Análisis Discriminante con vectores de entrenamiento dependientes entre sí Décimocuartas Jornadas en Estadística e Informática.

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1 Análisis Discriminante con vectores de entrenamiento dependientes entre sí Décimocuartas Jornadas en Estadística e Informática. Guayaquil, Ecuador Ricardo Leiva:

2 Introducción al Análisis Discriminante El Análisis Discriminante es un método del Análisis Estadístico Multivariado que permite separar o clasificar observaciones vectoriales provenientes de diferentes poblaciones. Fisher (1936) convirtió este problema multivariado en un problema univariado mediante la utilizacìón de una combinación lineal del vector aleatorio observado. Ronald Fisher Vivió de 1890 a 1962

3 Aplicaciones del Análisis Discriminante Un banco clasifica los solicitantes de créditos en dos grupos según sean de Alto o Bao riesgo. Variables consideradas: ingreso, edad, nivel educación, antigüedad en el trabao, estado civil. Un investigador lo utiliza para clasificar restos óseos en una de dos especies similares basándose en medidas antropológicas preliminares. Un investigador en Literatura lo usa para asignar un texto a uno de varios escritores posibles. Variables usadas: Longitud de las oraciones, frecuencia de las palabras usadas.

4 Aplicaciones del Análisis Discriminante Un Analista de imágenes satelitales lo emplea para clasificar pixeles en dos o mas tipos de vegetación. Un economista lo usa para clasificar bancos o empresas según su riesgo alto o bao de caer en bancarrota.

5 Distancia entre x y la media µ de la población a la que pertenece Si x pertence a una población con media µ y varianza γ entonces d 2 (x, µ) = (x- µ) 2 / γ = (x- µ) γ 1 (x- µ).

6 Separación entre dos poblaciones con la misma varianza. La separación entre f (1) y f (2), que tienen la misma varianza γ, es la mitad del cuadrado de la distancia entre sus medias: sep (f (1) ; f (2) ) = 1/2 d 2 (µ 1, µ 2 ) = (µ 1 - µ 2 ) 2 / γ = (µ 1 - µ 2 )γ 1 (µ 1 - µ 2 ).

7 Separación entre dos poblaciones con varianzas distintas. Si las poblaciones f (1) y f (2) tienen varianzas distintas γ 1 y γ 2 y se indica con γ = (γ 1 + γ 2 )/2, su separación es: sep (f (1) ; f (2) ) = 1/2 d 2 (µ 1, µ 2 ) = 1/2 (µ 1 - µ 2 )γ 1 (µ 1 - µ 2 ).

8 Función densidad Normal p-variada La función densidad de un vector p-variado X con distribución Normal con vector de medias µ y matriz de covarianzas Γ es { } ( ) ( ) = µ µ π x x x f p X Γ Γ ' exp ) ( ) (

9 Matrices de covarianzas iguales Separación entre dos funciones densidad de probabilidad de un vector aleatorio X.

10 Matrices de covarianzas iguales Propiedades de la Separación entre dos funciones densidad de probabilidad de X. La separación entre f (1) y f (2) es invariante ante transformaciones lineales Y=A X+b, con A matriz p p no singular. Para transformaciones lineales de la forma Y=B X+b, con B matriz p m de rango m < p, se verifica sep( f, f ) = max sep( f ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) X X B M ( p, m) Y Y O sea, existe B * ε M(p,m) = {matrices p m de rango m} tal que si Z = B * X se verifica que ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) sep ( f, f ) = sep( f, f ) X X, f ) Z Z

11 Matrices de covarianzas iguales Discriminación Lineal de Fisher.

12 Matrices de covarianzas iguales Discriminación Lineal de Fisher. Problema: Hallar la combinación lineal Y = α X tal que la separación entre f Y (1) y f Y (2) sea máxima, con α vector p 1. Solución: Sabemos, por lo anterior, que existe α tal que 1) ( 2) ( 1) ( 2) sep ( f, f ) max sep( f, f ) = ( ( 1) ( 2) X X = α M ( p, 1) Y Y sep( fz, fz Se prueba que un posible valor es α ), 1 ( µ ) ' = Γ ' * 1 µ 2

13 Matrices de covarianzas iguales Discriminación Lineal de Fisher. La transformación lineal Z =t(x) = α X = (µ 1 µ 2 ) Γ -1 X se denomina función discriminante lineal. Regla de clasificación (para probabilidades a priori iguales y costos de mala clasificación iguales) : Clasificar al nuevo vector x 0 en la población f (1) (µ 1 µ 2 ) Γ -1 x 0 c 1, donde c 1 = (µ 1 µ 2 ) Γ -1 (µ 1 + µ 2 )/2 = t( (µ 1 + µ 2 ) / 2 ).

14 Matrices de covarianzas diferentes Discriminación cuadrática. Cuando las poblaciones tienen matrices de covarianzas Γ 1 Γ 2 entonces la regla de clasificación es cuadrática en el nuevo vector a clasificar. Regla de clasificación (para probabilidades a priori iguales y costos de mala clasificación iguales) : Clasificar a x 0 en la población f (1) q(x 0 ) k, donde q(x 0 ) = µ 1 Γ 1-1 x 0 µ 2 Γ 2-1 x 0-1/2 x 0 (Γ 1-1 Γ 2-1 ) x 0 y k = - 1/2 ln[ Γ 1 / Γ 2 ] + 1/2 (µ 1 Γ 1-1 µ 1 µ 2 Γ 2-1 µ 2 ).

15 Matrices de covarianzas diferentes Discriminación Lineal vs. Cuadrática Bao el supuesto de Normalidad la regla cuadrática es la de menor Costo Esperado de Mala Clasificación (CEMC) y tiene la menor Probabilidad Total de Mala Clasificación (PTMC). Sin embargo, da resultados extraños en mas de dos dimensiones, sobre todo cuando no se cumple el supuesto de Normalidad. Complicadas Distribuciones de Mala Clasificación. En general, uno quisiera poder separar el espacio R p en dos regiones usando un hiperplano y no una hipersuperficie cuadrática complicada.

16 Matrices de covarianzas diferentes Discriminación Lineal Leiva y Herrera (1999), partiendo de propiedades deseables, obtienen una definición de separación que a su vez establece una generalización natural de la distancia de Mahalanobis para poblaciones con matrices de covarianza desiguales (Γ 1 Γ 2 ). Distancia d: d 2 (a;b)= (a-b) Γ -1 (a-b), con Γ=(Γ 1 + Γ 2 )/2 Regla de clasificación: Clasificar a x 0 en la población f (1) r(x 0 ) c 1, donde r(x 0 ) = (µ 1 µ 2 ) [ (Γ 1 + Γ 2 )/2 ] -1 x 0 y c 1 = r( (µ 1 + µ 2 )/2 ).

17 Parámetros desconocidos Muestras de entrenamiento En las aplicaciones los parámetros usualmente son desconocidos. Para estimar µ 1, µ 2, Γ 1 y Γ 2 se necesita disponer de una muestra de cada población. Estas muestras X 1 (1),..., X n1 (1) de f (1) y X 1 (2),..., X n2 (2) de f (2) son llamadas muestras de entrenamiento. Suposición de independencia estocástica: Independencia dentro de cada muestra. Independencia entre las muestras. Independencia entre las muestras de entrenamiento y. el vector a clasificar.

18 Violación del supuesto de independencia En situaciones reales ocurre que los supuestos de independencia no se satisfacen. Esto ocurre en el análisis de imágenes satelitales. Una imagen se puede obtener porque un radar emite una sucesión de pulsos electromagnéticos hacia una escena en la tierra y un sensor capta la energía refleada por dicha escena. La posibilidad de obtener información de una imagen se debe a que propiedades de la escena producen efectos en la imagen.

19 Geometría de una imagen de radar

20 Violación del supuesto de independencia La información es transportada por la intensidad promedio medida en cada pixel. Se mide lo que se denomina coeficiente de retrodispersión o Radar Cross Section (RCS)), que es el cociente entre E 1 y E 2 donde: E 1 es la energía que hubiera recibido el sensor si la energía emitida se hubiera dispersado en forma isotrópica. E 2 es la energía realmente recibida por el sensor.

21 Violación del supuesto de independencia Existen satélites equipados con scanners multiespectrales que miden la intensidad en cada pixel en varias bandas del espectro. Se ha comprobado que existe una dependencia entre los vectores de mediciones correspondientes a pixels vecinos. Esto impide el uso del Análisis Discriminante Clásico para el tratamiento de imágenes satelitales.

22 Violación del supuesto de independencia Inicialmente se propusieron metodologías de carácter práctico para soslayar esta dificultad y poder usar el Análisis Discriminante Clásico. En la última década se comenzaron a desarrollar métodos de Análisis Discriminante que relaan el supuesto de independencia mencionado. En la actualidad existen algunas pocas líneas diferentes para atacar el problema de la dependencia en el Anaísis Discriminante.

23 Relaación del supuesto de independencia Dos problemas a resolver: 1 Qué tipo de dependencia usar? 2 Cómo introducir la dependencia en el análisis? Análisis de los problemas: 1.- La dependencia a utilizar depende del problema a analizar. En general, los vectores a clasificar heredan la misma dependencia que se ha supuesto entre los vectores de entrenamiento. 2.- Las ideas propuestas para introducir la dependencia requieren la incorporación de las muestras de entrenamiento al análisis.

24 Tipo de dependencia Matriz de covarianza Equicorrelacionada ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )., n n n n B J B A I A B B B B A B B B B A B B B B A + = = L L M M O M M L L Γ

25 Tipo de dependencia Equicorrelación Multivariada Los vectores X 1 (),..., X n () son equicorrelacionados si tienen la misma media µ y la matriz de covarianza del vector n p variado X () =vec[x 1 (),..., X n () ] es de la forma Γ () = I n (Α () - Β () )+ J n Β (). Las matrices Α () y Β () son los parámetros de equicorrelación y también se suele decir que X () es un vector equicorrelacionado.

26 Matriz de covarianza Conuntamente Equicorrelacionada

27 Tipo de dependencia Equicorrelación Conunta Multivariada Los vectores X (1) 1,..., X (1) n1 y X (2) 1,..., X (2) n2 son conuntamente equicorrelacionados si X () es equicorrelacionado, para =1,2, y si la covarianza cov[x (1 ), X (2) ] =J n1,n2 C (1,2). O sea, la matriz Γ de covarianzas de X=vec(X (1 ), X (2) ) es de la forma I = ( (1) (1) A B ) + B C (1) (1,2) n1 n1, n1 n, n Γ (1,2) 2 J n, n C In n, n 2 1 J 2 J 1 2 ( (2) (2) ) ( ) A B + J B 2 2

28 Tipo de dependencia Equicorrelación Conunta Multivariada Imponiendo condiciones sobre las matrices parámetros A (1),B (1), A (2),B (2) yc (1,2), la matriz conuntamente equicorrelacionada Γ es inversible. Tanto Γ 1 como Γ tienen una expresión explícita. Bao el supuesto de Normalidad se obtienen los Estimadores de Máxima Verosimilitud de los parámetros A (1),B (1), A (2),B (2) yc (1,2).

29 Introducción de la dependencia en el Análisis Discriminante. Primera idea: Caso de muestras equicorrelacionadas, independientes entre sí e independientes del vector a clasificar. Sea X =vec[x 1,..., X n ] vector equicorrelacionado con media µ X = 1 n µ () en la población, y con matriz de covarianza Γ = I n (Α- Β)+ J n Β. El problema de la discriminación es equivalente a encontrar un vector α R 0p que maximice la separación entre las dos densidades del vector n variado V α =(α X 1,..., α X n ).

30 Muestras equicorrelacionadas independientes Se prueba (Leiva 2007) que la función de discriminación lineal en este caso es r(x)=(µ 1 µ 2 ) (Γ + ) -1 x, donde Γ + indica la matriz suma de todas las submatrices en que está particionada Γ, siendo en este caso Γ + -1 = ( A + (n-1) B ) -1 / n. Regla de clasificación: Clasificar a x 0 en la población f (1) r(x 0 ) h 1, donde r(x 0 ) = (µ 1 µ 2 ) (Γ + ) -1 x 0 y h 1 = r( (µ 1 + µ 2 )/2).

31 Muestras equicorrelacionadas independientes La matriz Γ + es igual a la matriz de covarianza del vector media muestral de los vectores X 1,..., X n multiplicada por n 2. Esto permite interpretar la regla de clasificación r(x)=(µ 1 µ 2 ) (Γ + ) -1 x. Esta primera idea se generaliza fácilmente al caso en el que los parámetros de equicorrelación son diferentes en ambas poblaciones (discriminación cuadrática o lineal modificada). Un problema abierto en esta línea de investigación es cómo incorporar la dependencia entre las muestras de entrenamiento.

32 Introducción de la dependencia en el Análisis Discriminante. Segunda idea: Caso de muestras conuntamente equicorrelacionadas y tales que existe dependencia entre ellas y con el vector a clasificar. Sea X =vec[x 1 (1),..., X n1 (1),X 0, X 1 (2),..., X n2 (2) ] vector conuntamente equicorrelacionado que supondremos con distibución Normal p (n n 2 ) variada. Según de qué población provenga X 0 se tendrá: X N N ( ) µ X (1); ΓX (1) ( ; Γ ) µ X (2) X (2) si si X X 0 0 de población 1 de población 2

33 Introducción de la dependencia en el Análisis Discriminante. X =vec[x 1 (1),..., X n1 (1),X 0, X 1 (2),..., X n2 (2) ] siendo los parámetros : µ X(1) y Γ X(1) si X 0 es de la población 1 y µ X(2) y Γ X(2) si X 0 es de la población 2, donde

34 Regla de discriminación cuadrática con parámetros conocidos

35 Discriminación cuadrática con parámetros conocidos

36 Estimadores de los parámetros

37 Estimadores de los parámetros

38 Discriminación cuadrática usando estimadores de los parámetros

39 Bibliografía McLachlan, G. (1992), Discriminant Analysis and Statistical Pattern Recognition, J.Wiley & Sons, ISBN Leiva, R.; Gei, G. (2005), Equicorrelación Multivariada, publicado en Matemática Vol. 3 N ª1 (ICM ESPOL). Leiva, R. (2007), Linear discrimination with equicorrelated training vectors, Journal of Multivariate Analysis, 98, pag Leiva, R. (2007), Quadratic discrimination with equicorrelated training vectors, enviado a publicar. Leiva, R. (2007), Análisis discriminante de Anderson con muestras de entrenamiento equicorrelacionadas, manuscrito en desarrollo. Leiva, R. (2007), Discriminant analysis for stationary VAR(p) processes with dependent multiple realizations, manuscrito en desarrollo. Roy, A., Leiva, R. (2007), "Discrimination with ointly equicorrelated multi-level multivariate data, aceptado para su publicación en Advances in Data Analysis and Classification.

40 Discriminación con medidas repetidas multivariadas Roy, A., Leiva, R. (2007), Discrimination with ointly equicorrelated multilevel multivariate data, aceptado para su publicación en Advances in Data Analysis and Classification. En este artículo desarrollamos funciones discriminantes lineal y cuadrática para medidas multivariadas en varios niveles bao la suposición de normalidad. Suponemos que las observaciones m variadas tienen una estructura de covarianza conuntamente equicorrelacionada y un vector de media con una estructura de producto de Kronecker. Las nuevas funciones de discriminación son muy efectivas cuando el número de observaciones es relativamente muy pequeño. Las razones de los errores de mala clasificación resultan ser mucho menores que los correspondientes a las reglas tradicionales.

41 Discriminación con series de tiempo Leiva, R. (2007), Discriminant analysis for stationary VAR(p) processes with dependent multiple realizations. En este trabao se desarrolla un método de clasificación para procesos autorregresivos vectoriales (VAR(p)). La clasificación de series de tiempo aparece en varias disciplinas. En Economía, esta situación surge en la clasificación del crecimiento económico en diferentes categorías mediante el análisis de la evolución de ciertas variables macroeconómicas. O cuando es necesario clasificar compañias de acuerdo a su salud económica caracterizada por el comportamiento de algunos indicadores. En Hidrología, la clasificación de ríos en distintos regímenes hídricos según su caudales históricos. Uso en Sismología, Medicina y otras ramas de la ciencia han sido destacados en la bibliografía. En un trabao reciente, Holst e Irle (2001) analizaron la clasificación del vecino más cercano con sucesiones de variables de entrenamiento con un tipo especial de dependencia. Demostraron que los resultados para el caso iid se extienden al caso de sucesiones de entrenamiento dependientes, siempre que los índices k del vecino mas cercano tienda a estar separado y sus clases tiendan a la independencia.

42 Prasanta Chandra Mahalanobis ( ) Científico indio que se destacó en estadística aplicada. Sus contribuciones más importantes están relacionadas con encuestas a gran escala. Introduo el concepto de encuestas piloto y defendió la utilidad de los métodos de muestreo. Su nombre se asocia también con la distancia multivariada independiente de la escala, que tomó el nombre de distancia de Mahalanobis. Realizó trabaos pioneros en las variaciones antropométricas en la india. Fundó el Instituto Indio de Estadística, y contribuyó al campo de las encuestas a gran escala. Se graduó en Física en 1912 por la Universidad presidencial de Calcuta, y completó sus estudios en el King's College de Cambridge, tras lo que volvió a Calcuta. Conoció a Ronald Fisher, con quien estableció una amistad que se mantendría durante toda su vida. Mostró interés por los logros culturales y fue secretario de Rabindranath Tagore, particularmente durante sus viaes al extranero. Prasanta Chandra Mahalanobis ( )

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