de ectores : α ( + ) = α + α 4) Propiedad distributia respecto a la suma de escalares: (α + β) u = α u + β u 5) El escalar 1 es neutro para el producto por un escalar: 1 u = u 1 = u Espacio Vectorial Sea V: el conjunto de ectores, R: el conjunto de números reales las operaciones: + : la suma de ectores. :producto entre un número real un ector. iremos que la cuaterna: (V; + ; R ;.) es un Espacio Vectorial por cumplirse en el conjunto V las propiedades que se enuncian para las operaciones definidas. 7

8 Ejercicio. Resuela graficamente las siguientes operaciones teniendo en cuenta los ectores que se muestran en la figura: a b a) b) a b (a + b) Vectores en sistemas de coordenadas Vectores en el espacio bidimensional: R Sea el sistema cartesiano ortogonal: O. Todo punto P = ( p ; p ) tiene asociado una ector que se denomina ector posición del punto P. El origen del ector posición es el origen de coordenadas el etremo del ector posición es el punto P como muestra la figura. En consecuencia, podemos escribir al ector en términos de las coordenadas del punto P, donde diremos que: p es la componente del ector en la dirección del eje p es la componente del ector en la dirección del eje Por lo tanto: P O P P La epresión analítica del ector posición del punto P es: OP = = p, ) ( p Teniendo en cuenta la epresión analítica de un ector en R se define: 1) Sean =, ) u = u, u ) ( ( entonces: + u = ( + u, u ) + ) Sea =, ) α un escalar entonces: α = α ; α ) ( ( 8

9 Ejemplo El punto del plano P( ; 5) tiene asociado un ector con origen en el origen de coordenadas etremo en el punto P, cuas componentes son: OP = ( ; 5), gráficamente: P 5 O Ejercicio. Utilice el gráfico que se da a continuación para dar la epresión en función de las componentes de cada ector c a 1 1 d b 4. Considerando el mismo gráfico, resuela algebraicamente las siguientes operaciones: a ) a + (b + c) b) a + b + d c) c + ( a) + d 5. Considerando los ectores: a = (a ;a ) b = (b ;b ) los números reales: α β compruebe las siguientes propiedades: a ) a + 0 = a b) a + ( a) = 0 c) α (a + b) = α a + α b d ) 1a = a e) (αβ) a = α(β a) 9

10 Vectores en el espacio tridimensional: R Análogamente a R, en R todo punto: P = ( p, p,z p ), tiene asociado un ector posición:, cuo origen es el origen de coordenadas cuo etremo es el etremo del punto P. z z P P efinimos analíticamente al ector posición del punto P como: OP = =,, z ) ( p p p P O P A partir de la epresión analítica de un ector en R : =,, ), podemos definir la ( z suma el producto de un ector por un escalar de la siguiente forma: 1) Sean =,, ) u = u, u, u ) ( z ( z entonces: + u = ( + u, + u, z + uz ) ) Sea =,, ) α un escalar entonces: α = α ; α, α ) ( z ( z Ejemplo: Si consideramos a los puntos del espacio P(0;;) Q(4;;0), tendremos que el ector posición del punto P es OP = ( 0;;) el ector posición del punto Q es ( 4;;0) Grafíquelos OQ =. Ejercicio: 6. Escriba represente gráficamente el ector posición de cada punto: P 0 (1;0;0), P 1 (0;;0), P ( ; ;5) P (4;5; 6). etermine analíticamente el opuesto del triplo del ector OP 1 10

11 Epresión canónica de un ector Cada uno de los ejes coordenados tiene asociado un ersor o ector unitario que se denomina canónico. Aclaremos que se denomina ersor o ector unitario a todo ector cuo módulo sea una unidad de longitud. En R se llama: i (ersor i) al ersor canónico asociado al eje j (ersor j) al ersor canónico asociado al eje. En consecuencia, la terna 0, i, j define un sistema de coordenadas en el plano el plano recibe el nombre de plano coordenado, donde todo ector: = (, ) tiene asociada la epresión canónica: = i+ j Análogamente en R, se asocia el ersor canónico k (ersor k) al eje z, de esta forma la cuaterna ordenada 0, i, j, k recibe el nombre de sistema de coordenadas cartesianas en el espacio R todo ector: =,, ) ( z tiene asociada la epresión canónica: = i+ j+ k Ejemplos: z a) La epresión canónica del ector de componentes: = ( 5; ) 1 j i O 1 es: = 5 i j 5 i j = 5 i j b) La epresión canónica del ector de componentes: = ( 4; ; 7) es: = 4 i+ j 7 k Ejercicio: 7. Escriba la epresión canónica del ector posición de cada punto: P 0 (1;0;0), P 1 (0;;0), P ( ; ;5) P (4;5; 6). Obtenga el ector suma de los cuatro ectores posición. 11

12 Vector definido por las coordenadas de un punto origen un punto etremo ados dos puntos del plano P = ( p ; p ) Q = ( q ; q ) podemos asociar al punto P como el origen de un ector al punto Q como su etremo, de modo de definir al ector como se e en la figura: = PQ Q P P Q Obseremos que por definición de suma de ectores: OQ = OP + PQ Entonces: PQ = OQ OP reemplazando por la definición analítica de cada ector posición operando, tendremos que: O P Q ( Q; Q ) ( P P ) ( ) PQ = ; PQ = ; Q P Q P Analógamente en R, las componentes del ector si consideramos como origen del ector al punto P( p, p,z p ) como su etremo al punto Q ( q, q, z q ) surgen de la siguiente z manera: Q Considerando la figura, por definición de suma de ectores zp zq sucede que: OQ = OP + PQ Entonces: QP = OQ OP P Por lo tanto: ( ; ; z ) ( ; z ) QP = ; Q Q Q ( ; z z ) QP = ; Q P Q P P Q P P P P Q O P Q Generalizando: ados dos puntos del plano coordenado P Q, el ector PQ se obtiene por restar al ector posición del punto etremo Q el ector posición del punto origen P 1

13 Ejemplos: a) El ector con origen en el punto P( ;5) etremo en el punto Q(;) es: PQ = OQ OP = (;) ( ;5) = (5; ). Verifíquelo gráficamente. b) El ector con origen en el punto P(;;1) etremo en el punto Q(;5;1) es: PQ = OQ OP = (;5;1) (;;1) = (1;;0). Verifíquelo gráficamente. Ejercicio 8. Teniendo en cuenta que la figura se compone con cubos de arista 1 unidad de longitud, determine la epresión en función de las componentes del ector que representa a la suma de los cinco ectores de la figura. z 5 Norma o Módulo de los ectores Recordemos que los dos pintores juntos, pudieron desplazar al escritorio. En ese momento obseramos que este desplazamiento se produjó en una dirección distinta a la dirección de cada una de las fuerzas aplicadas nos hemos preguntado: Qué intensidad tiene la fuerza equialente que actua sobre el cuerpo?...para contestar lo preguntado, el modelo matemático que necesitamos el concepto de norma o módulo de un ector. C Obseremos en la figura, la representación de un ector en R : En el triángulo rectángulo ABC por el Teorema de Pitágoras, tenemos que: AC = AB + BC entonces: AC = AB + BC Por lo tanto: A B Si = ( ; ) la norna o módulo del ector es: = + 1

14 Análogamente: Se define la norma o módulo de un ector del espacio tridimensional R : Sea el ector: =,, ) entonces su norma es: ( z = + + z (I) Teniendo en cuenta la figura realice la deducción de la fórmula (I) z z Propiedades de la norma o módulo de los ectores 1) La norma de un ector es un número real positio o nulo: 0 ) La norma de la suma de dos ectores es menor o igual a la suma de las normas de cada uno de los ectores: u + u + (esigualdad del triángulo) ) La norma del ector que se obtiene por el producto entre un escalar un ector es igual al alor absoluto del escalar por el módulo del ector: k = k Ejemplo: eterminar la norma del ector con origen en el punto P ( 1 1; 0) punto Q ( 0 5; 4) ;. ; etremo en el Para hallar la norma del ector PQ, necesitamos determinar sus componentes, entonces: PQ = ( 0;5;4) ( 1;1;0) = ( 1;4;4) Luego: PQ = ( 1) = Ejercicio 9. é un ejemplo da cada una de las propiedades de la norma de un ector en R 14

15 Sean los ectore: = ( ; ; ) 1 = ( ; ; ) 1 si son iguales las componentes homólogas.es decir: = = = = 1 1 Igualdad de ectores diremos que son iguales si sólo Ejercicio 10. Aplicando la definición anterior, establezca el alor de a R b R para que se cumplan las siguientes igualdades: a) ( a 1 ; b b) = ( 0 ; 0) b) ( a + b; b ; 1) = ( 10 ; 5b 6 ; 1) Ángulos directores En la figura se muestran los dos ángulos que determina la dirección de un ector en R con el sentido positio de cada uno de los ejes coordenados. Éstos ángulos se denominan ángulos directores. educción: Sea el ector: = ( ; ) En el triángulo rectángulo OPA, se tiene que: cosα = entonces el ángulo director es: α = arccos En el triángulo rectángulo OPB, se tiene que: O cosβ = entonces el ángulo director es: β = arccos B P β α A Obseración: el alor del coseno de un ángulo director se denomina coseno director. Propiedad de los cosenos directores Relación Potagórica: Sean α β los ángulos directores de un ector R entonces: cos α + cos β = 1 emuestre la propiedad. 15

16 Analógamente: Si consideramos un ector en R, la dirección del ector determinará con el sentido positio de cada uno de los ejes coordenados tres ángulo directores por tanto tres cosenos directores. Sea ( ) = ; ; R sean α, β γ los ángulos que determina el ector con cada eje z coordenado en sentido positio, entonces: Los cosenos directores del ector son: z z cosα = cosβ = cos γ = z γ Los ángulos directores del ector son: α = arccos β = arccos γ = arccos z α β Y en este espacio la propiedad enunciada anteriormente es: Relación Pitagórica Sean α, β γ los ángulos directores de un ector R entonces: cos α + cos β + cos γ = 1 Ejercicio 11. Resuela los siguientes problemas: a) Un barco naega a una elocidad de,5 km h en dirección S50ºE. Eprese la elocidad del barco como ector. b) Un aeroplano con elocidad de km h uela en dirección N50ºE, con un iento de 64 km h sopla desde el oeste. etermine el ector que representa el rumbo erdadero del aión la magnitud de la elocidad en tierra del aión. Versor o ector unitario ecimos que es un ersor o ector unitario si sólo si = 1. Cuando un ector es un ersor se simboliza: 16

17 Ejemplo: El ector: 1 = ; 1 es un ersor, a que: = + = 1 Cómo determinar el ersor asociado a un ector? Consideremos el ector no nulo = ( ; ) que se muestra en la figura. Las componentes del ector dependen del módulo del ector del coseno del ángulo = cos β director del ector respecto de cada eje, es decir: = ( ; ) ( cos α; cos β) = O = cos α Luego, si multiplicamos al ector por el escalar 1 obtenemos: 1 = 1 ( cos α; cos β ) = (cos α;cos β) Este ector consera la dirección sentido del ector su norma es 1 como consecuencia de la Relación Pitagórica, a que: ( cos α;cos β) = cos α + cos β = 1 Por lo tanto: El ersor asociado a un ector tiene por componentes a los cosenos directores del ector: En R : Si α β son los ángulos directores del ector, entonces: = (cos α ; cosβ) En R : Si α, β γ son los ángulos directores del ector, entonces: = (cos α ; cosβ ; cos γ) En ambos casos, las componentes del ersor asociado a un ector se obtienen realizando el producto entre el ector el recíproco del escalar que define a la norma del ector: 1 = 17

18 Ejemplo Hallar el ersor asociado al ector: = ( 1 ; 1 ; 1) Para determinar el ersor asociado, necesitamos multiplicar al ector por el escalar: 1, ; 1 ; 1 ; ; entonces: = = ( ) = 1 Ejercicio 1. En cada uno de los siguientes casos encuentre el ersor asociado a) = ; b) = ; ; 9 7 Vectores Paralelos En R R dos ectores son paralelos si sólo si las componentes homólogas son proporcionales. Simbólicamente: // α R : = α emuestre que: // α R : = α Ejemplo Sean los ectores = (1;;) = ( ; 6; 9). Obseramos que las componentes homólogas 6 9 son proporcionales, es decir: = = = (nota: es constante de proporcionalidad) 1 Entonces: = por lo tanto son ectores paralelos. Ejercicio 1. etermine el ector que es paralelo al ector = ( ; 10 ; ) tal que: c) Tenga norma 6 b) Tenga norma sentido opuesto 18

19 Combinación Lineal Sea V un espacio ectorial. Sea A = { 1,,,..., n } un conjunto finito de ectores de V diremos que: El ector Ves combinación lineal de los ectores del conjunto A si sólo si eisten escalares: α 1, α, α,..., α n tales que: α α + α α n n = Ejemplo El ector u = ( 8;8;0) es combinación lineal de los ectores del conjunto: A = {( 4;1;0) ;( 1;4;0) } R? Teniendo en cuenta la definición, debemos plantear: ( 4;1;0) α ( 1;4;0) ( 8;8;0) α1 + = analizar si eisten los escalares: α 1 α para que se cumpla la igualdad. Entonces, operando surge el sistema de ecuaciones lineales: 4α1 + α = 8 8 α1 + 4α = 8 donde: α 1 = α = 5 0α1 + 0α = 0 En consecuencia, como eiste alor para los escalares α 1 α, entonces el ector u es combinación lineal del conjunto de ectores A. es combinación lineal del conjunto {( )( )} El ector = (4;;6) 4;1;0 ; 1;4;0 R? Procediendo de manera análoga que en el ejemplo anterior, al analizar la combinación lineal surgirá el sistema de ecuaciones: 4α1 + α = 4 1α 1 + 4α = 0α1 + 0α = 6 que es un sistema incompatible, por lo tanto no eisten los escalares: α 1 α por lo tanto, no es combinación lineal de los ectores del conjunto A. Importante!!!! La definición de combinación lineal no eige que los escalares: α 1, α,..., α n sean únicos, sólo se eige que eistan. 19

20 Ejercicio 14. En cada caso, analizar si el ector que se propone es combinación lineal del conjunto de ectores que se enuncia. A = {( 1;1;0) ;( 0;1;1) ;( 1;1;1) } R a) =(5;7;1) A = {( 1;;) ;( 1;1; );( 4;6;8) } R b) =(;;4) A = {( ;;4) ;( ;1;) ;(1;4;5) } R c) = (;;0) Independencia lineal dependencia lineal Sea V un espacio ectorial. Sea A = { 1,,,..., n } un conjunto finito de ectores de V, decimos que: A es linealmente independiente (li) en V si la única forma de escribir al ector nulo: O V como combinación lineal de los ectores de A es con todos los escalares nulos: α α + α α n n = O V α 1 = α = α =... = α n = 0 En caso contrario, A es linealmente dependiente (ld) en V si eisten escalares: α 1, α, α,..., α n no todos nulos tales que: α α + α α n n = O V Cómo determinar análiticamente si un conjunto de ectores en linealmente independiente o dependiente? Para analizar si un conjunto de ectores es li o ld, debemos inestigar qué tipo de combinación lineal genera al ector nulo del espacio ectorial. Veamos algunos ejemplos: El conjunto: A {( 1;0;1 );( 1;1;0 );( 0;1;1 )} R Planteamos: α ( ;0;1 ) + α ( 1;1;0 ) + α ( 0;1;1 ) ( 0;0;0 ) = es li o ld? 1 1 = α1 + α = 0 efectuando las operaciones obtendremos el sistema de ecuaciones lineales: α + α = 0 α1 + α = 0 Al resolerlo, resulta que el sistema de ecuaciones presenta una única solución, la solución triial: α 1 = α = α = 0, entonces se cumple la definición por lo tanto, el conjunto de ectores A es li. 0

21 El conjunto B {( ;;4 );( 1;1;1 );( 6;8;10 )} R = es li o ld? Empleando el mismo proceso que en el ejemplo anterior, tendremos: α ;;4 + α 1;1;1 + α 6;8;10 0;0;0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = α1 + α + 6α = 0 α1 + α + 8α = 0 4α1 + α + 10α = 0 α1 = α Al resoler el sistema de ecuaciones lineales, obtenemos que: α = α α R En consecuencia, el sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado (presenta infinitas soluciones), claramente una de las soluciones es la triial, pero no es la única posibilidad de obtener al ector nulo por combinación lineal de los ectores dados, por lo tanto: el conjunto de ectores B es ld. Por qué el conjunto A es li el conjunto B es ld? Si obseramos los ectores del conjunto A, podremos concluir que: no ha dos ectores paralelos tampoco son tres ectores coplanares, esto garantiza que ningún ector del conjunto es combinación lineal de los restantes, en consecuencia: cada ector representa una dirección única, esto es la dirección de cada ector es independiente de las otras. Por esto, el conjunto A es linelamente independiente. En cambio, en el conjunto B sucede que es posible epresar a uno de los ectores como combinación lineal de los dos restantes, por ejemplo: ( ;;4 ) ( 1;1;1 ) = ( 6;8;10 ) +, esto garantiza que los tres ectores coplanares, entonces el conjunto no contiene ectores con direcciones independientes unas de otras, sino dependientes. Por esto, el conjunto B es linealmente dependiente. 15. eterminar analíticamente, cuáles de los siguientes conjuntos de ectores son linealmente independientes o linealmente dependientes. a) S = {( 1;) ;( ;4) } R 5 5;1 ; ; 1 b) = ( ) M c) T = {( 1;1;1) ;( ;4;5) ;( 0;0;1) ;( 0;1;1) } R d) = {( 1;; 1) ;( ; 5;0) ;( 0; 8;9) } R R 1

22 Ejercicio 16. Hallar los alores de k R tal que los siguientes conjunto de ectores sean linealmente independientes. a) A = {( 1; k );( ;) } R b) B = {( 1;;) ;( ;1;1) ;( ;; k )} R Coordenadas de un ector Sea V un espacio ectorial. Sea A = { 1,,,..., n } un conjunto finito de ectores linealmente independiente tal que todo ector de V es combinación lineal de A. Entonces, diremos que: Para cada ector V eiste un único conjunto de escalares: α 1, α, α,..., α n tales que epresen al ector como combinación lineal de los ectores del conjunto A, es decir: α α + α α n n = en forma única Estos escalares únicos se denominan coordenadas del ector respecto de los ectores del conjunto A. Ejemplos Las coordenadas del ector u = ( 4;) respecto del conjunto { ( 1;0) ; ( 0;1) } son: α 1 = 4 α = pues: u = 4.( 1;0) +. ( 0;1) A = de R Las coordenadas del ector u = ( 4;) respecto del conjunto B = { = ( 1;1) ; b = ( 1;1) } a de R que surgen al resoler la combinación lineal:.( 1;1) + α.( 1;1) ( 4;) α 1 = 1 α = 7 α1 = son: Geométricamente: La ubicación en el espacio de un ector no se modifica al cambiar el sistema de referencia del espacio, sino que según sea el sistema de referencia que se adopte arían las coordenadas j,5 b u del ector. Esto es, las coordenadas de los ectores de un espacio dependen del sistema de a b referencia que se adopte. 0,5 a 4 i

23 17. Sea el sistema de referencia que definen las direcciones de los ectores del conjunto C {( 1; 1) ;( 1;1) } R u = ( ;) = ( 1;1 ) =. etermine las coordenadas de los ectores:, en cada caso erifique gráficamente. 1. Sean los puntos: M(1;;), N(;4;6) S( ;0;1). Obtenga: Autoealución: Vectores Primera Parte a) Los ectores: MN, MS. Epréselos en función de sus componentes también en forma canónica. b) NS + SN A partir del resultado, qué puede decir de los ectores? c) MN MS d) MN, NS + SN MN MS e) Los cosenos directores los ángulos directores del ector MN f) El ersor asociado al ector MN g) Un ector paralelo al ector MN de norma 5. Resuela el problema inicial planteado en Ingeniería Vectores, aplicando los conceptos que hasta aquí hemos desarrollado.. Eplique porqué las siguientes afirmaciones son falsas proporcionando un contraejemplo adecuado o un argumento teórico. a) Siempre un conjunto de dos ectores no nulos es linealmente independiente. b) Si {} es linealmente independiente entonces es el ector nulo. c) Si los conjuntos de ectores: {u;} {;} son linealmente independientes en el espacio ectorial V entonces el conjunto de ectores: {u ;} es linealmente independiente. d) Si u son ectores de R tales que: u = entonces u = 4. emuestre que las siguientes afirmaciones son erdaderas. d) Si { u; ; } es un conjunto linealmente independiente en el espacio ectorial V entonces el conjunto {u + ; u + + ; u + } también es linealmente independiente. e) Si el ector es combinación lineal de los ectores del conjunto A= {u;;} linealmente independiente entonces la combinación lineal es única.

24 Softare Mathematica La interfaz del softare permite realizar operaciones entre ectores. Para ingresar un ector se utiliza la notación de lista por ejemplo: ( ; 4 5 ) = ; escribiremos: = {,, 5 } A continuación, obserará como se procede para realizar las operaciones de suma de ectores 0< del producto entre un escalar un ector: 8,, 5<+85, - 7, 87, - 4, 0< - 7, 485,,0> :15 4, - 1 4, 5<- 58,,> 0< - 7, 1085, 7 :- 10, 10 Ejemplo: Calcular el ersor asociado al ector = ( ; 4; 5 ) Ingresando la siguiente 5< epresión: 1 8,, + +5 Obtendremos como respuesta: 58> :$ 19, 8, Por lo tanto el esor asociado al ector es: = ; ;

25 Ejemplo eterminar si el conjunto de ectores: {( 1;;0 );( 1;1;1 );( ;5;1 )} independiente en el espacio ectorial (R ; + ; R ;.) A = es linealmente Para responder el ejercicio planteado, necesitamos inestigar como es la combinación lineal que define al ector nulo del espacio ectorial, entonces: ( 1;,0 ) α ( 1;1,1 ) + α ( ;5,1 ) ( 0;0;0) α1 = Equialente al sistema de ecuaciones: + (I) α1 + α + α = 0 α1 + α + 5α = 0 0α1 + α + α = 0 Para resoler un sistema de ecuaciones usando el softare Mathematica, uno de los métodos posibles es el comando: Sole[{ecuación 1,ecuación,...,ecuación n},{ariable 1,ariable,...,ariable n}] Al ingresar una ecuación ha que recordar que, para que el softare la entienda como tal, se utilizan dos iguales seguidos. Obseremos com se escribe el sistema de ecuaciones planteado anteriormente, tenga en cuenta que por comodidad de escritura se realizó el siguiente reemplazo: α 1 = a, α = b α = c c< Ingresamos: Sole@8a+ b+ cš 0, a+ b+ 5 c Š 0, b + c Š 0<,8a, b, Clicleamos INTRO del teclado numérico obtenemos la respuesta: Sole::sars : Equations ma not gie solutions for all "sole" ariables. -c,b -c< 8a Notemos que, el softare contesta que el sistema no pudo resolerse para todas las ariables planteadas que muestra como una de ellas define a las otras ariables, esta situación significa que el sistema es compatible indeterminado. Ahora pensemos cuál es la respuesta para el ejercicio planteado: Mediante el softare obtuimos que: la respuesta del planteo (I) es: α 1 = c, α = c α = c R Por lo tanto los escalares en la combinación lineal (I) no alen únicamente cero en consecuencia, el conjunto A es linealmente dependiente. 5

26 Respuestas de las actiidades 1. a) = a b) = b c) z = d. Consulte la respuesta con su profesor. a) ( ; 5) b) ( 4 ; ) c) ( 4 ; 4) d) ( 4 ; 1) 4. a) (;7) b) ( ; ) c) ( 14; ) 5. a) Aplicando definición de suma por neutro en suma de R: a + 0 = (a ; a ) + (0 ; 0) = (a + 0 ; a + 0) = (a ; a ) = a Los restantes ítems del ejercicio se demuestran de manera análoga a la que se muestra. Quedan como ejercicio para el lector. 6. OP 0 =(1;0;0) ; OP 1 =(0;;0) ; OP =( ; ;5) ; OP =(4;5; 6). El triple del opuesto de OP 1 es el ector: OP 1 = (0; 6;0) 7. OP 0 = i ; OP 1 = j ; OP = i j + 5k ; OP = 4i + 5j 6k. La suma de ellos es: (;4; 1) 8. La suma de los ectores es: (6;;4) (0;;) z (; 1;0) 9. Un ejemplo de la desigualdad del triángulo en R : u = ( ; ) = (4 ; 1) ( ; ) + (4 ; 1) Operando: , 7, 7 ( ; ) + (4 ; 1) Un ejemplo de la norma del producto entre un escalar un ector en R : (0;1;0) (0;0;) 5 (;0;0) u = ( ; ; 5) α = α u = ( ; ; 5) Operando: α u = ( ; ; 5) = ( 6) + ( 9) + 15 = 4 onde: 4 = 9.8 = 8 = = ( ; ; 5) = α u 6

27 10. a) a = b = 1 ; a = 1 b = 0 ; a = 1 b = 1 ; a = 1 b = 1 ; a = 1 b = 0 ; a = b = 1 b) a = 4 b = ; a = 6 b = emostración en R de la Propiedad de los cosenos directores (página 15) En R : Teniendo en cuenta la figura la definición de coseno de un ángulo, resulta: a cos α = a α = a arccos a cos β = a a β = arccos a a Luego: cos a a a a a a a a α cos β = + = = = a a a a a + ( a + a ) 11. a) = (,5 cos 40 ;,5 cos 50 ) b) Consulte con su profesor = 1 1. a) ; b) ; ; emostración de Paralelismo de ectores (página 18) Realizamos la demostración para ectores del plano coordenado, de manera análoga puede demostrarse que dos ectores del espacio R son paralelos, si sus componentes homólogas son proporcionales. Siendo los ectores: = ( ; ) ( ; ) = distintos del ector nulo, si son paralelos entonces tienen la misma dirección, en consecuencia los mismos ángulos directores. O β α β α Por lo tanto: cos α = = cos α = por lo cual: = (1) = 7