A r. 1.5 Tipos de magnitudes

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1 1.5 Tipos de magnitudes Ente las distintas popiedades medibles puede establecese una clasificación básica. Un gupo impotante de ellas quedan pefectamente deteminadas cuando se expesa su cantidad mediante un númeo seguido de la unidad coespondiente. Este tipo de magnitudes eciben el nombe de magnitudes escalaes. La longitud, el volumen, la masa, la tempeatua, la enegía, son sólo algunos ejemplos. Sin embago, existen otas que pecisan paa su total definición que se especifique, además de los elementos anteioes, una diección o una ecta de acción y un sentido: son las llamadas magnitudes vectoiales o diigidas. La fueza es un ejemplo clao de magnitud vectoial, pues sus efectos al actua sobe un cuepo dependeán no sólo de su cantidad, sino también de la línea a lo lago de la cual se ejeza su acción. l igual que los númeos eales son utilizados paa epesenta cantidades escalaes, las cantidades vectoiales equieen el empleo de otos elementos matemáticos difeentes de los númeos, con mayo capacidad de descipción. Estos elementos matemáticos que pueden epesenta intensidad, diección y sentido se denominan vectoes. Las magnitudes que se manejan en la vida diaia son, po lo geneal, escalaes. El dependiente de una tienda de ultamainos, el comeciante o incluso el contable, manejan masas, pecios, volúmenes, etc., y po ello les es suficiente sabe opea bien con númeos. Sin embago, el físico, y en la medida coespondiente el estudiante de física, al tene que maneja magnitudes vectoiales, ha de opea, además, con vectoes Repesentación gáfica de un vecto. Un vecto se epesenta po una línea oientada, la cual indica la diección, y po una flecha, la cual indica su sentido. La longitud de la línea es popocional a la magnitud del vecto. Si deseamos epesenta un vecto de magnitud 4 [km] Note 30 Este: N 1 [km] ESCL : O 30 E S

2 B ( = - B ) Definiciones: a. Vectoes iguales: Dos vectoes y B son iguales si tienen igual tamaño, diección y sentido. Es deci: B ( = B ) b. Vectoes opuestos: Dos vectoes y B son opuestos si tienen igual tamaño, igual diección peo sentido contaio. Es deci c. Tamaño, noma, módulo o magnitud de un vecto: Si epesenta un vecto, su tamaño, noma, módulo o magnitud se designa como: = lgeba y popiedades ente vectoes: Sean, B, C vectoes y a,b escalaes: i. Popiedad Conmutativa: + B = B +. ii. Popiedad sociativa: + ( B +C ) = ( + B )+C = (C + )+ B. iii. Popiedad Conmutativa: a = a. iv. Popiedad sociativa: a(b ) = (ab). v. Pop. Distibutiva (suma escala): (a+b) = a + b. vi. Pop. Distibutiva ( suma vectoial): a( + B ) = a + a B vii. Identidad: + 0 = 0 + = viii. Elemento inveso: + (- ) = (- ) + = 0.

3 1.5.4 OPERCIONES ENTRE VECTORES: Suma y esta ente vectoes La suma de dos vectoes y B con un oigen común 0 se define mediante la llamada egla del paalelogamo, según la cual el vecto suma + B es igual a la diagonal del paalelogamo -consideada como segmento oientado- fomado po, y sus espectivas paalelas tazadas po los extemos de ambos vectoes. Una de las caacteísticas de la suma vectoial es que el módulo o longitud del vecto suma no es igual, en geneal, a la suma de los módulos de los vectoes sumando. Paa el caso de mas de dos vectoes, la suma se va ealizando de dos en dos sucesivamente. Como sucede con los númeos, la difeencia de dos vectoes debe entendese como la suma de uno de ellos con el opuesto del oto: - B = + (- B ) (Regla del paalelogamo) C B D + B B - B (Regla del polígono) + B + C + D B D C

4 1.5.5 Vecto unitaio: Un vecto unitaio, epesentado como u ), es un vecto de magnitud 1, usado fundamentalmente paa epesenta la diección y sentido de un vecto. Sea u ) un vecto unitaio y un vecto cualquiea en la diección y sentido de u ). u ) ( = Po lo tanto, como = u ), un vecto unitaio se define como: u ) = / Componentes de un vecto Cualquie vecto puede siempe considease como la suma de dos o más vectoes. cualquie conjunto de vectoes que al sumase den se les llama las componentes de. Las componentes mas comúnmente usadas son las catesianas ectangulaes ( poqué?), es deci, el vecto se expesa como la suma de 3 vectoes mutuamente pependiculaes. k ) j ) i ) Y X X Y i ), j ), k ) son vectoes unitaios en las diecciones positivas de los ejes X, Y y espectivamente.

5 Como = X + Y + y X = X i ), Y = ) Y j, = k ) = x i ) + ) Y j + k ). Po oto lado, usando el teoema de Pitágoas: = ( X) + ( Y) ( ). 1.6 Poducto ente vectoes Es posible defini otas opeaciones con vectoes, además de la suma. Una de estas opeaciones es el poducto escala o punto (el esultado es un escala), ota es el poducto vectoial o poducto cuz (el esultado es un vecto) Poducto Punto: Dados 2 vectoes y B que foman un ángulo θ ente si, el poducto punto ente y anotado como B es definido po: B cos(θ) = B θ B B = B cos(θ) = B Intepetación geomética: Puesto que cos(θ) es la poyección de sobe B, B epesenta B veces poyección de sobe B, 0 bien veces la poyección sobe del vecto B Poducto punto ente vectoes unitaios: i ) i ) = j ) j ) = k ) k ) = 1. i ) j ) = j ) k ) = k ) i ) = 0.

6 Cuando los vectoes están escitos en téminos de sus componentes catesianas ectangulaes, es deci: = X i ) + Y j ) + k ) y B = B X i ) + B Y j ) + B k ), el poducto punto ente y B viene dado po: B = ( X i ) + Y j ) + k ) ) (B X i ) + B Y j ) + B k ) ) = X B X + Y B Y + B. Si y B son dos vectoes no nulos tales que: B = 0 B Poducto cuz: Sean y B dos vectoes los cuales foman un ángulo θ ente si. El Poducto cuz o vectoial ente y B anotado como B es dado po: B = B sen(θ)u ), donde u ) es un vecto unitaio a y B, o sea al plano fomado po y B, y cuyo sentido está deteminado po la egla de la mano deecha. u ) B B θ B

7 Intepetación geomética: Con dos vectoes podemos foma un paalelogamo, es deci: B θ h ea del paalelogamo = Base ltua = ( h ) ; Como h = B sen(θ), ea del paalelogamo = B sen(θ), es deci: ea del paalelogamo = B Note que el poducto cuz no es conmutativo. B = - ( B ). Poducto cuz ente vectoes unitaios: ) j i ) i ) = ) j ) j = k ) k ) = 0. i ) ) j = k ), ) j i ) = - k ). ) ) ) ) ) ) j k = i, k j = - i. k ) i ) = ) j, i ) k ) = - ) j k ) i ) Cuando los vectoes están escitos en téminos de sus componentes catesianas ectangulaes, es deci: = X i ) + Y j ) + k ) y B =B X i ) + B Y j ) + B k ), el poducto cuz ente y B viene dado po: B = ( x i ) + Y j ) + k ) ) (B X i ) + B Y j ) + B k ) ) = i ) ( Y B - B Y ) - j ) ( X B - B X ) + k ) ( X B Y Y B X ), es deci:

8 B = iˆ B X X B ˆj Y Y kˆ B Si y B son dos vectoes no nulos tales que: o θ = 0 ). B = 0 y B son paalelos ( EJERCICIOS 1. Paa dos vectoes dados, Cuándo su poducto vectoial es mínimo y poqué?. 2. El módulo de la suma de dos vectoes dados siempe seá meno que el módulo de la difeencia de esos vectoes?. 3. En que casos el módulo de la suma de dos vectoes coincide con la suma de los módulos de los vectoes que se suman?. 4. Un vecto tiene de componentes (1,2,3). Oto vecto B de módulo 3 1/2 tiene po componente X el valo 1. Detemina el vecto B paa que sea pependicula al vecto. 5. Dado los vectoes = 2iˆ ˆj kˆ y B = 3iˆ + 2 ˆj kˆ : a. Encuente el ángulo fomado po tales vectoes. b. Paa el vecto, detemine los ángulosα, β y γ que foma el vecto con los ejes X, Y y espectivamente c. Mueste que en geneal, paa cualquie vecto: cos ( α ) + cos ( β ) + cos ( γ ) = 1. Tales cosenos se denominan diectoes pues definen su diección con especto a los ejes coodenados. 6. Enconta las componentes ectangulaes de un vecto de 10 unidades de magnitud, cuando éste foma un ángulo, con especto al eje de las X de: a. 50 b. 130 c. 230, haciendo uso de las funciones tigonométicas.

9 7. Sean 4 vectoes E, F, G y H ubicados consecutivamente, de tal foma que H hace un ángulo de 65 cong ; el vectog foma 67 con F yf hace 85 con E. Las magnitudes de cada vecto son de 9 unidades. a. Repesente gáficamente estos cuato vectoes, según los datos dados, b. Constui el vecto: I = E + 2 F 3G + H. 8. Un buque se dispone a zapa hacia un punto situado a 124 [km] al Note. Una tomenta inespeada empuja el buque hasta un punto 72 [km] al Note y 31 {km} al Este desde su punto de aanque. Qué distancia y en qué diección debe navegase, paa llega a su destino oiginal?. 9. Paa los vectoes de la figua (cubo de lado 1), detemine: a. + B. b. + B. c. B. 1 B X 1 1 Y 10. Dado los vectoes: = 3iˆ 6 ˆj 4kˆ y B = iˆ + 2 ˆj 3kˆ, detemine: a. B b. Vecto unitaio en la diección y sentido de: + B. 11. Halla un vecto unitaio, paalelo al plano XY que sea pependicula al vecto: 8 iˆ + 6 ˆj + 2kˆ. 12. Paa que valoes de α son K = αiˆ 2 ˆj + kˆ y L = 2αiˆ + αˆj 4kˆ, pependiculaes?. 13. Dados los vectoes U = αˆ i + 4 ˆj y V = 9iˆ + 12 ˆj + βkˆ, enconta los valoes de α y β de manea que ambos vectoes sean paalelos. 14. Un vecto de módulo 5 unidades foma un ángulo de 30 con el eje. Su poyección sobe el plano XY foma un ángulo de 60 con el eje X. Halla el vecto el ángulo que foma con el vecto B = iˆ ˆj. y

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