0.2.4 Producto de un escalar por un vector. Vector unitario. 0.3 Vectores en el sistema de coordenadas cartesianas.

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1 VECTORES, OPERCIONES ÁSICS. VECTORES EN EL SISTEM DE C. CRTESINS 0.1 Vectoes escalaes. 0. Opeaciones básicas: 0..1 Suma de vectoes. 0.. Vecto opuesto Difeencia de vectoes Poducto de un escala po un vecto. Vecto unitaio. 0.3 Vectoes en el sistema de coodenadas catesianas. 0.4 Poducto escala de dos vectoes. 0.5 Poducto vectoial de dos vectoes.

2 0.1 Vectoes escalaes. En Física eisten magnitudes (todo aquello susceptible de se medido -medi, es compaa magnitudes de la misma especie una de las cuales se ha tomado como unidad-) que quedan pefectamente deteminadas dándoles un valo a la magnitud epesada en una unidad conveniente. Estas son las magnitudes escalaes, así tenemos la pesión ejecida po un gas en el inteio de un ecipiente, la tempeatua en un luga del espacio, el tabajo que se ealia al aasta un bulto desde un luga a oto..., luego; la pesión, la tempeatua, el tabajo, etc., son magnitudes escalaes. Sin embago, eisten otas magnitudes que necesitan, además del valo asignado, una diección un sentido paa queda pefectamente deteminadas. Nos efeimos a las magnitudes vectoiales. Si queemos situa (sabe su posición) a un alumno/a en el inteio de una clase especto de la pueta, no nos bastaía con medi la distancia que eiste ente el alumno/a la pueta sino que además había que especifica la diección. La posición de un objeto especto de oto es una magnitud vectoial, también lo son la velocidad, la aceleación... Se ha desaollado un modelo matemático paa epesenta a dichas magnitudes, los VECTORES. Un vecto es un segmento oientado en el espacio. Se puede caacteia po: Oigen a considea cuando inteese conoce el punto de aplicación del vecto. Diección o línea de acción coincidente con la de la ecta que la contiene o cualquie ota ecta paalela. Sentido viene deteminado po la punta de flecha localiada en el etemo del vecto. Módulo es la distancia ente el oigen el etemo del vecto. Un vecto puede veni epesentado mediante una leta en negita o bien, situando encima de la leta una flecha su módulo se epesenta en cusiva o bien, colocando ente baas a la leta con la flecha (fig. 0.1).

3 0. Opeaciones básicas: Vamos a estudia, ahoa, las opeaciones básicas ente vectoes. Los vectoes que utiliaemos paa defini las opeaciones seán libes Suma de vectoes. La suma de dos vectoes es un nuevo vecto S. +=S. Gáficamente puede obtenese mediante la egla del paalelogamo, o bien usando el método que consiste en coloca uno de ellos en el etemo de éste se coloca el oigen del oto siendo el vecto esultante aquel que tiene de oigen el del pimeo de etemo el del segundo (fig. 0.). La suma de vectoes posee la popiedad conmutativa asociativa. +=+; (+)+C=+(+C).

4 0.. Vecto opuesto. El vecto opuesto a uno dado () es oto vecto de igual módulo diección peo de sentido contaio al dado (-) Difeencia de vectoes. La esta de dos vectoes (-) es igual a la suma de con el opuesto de [+(-)]. La suma de un vecto con su opuesto nos da el vecto ceo (0). +(-)= Poducto de un escala po un vecto. Vecto unitaio. Sea un escala µ un vecto v. Se define al poducto del escala po el vecto (µ v) a un nuevo vecto V de módulo µ veces el módulo de v (V=µv), de la misma diección que v de sentido igual al de v si µ>0. Si µ<0 el sentido de V seá contaio al de v. El cociente po un escala es equivalente a multiplica el vecto (v) po el inveso del escala (1/µ). v/µ=(1/µ) v=v. El módulo de este nuevo vecto seá 1/µ veces el módulo de v... Podemos defini ahoa como vecto unitaio (u) de uno dado () al cociente ente dicho vecto su

5 módulo (u=/). Lo que nos lleva a deduci que todo vecto unitaio tiene de módulo la unidad. 0.3 Vectoes en el sistema de coodenadas catesianas. En el sistema de coodenadas catesianas un punto en el plano viene deteminado po una paeja de númeos eales P(,) en el espacio po una tena P(,,), también llamados coodenadas catesianas. Estos puntos pueden veni, a su ve, deteminados po un vecto que tiene su oigen en el oigen de coodenadas su etemo en el punto consideado. Los vectoes unitaios i, j, k son los que definen la diección sentido de los semiejes positivos OX, OY OZ espectivamente. las poecciones del vecto sobe cada uno de los ejes se les denomina componentes del vecto:

6 = cosα = cos β = cosγ (0.1) si pues, si queemos epesa un vecto en función de sus componentes catesianas (,, ), vectoes unitaios coespondientes... = i + j + k (0.) Según esto, dos vectoes son iguales si lo son cada una de sus componentes. El vecto 0 seá aquél cuas componentes son nulas 0(0,0,0). los cosenos de los ángulos que foma el vecto con cada uno de los ejes se les denomina cosenos diectoes, a que éstos son las componentes del vecto unitaio que definen la diección de aquel... u =,( = ),u = Si quisiéamos detemina el módulo del vecto en función de sus componentes, bastaía con aplica Pitágoas... i + j + cosα = k = i + j + k cos β = cosγ = (0.3) = + + (0.4)

7 Teniendo en cuenta la epesión anteio las obtenidas paa los cosenos diectoes cos =, cos = α α cos β =, cos β =, cos + cos + cos = α β γ cosγ =, cos γ = llegamos a la siguiente elación , cos α + cos β + cos γ = 1 (0..5) Suma, esta multiplica po un escala esulta evidente, así, si (,, ) (,, ) entonces +( +, +, + ), es deci las componentes del vecto suma son la suma de las componentes -( -, -, - ). Nótese que las componentes del vecto difeencia (C) coinciden con la difeencia ente las coodenadas del etemo las del oigen espectivamente... Finalmente λ(λ, λ, λ ), donde las componentes del nuevo vecto seían las de multiplicadas po el escala Poducto escala de dos vectoes. Es una magnitud escala que nos infoma de la tendencia de los vectoes a apunta hacia un mismo sentido se obtiene multiplicando los módulos de los vectoes po el coseno del ángulo que foman. El poducto escala de dos vectoes se denota po =cosα (0.6). De foma inmediata se deduce que el poducto escala de dos vectoes pependiculaes es nulo (si

8 α=π/ cos π/=0).po ota pate el poducto escala de un vecto po si mismo es igual a su módulo al cuadado ( = ). i i = 1 i j = 0 i k = 0 ; ; ; Como consecuencia de esta definición tenemos: j i = 0 ; k i = 0 = ( i + j + k) ( i + j j = 1 ; k j = 0 = + + j k = 0 ; k k = 1 (0.7) j + k) Hemos obtenido finalmente la epesión del poducto escala de dos vectoes en función de sus componentes. Como aplicación inmediata del poducto escala podemos detemina el ángulo fomado po dos vectoes. Igualando epesiones... = cosα, cosα = + = Z, cosα = + + (0.8) Como popiedades de este poducto podemos cita la conmutativa la distibutiva especto de la suma [ (+C)= + C]. 0.5 Poducto vectoial de dos vectoes. El poducto vectoial de dos vectoes, se denota po, es un nuevo vecto C, (=C), definido de la foma que sigue:

9 a) El módulo de C es igual al poducto de los módulos de po el seno del ángulo que foman (C=senα). b) La diección de C es pependicula al plano fomado po po ende a todos los vectoes contenidos en ese plano. c) El sentido de C coincide con el que tendía el avance de un sacacochos (osca deecha) si lo dispusiéamos en la diección de C haciéndolo gia en el sentido de lleva el pime vecto hacia el segundo vecto que se multiplica. Esta opeación no posee la popiedad conmutativa, aunque si pesenta la distibutiva especto de la suma. Como consecuencia de la definición, los poductos vectoiales ente los vectoes unitaios... i i = 0 ; ji = -k ; ki = j i j = k ; jj = 0 ; kj = -i i k = - j ; jk = i ; kk = 0 = ( i + = ( - j + k)( i + j + k) (0.9) )i +( - )j +( - )k este esultado también puede llegase desaollando el siguiente deteminante...

10 (0.10) sen = C = - = C - = C - = C k j i C = = α Finalmente podemos comenta que el poducto vectoial de dos vectoes paalelos es nulo. Lo mismo podemos deci del poducto vectoial de un vecto po si mismo.

11 Cuestiones Ejecicios. Vectoes 1) Si dos vectoes son pependiculaes su poducto escala es máimo?... En que caso lo seá? ) Paa dos vectoes dados su poducto vectoial es mínimo cuando son...? 3) El módulo de la suma de dos vectoes dados siempe seá meno que el módulo de la difeencia de esos vectoes? 4) En que casos el módulo de la suma de dos vectoes coincide con la suma de los módulos de los vectoes que se suman? 5) Calcula la esultante (vecto -suma- en función de las componentes vectoes unitaios coespondientes) del sistema fomado po los vectoes (3,-,3); (1,1,-) C(,,-1). S: 6i + j 6) Dado el vecto =i+6j-4k detemina 3/. S: (3,9,-6). 7) Halla el vecto unitaio de C=3i+4j+5k. S: 1/[5() ½ ](3,4,5). 8) Detemina el ángulo que foma el vecto anteio con el eje OX, el valo de su poección sobe dicho eje. S: 64,89º; 3. 9) Calcula el poducto escala de los vectoes V=3i+5j-1k W(-,0,4). S: ) Halla el vecto unitaio pependicula a los vectoes V(1,,3) W(-1,0,). 1 S: (4i - 5j + k ) ) Un vecto tiene de componentes (1,,3). Oto vecto tiene de módulo 3 1/ su componente ( ) vale 1. Detemina paa que sea pependicula a. S: (1,1,1) o (1,-17/13,7/13).

12 1) Cuál debe se el valo de m paa que el vecto (1,m,) fome un ángulo de 60º con el eje Z?. S: ±(11) 1/. 13) Dados (5,3,4) =6i-j+k, calcula: a) su poducto escala b) el ángulo que foman c) los cosenos diectoes del vecto. S: a) 35; b) 39º'; c) 0,94, -0,16, 0,31. 14) Siendo los vectoes (,5,3) (,1,0) sabiendo que -=4j+3k que el módulo de su suma vale 9. Detemina. S: ±3. 15) Dados los vectoes =3i-3j+k (3,4,0), calcula: a). b) Áea del paalelogamo fomado po ambos vectoes. c) Un vecto de módulo 3 pependicula al plano fomado po. d) (+)(-). S:a) (-8,6,1); (8,-6,-1); b) 3,5; c) ±0,13(8,6,1); d) (16,-1,-4).

13 CINEMÁTIC DEL PUNTO MTERIL (PRTÍCUL) 1.1- Paámetos caacteísticos del movimiento. 1.- Velocidad media. Velocidad instantánea celeación media. celeación instantánea Componentes intínsecas de la aceleación Clasificación de los mov. según las componentes a t a n

14 La cinemática es una ama de la mecánica que se ocupa de estudia el movimiento de los cuepos independientemente de las causas que lo poducen. Estudia el movimiento de un cuepo es obtene sus ecuaciones de movimiento {(t); v(t); a(t)}. En este capítulo tataemos de consegui el objetivo anteio paa ello hemos de intoduci una seie de conceptos nuevas magnitudes que nos auden a obtene dicho logo. 1.1 Paámetos caacteísticos del movimiento. Definamos ahoa que se entiende po movimiento de un cuepo.un cuepo se mueve si su posición vaía especto de un sistema de efeencia que consideamos fijo. Luego antes de cualquie estudio es peciso elegi un sistema de efeencia (obsevado) especto del cual se estudiaá el movimiento. El sistema de efeencia que utiliaemos seá el de coodenadas catesianas. En el capítulo anteio vimos como se localiaba la posición de un punto en el espacio. Localia un cuepo en el espacio es algo más complicado, peo en deteminadas situaciones se puede pescindi de las dimensiones del cuepo estudia su movimiento como si de un punto (punto mateial) se tataa. Sólo nos ocupaemos aquí de aquellos movimientos en los que se puede hace esta consideación (apoimación del punto mateial). sí pues, al vecto que localia la posición de un punto mateial en el espacio se denomina vecto de posición (t), si el punto mateial se mueve éste cambia de posición (p.e. (t)=ti+t j m). la línea descita po el etemo del vecto de posición en el tanscuso del tiempo se denomina taectoia.

15 Cuál seía el desplaamiento epeimentado po una patícula, cua posición es la dada en el ejemplo anteio, en el intevalo ente s 4s. Y si el intevalo lo tomamos ente 1s 3s?... l vecto que une posiciones de un punto mateial se llama vecto desplaamiento ( t) = t + t - t ( ) ( ) (desplaamiento). El camino ecoido po la patícula (pm) desde 1 hasta se denomina aco de cuva s. Debemos obseva que el espacio que ecoe la patícula no coincide, en geneal, con el módulo del vecto desplaamiento. Sólo coincidiían si se tatase de un movimiento ecto en un sólo sentido. 1. Velocidad media. Velocidad instantánea. Cuál es la velocidad media de la patícula a la que se efiee el ejemplo ente los instantes s 4s?, ente los instantes 1s 3s?... Se denomina velocidad media de una patícula (pm) al cociente ente un desplaamiento el tiempo empleado en obtene dicho desplaamiento v m = / t. Debemos hace nota que ésta no coesponde, en geneal, a la velocidad que tiene el punto mateial cuando pasa po una posición deteminada. Qué velocidades tiene la patícula en los instantes 1s, s, 3s 4s?... Si quisiéamos sabe la velocidad de la patícula en un instante deteminado (p.e. en la posición 1) había que escoge un intevalo de tiempo de lo más pequeño que se pudiea de manea que la posición se acecase tanto a la posición 1 que no se pudiean distingui, es deci, lo que en matemáticas se llama halla el limite del cociente incemental haciendo tende t a ceo, v = d = lim t 0 t (0.11)

16 En este poceso se obseva como la secante que contiene al vecto / t = v m, en el límite se vuelve tangente. Debemos conclui que la velocidad es un vecto tangente a la taectoia en la posición que se considee sentido el del movimiento, siendo sus componentes las deivadas con el tiempo de las componentes espectivas del vecto de posición. Finalmente comenta que la velocidad es una magnitud vectoial que mide los cambios de la posición con el tiempo. S.I. es el m/s. Su ecuación de dimensiones es v = L T -1 su unidad en el Sistema Intenacional 1.3 celeación media. celeación instantánea. Cuál seá la aceleación media de la patícula que nos ocupa en el intevalo s, 4s?, en el intevalo 1s, 3s?... Se denomina aceleación media de una patícula al cociente ente un incemento de la velocidad el tiempo tanscuido en obtene dicha vaiación a m = v/ t. Detemina las aceleaciones de la patícula en los instantes 1s, s, 3s 4s?... l igual que hacíamos paa la velocidad si lo que petendo es sabe cuál es la aceleación de la patícula en una posición deteminada (en un instante de tiempo) tendé que estudia la dv v deivada de la velocidad con el tiempo sí a = = lim (0.1) t 0 t pues, la aceleación se ocupa de medi los cambios de la velocidad con especto al tiempo. Si una patícula epeimenta sólo cambios en el módulo de su velocidad, posee aceleación?;... si po el contaio sólo sufe cambios en la diección de su velocidad, posee ahoa aceleación?

17 Debemos tene pesente que estos cambios pueden se debidos tanto a vaiaciones del módulo de la velocidad como a vaiaciones en su diección. Más adelante veemos la manea de sepaa ambos estudios (vaiaciones en el módulo vaiaciones en la diección de la velocidad). Su ecuación de dimensiones es: a = L T - se mide en m/s en el SI. Ya hemos definido los vectoes posición (t), velocidad v(t) aceleación a(t) la elación ente ellos. Estamos ahoa pues, en disposición de hace el estudio del movimiento de una patícula, es deci, de obtene las ecuaciones de su movimiento {(t); v(t); a(t)}. (t) = (t)i + (t)j + (t)k comp. de la comp. de la comp. de la posició n (t) posició n (t) posici ó n (t) ; v = d comp. de la comp. de la comp. de la v(t) = v (t) i+ v (t) j+ v (t) k velocidad v velocidad v velocidad v (t) (t) (t) d = d = d = ; a = dv a(t) = a (t) i+ a (t) j+ a (t) k comp. de la aceleació n comp. de la aceleació n d v d d comp. de la aceleació n a (t) = = cabamos de ve las ecuaciones vectoiales del movimiento especto de un sistema de efeencia catesiano. En cinemática se nos pesentan dos tipos de poblemas: a a d v (t) = d v (t) = a) Dada la posición (t) obtene la velocidad v(t) la aceleación a(t). Poblema inveso b) Dada la aceleación a(t) obtene la velocidad v(t) la posición (t). Poblema diecto = = d d d d

18 El pime poblema se esuelve a tavés de la deivación con el tiempo d ( ( t) ) d ( v ( t) ) ( t) v ( t) a( t). Este es nuesto objetivo. El poblema inveso se esuelve a tavés de la integación, opeación invesa de la deivación, uu uu a( t) a( t) v( t) + cte v( t) ( t) + cte Este es el objetivo siguiente. 1.4 Componentes intínsecas de la aceleación. Resulta en ocasiones conveniente estudia el movimiento especto de sistema de efeencia localiado en la patícula, de tal manea que uno de sus ejes sea tangente en todo momento a la taectoia (coincidente en diección con la velocidad) cuo semieje + viene definido po ut (vecto unitaio tangente) oto pependicula en el que el semieje positivo está diigido hacia el cento de cuvatua. Este viene definido po un (vecto unitaio nomal). módulo = 1 s d s s ds v = = lim = lim = lim =, diecc. tang. ta. u t t 0 t t 0 s t t 0 t s s s sent. el del mov. dv a t = dv du t ds u t + v ds v = dv v v = u t a = = = t t + n n n = ( 0.13 ) a u a u a dv v R v = v u t u t + u n R a = a t + a n un

19 Nótese que el valo de la velocidad bien puede deteminase en función de sus componentes catesianas, o bien a tavés de ds/ si se conoce la epesión del aco ecoido en función del tiempo [s(t)]. v = (v +v +v ) 1/ ; v =ds/ Ya tenemos la aceleación epesada en función de sus componentes catesianas a(a,a,a ) en función de sus componentes intínsecas a(a t,a n ). La gan utilidad de epesa la aceleación en función de estas últimas estiba en la posibilidad de estudia po sepaado los cambios del módulo de la velocidad (a t =dv/) de los cambios de la diección de la velocidad (a n =v /R). 1.5 Clasificación de los mov. según las componentes a t a n. tendiendo a estas componentes podemos deci que los movimientos ectos no tendán aceleación nomal a que en ellos no se poducen cambios en la diección de la velocidad los movimientos cuvos tienen, al menos, aceleación nomal a que en estos necesaiamente ha cambios en la diección de la velocidad. Dento de los movimientos ectos podemos distingui aquellos donde no se poducen cambios en el módulo de la velocidad (a t es nula) movimientos unifomes aquellos donde si se poducen cambios en el módulo de la velocidad... Dento de los movimientos cuvos haemos especial hincapié en los movimientos ciculaes, adio de cuvatua constante (R=cte.). También aquí podemos habla de dos posibilidades, que a t sea nula (módulo de la velocidad no vaía -cte.-) o bien que a t sea distinta de ceo. an = 0 an = 0 an = 0 an = cte an cte MRU ; MRUV ; MRV ; MCU ; MCUV a = 0 a = cte a cte a = 0 a = cte t t t t t Estos son algunos de los movimientos que seán estudiados a lo lago del bloque. Puede esulta conveniente epesa el aco de cuva s en función del ángulo θ el adio de cuvatua con el que se taa dicho aco. Recodando la definición de adián...

20 ds v ds d ( R θ ) ds dθ = s = R θ ; = ( en M. C. R = cte), = R v = R ω dθ = ω L dv at dv d ( R ω ) dω = = = R at = R α s = R θ; v = R ω; = R α; = R ω dω = α ( at an ) uego si el ángulo está epesado en adianes las elaciones ente las magnitudes lineales las coespondientes angulaes son las descitas aiba... (0.14)

21 Cuestiones poblemas. Cinemática. 1) La posición de una patícula vaía con el tiempo según =(4t+)i epesada en SI. Calcula la velocidad media en los intevalos 1s 3s, s 4s. Qué tipo de movimiento es?. ) La posición de una patícula viene dada po =(3t +1)i en el SI. Calcula: a) La velocidad en cualquie instante. b) La velocidad en los instantes t=s t=5s. 3) Una patícula se mueve con una velocidad v=(t-1)j m/s. Detemina la aceleación media ente los instantes 1s 3s ente los instantes s 4s. 4) Las ecuaciones paaméticas de la taectoia (componentes catesianas en función de t de la posición) de una patícula son =t +; =t -1 donde e están dados en m t está en s. Calcula: a) La velocidad instantánea. b) La aceleación media en los intevalos 1s 3s, s 4s c) La aceleación instantánea. 5) Las componentes catesianas de la posición de una patícula son =4cos(π/4 t); =4sen(π/4 t). Detemina: a) Posiciones en los instantes 0s, s, 4s 6s. b) Ecuaciones del movimiento (t), v(t) a(t). c) Desplaamiento en el intevalo 0s 8s. d) Ecuación catesiana [=f()] de la taectoia. e) Valo de la velocidad en cualquie instante. f) Peíodo del movimiento espacio ecoido en ese tiempo. 5-b) Las componentes catesianas de la posición de una patícula son =t-; =(t-). Detemina: a) Posiciones en los instantes 0s, s 4s. b) Ecuaciones del movimiento (t), v(t) a(t). c) Desplaamiento en el intevalo 0s 4s. d) Ecuación catesiana [=f()] de la taectoia.

22 e) Valo de la velocidad en cualquie instante. 6) Una patícula se mueve a lo lago de una taectoia cicula de adio 40cm, de tal manea que su desplaamiento angula viene dado po θ=t+t / ad. Calcula: a) ω v en cualquie instante. b) α a t en cualquie instante. c) a n paa t=s. d) Valo de la aceleación total en el instante t=s. 7) Se lana desde el suelo veticalmente hacia aiba un cuepo con una velocidad de 40m/s. Calcula: a) La altua a que se encuenta 6 segundos después. b) La máima altua que alcana. c) La velocidad que tiene cuando se encuenta a 50m del suelo. e) La velocidad con que impacta de nuevo en el suelo. 8) Se suelta una bomba desde un avión de bombadeo que vuela a una altua de 4000m con una velocidad hoiontal de 900km/h. Calcula: a) El tiempo que tada el poectil en llega al suelo. b) La velocidad con que llega al suelo. c) La posición de la bomba 10s después de se soltada. d) El alcance hoiontal de la bomba en el momento del impacto. 9) Un jugado de golf lana una pelota desde el suelo con un ángulo de elevación de 60º con especto a la hoiontal con una velocidad de 60m/s. Calcula: a) La velocidad de la pelota en el punto más alto de la taectoia. b) La altua máima alcanada. c) El alcance hoiontal máimo. d) El alcance obtenido paa un ángulo de 30º.

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