TEMA Nº 1. VECTORES. CÁLCULO VECTORIAL

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1 TEMA Nº 1. VECTORES. CÁLCULO VECTORIAL NOTA: Para acceder a los videos y páginas Webs propuestas PISAR CONTROL y PINCHAR en el video o página Web seleccionada. Video Obligatorio: Iniciación a vectores y operaciones con vectores La temática vista en el video anterior intentaremos explicarla con el siguiente contenido: 1.- Estudio de las Magnitudes.( pág. Nº 1) 2.- Magnitudes Escalares y Vectoriales.(pág.nº 2) 3.- Estudio de los Vectores.(pág. Nº 4) Clasificación de vectores.(pág. Nº 7) Componentes cartesianas de un vector. Cosenos Directores. (Pág. Nº 9) 4.- Vector Unitario. ( pág. Nº 16) 5.- Operaciones con vectores Suma de Vectores.(pág. Nº 21) Diferencia de vectores.(pág. Nº 32) Producto escalar de dos Vectores.(pág. Nº 37) Producto vectorial de dos Vectores.(pág. Nº 46) 6.- Aplicaciones de la multiplicación de Vectores Proyección de un vector A sobre otro B.(pág. Nº 61) Cálculo del Área de un triángulo.(pág. Nº 67) Cálculo del Área de un paralelogramo.(pág. Nº 76) Cálculo del volumen de un paralelepípedo. Producto Mixto de tres vectores.(pág. Nº 80) 7.- Momento de un Vector respecto a un punto. Teorema de Varignon (Pág. Nº 84) 1.- Estudio de las Magnitudes. Magnitudes Físicas es.html Profesor: A. Zaragoza López Página 1

2 Magnitud da/magnitudes.htm Magnitud Las Magnitudes son atributos con los que medimos determinadas propiedades físicas, por ejemplo una temperatura, una longitud, una fuerza, la corriente eléctrica, etc. Estudiemos la siguiente experiencia: La policía de tráfico que está en carreta recibe un mensaje del helicóptero de apoyo que dice: Coche, de tales características, marcha a una velocidad de 120 Km/h en zona de velocidad limitada a 50 Km/h. con conducción temeraria. Se espera que la policía salga a la búsqueda del conductor que está infringiendo la ley. La pregunta es la siguiente con los datos aportados pueden hacer su trabajo? El comunicado aporta un número y una unidad (120 Km/h) pero no aporta los datos vectoriales necesarios que establezcan las características del movimiento del coche, tales como la dirección y el sentido del movimiento, por lo que la policía no podrá realizar su trabajo, es decir, no podrá salir a la búsqueda del conductor infractor. 2.- Magnitudes Escalares y Vectoriales. Video: Animaciones sobre Magnitudes Escalares y vectoriales Magnitudes Escalares y Vectoriales Magnitudes Escalares y Vectoriales Profesor: A. Zaragoza López Página 2

3 Magnitudes Escalares y Vectoriales Con esta experiencia realizada en el apartado nº 1 llegamos a la conclusión de que las magnitudes las podemos clasificar en: a) Magnitudes escalares.- Son aquellas que para su completa definición sólo necesitan de un número, seguido de una unidad en que la medimos. Este es el caso de la temperatura, masa, longitud para las cuales basta con indicar los grados, los gramos o los metros de una distancia. b) Magnitudes vectoriales.- Son aquellas que para quedar definidas necesitan más que un simple número. Precisan, además, una dirección y un sentido. Si se trata de las fuerzas además necesitamos un punto de aplicación. Son ejemplos de estas magnitudes: velocidad, aceleración y fuerza, entre otras. La fuerza es la típica magnitud vectorial. Para conocer los efectos de una fuerza cuando se aplica a un objeto, es necesario saber su punto de aplicación, su dirección, sentido y el módulo o intensidad con la que dicha fuerza llega al cuerpo. Es decir, no es suficiente con decir que la fuerza vale o tiene un módulo de 42 N (Newton). La diferencia entre magnitudes Escalares y Vectoriales radica en el hecho de que: a) Magnitud Escalar es aquella que queda perfectamente definida con sólo indicar su cantidad expresada en números y la unidad de medida. b) Magnitud Vectorial es aquella que para quedar perfectamente definida, además de la cantidad expresada mediante un número y una unidad se necesita indicar la dirección y el sentido en que actúan. Las magnitudes vectoriales se representan mediante la sigla de la magnitud con una flecha encima. La fuerza es una magnitud vectorial, la representaremos de la forma F. Profesor: A. Zaragoza López Página 3

4 3.- Estudio de los Vectores. Hemos hablado de magnitudes vectoriales y ello nos obliga a conocer lo que es un VECTOR. Vectores Definición de Vectores Vectores Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). B ( Extremo) A ( Origen ) Elementos de un vector: 1.- Dirección de un vector La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. Concretamente la dirección viene determinada por el ángulo que forma la recta que contiene el vector con el eje OX. Y A B α = Ángulo = Dirección X Profesor: A. Zaragoza López Página 4

5 2.- Sentido de un vector El sentido del vector AB es el que va desde el origen A al extremo B. Se determina mediante la punta de flecha. A B (SENTIDO) 3.- Módulo de un vector El módulo del vector AB es la longitud del segmento AB. Se representa por AB. B A AB El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero. Calculemos el módulo de un vector: Para ello llevaremos el vector AB a unos ejes de coordenadas cartesianas en el plano. Y y 1 AB B(x 1 y 1 ) y 1 - y o y o A(x o y o ) x 1 - xo x o x 1 X Profesor: A. Zaragoza López Página 5

6 Si aplicamos el teorema de Pitágoras: AB 2 = ( x 1 x 0 ) 2 + ( y 1 y o ) 2 AB = [ ( x 1 x 0 ) 2 + ( y 1 yo ) 2 ] 1/2 Ejercicio resuelto Calcular el módulo del vector AB sabiendo que A es el punto de coordenadas A(2,1) y B el punto de coordenadas B(-3,2). Tendrá el mismo módulo AB el vector BA?. xo,yo A(2,1) AB [ ( x 1 x o ), ( y 1 y o )] ; AB [ ( -3 2 ), ( 2 1 ) ] x 1,y 1 B(-3,2) AB ( -5, 1) Expresión del vector AB en función de sus componentes cartesianas AB = [(-5) ] 1/2 ; AB = (25+1) 1/2 ; AB = 5.1 u u = unidades de la magnitud vectorial Vector BA: xo,yo B(-3,2) x 1,y 1 BA [ ( 2 ( -3), ( 1 2 )] ; BA = ( 5,-1) A(2,1) BA = [ (-1) 2 ] 1/2 ; BA = ( ) 1/2 ; BA = (26) 1/2 BA = 5,1 u Los vectores AB y BA tienen el mismo módulo. Como veremos más adelante se trata de vectores opuestos, es decir, aquellos que tienen la misma dirección pero el sentido contrario. Profesor: A. Zaragoza López Página 6

7 3.1.- Clasificación de vectores. Clasificación de Vectores Clasificación de vectores Clasificación de vectores (BUENO) B3n_de_vectores Podemos establecer la siguiente clasificación de vectores: 1.- Vectores equipolentes Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido lo que implica que sean paralelos. A B 2.- Vectores libres El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido y se pueden trasladar paralelamente a sí mismos. A C B D Profesor: A. Zaragoza López Página 7

8 3.- Vectores Deslizantes Son aquellos que se pueden trasladar sobre la recta en que se apoyan, es decir, a lo largo de su dirección A A 4.- Vectores fijos Son aquellos cuyo punto de aplicación, dirección y sentido son fijos e invariables. y A X 5.- Vectores opuestos Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido. A B 6.- Vectores concurrentes Los vectores concurrentes tienen el mismo origen. A B Profesor: A. Zaragoza López Página 8

9 7.- Vector Posición El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector posición del punto P. y OP P O X Componentes cartesianas de un vector (R2 y R3) Componentes de un Vector Componentes de un vector Componentes de un Vector Componentes cartesianas de un vector en 2D y 3D acticas_newton/p3/eda2008%20newton/conchi_ Componentes cartesianas de un vector ector_(g.i.a.) Tenemos el vector AB, tiene como origen es el punto A y extremos el punto B. El punto A tienen de coordenadas A(3,2) y el punto B(-1,-3). Determinar las coordenadas o componentes cartesianas del vector AB. Las coordenadas del vector AB las podremos obtener restando a las coordenadas del Punto extremo, B, las coordenadas del origen, A. Profesor: A. Zaragoza López Página 9

10 (x 1,y 1 ) B(-1,-3) (x o,y o ) AB = [ ( x 1 x o ), ( y 1 y o )] AB [ ( x 1 x o ), ( y 1 y o ) ] A(3,2) Observar que podemos utilizar el signo igual propio del mundo de las Matemáticas, o no utilizarlo, más en el mundo de la Física. Para nuestro ejemplo en concreto: AB [ ( -1 3 ), ( -3 2) ] ; AB ( -4,-5) Veremos otras formas de obtener las Componentes de un vector. Trabajaremos primero en el plano: Vy V Al proyectar el vector V sobre los ejes de coordenadas obtenemos las componentes cartesianas del vector V Vx Vy V Vx Utilizando la equipolencia entre vectores hemos podido descomponer el V en sus componentes Vx, Vy Podemos entonces establecer vectorialmente que: V = Vx + Vy (1) V ( Vx, Vy ) Vy V Vx Profesor: A. Zaragoza López Página 10

11 Como vimos en el ejercicio anteriormente realizado podemos construir un triángulo rectángulo en donde: Por Pitagoras: Vy V Vy V 2 = Vx 2 + Vy 2 Vx En el mismo ejercico se vió como se calculaban los módulos de las componentes Vx y Vy del vector V. Las Componentes Vx y Vy también se pueden conocer realizando la proyección de V sobre cada uno de los ejes de coordenadas. Y Vy V Vy α Vx X Aplicando trigonometría: sen α = Vy / V ; Vy = V. sen α De la misma manera podemos llegar a la conclusión: cos α = Vx / V ; Vx = V. cos α Ya que estamos metidos con ángulos es importante conocer los llamados COSENOS DIRECTORES. Veamos la razón. Profesor: A. Zaragoza López Página 11

12 La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. Me da la sensación de que sabemos pintarla pero no sabemos realmente que es y además es muy normal confundir dirección y sentido de un vector. Volvamos al grafico: Y Vy β V α Vy Vx X Hemos introducido otro ángulo, β, el que forma la componente Vy con el vector V. Geométricamente: cos α = Vx / V cos β = Vy / V cos α y cos β se conocen como COSENOS DIRECTORES. Conociendo los cosenos directores podremos determinar los ángulos que forma el vector con los ejes de coordenadas y como consecuencia la dirección del vector. Como conclusión: la Dirección del vector viene dada por los cosenos directores y como conclusión del ángulo que forma la recta que contiene al vector con los ejes de coordenadas. Profesor: A. Zaragoza López Página 12

13 Matemáticamente se cumple: cos 2 α + cos 2 β = 1 (1) La demostración es fácil de entender siempre y cuando recordemos que: cos α = Vx / V cos β = Vy / V Llevadas estas ecuaciones a la ecuación (1) anterior, nos quedaría: [ Vx / V ] 2 + [ Vy / V ] 2 = 1 Vx 2 / V 2 + Vy 2 / V 2 = 1 Vx 2 + Vy 2 / V 2 = 1 Si recordamos que V 2 = Vx 2 + Vy 2 Nos quedaría: V 2 / V 2 = 1 que es lo queríamos demostrar. Al trabajar en el espacio (3D) todo vector tiene tres componentes. Vamos a dibujar un poco: Z Vz V Vy Z Vx X Vectorialmente: V ( Vx, Vy, Vz ) Profesor: A. Zaragoza López Página 13

14 V 2 = Vx 2 + Vy 2 + Vz 2 Si queremos conocer los vectores directores: Z Vz X γ V β α Vy Z Vx Geométricamente: cos α = Vx / V cos β = Vy / V cos γ = Vz / V Cumpliéndose: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 Ejercicio resuelto Hallar los cosenos directores del vector u (2,2,1). cos α = ux / u cos β = uy / u cos δ = uz / u u = ( ) 1/2 ; u = 3 Profesor: A. Zaragoza López Página 14

15 cos α = 2/3 ; cos β = 2/3 ; cos δ = 1/3 Ejercicio resuelto Dados los vectores u ( 3,1,-1) y v (2,3,4), hallar: a) Módulos de u y v. b) Vector unitario en la dirección y sentido del vector u. c) Cosenos directores de v, d) Demostrar que la suma de los cuadrados de los cosenos directores del vector v es igual a la unidad. a) u = ( u 2 x + u 2 y + u 2 z) 1/2 ; u = ( (-1) 2 ] 1/2 ; u = (11) 1/2 v = ( v 2 x + v 2 y + v 2 z ) 1/2 ; v = ( ) 1/2 ; v = (29) 1/2 b) u = u. a ; a = vector unitario del vector u a = u / u ; a (ax,ay,az) ax = 3/(11) 1/2 ; ay = 1/(11) 1/2 ; az = -1/(11) 1/2 a = 3/(11) 1/2 i + 1/(11) 1/2 j - 1/(11) 1/2 k c) cos α = v x / v = 2/(29) 1/2 cos β = v y / v = 3/(29) 1/2 cos δ = v z / v = 4/(29) 1/2 d) [ 2/(29) 1/2 ] 2 + [ 3/(29) 1/2 ] 2 + [ 4/(29) 1/2 ] 2 = = 4/29 + 9/ /29 = ( ) / 29 = 29/29 = 1 Ejercicio resuelto Dados los vectores u = 3 i - 2 j + 3 k ; v = 2 i - 6 j + K y z = 8 i + j - 3 k, hallar sus módulos y sus cosenos directores. u = [ (-2) ] ; u = (22) 1/2 ; u = 4,69 v = [ (-6) ] ; v = (41) 1/2 ; v = 6,4 Profesor: A. Zaragoza López Página 15

16 z = [ (-3) 2 ] 1/2 ; z = (74) 1/2 ; z = 8,6 Vector u: cos α = u x /u ; cos α = 3/4,69 ; cos α = 0,63 cos β = u y /u ; cos β = (-2)/4,69 ; cos β = - 0,42 cos δ = u z /u ; cos β = 3/4,69 ; cos δ = 0,63 Vectores v y z igual que u. 4.- Vector Unitario. Vamos a introducirnos en un nuevo tipo de vector: Vectores Unitarios Vectores Unitarios Vector Unitario Vector Unitario y Vector Nulo Vector Unitario Los vectores unitarios tienen por módulo la UNIDAD. Normalizar un vector A consiste en obtener otro vector unitario u, de la misma dirección y se sentido que el vector dado: u A Profesor: A. Zaragoza López Página 16

17 Para determinar el vector unitario nos basamos en: Todo vector es igual al modulo de dicho vector por el vector unitario en la dirección y sentido del mismo. A = A. u ; u = A / A u = Vector Unitario Ejemplo resuelto Dado el vector V(3,4) determinar el vector unitario de su misma dirección y sentido. u = V / V (2) V = ( ) 1/2 ; V = (25) 1/2 = 5 Si nos vamos a la ecuación (1): u = V / V ; u = (3,4)/5 = ( 3/5, 4/5 ) Con los vectores unitarios tenemos otra posibilidad de representar un vector. Volvamos a la gráfica: Y Vy V Vx Profesor: A. Zaragoza López Página 17

18 y vamos a normalizar el vector V: Y Vy j V α i Vx X i es el vector unitario de la componente x del vector V. j es el vector unitario de la componente y del vector V. Se estableció que: y ahora sabemos que: V = Vx + Vy i = Vx / Vx ; Vx = Vx. i j = Vy / Vy ; Vy = Vy. j La expresión: V = Vx + Vy La podemos transformar en: V = Vx. i + Vy. j Ejemplo Dado el vector V de componentes (3,-5), normalizarlo. Normalizar un vector consiste en ponerlo en función de sus vectores unitarios, es decir, manifestar las componentes del vector V en función de sus componentes según los ejes de coordenadas. Profesor: A. Zaragoza López Página 18

19 V = 3. i + (-5). j ; V = 3. i - 5. j Ejercicio resuelto Sabiendo que el punto A es A(-3,-2) y que el vector AB es AB (9,5) determinar las coordenadas del punto B. AB = [ (x B x A ), (y B y A ) ] (9,5) = [(x B (-3)), ( y B (-2))] 9 = x B + 3 ; x B = 9 3 = 6 ; x B = 6 5 = y B + 2 ; y B = 5 2 = 3 ; y B = 3 Punto B(6,3) Ejercicio resuelto El vector AB viene determinado por las componentes (-11,8). Sabemos que el punto extremo es B(-7,5). Determinar el punto origen A AB = [ (x B x A ), (y b y A ) ] ; AB = [ ( -7 x A ), ( 5 y A ) ] -11 = -7 x A ; x A = 4 ; 8 = 5 y A ; y A = -3 A(4,-3) Ejercicio resuelto Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector V(k,3) es 5. v = ( k ) 1/2 ; 5 = ( k ) 1/2 ; 25 = K ; k 2 = 16 ; k = ±4 Son válidos los dos valores de k. Ejercicio resuelto Normalizar los siguientes vectores: u (1, 2 1/2 ) ; v ( -4,3 ) y w (8,-8). Profesor: A. Zaragoza López Página 19

20 Normalizar un vector consiste en hallar el vector unitario en su misma dirección y sentido. Por tanto: a) u ( 1, 2 1/2 ) ; a ( a x, a y ) a (a x,a y ) vector unitario de u Se cumple: a x = u x / u ; a y = u y / u u = u. a ; a = u / u u = [ (2 1/2 ) 2 ] 1/2 u = 3 1/2 a x = 1 / 3 1/2 ; ay = 2 1/2 / 3 1/2 ; a y = (2/3) 1/2 a (a x,a y ) a = a x i + a y j a = 1/ 3 1/2 i + (2/3) 1/2 j b) Igual a a). c) Igual a a). Ejercicio resuelto Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4,-3), B(3,0) y C(0,1). Podremos clasificar el triángulo en función de las longitudes de sus lados. Hasta el momento no podemos clasificar el triángulo en función de los ángulos. En función de las longitudes de los lados, los triángulos se pueden clasificar en: a) Equiláteros.- Los tres lados iguales. b) Isósceles.- Dos lados iguales y uno distinto. c) Escaleno.- Los tres lados diferentes. Profesor: A. Zaragoza López Página 20

21 Dicho esto, que nuestro triángulo es: C(0,1) B(3,0) Podemos transformar el triángulo en tres vectores: A(4,-3) C B A CB = CB ; CB [ (3 0 ), (0 1)] ; CB (3,-1) BA = BA BA [ (4 3), (-3 0 ) ] ; BA (1,-3) AC = AC AC [ ( 0 4 ), ( 1 (-3))] ; AC (-4,4) CB = [( 3 2 +(-1) 2 ] 1/2 ; CB = (10) 1/2 BA = [( (-3) 2 ] 1/2 ; BA = ( 10) 1/2 AC = [(-4) )] ; AC = (32) 1/2 Conclusión: Se trata de un tiángulo Isósceles. Ejercicio resuelto Si V es un vector de componentes (3,4), hallar el vector unitario en su misma dirección y sentido. Recordemos que: u = Vector Unitario u = V / V u ( u x,u y ) V (Vx,Vy) Profesor: A. Zaragoza López Página 21

22 1/2 V = Vx 2 + Vy 2 ; V = [ ( ] 1/2 = 5 u x = Vx / V ; u x = 3/5 u y = V y / V ; u y = 4 / 5 Luego el vector unitario del vector V es: u ( 3/5,4/5) u = 3/5 i + 4/5 j Ejercicio resuelto Dado el vector u (2,-1), determinar dos vectores equipolentes a u, AB y CD, sabiendo que A(1,-3) y D(2,0). Si nos basamos en la equipolencia de vectores tenemos que conocer que los tres vectores u, AB, CD tienen el mismo módulo. Esto nos permite establecer: A(x o,y o ) B(x 1,y 1 ) AB [ ( x 1 1), (y 1 (-3) )] AB [ ( x 1 1 ) (y 1 +3) ] Como: u = AB ; u y AB deben tener las mismas componentes: (2,-1) = [ (x 1 1 ), ( y 1 + 3) ] 2 = x 1 1 ; x 1 = ; x 1 = 3-1 = y ; y 1 = -1 3 = -4 ; y 1 = -4 Luego el punto B es B(3,-4) Por tanto AB [(3 1),( -4 (-3))] ; AB ( 2, -1) AB = 2 i - j Profesor: A. Zaragoza López Página 22

23 D(x 3,y 3 ) CD [(x 3 x 2 ), ( y 3 y 2 )] CD [(2 x 2 ), ( 0 y 2 ) ] Por las mismas razones del vector AB: (2,-1) = [ (2-x 2 ),(0-y 2 ] 2 = 2 x 2 ; x 2 = 0 C(x 2, y 2 ) -1 = 0 y 2 ; y 2 = 1 El punto C será C(0,1) y el vector CB [ ( 2 0 ), ( 0 1) ] CB ( 2, -1 ) ; CB = 2 i - j Si trabajamos en el espacio todo vector tiene tres componentes como se pone de manifiesto en la figura siguiente: Z Vz V Vx k i j Vy Y X Podemos escribir al igual que en el plano: V ( Vx, Vy, Vz ) Componentes cartesianas. También podemos establecer la igualdad: V = Vx + Vy + Vz En fución de los vectores unitarios: V = Vx i + Vy j + Vz k Como en el plano, se cumple que el módulo de V es: V = [ Vx 2 + Vy 2 + Vz 2 ] 1/2 Profesor: A. Zaragoza López Página 23

24 Ejercicio resuelto Calcular el vector unitario con la misma dirección y sentido que el vector v(-1,1,2). v = [ (-1) ] 1/2 ; v = ( 6 ) 1/2 = 2, Suma de Vectores. Video: Suma de vectores Suma de Vectores Suma y resta de Vectores Suma de Vectores Suma de vectores. htm Podemos realizar la suma de vectores mediante dos formas: a) Gráficamente. b) Vectorialmente. Gráficamente: Supongamos los vectores F 1 y F 2, que forman entre ellos un ángulo α, como muestra la figura adjunta: F 1 α F 2 La suma de estos dos vectores concurrentes en sus puntos origen la podemos realizar mediante la regla del paralelogramo. Consiste en Profesor: A. Zaragoza López Página 24

25 trazar desde el extremo del primer vector un vector paralelo al segundo vector y trazar desde el extremo del segundo vector otro paralelo al primer vector: F 1 S S = F 1 + F 2 Suma vectorial S = Vector Suma F 2 Puede ocurrir la circunstancia que los vectores sean concurrentes en el extremo de uno de los vectores y el origen del otro: F 2 F 1 S = F 1 + F 2 Si nos basamos en las características de los vectores deslizantes y vectores equipolentes podremos utilizar la regla del paralelogramos y llegar a las mismas conclusiones que en el primer método gráfico: F 2 F 1 S = F 1 + F 2 Profesor: A. Zaragoza López Página 25

26 Deslizaremos el vector F 1 : F 1 F 2 Aplicamos ahora la regla del paralelogramo: F 1 S = F 1 + F 2 F 2 S = F 1 + F 2 Los dos vectores S comprobar que son equipolentes, es decir, mismo módulo, misma dirección y mismo sentido. Podríamos suponer que las dos fuerzas actúan sobre el mismo cuerpo pero no son vectores concurrentes: Profesor: A. Zaragoza López Página 26

27 Deslizamos los dos vectores hasta que concurran en un punto: Podemos aplicar la regla del paralelogramo: F1 S = F1 + F2 F2 Otra circunstancia que nos podemos encontrar es determinar la suma o resultante del conjunto de vectores de la gráfica adjunta: F2 F4 F1 F5 Profesor: A. Zaragoza López Página 27

28 El vector suma es un vector que tiene su origen en el origen del primer vector y su extremo en el extremo del último vector: F 2 F 3 F 1 F 4 S = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 Este vector suma se puede obtener gráficamente por deslizamiento, equipolencia de vectores y regla del paralelogramo: F 2 F 3 F 1 F 4 Deslizamos F 1 : S = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 F1 F 2 F 3 F 4 S = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 Aplicamos la regal del paralelogramo entre F 1 y F 2 : F 1 F 12 F 3 F 2 F 4 S = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 Profesor: A. Zaragoza López Página 28

29 A continuación haremos lo mismo con F 12 y F 3 hasta llegar a la F 123 con F 4 y obtendremos un vector equipolente al vector Suma. Mediante el Teorema del coseno podemos establecer el módulo del vector suma: F 1 S F 1 β α B O F 2 A Tomemos el triángulo OAB y apliquemos el Teorema del coseno: S 2 = F F F 1. F 2. cos β α y β son ángulos suplementarios y se cumple: cos β = - sen α S 2 = F F F 1. F 2. ( - cos α ) S 2 = F F F 1. F 2. cos α S = ( F F F 1. F 2. cosα) 1/2 Todo lo que hemos hecho hasta el momento es el trabajo con vectores desde el punto de vista gráfico, obteniendo el módulo de la resultante de un conjunto de vectores. Hemos utilizado el módulo de todos los vectores aplicados hasta el momento. Ejercicio resuelto Encuentre el ángulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de longitud sabiendo que su resultante tiene 20 unidades de longitud. Profesor: A. Zaragoza López Página 29

30 Recordar: S = ( F F F 1. F 2. cos α) 1/2 F 1 = 10 udl F 2 = 15 udl S = 20 udl 20 2 = cos α 400 = cos α = 300 cos α ; 75 = 300 cos α cos α = 75/300 ; cos α = 0,25 α = 75,5 o La pregunta es si me piden obtener el módulo del vector suma pero parto de las componentes de los dos vectores y no del módulo? Utilizaremos el método Vectorial: Ejercicio resuelto Encuentre el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante forma un ángulo de 50º con el vector mayor. B F 1 = 8 S F 1 = 8 50 o α+50 O F 2 = 10 A En el triángulo OAB de la figura anterior y por el teorema del coseno: F 1 2 = S 2 + F S. F 1. cos α ; 64 = ( S S. 10 cos 50º) 1/2 64 = S ,8 S ; S 2 12,8 S +36 = 0 S = 12,8 ± ( 163,84 144) 1/2 / 2 S = 12,8 ± 4,45 / 2 S 1 = (12,8 + 4,45) /2 = 8,62 S 2 = (12,8 4,45) / 2 = 4,17 Profesor: A. Zaragoza López Página 30

31 Vectorialmente tomaremos S 1. Es menor que el valor de F 2 pero mayor que F 1. Lo que no se puede cumplir es que el módulo del vector suma sea inferior al valor de los vectores individualmente. Conociendo el valor del S podemos aplicar la ecuación de la suma de dos vectores para obtener un vector resultante S: S 2 = F F F 1. F 2. cos α 8,62 2 = cos α 74,3 = cos α 74, = 160 cos α -89,7 = 160 cos α ; cos α = -89,7 / 160 ; cos α = -0,56 α = 124,1 o Supongamos dos vectores F 1 y F 2, en función de sus componentes: F 1 = F 1x i + F 1y j + F 1z k F 2 = F 2x i + F 2y j + F 2z k Recordemos : S = F 1 + F 2 Su módulo: S = (F 1x i + F 1y j + F 1z k) + ( F 2x i + F 2y j + F 2z k) = = ( F 1x + F 2x ) i + ( F 1y + F 2y ) j + ( F 1z + F 2z ) k S = [ (F 1x + F 2x ) 2 + ( F 1y + F 2y ) 2 + ( F 1z + F 2z ) 2 ] 1/2 Ejercicio resuelto Dados los vectores u = 3 i - 2 j + 3 k, v = 2 i - 6 j + k y z = 8 i + j - 3 k. Determinar el vector unitario en la dirección y el sentido del vector s = u + v + z. Profesor: A. Zaragoza López Página 31

32 S = ( 3 i - 2 j + 3 k) + ( 2 i - 6 j + k ) + ( 8 i + j 3 k ) S = 13 i - 7 j + k S = [( ( -7) )] 1/2 ; S = 14,8 Recordemos que todo vector es igual al módulo de dicho vector por el vector unitario en la dirección y sentido del vector: S = S. u ; u = S/ S u = (13 i 7 j + k)/ 14,8 ; u = 13/14,8 i - 7/14,8 j + 1/14,8 k Diferencia de vectores. Video: Suma y resta de vectores. Método gráfico y analítico Resta de vectores Resta de Vectores Gráficamente Supongamos dos vectores, F 1 y F 2 en el gráfico siguiente: F 1 D = F 2 F 1 F 2 También podría ser: F 1 D = F 1 F 2 F 2 Profesor: A. Zaragoza López Página 32

33 Fijaros en las puntas de flecha, son las que determinan el minuendo y el sustraendo de la ecuación de la Diferencia de vectores. En los dos casos no podemos aplicar la regla del paralelogramo puesto que esta lo que nos permite es conocer gráficamente la suma de dos vectores. Sin embargo si encontráramos algún camino para poder aplicar dicha regla el problema estaría resuelto. Consideremos el primer caso: F 1 D = F 2 F 1 F 2 Vamos a sumar a F 2 el vector opuesto a F 1 : F 1 D = F 2 F 1 -F 1 F 2 S = F 2 + (-F 1 ) Ahora sí podemos aplicar la regla del paralelogramo: S = F 2 + (-F 1 ) = F 2 F 1 = D El vector S y el vector D son vectores equipolentes (mismo módulo y paralelos). Podríamos hacer lo mismo con el segundo caso. Podemos poner un ejemplo en donde trabajando directamente con los módulos de las fuerzas y sabiendo que en la diferencia entre vectores la regla del paralelogramo no se podía utilizar directamente, la fórmula final para obtener la Diferencia la obtenemos del Teorema del coseno y por lo tanto de la regla del paralelogramo: Profesor: A. Zaragoza López Página 33

34 Ejercicio resuelto Sobre un cuerpo de masa 500 g actúan dos fuerzas, F 1 y F 2, según el diagrama: F 1 = 10 N F 2 = 25 N Determinar la el espacio recorrido a los 10 s de iniciado el movimiento. Cinemáticamente: e = e o + Vo. t + ½. a. t 2 como e o = 0 y Vo = 0 e = ½. a. t 2 Necesitamos conocer la aceleración que adquiere el cuerpo y según el 2º Principio de la Dinámica nos dice: F = m. a Conocida la fuerza podremos obtener la aceleración. Para obtener la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo volveremos a la gráfica inicial: F 1 = 10 N α = 180 o F 2 = 25 N Según el diagrama de fuerzas, la fuerza resultante es la diferencia de las dos fuerzas (15 N), pero quiero que veáis como utilizando el teorema del coseno, que en una diferencia de vectores no se podía aplicar directamente, nos lleva a ese valor de la fuerza resultante que todos tenéis en mente: F R = ( F F F 2. F 1. cos α) 1/2 Profesor: A. Zaragoza López Página 34

35 α = 180 o cos 180 o = -1 F R = ( F F F 1. F 2. cos α) 1/2 F R = ( F F F 1. F 2. cos 180 o ) 1/2 F R = [ F F F 1. F 2. (-1)] 1/2 F R = ( F F F 1. F 2 ) 1/2 F R = [( F 2 - F 1 ) 2 ] 1/2 ; F R = F 2 F 1 La fuerza que actúa sobre el cuerpo vale: F R = = 15 N La aceleración adquirida valdrá: F R = m. a ; a = F R / m ; a = 15 N/0,500 Kg ; a = 30 m.s -1 El espácio recorrido será: e = ½. a. t 2 ; e = ½ = 1500 m Si no trabajamos con módulos de vectores sino con componentes de los vectores: F 1 = F 1x i + F 1y j + F 1z k F 2 = F 2x i + F 2y j + F 2z k D = F 1 F 2 = ( F 1x i + F 1y j + F 1z K) ( F 2x i + F 2y j + F 2z k) D = ( F 1x F 2x ) i + (F 1y F 2y ) j + (F 1z F 2z ) k El módulo del vector Diferencia será: D = [ (F 1x F 2x ) 2 + (F 1y F 2y ) 2 + (F 1z F 2z ) 2 ] 1/2 Profesor: A. Zaragoza López Página 35

36 Ejercicio resuelto Dados los vectores u = 3 i - 2 j + 3 k, v = 2 i - 6 j + k, determinar: a) El vector unitario en la dirección y sentido del vector D 1 = u v. b) El vector unitario en la dirección y sentido del vector D 2 = v - u u = 3 i - 2 j + 3 k v = 2 i - 6 j + 1 k a) D 1 = u - v u D 1 = u - v D 1 = ( 3 i - 2 j + 3 k) ( 2 i - 6 j + k) = = (3-2) i + [(-2 (-6)] j + ( 3-1) k = = i + 4 j + 2 k Recordemos: v D 1 = D 1. a a = vector unitario de D 1 a = D 1 /D 1 Calculemos el módulo del vector D 1 : D 1 = ( ) 1/2 ; D 1 = (21) 1/2 = 4,58 a = (i + 4 j + 2 k)/ 4,58 ; a = 1/4,58 i + 4/4,58 j + 2/4,58 k a = 0,21 i + 0,87 j + 0,43 k Profesor: A. Zaragoza López Página 36

37 u D 2 = v - u v u = 3 i - 2 j + 3 k v = 2 i - 6 j + 1 k D 2 = v - u D 2 = ( 2 i - 6 j + k) ( 3 i - 2 j + 3 k) D 2 = ( 2 3 ) i + [(-6) (-2)] j + (1 3 ) k D 2 = - i - 4 j - 2 k D 2 = D 2. b ; b = vector unitario D 2 b = D 2 /D 2 b = (2 i - 6 j + k)/d 2 D 2 = [( (-6) )] 1/2 ; D 2 = ( 41) 1/2 = 6,4 b = 2/6,4 i - 6/6,4 j + 1/6,4 k b = 0,31 i - 0,93 j + 0,15 k Producto escalar de dos Vectores. Video: Producto de un escalar por un vector Producto de un Escalar por un Vector Suma y resta de vectores. Producto de un escalar por un vector htm PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.- Es un nuevo vector de la misma dirección, del mismo sentido y de módulo tantas veces mayor o menor, según sea el escalar ( entero o quebrado). Profesor: A. Zaragoza López Página 37