Tutorial sobre Máquinas de Vectores Soporte (SVM)

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1 Tutoral sobre Máqunas de Vectores Soporte SVM) Enrque J. Carmona Suárez Versón ncal: 2013 Últma versón: 11 Julo 2014 Dpto. de Intelgenca Artcal, ETS de Ingenería Informátca, Unversdad Naconal de Educacón a Dstanca UNED), C/Juan del Rosal, 16, Madrd Span) Resumen Este tutoral presenta una ntroduccón al mundo de las máqunas de vectores soporte SVM, del nglés Support Vector Machne), aplcadas a resolver tareas tanto de clascacón como de regresón. En el prmer tpo de tareas, la descrpcón se restrnge al caso de clascacón bnara y, atendendo al tpo de separabldad de los ejemplos de entrada, se consderan dstntas opcones. Así, en prmer lugar, se aborda el caso deal de ejemplos perfectamente separables lnealmente para, segudamente, abordar el caso más realsta de ejemplos que, aunque afectados por rudo, se consderan lnealmente cuas-separables y, nalmente, se consdera el caso de ejemplos no separables lnealmente, donde las SVM demuestran su gran potencaldad. La descrpcón de las SVMs aplcadas a la tarea de regresón corre tambén de forma paralela, abarcando los casos tanto de regresón lneal como no lneal. Fnalmente, se presentan algunas herramentas software de uso lbre que mplementan este tpo de paradgma de aprendzaje y con las que el usuaro puede empezar a expermentar. 1. Introduccón Las máqunas de vectores soporte SVM, del nglés Support Vector Machnes) tenen su orgen en los trabajos sobre la teoría del aprendzaje estadístco y fueron ntroducdas en los años 90 por Vapnk y sus colaboradores [Boser et al., 1992, Cortes & Vapnk, 1995]. Aunque orgnaramente las SVMs fueron pensadas para resolver problemas de clascacón bnara, actualmente se utlzan para resolver otros tpos de problemas regresón, agrupamento, multclascacón). Tambén son dversos los campos en los que han sdo utlzadas con éxto, tales como vsón artcal, reconocmento de caracteres, categorzacón de texto e hpertexto, clascacón de proteínas, procesamento de lenguaje natural, análss de seres temporales. De hecho, desde su ntroduccón, han do ganando un merecdo reconocmento gracas a sus sóldos fundamentos teórcos. Dentro de la tarea de clascacón, las SVMs pertenecen a la categoría de los clascadores lneales, puesto que nducen separadores lneales o hperplanos, ya sea en el espaco orgnal de los ejemplos de entrada, s éstos son separables o cuas-separables rudo), o en un espaco transformado espaco de característcas), s los ejemplos no son separables lnealmente en el espaco orgnal. Como se verá más adelante, la búsqueda del hperplano de separacón en 1

2 estos espacos transformados, normalmente de muy alta dmensón, se hará de forma mplícta utlzando las denomnadas funcones kernel. Mentras la mayoría de los métodos de aprendzaje se centran en mnmzar los errores cometdos por el modelo generado a partr de los ejemplos de entrenamento error empírco), el sesgo nductvo asocado a las SVMs radca en la mnmzacón del denomnado resgo estructural. La dea es selecconar un hperplano de separacón que equdsta de los ejemplos más cercanos de cada clase para, de esta forma, consegur lo que se denomna un margen máxmo a cada lado del hperplano. Además, a la hora de denr el hperplano, sólo se consderan los ejemplos de entrenamento de cada clase que caen justo en la frontera de dchos márgenes. Estos ejemplos recben el nombre de vectores soporte. Desde un punto de vsta práctco, el hperplano separador de margen máxmo ha demostrado tener una buena capacdad de generalzacón, evtando en gran medda el problema del sobreajuste a los ejemplos de entrenamento. Desde un punto de vsta algorítmco, el problema de optmzacón del margen geométrco representa un problema de optmzacón cuadrátco con restrccones lneales que puede ser resuelto medante técncas estándar de programacón cuadrátca. La propedad de convexdad exgda para su resolucón garantzan una solucón únca, en contraste con la no uncdad de la solucón producda por una red neuronal artcal entrenada con un msmo conjunto de ejemplos. Dado el carácter ntroductoro de este tutoral, los contendos del msmo sólo abarcan una pequeña parcela del extenso campo relaconado con las máqunas vectores soporte. Por ejemplo, el problema de clascacón sólo se descrbrá para el caso de clases bnaras. Concretamente, en la seccón 2 se abordará el problema de clascacón bnara para ejemplos perfectamente separables medante lo que se conoce como SVMs de "margen duro" hard margen). Dado que en la práctca es normal que los ejemplos de entrenamento puedan contener rudo, la seccón 3 se dedca abordar el problema de clascacón bnara para ejemplos cuas-separables lnealmente, medante lo que se denomna SVMs de "margen blando" soft margen). La seccón 4 culmna el problema de clascacón bnara tratando el caso de la clascacón de ejemplos no separables lenalmente medante lo que se conoce como SVM kernelzadas. Segudamente, la seccón 5 aborda el problema de regresón medante lo que se conoce como SVR del nglés Support Vector Regresson machnes). En esta seccón, se aborda tanto el caso de regresón lneal como el caso de regresón no lneal. En la seccón 6 se descrbe algunos de los paquetes software de uso lbre más relevante dedcados a la mplementacón de SVMs. Pueden ser un buen punto de comenzo para que el lector se famlarce, desde un punto de vsta práctco, con este paradgma de aprendzaje. Fnalmente, la seccón 7 corresponde a un anexo dedcado a formular, de forma resumda, aquellos resultados de la teoría de la optmzacón necesaros para soluconar los dferentes problemas de optmzacón que surgen como consecuenca de abordar los problemas de clascacón y de regresón medante SVMs. 2. SVM para clascacón bnara de ejemplos separables lnealmente Dado un conjunto separable de ejemplos S = {x 1, y 1 ),..., x n, y n )}, donde x R d e y {+1, 1}, se puede denr un hperplano de separacón ver g. 1a) como una funcón lneal que es capaz de separar dcho conjunto sn error: Dx) = w 1 x w d x d ) + b =< w, x > +b 1) 2

3 a) b) Fgura 1: Hperplanos de separacón en un espaco bdmensonal de un conjunto de ejemplos separables en dos clases: a) ejemplo de hperplano de separacón b) otros ejemplos de hperplanos de separacón, de entre los nntos posbles. donde w y b son coecentes reales. El hperplano de separacón cumplrá las sguentes restrccones para todo x del conjunto de ejemplos: < w, x > +b 0 s y = +1 < w, x > +b 0 s y = 1, = 1,..., n 2) o tambén, o de forma más compacta y < w, x > +b) 0, = 1,..., n 3) y Dx ) 0, = 1,..., n 4) Tal y como se puede deducr fáclmente de la g. 1b, el hperplano que permte separar los ejemplos no es únco, es decr, exsten nntos hperplanos separables, representados por todos aquellos hperplanos que son capaces de cumplr las restrccones mpuestas por cualquera de las expresones equvalentes 3-4). Surge entonces la pregunta sobre s es posble establecer algún crtero adconal que permta denr un hperplano de separacón óptmo. Para ello, prmero, se dene el concepto de margen de un hperplano de separacón, denotado por τ, como la mínma dstanca entre dcho hperplano y el ejemplos más cercano de cualquera de las dos clases ver g. 2a). A partr de esta dencón, un hperplano de separacón se denomnará óptmo s su margen es de tamaño máxmo g. 2b). Una propedad nmedata de la dencón de hperplano de separacón óptmo es que éste equdsta del ejemplo más cercano de cada clase. La demostracón de esta propedad se puede hacer fáclmente por reduccón al absurdo. Supongamos que la dstanca del hperplano óptmo al ejemplo más cercano de la clase +1 fuese menor que la correspondente al ejemplo más cercano de la clase 1. Esto sgncaría que se puede alejar el hperplano del ejemplo de la clase +1 una dstanca tal que la dstanca del hperplano a dcho ejemplo sea mayor que antes y, a su vez, sga sendo menor que la dstanca al ejemplo más cercano de la clase 1. Se llega así al absurdo de poder aumentar el tamaño del margen cuando, de partda, habíamos supuesto que éste era máxmo hperplano óptmo). Se aplca un razonamento smlar en el 3

4 T max T T max Hperplano óptmo a) b) Fgura 2: Margen de un hperplano de separacón: a) hperplano de separacón no-óptmo y su margen asocado no máxmo) b) hperplano de separacón óptmo y su margen asocado máxmo). caso de suponer que la dstanca del hperplano óptmo al ejemplo más cercano de la clase 1 fuese menor que la correspondente al ejemplo más cercano de la clase +1. Por geometría, se sabe que la dstanca entre un hperplano de separacón Dx) y un ejemplo x vene dada por Dx ) 5) w sendo el operador valor absoluto, el operador norma de un vector y w el vector que, junto con el parámetro b, dene el hperplano Dx) y que, además, tene la propedad de ser perpendcular al hperplano consderado. Hacendo uso de la expresones 4) y 5), todos los ejemplos de entrenamento cumplrán que: y Dx ) w τ, = 1,..., n 6) De la expresón anteror, se deduce que encontrar el hperplano óptmo es equvalente a encontrar el valor de w que maxmza el margen. Sn embargo, exsten nntas solucones que deren solo en la escala de w. Así, por ejemplo, todas las funcones lneales λ < w, x > +b), con λ R, representan el msmo hperplano. Para lmtar, por tanto, el número de solucones a una sola, y tenendo en cuenta que 6) se puede expresar tambén como y Dx ) τ w, = 1,..., n 7) la escala del producto de τ y la norma de w se ja, de forma arbtrara, a la undad, es decr τ w = 1 8) Llegando a la conclusón nal de que aumentar el margen es equvalente a dsmnur la norma de w, ya que la expresón anteror se puede expresar como τ = 1 w 9) 4

5 T max T max Dx)> +1 1 / w Dx)= +1 Hperplano óptmo, Dx)=0 Dx)= -1 Dx)< -1 Dx ) / w x Fgura 3: La dstanca de cualquer ejemplo,x, al hperplano de separacón óptmo vene dada por Dx ) / w. En partcular, s dcho ejemplo pertenece al conjunto de vectores soporte dentcados por sluetas sóldas), la dstanca a dcho hperplano será sempre 1/ w. Además, los vectores soporte aplcados a la funcón de decsón sempre cumplen que Dx) = 1. Por tanto, de acuerdo a su dencón, un hperplano de separacón óptmo ver g. 3) será aquel que posee un margen máxmo y, por tanto, un valor mínmo de w y, además, está sujeto a la restrccón dada por 7), junto con el crtero expresado por 8), es decr, o lo que es lo msmo y Dx ) 1, = 1,..., n 10) y < w, x > +b) 1, = 1,..., n 11) El concepto de margen máxmo está relaconado drectamente con la capacdad de generalzacón del hperplano de separacón, de tal forma que, a mayor margen, mayor dstanca de separacón exstrá entre las dos clases. Los ejemplos que están stuados a ambos lados del hperplano óptmo y que denen el margen o, lo que es lo msmo, aquellos para los que la restrccón 11) es una gualdad, recben el nombre de vectores soporte ver g. 3). Puesto que estos ejemplos son los más cercanos al hperplano de separacón, serán los más dfícles de clascar y, por tanto, deberían ser los úncos ejemplos a consderar a la hora de construr dcho hperplano. De hecho, se demostrará más adelante, en esta msma seccón, que el hperplano de separacón óptmo se dene sólo a partr de estos vectores. La búsqueda del hperplano óptmo para el caso separable puede ser formalzado como el problema de encontrar el valor de w y b que mnmza el funconal fw) = w sujeto a las restrccones 11), o de forma equvalente 1 mín fw) = 1 2 w 2 = 1 2 < w, w > s.a. y < w, x > +b) 1 0, = 1,..., n 12) 1 Obsérvese que es equvalente mnmzar fw) = w o el funconal propuesto en 12). El proceso de mnmzacón de este funconal equvalente, en lugar del orgnal, permtrá smplcar la notacón posteror, obtenendo expresones más compactas. 5

6 Este problema de optmzacón con restrccones corresponde a un problema de programacón cuadrátco y es abordable medante la teoría de la optmzacón. Dcha teoría establece que un problema de optmzacón, denomnado prmal, tene una forma dual s la funcón a optmzar y las restrccones son funcones estrctamente convexas. En estas crcunstancas, resolver el problema dual permte obtener la solucón del problema prmal. Así, puede demostrarse que el problema de optmzacón dado por 12) satsface el crtero de convexdad y, por tanto, tene un dual. En estas condcones, y aplcando los resultados descrtos en el anexo, al nal de este tutoral, se pueden enumerar los sguentes pasos encamnados a resolver el problema prmal: En el prmer paso, se construye un problema de optmzacón sn restrccones utlzando la funcón Lagrangana 2 : L w, b, α) = 1 2 < w, w > α [y < w, x > +b) 1] 13) donde los α 0 son los denomandos multplcadores de Lagrange. El segundo paso consste en aplcar las condcones de Karush-Kuhn-Tucker ver anexo al nal de este tutoral), tambén conocdas como condcones KKT: L w, b, α) w w α y x = 0, = 1,..., n 14) L w, b, α) b α y = 0, = 1,..., n 15) α [1 y < w, x > +b )] = 0, = 1,..., n 16) Las restrccones representadas por 14-15) corresponden al resultado de aplcar la prmera condcón KKT, y las expresadas en 16), al resultado de aplcar la denomnada condcón complementara segunda condcón KKT). Las prmeras permten expresar los parámetros de w y b en térmnos de α : w = α y x, = 1,..., n 17) y, además, establecen restrccones adconales para los coecentes α : α y = 0, = 1,..., n 18) Con las nuevas relacones obtendas, se construrá el problema dual. Así, bastara usar 17) para expresar la funcón Lagrangana sólo en funcón de α. Antes de ello, se puede reescrbr 13) como L w, b, α) = 1 2 < w, w > α y < w, x > b α y + 2 El sgno menos del segundo sumando es debdo a que las restrccones de 12) están expresadas como restrccones del tpo gx) 0 en lugar de gx) 0. α 6

7 Tenendo en cuenta que, según la condcón 18), el tercer térmno de la expresón anteror es nulo, la substtucón de 17) en dcha expresón resulta ser ) L α) = 1 ) α y x α j y j x j α y x α j y j x j + α 2 L α) = 1 2 L α) = j=1 α 1 2 α y x ) α j y j x j + j=1 j=1 α α α j y y j < x, x j > 19) Es decr, hemos transformado el problema de mnmzacón prmal 12), en el problema dual, consstente en maxmzar 19) sujeto a las restrccones 18), junto a las asocadas orgnalmente a los multplcadores de Lagrange: máx s.a. L α) = α 1 2,j=1 α α j y y j < x, x j > α y = 0 α 0, = 1,..., n Al gual que el problema prmal, este problema es abordable medante técncas estándar de programacón cuadrátca. Sn embargo, como se puede comprobar, el tamaño del problema de optmzacón dual escala con el número de muestras, n, mentras que el problema prmal lo hace con la dmensonaldad, d. Por tanto, aquí radca la ventaja del problema dual, es decr, el coste computaconal asocado a su resolucón es factble ncluso para problemas con un número muy alto de dmensones. La solucón del problema dual, α, nos permtrá obtener la solucón del problema prmal. Para ello, bastará susttur dcha solucón en la expresón 17) y, nalmente, susttur el resultado así obtendo en 1), es decr: Dx) = 20) α y < x, x > +b 21) Volvendo a las restrccones 16), resultantes de aplcar la segunda condcón KKT, se puede armar que s α > 0 entonces el segundo factor de la parte zquerda de dcha expresón tendrá que ser cero y, por tanto y < w, x > +b ) = 1 22) es decr, el correspondente ejemplo, x, y ), satsface la correspondente restrccón del problema prmal 12), pero consderando el caso gual que. Por dencón, los ejemplos que satsfacen las restrccones expresadas en 12), consderando el caso gual que, son los vectores soporte y, por consguente, se puede armar que sólo los ejemplos que tengan asocado un α > 0 serán vectores soporte. De este resultado, tambén puede armarse que el hperplano de separacón 21) se construrá como una combnacón lneal de sólo los vectores soporte del conjunto de ejemplos, ya que el resto de ejemplos tendrán asocado un α j = 0. Para que la dencón del hperplano 21) sea completa, es precso determnar el valor del parámetro b. Su valor se calcula despejando b de 22): b = y vs < w, x vs > 23) 7

8 donde x vs, y vs ) representa la tupla de cualquer vector soporte, junto con su valor de clase, es decr, la tupla de cualquer ejemplo que tenga asocado un α dstnto de cero. En la práctca, es más robusto obtener el valor de b promedando a partr de todos los vectores soporte, N vs. Así, la expresón 23) se transforma en: b = 1 N vs y vs < w, x vs >) 24) N vs Fnalmente, hacendo uso de 17) en 23), o en 24), permtrá tambén calcular el valor de b en funcón de la solucón del problema dual. Obsérvese que tanto la optmzacón de 20) como la evaluacón de 21) dependen del producto escalar de los vectores ejemplos. Esta propedad se utlzará más tarde seccón 4) para calcular hperplanos de separacón óptmos en espacos transformados de alta dmensonaldad. 3. SVM para clascacón bnara de ejemplos cuas-separables lnealmente El problema planteado en la seccón anteror tene escaso nterés práctco porque los problemas reales se caracterzan normalmente por poseer ejemplos rudosos y no ser perfecta y lnealmente separables. La estratega para este tpo de problemas reales es relajar el grado de separabldad del conjunto de ejemplos, permtendo que haya errores de clascacón en algunos de los ejemplos del conjunto de entrenamento.sn embargo, sgue sendo un objetvo el encontrar un hperplano óptmo para el resto de ejemplos que sí son separables. Desde el punto de vsta de la formulacón vsta en la seccón anteror, un ejemplo es no-separable s no cumple la condcón 11). Aquí se pueden dar dos casos. En el prmero, el ejemplo cae dentro del margen asocado a la clase correcta, de acuerdo a la frontera de decsón que dene el hperplano de separacón. En el otro caso, el ejemplo cae al otro lado de dcho hperplano. En ambos casos se dce que el ejemplo es no-separable, pero en el prmer caso es clascado de forma correcta y, en el segundo, no lo es ver g. 4). La dea para abordar este nuevo problema es ntroducr, en la condcón 11), que dene al hperplano de separacón, un conjunto de varables reales postvas, denomnadas varables de holgura, ξ, = 1,... n, que permtrán cuantcar el número de ejemplos no-separables que se está dspuesto a admtr, es decr: y < w, x > +b) 1 ξ, ξ 0, = 1,..., n 25) Por tanto, para un ejemplo x, y ), su varable de holgura, ξ, representa la desvacón del caso separable, medda desde el borde del margen que corresponde a la clase y ver g. 4). De acuerdo a esta dencón, varables de holgura de valor cero corresponden a ejemplos separables, mayores que cero corresponden a ejemplos no separables y mayores que uno corresponden a ejemplos no separables y, además, mal clascados. Por tanto, la suma de todas las varables de holgura, ξ, permte, de alguna manera, medr el coste asocado al número de ejemplos no-separables. Así, en una prmera aproxmacón, cuanto mayor sea el valor de esta suma, mayor será el número de ejemplos no separables. Relajadas las restrccones, según 25), ya no basta con plantear como únco objetvo maxmzar el margen, ya que podríamos lograrlo a costa de clascar erróneamente muchos ejemplos. Por tanto, la funcón a optmzar debe nclur, de alguna forma, los errores de clascacón que 8

9 x k ξ k =1+ Dx k ) Dx)> +1 ξ j =1+ Dx j ) Dx)= +1 Dx)=0 ξ =1- Dx ) Dx)= -1 x x j Dx)< -1 x Fgura 4: En el caso de ejemplos no-separables, las varables de holgura mden la desvacón desde el borde del margen de la clase respectva. Así, los ejemplos x, x j y x k son, cada uno de ellos, noseparables ξ, ξ j, ξ k > 0. Sn embargo, x está correctamente clascado, mentras que x j y x k están en el lado ncorrecto de la frontera de decsón y, por tanto, mal clascados. está cometendo el hperplano de separacón, es decr: fw, ξ) = 1 2 w 2 + C ξ 26) donde C es una constante, sucentemente grande, elegda por el usuaro, que permte controlar en qué grado nuye el térmno del coste de ejemplos no-separables en la mnmzacón de la norma, es decr, permtrá regular el compromso entre el grado de sobreajuste del clascador nal y la proporcón del número de ejemplos no separables. Así, un valor de C muy grande permtría valores de ξ muy pequeños. En el límte C ), estaríamos consderando el caso de ejemplos perfectamente separables ξ 0). Por contra, un valor de C muy pequeño permtría valores de ξ muy grandes, es decr, estaríamos admtendo un número muy elevado de ejemplos mal clascados. En el caso límte C 0), se permtría que todos los ejemplos estuveran mal clascados ξ ). En consecuenca, el nuevo problema de optmzacón consstrá en encontrar el hperplano, dendo por w y b, que mnmza el funconal 26) y sujeto a las restrccones dadas por 25), es decr mín 1 2 < w, w > +C ξ s.a. y < w, x > +b) + ξ 1 0 ξ 0, = 1,..., n El hperplano así dendo recbe el nombre de hperplano de separacón de margen blando del nglés soft margen), en oposcón al obtendo en el caso perfectamente separable, tambén conocdo como hperplano de separacón de margen duro del nglés hard margen). Como en el caso de la seccón anteror, s el problema de optmzacón a ser resuelto corresponde a un espaco de característcas de muy alta dmensonaldad, entonces, para facltar su resolucón, 9 27)

10 puede ser transformado a su forma dual. El procedmento para obtener el hperplano de separacón es smlar al allí utlzado. Por tanto, aquí sólo se reproducrán de forma esquemátca y secuencal los pasos necesaros para realzar dcha transformacón. Paso 1: Obtencón de la funcón Lagrangana 3 L w, b, ξ, α, β) = 1 2 < w, w > +C ξ α [y < w, x > +b) + ξ 1] Paso 2: Aplcacón de las condcones de KKT: L w w L b β ξ 28) α y x = 0 29) α y = 0 30) L ξ C α β = 0 31) α [1 y < w, x > +b ) ξ ] = 0, = 1,..., n 32) β ξ = 0, = 1,..., n 33) Paso 3: Establecer las relacones entre las varables del problema prmal w, b, ξ) con las del problema dual α, β). Para ello, hacemos uso de la relacon 29): w = α y x 34) Paso 4: Establecer restrccones adconales de las varables duales. Para ello se hace uso de las relacones 30-31): α y = 0 35) C = α + β 36) Paso 5: Del resultado obtendo en el paso 3, elmnar las varables prmales de la funcón Lagrangana para obtener así el problema dual que queremos maxmzar: L α) = α 1 2 α α j y y j < x, x j >,j=1 Fnalmente, se obtene la formalzacón buscada del problema dual 4 : máx α 1 2,j=1 α α j y y j < x, x j > s.a. α y = 0 0 α C, = 1,..., n 3 Obsérvese que, en este caso, aparecen dos famlas de multplcadores de Lagrange, α 0 y β 0, con = 1,..., n, como consecuenca de las dos famlas de restrccones que aparecen en 27). Nuevamente, el sgno menos del tercer y cuarto sumando obedece a que las dos famlas de restrccones en 27) están expresadas como restrccones del tpo gx) 0 en lugar de gx) 0. 4 La restrccón de que α C se obtene de 36) y de las condcones α, β 0 37) 10

11 Como en el caso anteror, la solucón del problema dual nos permtrá expresar el hperplano de separacón óptma en térmnos de α. Para ello, bastará tener en cuenta dcha solucón y susttur la expresón 34) en 1), es decr: Dx) = α y < x, x > +b 38) Antes de obtener una expresón para el cálculo del valor de b, se consderarán algunos resultados nteresantes. Así, de la restrccón 36) es fácl deducr que s α = 0, entonces C = β. De este últmo resultado y de la restrccón 33) se deduce que ξ = 0. Por tanto, se puede armar que todos los ejemplos x cuyo α asocado sea gual a cero corresponden a ejemplos separables ξ = 0). Por otro lado, todo ejemplo no separable, x, se caracterza por tener asocado un ξ > 0 ver g. 4). En este caso, y de la restrccón 33), se deduce que β = 0. A su vez, de este últmo resultado y la restrccón 36), se deduce que α = C. Por tanto, se puede armar que todos los ejemplos x cuyo α = C corresponderán a ejemplos no-separables ξ > 0). Además, dado que, en este caso, α 0, de la restrccón 32) se deduce que es decr 1 y < w, x > +b ) ξ = 0 1 y Dx ) = ξ Aquí se pueden consderar dos casos ver g. 4). En el prmero, el ejemplo, x, aunque no separable, está ben clascado, es decr, y Dx ) 0, entonces ξ = 1 Dx ). En el segundo caso, el ejemplo, x, es no separable y está mal clascado, es decr, y Dx ) < 0, entonces ξ = 1 + Dx ). Fnalmente, consderemos el caso 0 < α < C. Así, en esta stuacón, la restrccón 36) permte armar que β 0 y, de este resultado y la restrccón 33), se deduce que ξ = 0. Igualmente, s 0 < α < C, de la restrccón 32) y del resultado obtendo anterormente ξ = 0), se deduce que 1 y < w, x > +b ) = 0 Por tanto, se puede armar que un ejemplo, x, es vector soporte s y solo s 0 < α < C. De la expresón anteror, se esta en dsposcón de calcular el valor b, es decr b = y < w, x > t.q. 0 < α < C 39) Obsérvese que, a dferenca del caso perfectamente separable, ahora, para el cálculo de b, no es sucente con elegr cualquer ejemplo x que tenga asocado un α > 0. Ahora, se habrá de elegr cualquer ejemplo x que tenga asocado un α que cumpla la restrccón 0 < α < C. Fnalmente, hacendo uso de 34), es posble expresar b en térmnos de las varables duales: b = y α y < x j, x > α t.q. 0 < α < C 40) j=1 donde los coecentes α, = 1,..., n, corresponden a la solucón del problema dual. A modo de resumen, en el caso de ejemplos cuas-separables, hay dos tpos de ejemplos para los que los α 0. Aquellos, para los que 0 < α < C, que corresponderían a vectores soporte normales y, aquellos para los que α = C, asocados a ejemplos no separables. 11

12 Espaco de entradas Espaco de característcas X 1 Φ 1 x) χ x = x 1,x 2 ) X 2 Φ: X F F Φx) = [Φ 1 x), Φ 2 x)] Φ 2 x) Fgura 5: El problema de la búsqueda de una funcón de decsón no lneal en el espaco del conjunto de ejemplos orgnal espaco de entradas), se puede transformar en un nuevo problema consstente en la búsqueda de una funcón de decsón lneal hperplano) en un nuevo espaco transformado espaco de característcas) Esto últmos recben el nombre de vectores soporte acotados del nglés bounded support vectors). Ambos tpos de vectores ejemplos) ntervenen en la construccón del hperplano de separacón. El problema dual del caso cuas-separable 37) y el correspondente al caso perfectamente separable, 20), son práctcamente guales. La únca dferenca radca en la nclusón de la constante C en las restrccones del prmero. 4. SVM para clascacón bnara de ejemplos no separables lnealmente En las dos seccones anterores se ha mostrado que los hperplanos de separacón son buenos clascadores cuando los ejemplos son perfectamente separables o cuas-perfectamente separables. Tambén se vo que el proceso de búsqueda de los parámetros que denen dchos hperplanos se puede hacer ndependentemente de la dmensonaldad del problema a resolver. Así, s ésta es baja, basta con resolver drectamente el problema de optmzacón prmal asocado. En cambo, s la dmensonaldad es muy alta, basta con transformar el problema prmal en su problema dual equvalente y resolver este últmo. Sn embargo, hasta ahora, se ha asumdo la dea de que los ejemplos eran separables o cuas-separables y, por tanto, los hperplanos se denían como funcones lneales en el espaco-x de los ejemplos. En esta seccón se descrbrá cómo usar de forma ecente conjuntos de funcones base, no lneales, para denr espacos transformados de alta dmensonaldad y cómo buscar hperplanos de separacón óptmos en dchos espacos transformados. A cada uno de estos espacos se le denomna espaco de característcas, para dferencarlo del espaco de ejemplos de entrada espaco-x). Sea Φ : X F la funcón de transformacón que hace corresponder cada vector de entrada x con un punto en el espaco de característcas F, donde Φx) = [φ 1 x),..., φ m x)] y 12

13 φ x), = 1,..., m, tal que φ x) es una funcón no lneal. La dea entonces es construr un hperplano de separacón lneal en este nuevo espaco. La frontera de decsón lneal obtenda en el espaco de característcas se transformará en una frontera de decsón no lneal en el espaco orgnal de entradas ver g. 5). En este contexto, la funcón de decsón 1) en el espaco de característcas vendrá dada por 5 Dx) = w 1 φ 1 x) w m φ m x)) =< w, Φx) > 41) y, en su forma dual, la funcón de decsón se obtene transformando convenentemente la expresón de la frontera de decsón 38) en: Dx) = α y Kx, x ) 42) donde Kx, x ) se denomna funcón kernel. Por dencón, una funcón kernel es una funcón K : X X R que asgna a cada par de elementos del espaco de entrada, X, un valor real correspondente al producto escalar de las mágenes de dchos elementos en un nuevo espaco F espaco de característcas), es decr, Kx, x ) =< Φx), Φx ) >= φ 1 x)φ 1 x ) φ m x)φ m x ) ) 43) donde Φ : X F. Por tanto, una funcón kernel puede susttur convenentemente el producto escalar en 38). Así, dado el conjunto de funcones base, Φ = {φ 1 x),..., φ m x)}, el problema a resolver en 42) sgue sendo encontrar el valor de los parámetros α, = 1,... n, que optmza el problema dual 37), pero expresado ahora como: máx α 1 2,j=1 α α j y y j Kx, x j ) s.a. α y = 0 0 α C, = 1,..., n Se está ya en dsposcón de descrbr la metodología necesara para resolver un problema de clascacón de ejemplos no separables lnealmente. Concretamente, la funcón de decsón vendrá dada por la expresón 42), donde el valor de los parámetros α, = 1,... n, se obtendrán como solucón al problema de optmzacón cuadrátca dado por 44), conocdos el conjunto de ejemplos de entrenamento x, y), = 1,..., n, el kernel K, y el parámetro de regularzacón C. Actualmente, no exste una forma teórca de encontrar el valor de C. Sólo exste la heurístca de usar un valor grande recuérdese que C = para el caso lnealmente separable). A modo de ejemplo, supongamos el caso de vectores de entrada de dos dmensones, x = x 1, x 2 ), y el conjunto de funcones base formado por todos los polnomos de grado tres, es decr, φ 1 x 1, x 2 ) = 1 φ 2 x 1, x 2 ) = x 1 φ 3 x 1, x 2 ) = x 2 φ 4 x 1, x 2 ) = x 1 x 2 φ 5 x 1, x 2 ) = x 2 1 φ 6 x 1, x 2 ) = x 2 2 φ 7 x 1, x 2 ) = x 2 1 x 2 φ 8 x 1, x 2 ) = x 1 x 2 2 φ 9 x 1, x 2 ) = x 3 1 φ 10 x 1, x 2 ) = x 3 2 En este caso, cada entrada de dos dmensones es transformada en un espaco de característcas de dez dmensones. La dea es entonces buscar un hperplano en el espaco de característcas 5 Obsérvese que se ha prescnddo del termno b puesto que éste puede ser representado ncluyendo en la base de funcones de transformacón la funcón constante φ 1x) = 1 44) 13

14 que sea capaz de separar los ejemplos. La frontera de decsón lneal asocada a dcho hperplano se transformará en un límte de decsón polnomal de grado tres en el espaco de entradas. Obsérvese tambén que s, en este ejemplo, un problema de tan solo dos dmensones se transforma en uno de dez dmensones, un pequeño aumento en la dmensonaldad del espaco de entrada puede provocar un gran aumento en la dmensonaldad del espaco de característcas. En el caso límte, exsten ncluso espacos de característcas de dmensón nnta. Es por esta razón por la que, ahora, el problema de optmzacón se expresa sólo en su forma dual, ya que, como se ha vsto en las dos seccones anterores, la solucón de este problema no depende de la dmensonaldad del espaco sno de la cardnaldad del conjunto de vectores soporte. S la transformacón del espaco de entradas al espaco de característcas puede denrse a partr de un conjunto nnto de funcones base, surge la pregunta de cómo transformar los ejemplos de entrada, de dmenson nta, en otro espaco de dmensón nnta. El sguente teorema responde a esta pregunta. Teorema de Aronszajn. Para cualquer funcón K : X X R que sea smétrca 6 y semdenda postva 7, exste un espaco de Hlbert y una funcón Φ : X F tal que Kx, x ) =< Φx), Φx ) > x, x X 45) Una consecuenca mportante de este teorema es que para construr una funcón kernel no es necesaro hacerlo a partr de un conjunto de funcones base, Φx) = φ 1 x),..., φ m x)), smplemente basta denr una funcón que cumpla las dos condcones del teorema. Por tanto, para evaluar una funcón kernel no se necestará conocer dcho conjunto de funcones base y, aún conocdo éste, tampoco sería necesaro realzar explíctamente el cálculo del producto escalar correspondente, es decr, será sucente con evaluar dcha funcón. En dentva, para resolver el problema dual 44), no sólo no se necesta conocer el conjunto de funcones base de transformacón, sno que tampoco es necesaro conocer las coordenadas de los ejemplos transformados en el espaco de característcas. Sólo se necestará conocer la forma funconal del kernel correspondente, K : X X R, aún cuando este pudera estar asocado a un conjunto nnto de funcones base. Ejemplos de funcones kernel Se presentan aquí algunos ejemplos de funcones kernel: Kernel lneal: Kx, x ) =< x, x > 46) kernel polnómco de grado-p: K p x, x ) = [ γ < x, x > +τ ] p 47) kernel gaussano: Kx, x ) = exp γ x x 2), γ > 0 48) 6 Una funcón K : X X R es smétrca s Kx, x ) = Kx, x) x, x X 7 Una funcón K : X X R es semdenda postva s ccjkx, xj) 0, para cualesquera conjuntos x 1,..., x n X y c 1,... c n R, sendo n > 0. 14

15 x x1 Fgura 6: Representacón del conjunto de datos pertenecente al problema XOR. kernel sgmodal: Kx, x ) = tanhγ < x, x > +τ) 49) A los parámetros γ, τ y p se les denomna parámetros del kernel. Ejemplo: Solucón del problema OR-exclusvo medante SVMs El problema or-exclusvo pertenece al caso de problemas separables no-lnealmente C = ) y se dene como el problema de encontrar un hperplano de separacón que clasque sn error los ejemplos de la tabla sguente: Ejemplo x 1, x 2 ) y 1 +1, +1) , +1) 1 3 1, 1) , 1) 1 De la g. 6, resulta obvo que es mposble resolver este problema con un límte de decsón lneal en el espaco orgnal de entradas. La solucón que se propone es crear un clascador SVM, usando un kernel polnómco 47, con p = 2, γ = 1 y τ = 1: K 2 x, x ) = [ < x, x > +1 ] 2 50) Los valores de α, = 1,... n, corresponderán a la solucón del problema dual 44), partcularzado para el problema que queremos resolver, es decr máx 4 α α α j y y j K 2 x, x ),j=1 s.a. 4 α y = 0, 0 α C, = 1,..., 4 15

16 La solucón a este problema de optmzacón es α = 0,125, = 1, Dado que no exste nngún para el que α = 0, se puede armar que todos los ejemplos del conjunto de entrenamento corresponden a vectores soporte. Por tanto, la funcón de decsón vendrá dada por 42), partcularzada para la solucón obtenda y el kernel elegdo, es decr: Dx) = α y Kx, x ) = 0,125 4 y K 2 x, x ) 51) Obsérvese que con esta expresón habríamos resuelto el problema de clascacón planteado ncalmente, es decr, bastaría evaluarla con cualquer ejemplo de clascacón conocda o desconocda) y asgnarle la clase correspondente, de acuerdo a lo ndcado en 2). Sn embargo, aprovecharemos el problema XOR para obtener otros resultados relaconados con dferentes conceptos descrtos anterormente. Así, por ejemplo, de la dencón de funcón kernel 43) y del kernel aquí empleado 50), es posble obtener el conjunto base de funcones de transformacón: Kx, x ) =< Φx), Φx ) >= [ < x, x > +1 ] 2 = [ < x1, x 2 ), x 1, x ) ] 2 > +1 = x 2 ) 1 x 2 ) 1 + x 2 2 x x1 x 2 x 1x 2 + 2x 1 x 1 + 2x 2 x = < 1, 2x 1, 2x 2, ) 2x 1 x 2, x 2 1, x 2 2, 1, 2x 1, 2x 2,, 2x 1x 2, x ) 2 ) ) 1, x 2 2 > es decr, Φ 2 = {φ 1 x),..., φ 6 x)}, donde φ 1 x 1, x 2 ) = 1 φ 2 x 1, x 2 ) = 2x 1 φ 3 x 1, x 2 ) = 2x 2, φ 4 x 1, x 2 ) = 2x 1 x 2 φ 5 x 1, x 2 ) = x 2 1 φ 6 x 1, x 2 ) = x ) Utlzando este resultado y el obtendo en 53), la funcón de decsón lneal en el espaco transformado puede expresarse en funcón del conjunto de funcones base: Dx) = 0,125 4 y K 2 x, x ) = 0,125 4 y < Φ 2 x), Φ 2 x ) >= 0,125 [ φ 1 x) + 2φ 2 x) + 2φ 3 x) + 2φ 4 x) + φ 5 x) + φ 6 x)+ φ 1 x)) + 2φ 2 x) 2φ 3 x) + 2φ 4 x) φ 5 x) φ 6 x)+ φ 1 x) 2φ 2 x) 2φ 3 x) + 2φ 4 x) + φ 5 x) + φ 6 x)+ 53) φ 1 x)) 2φ 2 x) + 2φ 3 x) + 2φ 4 x) φ 5 x) φ 6 x) ] = 0,125 [ 4 2φ 4 x) ] = 1 2 φ 4 x) Del resultado obtendo, se puede armar que, de las ses dmensones del espaco de característcas, la funcón lneal de decsón en dcho espaco se expresa en térmnos de sólo una de ellas, φ 4 x). Es decr, sólo se necesta una dmensón del espaco transformado para poder separar los ejemplos del conjunto de entrenamento orgnal ver g. 7a). Este hecho se con- rma al calcular los ejemplos transformados de los ejemplos orgnales en el nuevo espaco de característcas, mostrados en la sguente tabla: 16

17 2 1.5 Dx1,x2)= 1 Dx1,x2)= +1 Dx)=0 1 Dx)= 1 Dx)=+1 x Dx1,x2)= 0 τ = 2 τ = φ 4 x) a) 1.5 Dx1,x2)= +1 Dx1,x2)= x1 b) Fgura 7: Solucón al problema XOR: a) hperplano de separacón en el espaco de característcas, junto con su margen asocado los cuatro ejemplos son vectores soporte) b) funcón de decsón no lneal en el espaco de ejemplos orgnal resultante de transformar el hperplano obtendo en a) en coordenadas del espaco orgnal. Ejemplo Espaco de entradas Espaco de característcas Clase # x 1, x 2 ) φ 1 x), φ 2 x),..., φ 6 x)) y ) 1 +1, +1) 1, 2, 2, 2, 1, 1 +1 ) 2 1, +1) 1, 2, 2, 2, 1, 1 1 ) 3 1, 1) 1, 2, 2, 2, 1, 1 +1 ) 4 +1, 1) 1, 2, 2, 2, 1, 1 1 Para obtener la ecuacón del hperplano de separacón en el espaco de característcas, bastará hacer Dx) = 0 en 53), es decr: 1 2 φ 4 x) = 0 φ 4 x) = 0 y para obtener las ecuacones de las fronteras que delmtan el margen, habrá que calcular Dx) = +1 y Dx) = 1, es decr: φ 4 x) = + 2 φ 4 x) = 2 De la g. 7a, resulta fácl deducr que el valor del margen máxmo es τ = 2. No obstante, el valor de dcho margen máxmo se puede calcular matemátcamente. Para ello, bastará calcular el valor de w y aplcar 9). A su vez, el valor de w se puede obtener a partr de 17), conocdos los valores de α, = 1,... 4, es decr, w = 4 α y x = 0, 0, 0, ) 1, 0, 0 2 donde los valores de x, = 1,... 4 corresponden a los valores de los ejemplos de entrenamento expresados respecto a las coordenadas del espaco de característcas. Del resultado anteror, resulta nmedato obtener el valor del margen máxmo: τ máx = 1 w = 2 17

18 Tambén es fácl obtener la funcón de decsón no lneal en el espaco orgnal de entradas a partr transformar de la funcón lneal de decsón del espaco de característcas ver g. 7b). Para ello, basta susttur el valor de φ 4 x), obtendo de 52), en 53), es decr Dx) = x 1 x 2 Así, las ecuacones de las fronteras de separacón vendrán dadas por Dx) = 0, es decr x 1 = 0 x 1 x 2 = 0 x 2 = 0 y la de las fronteras que delmtan los márgenes por Dx) = +1 y Dx) = 1, es decr x 1 x 2 = +1 x 2 = 1/x 1 5. SVM para regresón x 1 x 2 = 1 x 2 = 1/x 1 Las máqunas de vectores soporte pueden tambén adaptarse para resolver problemas de regresón. En estos casos, es muy común desgnarlas por el acrónmo SVR del nglés Support Vector Regresson). Así, dado un conjunto de ejemplos de entrenamento S = {x 1, y 1 ),..., x n, y n )}, donde x R d e y R, en el que se asume que los valores y de todos los ejemplos de S se pueden ajustar o cuas-ajustar) medante una funcón lneal, el objetvo de la tarea de regresón es encontrar los parámetros w = w 1,..., w d ) que permtan denr dcha funcón lneal: fx) = w 1 x w d x d ) + b =< w, x > +b 54) Para permtr certo rudo en los ejemplos de entrenamento se puede relajar la condcón de error entre el valor predcho por la funcón y el valor real. Para ello, se utlza la denomnada funcón de pérdda ɛ-nsensble, L ɛ, ver g. 8) caracterzada por ser una funcón lneal con una zona nsensble, de anchura 2ɛ, en la que el error es nulo, y vene denda por: 0 s y fx) ɛ L ɛ y, fx)) = 55) y fx) ɛ en otro caso La prncpal razón para elegr esta funcón es la de permtr certa dspersón en la funcón solucón, de tal forma que todos los ejemplos que quedan connados en la regón tubular denda por ±ɛ no serán consderados vectores soporte. De esta forma se reducrá sgncatvamente el número de éstos. Dado que en la práctca es muy dfícl que los ejemplos de entrenamento se ajusten al modelo lneal con un error de predccón gual a cero, se recurre al concepto de margen blando, ya utlzado anterormente al resolver el problema de clascacón. Para ello, se denen dos varables de holgura, ξ + y ξ, que permtrán cuantcar la magntud de dcho error ver g. 8). Así, la varable ξ + > 0 cuando la predccón del ejemplo, fx ) es mayor que su valor real, y, en una cantdad superor a ɛ, es decr, fx ) y > ɛ. En otro caso, su valor será cero. De forma smlar, la varable ξ > 0 cuando el valor real del ejemplo es mayor que su predccón en una cantdad superor a ɛ, es decr, y fx ) > ɛ. En otro caso, su valor será cero. Dado 18

19 Fgura 8: SVR con margen blando: se muestra la relacón entre las varables de holgura, ξ, ξ+ j, asocadas a ejemplos que quedan fuera de la zona tubular ɛ-nsensble y la funcón de pérdda, L ɛ. que no puede ocurrr smultáneamente que la predccón de un ejemplo sea smultáneamente mayor ξ + > 0) y menor ξ > 0) que su valor real, se puede armar que ξ + ξ = 0. Tal y como ocurría en el problema de clascacón con margen blando, aquí tambén la suma de todas las varables de holgura permtrá, de alguna manera, medr el coste asocado al número de ejemplos con un error de predccón no nulo. Por tanto, la funcón a optmzar será la msma que la del problema de clascacón con margen blando 26), con la salvedad de que aquí tenemos dos tpos de varables de holgura. En dentva, el problema prmal, en el caso de regresón, queda dendo como: mín 1 2 < w, w > +C ξ + + ξ s.a. < w, x > +b) y ɛ ξ + 0 y < w, x > +b) ɛ ξ 0 ξ +, ξ 0, = 1,..., n La transformacón al problema dual requere los msmos pasos que se han segudo hasta ahora en seccones anterores, es decr: Paso 1: Obtencón de la funcón Lagrangana L w, b, ξ +, ξ, α +, α, β +, β ) = 1 2 < w, w > +C ξ + + ξ ) ) + 56) α+ [ < w, x > +b) y ɛ ξ + ] + α [ y < w, x > +b) ɛ ξ ] 57) β+ ξ+ Paso 2: Aplcacón de las condcones de KKT: L w w + α + x 19 β ξ α x = 0 58)

20 α + α L b L ξ + L ξ α + α = 0 59) C α + β + = 0 60) C α β = 0 61) [ < w, x > +b ) y ɛ ξ + ] = 0 62) [ y < w, x > +b ) ɛ ξ ] = 0 63) β + ξ+ = 0 64) β ξ = 0 65) Paso 3: Establecer las relacones entre las varables del problema prmal w, b, ξ +, ξ ) con las del problema dual α +, α, β +, β ). Para ello, se hace uso de 58): w = α α + ) x 66) Paso 4: Establecer restrccones adconales de las varables duales. Para ello se hace uso de 59)-61), es decr: α + α ) = 0 67) β + = C α + 68) β = C α 69) Paso 5: Del resultado obtendo en el paso 3, elmnar las varables prmales de la funcón Lagrangana: L α +, α ) = α α + ) y ɛ α + α + ) 1 2,j=1 α α + ) ) 70) αj α+ j < x, x j > Fnalmente, se obtene la formalzacón buscada del problema dual 8 : máx α α + ) y ɛ α + α + ) 1 2,j=1 α α + ) ) αj α+ j < x, x j > s.a. α + α ) = 0 0 α +, α C, = 1,..., n El regresor asocado a la funcón lneal buscada resulta ser fx) = 71) α α + ) < x, x > +b 72) 8 La restrccón de que α + C se obtene de 68) y de α +, β+ 0. Igualmente, la restrccón α C se obtene de 69) y de α, β 0 20

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