Ejercicios de Lógica Proposicional *

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1 Ejercicios de Lógica Proposicional * Notación. El lenguaje proposicional que hemos definido, aquel que utiliza los cinco conectivos,,, y, se denota como L {,,,, }. Los términos argumento, inferencia y razonamiento describen exactamente lo mismo: un conjunto finito de premisas y una conclusión. Al escribir ϕ 1,..., ϕ n / ψ estamos representando un argumento cuyas premisas son las fórmulas ϕ 1,..., ϕ n y cuya conclusión es la fórmula ψ Al escribir ϕ 1,..., ϕ n = ψ estamos indicando que el argumento ϕ 1,...,ϕ n / ψ (es decir, el argumento cuyas premisas son las fórmulas ϕ 1,..., ϕ n y cuya conclusión es la fórmula ψ) es un argumento válido. En este caso, también diremos que ψ es una consecuencia lógica de ϕ 1,..., ϕ n. Ejercicio 1 (Fórmulas). Sea {p, q, r, s} nuestro conjunto de proposiciones atómicas. Indique si las siguientes secuencias de símbolos son fórmulas del lenguaje L {,,,, } basado en dicho conjunto. En caso de que no lo sean, indique si la causa es una mala aplicación de las reglas para construir fórmulas, o simplemente la falta de paréntesis (i.e., la fórmula es ambigua). (a) ( p) q (b) p (c) p q (d) p q (e) p (q r) (f) (p q) r (g) p q (h) p q (i) p (q r) (j) (p q) r (k) (p q r s) (l) q q (m) ( r) ( p) (n) p (ñ) (p q) ((p r) q) (o) (q (p q)) p (p) (p q) (p q) (q) (p (p q)) q * Ej01-Prop-a.tex, compiled 15 de noviembre de 2013, 12:02. 1

2 Ejercicio 2 (Árboles sintácticos). Considere cada una de las secuencias de símbolos del ejercicio 1. Si la secuencia es una fórmula de L {,,,, }, construya su árbol sintáctico; si la secuencia no es una fórmula por ambigüedad (i.e., por falta de paréntesis), construya sus árboles sintácticos. Ejercicio 3 (Interpretaciones). (a) Suponga que nuestro conjunto de proposiciones atómicas es {p, q}. Cuántas interpretaciones diferentes existen para este conjunto, y cuáles son? (b) Suponga que nuestro conjunto de proposiciones atómicas es {p, q, r}. Cuántas interpretaciones diferentes existen para este conjunto, y cuáles son? (c) Suponga que nuestro conjunto de proposiciones atómicas tiene n elementos. Cuántas interpretaciones diferentes existen para este conjunto? Ejercicio 4. Para cada una de las siguientes fórmulas, construya la tabla de verdad completa, e indique si la fórmula es satisfactible, una tautología y/o una contradicción. En caso de que alguna fórmula sea ambigua, indique la forma en que el uso de paréntesis podría resolver la ambigüedad, y realice el ejercicio asumiendo que el símbolo de negación ( ) tiene la mayor precedencia, es decir, que primero hay que evaluar negaciones, y después los operadores restantes. 1 (Si el procedimiento descrito no resuelva la ambigüedad, entonces solamente indíquelo y pase a la siguiente fórmula.) (1) p q (2) p q (3) p (q r) (4) (p q) r (5) p (q r) (6) (p q) r (7) ((p q) r) (p q) (8) (p (p q)) q (9) (p q r) (10) q q (11) r p (12) p (13) (p q) ((p r) q) (14) (q (p q)) p (15) ( p (( q) p) ) q (16) (p q) ( p q) (17) ((p q) (p (q r))) (18) ((p (q r)) ((p q) r)) (19) (p q) (p (q r)) (20) (( p (q r)) (p r)) (21) (p (q r)) ((p q) (p r)) (22) (p (q r)) ((p q) r) (23) ((p q) ( q r)) ( (p r) q) (24) (p q) (p q) (25) ((p q) r) (( p q) r) (26) (p q) (q p) (27) ((p q) (p r) (q s)) (r s) (28) ((p q) (q p)) (q p) (29) ((p q) r) (p (q r)) (30) (( p q) (p q)) p (31) (( p q) (p q)) (p r) (32) (p (q r)) ((p q) (p r)) (33) ((p q) r) ((p r) (q r)) (34) ((p q) r) ((p r) (q r)) 1 Por ejemplo, p q es ambigua, pero esta ambigüedad se puede resolver colocando paréntesis para obtener (p q) (es decir, la fórmula es una negación) o para obtener ( p) q (es decir, la fórmula es una conjunción). Como la negación tiene mayor precedencia, esta tiene que ser evaluada primero, es decir, la fórmula p q debe ser leída como ( p) q. 2

3 Ejercicio 5. Indique si los siguientes pares de fórmulas son lógicamente equivalentes (resuelva ambigüedades como en el ejercicio anterior). Si la respuesta es no, proporcione una interpretación bajo la cual los valores de verdad de dichas fórmulas sean diferentes. (a) (p q); p q. (b) p (q r); (p q) (p r). (c) p q; p q. (d) p (q r); (p q) r. (e) p q; (p q) (q p). (f) p; p. (g) (p q); p q. (h) p q; q p. (i) p q; q p. (j) p q; q p. (k) (p q); p q. (l) (p q); p q. (m) (p q); p q. (n) (p q); p q. (ñ) (p q) (p q); p q. (o) p (p q); q. Ejercicio 6 (Otros lenguajes (1)). Sea L {,, } el lenguaje proposicional que se basa solamente en los conectivos, y. (a) Proporcione una fórmula de L {,, } que sea lógicamente equivalente a una implicación, es decir, proporcione una fórmula que involucre a p, a q y a cualquiera de los conectivos en {,, }, y cuya tabla de verdad sea idéntica a la tabla de verdad de p q. (b) Proporcione una fórmula de L {,, } que sea lógicamente equivalente a una equivalencia, es decir, proporcione una fórmula que involucre a p, a q y a cualquiera de los conectivos en {,, }, y cuya tabla de verdad sea idéntica a la tabla de verdad de p q. Observe como este ejercicio nos dice que los conectivos y pueden ser definidos en el lenguaje L {,, }. En otras palabras, L {,, } y L {,,,, } tienen el mismo poder expresivo. Ejercicio 7 (Otros lenguajes (2)). Sea L {, } el lenguaje proposicional que se basa solamente en los conectivos y. Proporcione una fórmula de L {, } que sea lógicamente equivalente a una conjunción, es decir, proporcione una fórmula que involucre a p, a q y a cualquiera de los conectivos en {, }, y cuya tabla de verdad sea idéntica a la tabla de verdad de p q. Esto nos dice que el conectivo puede ser definido en el lenguaje L {, } ; por lo tanto, L {, } y L {,, } tienen el mismo poder expresivo. Este resultado y el resultado del ejercicio 6 nos dicen que L {, } y L {,,,, } tienen también el mismo poder expresivo. Ejercicio 8 (Otros lenguajes (3)). La constante lógica es siempre falsa. Considere el lenguaje proposicional L {, }, el cual se basa en y en. Observe como, aunque la negación no es parte de este lenguaje, esta puede ser definida, ya que las fórmulas p y p tienen exactamente la misma tabla de verdad: 3

4 p p p (a) Proporcione una fórmula en L {, } que sea lógicamente equivalente a una disyunción, es decir, proporcione una fórmula que involucre a p, a q y a cualquiera de los conectivos/constantes en {, }, y cuya tabla de verdad sea idéntica a la tabla de verdad de p q. (b) Proporcione una fórmula en L {, } que sea lógicamente equivalente a una conjunción, es decir, proporcione una fórmula que involucre a p, a q y a cualquiera de los conectivos/constantes en {, }, y cuya tabla de verdad sea idéntica a la tabla de verdad de p q. (Sugerencia: puede utilizar la respuesta al ejercicio 6, la cual nos dice como escribir una conjunción en términos de la negación y la disyunción, y el hecho de que tanto la negación como la disyunción se pueden definir en L {, }.) Ejercicio 9 (Semántica de juegos (1)). Recuerde que, para utilizar el juego de evaluación, la fórmula cuyo valor de verdad queremos encontrar debe contener solamente conjunciones, disyunciones y negaciones, y las negaciones deben aparecen sólo al lado de proposiciones atómicas. (En otras palabras la fórmulas deben estar en el fragmento del lenguaje L {,, } en el cual las negaciones actúan solamente sobre proposiciones atómicas.) Considere los siguientes pares de fórmulas e interpretaciones. (1) p (q r), pqr; (2) p (q r), pqr; (3) p q, pq; (4) p q, pq; (5) (p q), pq; (6) (p q), pq; (7) p q (p (q r)), pqr; (8) p q (p (q r)), pqr. Para cada una de ellas, (a) indique si la fórmula tiene la forma adecuada para utilizar el juego de evaluación y, si este no es el caso, utilice las equivalencias lógicas vistas en clase para darle a la fórmula la forma adecuada; (b) construya el árbol del juego, e indique qué jugador gana en cada una de las posiciones finales; (c) indique qué jugador tiene una estrategia ganadora, y represente dicha estrategia en el árbol del juego indicando, en cada posición que le pertenece a este jugador, qué posición debe elegir a fin de ganar el juego. Ejercicio 10 (Semántica de juegos (2)). Considere las fórmulas que aparecen en el ejercicio 4. Para cada una de ellas 4

5 (a) indique si la fórmula tiene la forma adecuada para utilizar el juego de evaluación y, si este no es el caso, utilice las equivalencias lógicas vistas en clase para darle a la fórmula la forma adecuada. (b) Considere la interpretación I 1 = pqrs; utilice el juego de evaluación para decidir si la fórmula es verdadera o falsa bajo I 1. Si la fórmula es verdadera, de una estrategia ganadora para verificador; si la fórmula es falsa, de una estrategia ganadora para falsificador. (c) Repita el inciso anterior, utilizando ahora la evaluación I 2 = pqrs. Ejercicio 11 (Otros conectivos). El conectivo representa una disyunción inclusiva: p q es verdadera cuando al menos un componente de la disyunción es verdadero. Proporcione una fórmula en L {,,,, } que se comporte como una disyunción exclusiva, es decir, una fórmula que involucre a p, a q y a cualquiera de los conectivos en {,,,, }, y que sea verdadera solamente en dos casos: cuando p es verdadera y q es falsa, y cuando p es falsa y q es verdadera. Note como esto nos dice que no es necesario el definir un conectivo para la disyunción exclusiva: el lenguaje L {,,,, } es lo suficientemente expresivo como para definirlo. Ejercicio 12 (Completitud expresiva (1)). Sea L cualquier lenguaje formal proposicional. Toda fórmula ϕ L cuya única proposición atómica sea p y cuyo valor de verdad dependa solamente del valor de verdad de p puede comportarse, respecto a su valor de verdad, de tan sólo cuatro formas: o ϕ es siempre verdadera, o coincide en valor de verdad con p, o su valor de verdad es opuesto al de p, o es siempre falsa. p ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ En el lenguaje proposicional L {,,,, } con tan sólo p como proposición atómica existen fórmulas que se comportan exactamente como ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, ϕ 4 : por ejemplo, p p, p, p y p p, respectivamente. Esto nos dice que nuestro lenguaje es expresivamente completo cuando tenemos solamente una proposición atómica. Observe como otros lenguajes proposicionales no son completos: por ejemplo, en el lenguaje que se basa solamente en el conectivo, L { }, no existen fórmulas que se comporten como ϕ 1, es decir, no existen fórmulas que sean siempre verdaderas, independientemente del valor de verdad de p. Considere ahora fórmulas de cualquier lenguaje proposicional cuyas proposiciones atómicas sean solamente p y q. (a) De cuántas formas diferentes se pueden comportar dichas fórmulas, respecto a su valor de verdad? (b) Proporcione fórmulas de nuestro lenguaje proposicional que se comporten de cada una de esas formas. Esto nos indica que nuestro lenguaje es expresivamente completo cuando tenemos dos proposiciones atómicas. 5

6 Ejercicio 13 (Completitud expresiva (2)). Considere ahora fórmulas de cualquier lenguaje proposicional que se basa en n proposiciones atómicas. (a) De cuántas formas diferentes se pueden comportar dichas fórmulas, respecto a su valor de verdad? (b) Demuestre que nuestro lenguaje proposicional también es, en este caso, expresivamente completo. Ejercicio 14. Indique si cada uno de los siguientes conjuntos de fórmulas es satisfactible o no. (En caso de que alguna fórmula sea ambigua, resuelva la ambigüedad como en el ejercicio 4.) Si la respuesta es si, proporcione una evaluación que haga verdaderas a todas las fórmulas del conjunto. (a) { (p r) q, q r, p (r q) } (b) { p (q r), p s, s ( q r) } (c) { q p, p q, p, (q r), r } (d) { p (q r), q r, (q p), p } (e) { q (r p), r p, ( p r) r, q p } (f) { p q, (p q), (p q) p } Ejercicio 15 (Argumento válido (1)). Decida, utilizando tablas de verdad, si cada una de las siguientes inferencias es válida o no. (En caso de que alguna fórmula sea ambigua, resuelva la ambigüedad como en el ejercicio 4.) Si la respuesta es no, proporcione un contraejemplo, es decir, una interpretación que haga a las premisas verdaderas y a la conclusión falsa. (1) p q, p / q (2) p q, q / q (3) p q, p / q (4) p q, q / p (5) p q / q p (6) p q, p / q (7) p q, q / p (8) p q, p / q (9) p q / p (10) p q, q r / p r (11) p q, q r / r q (12) p q, q p / p q (13) p q, p r / q r (14) p / q q (15) p q / p q (16) p, q / p q (17) p, q / p q (18) p / p q (19) p / p q (20) p q, p r, q r / r (21) p q, p r, q r / r (22) p q, p r, q s / r s (23) p q, p r, q s / r s (24) p q / p (p q) (25) p, p / q Ejercicio 16 (Argumento válido (2)). Realice el ejercicio 15 utilizando ahora el método de eliminación. Ejercicio 17 (Argumento válido (3)). Decida si cada uno de los siguientes esquemas de inferencias (argumentos) es válido o no, resolviendo ambigüedades como en el ejercicio anterior. Si la respuesta es no, proporcione un contraejemplo. 6

7 (1) ϕ ψ, ψ / ϕ (2) ϕ ψ / ψ ϕ (3) ϕ ϕ / ψ (4) ϕ ψ, ϕ / ψ (5) ϕ ψ, ϕ ψ / ϕ (6) ϕ, ψ / χ χ (7) ϕ ψ / ϕ ψ (8) (ϕ ψ) / ϕ (9) ϕ / ϕ (10) ϕ ψ, ψ / ϕ (11) (ϕ ψ), ψ / ϕ (12) (ψ χ), ψ / χ (13) ( ϕ ψ) χ, ψ χ, ϕ / χ (14) ϕ ψ, ϕ χ, ψ χ / χ (15) (ϕ ψ) / ϕ ψ (16) (ϕ (ψ χ)), χ (ϕ ψ) / χ (17) (ϕ ψ) χ / ϕ (ψ χ) (18) ϕ (ψ χ) / (ϕ ψ) χ (19) ϕ ψ, ϕ χ / ψ χ (20) ϕ (ψ χ), ((ϕ ψ) χ) / ϕ (21) ϕ ψ, ψ χ / χ ϕ (22) ϕ ψ,χ η,ϕ χ, (ψ η) / (ψ ϕ) (23) ϕ (ψ χ) / (ϕ ψ) (ϕ χ) (24) ϕ ψ, χ η, ϕ χ, (ψ η) / (ψ ϕ) (η χ) (25) ϕ (ψ χ), (ϕ (ψ χ)),ϕ χ, ψ χ / ψ (26) ϕ (ψ χ), (ϕ (ψ χ)),ϕ χ, ψ χ / ϕ (27) ϕ (ψ χ), (ϕ (ψ χ)),ϕ χ, ψ χ / χ (28) ϕ (ψ χ), (ϕ (ψ χ)),ϕ χ, ψ χ / χ Ejercicio 18 (Consecuencia lógica). (a) Podemos afirmar que ϕ = ϕ? (b) Suponga que ϕ = ψ. Podemos afirmar que ψ = ϕ? (c) Suponga que ϕ = ψ. Podemos afirmar que ϕ, ϕ = ψ? (d) Suponga que ϕ 1, ϕ 2 = ψ. Podemos afirmar que ϕ 2, ϕ 1 = ψ? (e) Suponga que ϕ = ψ y ψ = χ. Podemos afirmar que ϕ = χ? (f) Suponga que ϕ = ψ y χ = ψ. Podemos afirmar que χ = ϕ? 7

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