TRANSFORMACIONES EN EL PLANO (3º E.S.O.) I.E.S. Cartuja 2010/2011 LAS TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "TRANSFORMACIONES EN EL PLANO (3º E.S.O.) I.E.S. Cartuja 2010/2011 LAS TRANSFORMACIONES EN EL PLANO"

Transcripción

1 1.-INTRODUCCIÓN: LAS TRANSFORMACIONES EN EL PLANO 2.-LOS VECTORES: HERRAMIENTA CON QUE SE EXPRESA LA NATURALEZA a) Definición. b) Operaciones e interpretación geométrica. c) Definición de un vector a partir de 2 puntos. d) Clasificación de los vectores. 3.-CLASIFICACIÓN Y CARACTERÍSTICAS DE LOS MOVIMIENTOS a) La traslación. b) El giro. c) La simetría central. d) La simetría axial. e) La homotecia y sus elementos invariantes. 4.-COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS a) Composición de traslaciones. b) Composición de giros. Del mismo centro De distinto centro. c) Composición de simetrías centrales. d) Composición de simetrías respecto de una recta. Ejes paralelos. Ejes perpendiculares. Ejes oblicuos. e) Estudio de mosaicos y frisos. INTRODUCCIÓN: LAS TRANSFORMACIONES EN EL PLANO La geometría nació en Egipto debido a razones prácticas. Cuando crecía el Nilo, nade sabía cuáles eran sus tierras, de manera que había que inventar algún método para medir la tierra (geo=tierra metría=medida). Más tarde, Tales de Mileto (uno de los siete sabios de grecia) intentaba justificar los cálculos que realizaron los egipcios, dando lugar a una disciplina con carácter deductivo. Para los griegos la matemática toma tintes filosóficos artísticos y se sirven de entes perfectos como la circunferencia o la esfera para representar el universo que les rodea (explican el movimiento de los astros). Euclides, Apolonio y Arquímedes fueron grandes matemáticos de la época (s III a.c.). En especial, destacar la labor de Euclides que con su obra Elementos de geometría, consigue caracterizar a través de axiomas el espacio físico donde nos movemos. Esta obra ha sido utilizada como base del estudio de la geometría en toda europa hasta el siglo XIX (22 siglos) y de la cual se dice que es de la que más ejemplares se han editado después de la Santa Biblia. 1

2 En el siglo XV y XVI Descartes y Fermat funden la geometría con el análisis para dar lugar a la geometría analítica, que cobra especial importancia en el estudio de la Mecánica y la óptica (Newton, Leibniz, Pascal, Huygens). Nosotros nos vamos a centrar en el estudio de la geometría en el plano, en particular estudiaremos las transformaciones geométricas. Durante la historia, el hombre ha hecho numerosas construcciones de carácter geométrico (dólmenes, arquitectura, decoración, textil romano, filigrana de los libros ), estas figuras presentan una característica fundamental y es que se repiten de acuerdo con cierto orden (traslaciones, giros, simetrías) formando frisos y mosaicos. Ejemplos en nuestra Andalucía son la Alhambra de Granada, la Giralda de Sevilla o la mezquita de Córdoba (Además de los monumentos de carácter religioso y palacios edificados a lo largo y ancho de la geografía andaluza). Las simetrías no sólo aparecen en el arte, también lo hacen en la naturaleza, así por ejemplo tenemos el cuerpo humano, los animales (como las mariposas y las aves, los huevos de gusanos), e incluso las plantas (como la hiedra densa o el cactus). Una transformación es una aplicación (afín y de carácter biyectiva) en el plano que nos transforma cada uno de los puntos del plano para darnos nuevos puntos también en el plano. Se puede dividir en varios tipos: A) Las que conservan La forma pero no las dimensiones (semejanzas y homotecias). La forma y las dimensiones: movimientos (isometrías). B) Las que no conservan (sombras). Los movimientos admiten a su ve una doble clasificación: 1) Directos: conservan el sentido de giro. 2) No directos: no conservan. Dentro de las isometrías, estudiaremos la traslación, el giro y la simetría en torno a un punto (central) y en torno a un eje (axial) así como la composición de ellas. A lo largo de la historia, hemos encontrado muestras de carácter geométrico utilizadas por el hombre: hileras de dólmenes prehistóricos (Stonehenge), decoraciones pintadas por egipcios, bandas esculturales de los libros medievales. En todos estos ejemplos aparecen un motivo o figura que se repite con cierto orden y periodicidad, una vez realizada sobre ella una traslación, giro o simetría de cualquier tipo. En las construcciones de frisos y mosaicos, se cambian lo que denominamos motivos mínimos de diferentes formas que tienen como objetivo la decoración en el plano. En Andalucía, encontramos muy diversos e importantes manifestaciones de este tipo de decoración geométrica en el legado artístico romano e hispano musulmán: Alhambra de Granada, Mezquita de Córdoba, ruinas Itálicas en el Aljarafe Sevillano, etc. 2

3 Por último, decir que la geometría no solo aparece en diseños ornamentales, también se encuentra presente en la naturaleza. Observar la simetría del cuerpo animal, la piel de las serpientes, los panales de las ovejas, las alas de mariposa VECTORES: LA HERRAMIENTA CON QUE SE EXPRESA LA NATURALEZA a) DEFINICIÓN: Vamos a suponer que queremos ir desde una isla A a otra B (ver fig.1). Por conveniencia suponemos que la isla A, está centrada en un sistema de referencia, y por lo tanto, sus coordenadas son A=(0,0). Si queremos llegar a la isla B, debemos tomar varias decisiones: La dirección, en nuestro caso Noreste. El sentido de nuestro movimiento que será desde A hasta B. (fig. 1: para ir desde la isla A hasta la B, necesitamos un vector) El módulo o magnitud de la velocidad. Así, por ejemplo, si la distancia entre A y B es 6Km y queremos llegar antes de 2h, la velocidad (en módulo) debería ser al menos de 3Km/h. Una vez que llegamos a B (en un tiempo inferior a 2h, queremos volver muy rápido, es decir, como máximo, quiero tardar h), debemos de tomar las siguientes decisiones: Dirección de vuelta: N-E El sentido: el contario al de ida. El módulo: 24Km/h. Definimos un vector, como una magnitud en la que además defiinimos la dirección y el sentido. Es conveniente distinguir entre una magnitud escalar (que es un número acompañado de una unidad de medida) y una magnitud vectorial (que es un vector). La representación de un vector se realiza de acuerdo con la figura, como si fuese un segmento sobre el que dibujamos una flecha que nos indica el sentido. Un vector lo escribimos con una letra en minúscula sobre la que colocamos una flecha y viene dado mediante un par de números que representan las coordenadas del vector en el plano. 3

4 Observa el siguiente ejemplo: (ver fig.2) Dirección (3,5) =(3,5) Módulo = Suma: Sentido: el positivo tanto de la componente x como la y. b) OPERACIONES CON VECTORES: Sea =(, ) =(, ) definimos la suma como Ejemplo: 2.- Producto por un escalar: + =( +, + ) =(1,2) =( 5,3) entonces + =( 4,5) (fig 2: representación de un vector) Sea α un número cualquier y =(, ), definimos el producto por un escalar como Ejemplo: α. =(α.,α. ) α=3 y =(1,2) entonces α. =3.(1,2)=(3,6) Veamos la interpretación geométrica de ambas operaciones. a) Suma (fig.3): supongamos que tenemos dos vectores =(2,2.5) =(0.5,6) al sumarlos componente a componente tendremos + =(2.5,8.5) (fig. 3: interpretación geométrica de la suma, los vectores forman un paralelogramo). Por lo tanto y según la figura, pondremos los dos vectores en el origen de coordenadas y dibujaremos una línea paralela a cada uno de ellos que pase por el extremo del otro vector, dando lugar a un paralelogramo cuya diagonal es la suma. 2 1 La longitud de un vector coincide con la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma con el sistema de referencia y por lo tanto, se calcula con el teorema de Pitágoras: El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es la suma del cuadrado de cada uno de los catetos 2 La razón del porqué da un paralelogramo, es sencilla, primero dibujamos el vector moviéndonos dos cuadritos a la derecha, y 2.5 hacia arriba, luego, para sumarle el, partimos del extremo de, y nos 4

5 Es importante darse cuenta que se pueden sumar dos vectores si ponemos a uno a continuación del otro. (Fig.4) (Fig. 4: suma de dos vectores) b) Producto (fig.5): sea un vector =(2,2) y multiplicamos por 2, obtenemos =(4,4) por lo que la longitud se ha duplicado. 3 (Fig. 5: interpretación geométrica del producto de un vector por un número). c) DEFINICIÓN DE UN VECTOR A PARTIR DE DOS PUNTOS: Necesitamos 2 puntos para definir el segmento que une a ambos, así como su orientación. Veámoslo con un ejemplo (ver fig.6). Sean los puntos A=(2,3) y B=(7,5). Es claro que las coordenadas del punto A coinciden con las del vector =(2,3) y las de B con las del vector =(7,5). Vamos a obtener el vector cuyo sentido irá desde A hasta B. Para calcularlo, utilizando lo que hemos visto de la suma de vectores tenemos: (Fig. 6: representación del vector AB definido por dos puntos) Por lo que + = = =(5,2) movemos 0.5 unidades a la derecha y 6 hacia arriba (también se puede hacer al revés, obteniendo el paralelogramo). 3 Nota: sean tres vectores,, entonces se cumplen las siguientes propiedades: 1.- Conmutativa: + = Asociativa: + + =( + )+ 3.- Elemento neutro 0 + = +0 = 4.- Elemento opuesto de es Distributiva respecto del producto por un escalar: α. ( + )= α +α 5

6 d) CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES: De acuerdo con el apartado anterior, vemos que los vectores de la figura 7 son equivalentes, aún cuando sus orígenes están desplazados. Esto nos permite clasificar los vectores de la forma siguiente a) Libres: conjunto de vectores de igual módulo, sentido y dirección pero que no tienen igual punto de aplicación (no tienen igual origen). También los llamamos equipolentes. 4 (Fig. 7: vectores libres) b) Fijos: aquellos vectores que están asociados invariablemente a un punto de aplicación u origen. Por lo tanto, además de la dirección, módulo y sentido, necesitamos conocer su origen. c) Opuestos: son vectores que teniendo el mismo módulo y dirección, tienen distinto signo. CLASIFICACIÓN Y CARACTERÍSTICAS DE LOS MOVIMIENTOS: a) TRASLACIÓN: Supongamos una persona que se va moviendo y la fotografiamos en dos instantes (Fig. 8). Entre esos dos instantes se desplaza 2m respecto del árbol. Teniendo en cuenta la definición de vector, es fácil entender que toda traslación es equivalente a un vector. El vector que caracteriza esta traslación es de la forma =(2,0). Observa que todo el cuerpo de la persona se desplazan 2m, de manera que el vector se aplica en todos los puntos del cuerpo, por lo que es un vector libre. (Fig.8 Traslación de 2m de la corredora respecto del árbol) Definición: se denomina traslación a un movimiento caracterizado por un vector libre. Se representará con la letra T, de tal forma que aplicada a un punto P nos dé el P, lo que se escribe como T(P)=P 4 Además, existen otras denominaciones a) Deslizantes: cuando se aplican a lo largo de la línea que determina su dirección. b) Axiales: en Física, son vectores ligados a efectos de rotación y giro. 6

7 Características: 1. Conserva forma y dimensiones. 2. Directo (conserva el sentido de giro). 3. No tiene puntos invariantes (salvo si coincide con la dirección de la recta). 4. Para encontrar la transformación de cualquier figura, aplicamos el vector (que es libre) a cada uno de los puntos de la figura. Así, por ejemplo, (ver figura 9) b) GIRO: (Fig. 9: forma de aplicar una traslación) Supongamos una rueda suspendida sobre un eje (ver fig. 10). En un instante determinado aplicamos una fuerza tangencial a la misma de tal forma que observamos que los radios de la rueda empiezan a moverse. Si realizamos dos fotografías instantáneas, vemos que el radio ha descrito un ángulo α. Tal movimiento descrito por el ángulo se le denomina giro. (Fig. 10: ilustración de un giro) Definición: un giro de centro o y ángulo α es un movimiento, que hace corresponder a un punto P otro P tal que = y =α Se representará con la letra ( )= Características: 1.- Conserva forma y dimensiones. 2.- Conserva el sentido de giro (directo). 3.- d(o,p)=d(o,p )=R (en donde R es el radio de giro, que permanece constante, es decir que no estira ni encoge a las figuras). 4.- El centro del giro (donde pincharíamos con el compás) es un punto que no se mueve, por lo tanto, permanece invariante tras el giro. Una de las características de los giros, es el centro de giro, que se define como el número de rotaciones que se le pueden hacer a una figura, para que permanezca invariante. Por ejemplo, el hexágono de la figura presenta invarianza bajo los giros de 60º, 120º, 180º, 240º, 300º y 360º. De manera que su centro de giro es 6. 7

8 c) SIMETRÍA CENTRAL: Es un movimiento que tiene lugar cuando aplicamos un giro de 180º. Es importante observar que para realizar una simetría central no necesitamos medir el ángulo con un transportador, porque ya es conocido (es llano). Veamos un ejemplo (Fig.11): (Fig. 11: transformación de dos puntos por medio de una simetría central) Con esta figura puede entenderse perfectamente, por qué se le llama simetría central (todos los puntos transformados se obtienen haciendo pasar líneas por el centro O). Decir por último, que las características de este movimiento son las mismas que las que tiene el giro. d) SIMETRÍA AXIAL: Podemos ver la simetría axial tomando un folio y doblándolo en torno a una línea que dibujemos sobre el mismo, que llamaremos eje (ver figura 12) (Fig. 12: ejemplos de simetría axial) Definición: se denomina simetría axial de eje e, al movimiento que verifica dos condiciones: a) El segmento que une a un punto cualquiera P y su transformado P, es ortogonal al eje de simetría. b) La distancia de un punto cualquiera P, y su transformado P al eje de simetría es la misma. A la simetría axial que mueve un punto P hasta la posición P, la representaremos con S(P)=P. 8

9 Características: 1.- Conserva la forma y el tamaño. 2.- Es un movimiento inverso (no conserva el sentido de giro Los puntos invariantes o dobles son el eje, cualquier recta perpendicular al eje y también, cualquier circunferencia centrada en el eje. ECUACIONES DE LOS MOVIMIENTOS MÁS IMPORTANTES: º = = (si fuese de -90º cambiaríamos el signo de ambas igualdades). º = = (para un giro de -180º no cambia el signo). = = = = = = 9

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro

Más detalles

Actividades recreativas para recordar a los vectores. 1) Representa en un eje de coordenadas las siguientes sugerencias:

Actividades recreativas para recordar a los vectores. 1) Representa en un eje de coordenadas las siguientes sugerencias: Actividades recreativas para recordar a los vectores 1) Representa en un eje de coordenadas las siguientes sugerencias: a) Dibuja un segmento y oriéntalo en sentido positivo. b) Dibuja un segmento y oriéntalo

Más detalles

Definición de vectores

Definición de vectores Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

Más detalles

Movimientos en el plano

Movimientos en el plano 7 Movimientos en el plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Manejar el concepto de vector como elemento direccional del plano. Reconocer los movimientos principales en el plano: traslaciones, giros

Más detalles

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8 Esta semana estudiaremos la definición de vectores y su aplicabilidad a muchas situaciones, particularmente a las relacionadas con el movimiento. Por otro lado, se podrán establecer las características

Más detalles

, y su resultado es igual a la suma de los productos de las coordenadas correspondientes. Si u = (u 1, u 2 ) y v = (v 1, v 2 ), = u1 v 1 + u 2 v 2

, y su resultado es igual a la suma de los productos de las coordenadas correspondientes. Si u = (u 1, u 2 ) y v = (v 1, v 2 ), = u1 v 1 + u 2 v 2 Los vectores Los vectores Distancia entre dos puntos del plano Dados dos puntos coordenados del plano, P 1 = (x 1, y 1 ) y P = (x, y ), la distancia entre estos dos puntos, d(p 1,P ), se calcula de la

Más detalles

open green road Guía Matemática TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS tutora: Jacky Moreno .cl

open green road Guía Matemática TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS tutora: Jacky Moreno .cl Guía Matemática TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS tutora: Jacky Moreno.cl 1. Transformaciones isométricas Las transformaciones geométricas están presentes en diversos campos de la actividad humana así como

Más detalles

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano 24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas

Más detalles

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS En una transformación isométrica: 1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura. 2) Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta). TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Más detalles

1.1 CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES. Definición de Magnitud

1.1 CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES. Definición de Magnitud 1.1 CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES Definición de Magnitud Atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente. También se entiende

Más detalles

De acuerdo con sus características podemos considerar tres tipos de vectores:

De acuerdo con sus características podemos considerar tres tipos de vectores: CÁLCULO VECTORIAL 1. ESCALARES Y VECTORES 1.1.-MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Existen magnitudes físicas cuyas cantidades pueden ser expresadas mediante un número y una unidad. Otras, en cambio, requieren

Más detalles

Transformaciones geométricas

Transformaciones geométricas Transformaciones geométricas Autores FERNANDEZ PEREZ-RENDON, ANTONIO LUIS NECULA, IOANA GABRIELA MARIN SANCHEZ, JUAN MANUEL GARRIDO VIZUETE, MARIA DE LOS ANGELES NAVARRO DOMINGUEZ, MARIA DE LOS ANGELES

Más detalles

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación

Más detalles

Capítulo 8: Movimientos en el plano y el espacio

Capítulo 8: Movimientos en el plano y el espacio 3º de ESO Capítulo 8: Movimientos en el plano y el espacio Autoras: Adela Salvador y María Molero Revisores: Javier Rodrigo y Sergio Hernández Ilustraciones: María Molero; Milagros Latasa; Banco de Imágenes

Más detalles

Unidad V: Integración

Unidad V: Integración Unidad V: Integración 5.1 Introducción La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral

Más detalles

CURSO BÁSICO DE FÍSICA MECÁNICA PROYECTO UNICOMFACAUCA TU PROYECTO DE VIDA

CURSO BÁSICO DE FÍSICA MECÁNICA PROYECTO UNICOMFACAUCA TU PROYECTO DE VIDA UNICOMFACAUCA TU DE VIDA Tabla de contenido... 2 PARTES DE UN VECTOR... 3 Notación... 5 Tipos de vectores... 5 Componentes de un vector... 6 Operaciones con vectores... 7 Suma de vectores... 7 Resta de

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn.

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn. 1. VECTORES INDICE 1.1. Definición de un vector en R 2, R 3 (Interpretación geométrica), y su generalización en R n...2 1.2. Operaciones con vectores y sus propiedades...6 1.3. Producto escalar y vectorial

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

La magnitud vectorial mas simple es el desplazamiento (cambio de posición de un punto a otro de una partícula o de un cuerpo)

La magnitud vectorial mas simple es el desplazamiento (cambio de posición de un punto a otro de una partícula o de un cuerpo) Existen ciertas magnitudes que quedan perfectamente determinadas cuando se conoce el nombre de una unidad y el numero de veces que se ha tomado.estas unidades se llaman escalares (tiempo, volumen, longitud,

Más detalles

TEMA II ÁLGEBRA VECTORIAL; FUNDAMENTOS. 2.1.- Definicion, notacion y clasificacion de los vectores.

TEMA II ÁLGEBRA VECTORIAL; FUNDAMENTOS. 2.1.- Definicion, notacion y clasificacion de los vectores. J.A DÁVILA BAZ - J. PAJÓN PERMUY CÁLCULO VECTORIAL 29 UNIDAD DIDÁCTICA I: CÁLCULO VECTORIAL. TEMA II ÁLGEBRA VECTORIAL; FUNDAMENTOS 2.1.- Definicion, notacion y clasificacion de los vectores. Un vector

Más detalles

ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos.

ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. ESTATICA: Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. TIPOS DE MAGNITUDES: MAGNITUD ESCALAR: Es una cantidad física que se especifica por un número y una unidad. Ejemplos: La temperatura

Más detalles

A.2. Notación y representación gráfica de vectores. Tipos de vectores.

A.2. Notación y representación gráfica de vectores. Tipos de vectores. Apéndice A: Vectores A.1. Magnitudes escalares y vectoriales Las magnitudes escalares son aquellas magnitudes físicas que quedan completamente definidas por un módulo (valor numérico) y la unidad de medida

Más detalles

GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO Nº 21

GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO Nº 21 SIGNTU: MTEMTI EN IOLOGI DOENTE: LI.GUSTO DOLFO JUEZ GUI DE TJO PTIO Nº ES: POFESODO Y LIENITU EN IOLOGI _PGIN Nº 4_ GUIS DE TIIDDES Y TJO PTIO Nº OJETIOS: Lograr que el lumno: Interprete la información

Más detalles

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define. VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman

Más detalles

Vectores: Producto escalar y vectorial

Vectores: Producto escalar y vectorial Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con

Más detalles

Unidad 4: Vectores. 4.1 Introducción. 4.2 Vectores: enfoque geométrico

Unidad 4: Vectores. 4.1 Introducción. 4.2 Vectores: enfoque geométrico Unidad 4: Vectores 4.1 Introducción En este capítulo daremos el concepto de vector, el cual es una herramienta fundamental tanto para la física como para la matemática. La historia de los vectores se remonta

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra

INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra ADVERTENCIA: manuscrito en estado de preparación muy preliminar, particularmente en lo que respecta a la secuencia temática, orden y terminación

Más detalles

Sistemas de vectores deslizantes

Sistemas de vectores deslizantes Capítulo 1 Sistemas de vectores deslizantes 1.1. Vectores. Álgebra vectorial. En Física, se denomina magnitud fsica (o simplemente, magnitud) a todo aquello que es susceptible de ser cuantificado o medido

Más detalles

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o. ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.

Más detalles

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff Seminario Universitario Material para estudiantes Física Unidad 2. Vectores en el plano Lic. Fabiana Prodanoff CONTENIDOS Vectores en el plano. Operaciones con vectores. Suma y producto por un número escalar.

Más detalles

Movimientos en el plano

Movimientos en el plano Movimientos en el plano TEORIA Vectores Concepto de vector. Coordenadas Un vector AB está determinado por dos puntos del plano, A(x1, y1) que es su origen y B(x 2,y 2 ) que es su extremo. Las coordenadas

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

VECTORES. Abel Moreno Lorente. February 3, 2015

VECTORES. Abel Moreno Lorente. February 3, 2015 VECTORES Abel Moreno Lorente February 3, 015 1 Aspectos grácos. 1.1 Deniciones. Un vector entre dos puntos A y B es el segmento de recta orientado que tiene su origen en A y su extremo en B. A este vector

Más detalles

1.3 Concepto de vector fijo, ligado o localizado

1.3 Concepto de vector fijo, ligado o localizado Capítulo 1 VECTORES 1.1 Magnitud escalar Magnitud escalar es aquella cuya determinación solo requiere el conocimiento de un número real y de una unidad de medida. El número indica la cantidad de veces

Más detalles

1. ESCALARES Y VECTORES

1. ESCALARES Y VECTORES 1. ESCLRES Y VECTORES lgunas magnitudes físicas se especifican por completo mediante un solo número acompañado de su unidad, por ejemplo, el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad, etc. Estas magnitudes

Más detalles

A continuación voy a colocar las fuerzas que intervienen en nuestro problema.

A continuación voy a colocar las fuerzas que intervienen en nuestro problema. ísica EL PLANO INCLINADO Supongamos que tenemos un plano inclinado. Sobre él colocamos un cubo, de manera que se deslice sobre la superficie hasta llegar al plano horizontal. Vamos a suponer que tenemos

Más detalles

6. VECTORES Y COORDENADAS

6. VECTORES Y COORDENADAS 6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES

Más detalles

Capítulo 9 Vectores en el espacio

Capítulo 9 Vectores en el espacio Capítulo 9 Vectores en el espacio Introducción El concepto de vector es muy amplio y su aplicación se evidencia en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un elemento de una

Más detalles

COORDENADAS CURVILINEAS

COORDENADAS CURVILINEAS CAPITULO V CALCULO II COORDENADAS CURVILINEAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un

Más detalles

TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA Nueva del Carmen, 35. 470 Valladolid. Tel: 983 9 63 9 Fax: 983 89 96 TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos / Criterios de evaluación O.7. Concepto y propiedades de los vectores O.7. Operaciones con vectores:

Más detalles

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos Capítulo Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos. Espacio afín y espacio afín métrico Definición. El espacio afín (tridimensional) está constituido por los siguientes elementos. El espacio

Más detalles

GUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I ASPECTOS PRELIMINARES SUMA DE VECTORES

GUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I ASPECTOS PRELIMINARES SUMA DE VECTORES GUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I ASPECTOS PRELIMINARES SUMA DE VECTORES SANTIAGO DE CALI UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI DEPARTAMENTO DE LABORATORIOS SUMA DE VECTORES OBJETIVOS Usar la mesa de fuerzas

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

Vectores. Observación: 1. Cantidades vectoriales.

Vectores. Observación: 1. Cantidades vectoriales. Vectores. 1. Cantidades vectoriales. Los vectores se definen como expresiones matemáticas que poseen magnitud y dirección, y que se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Los vectores se representan,

Más detalles

Javier Junquera. Vectores

Javier Junquera. Vectores Javier Junquera Vectores Cómo describir la posición de un punto en el espacio: Sistemas de coordenadas Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de: Un punto de referencia fijo,

Más detalles

CORRIENTE ALTERNA. Fig.1 : Corriente continua

CORRIENTE ALTERNA. Fig.1 : Corriente continua CORRIENTE ALTERNA Hasta ahora se ha considerado que la corriente eléctrica se desplaza desde el polo positivo del generador al negativo (la corriente electrónica o real lo hace al revés: los electrones

Más detalles

Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas

Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas. Vectores y puntos en el plano. Coordenadas.... Operaciones con vectores... 5.. Suma y resta de vectores... 5.. Producto de un número real por un vector....

Más detalles

9 Geometría. analítica. 1. Vectores

9 Geometría. analítica. 1. Vectores 9 Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C

Más detalles

VECTORES EN EL PLANO

VECTORES EN EL PLANO VECTORES EN EL PLANO VECTOR: vectores libres Segmento orientado, con un origen y extremo. Módulo: es la longitud del segmento orientado, es un número positivo y su símbolo es a Dirección: es la recta que

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

8 Geometría. analítica. 1. Vectores

8 Geometría. analítica. 1. Vectores Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO ÍNDICE VECTORES EN EL PLANO... 3 Vector Fijo... 3 VECTOR LIBRE... 3 Operaciones con Vectores... 3 Suma de vectores... 3 Producto de un número por

Más detalles

GRUPOS PUNTUALES. 4.- Si un plano de simetría contiene un eje de orden n, existen n planos que contienen el eje. formando entre ellos ángulos de

GRUPOS PUNTUALES. 4.- Si un plano de simetría contiene un eje de orden n, existen n planos que contienen el eje. formando entre ellos ángulos de GRUPOS PUNTUALES Existen algunas relaciones entre elementos de simetría que pueden ser útiles a la hora de deducir cuales son los conjuntos de estos que forman grupo. 1.- Todos los elementos de simetría

Más detalles

8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

8 GEOMETRÍA ANALÍTICA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCICIOS PROPUESTOS 8. Las coordenadas de los vértices de un rectángulo son A(, ); B(, 5); C(6, 5), y D(6, ). Halla las coordenadas y representa los vectores AB, BC, CD y DA. Qué

Más detalles

1. SISTEMAS DE FUERZAS

1. SISTEMAS DE FUERZAS 1. SISTEMS DE UERZS 1.1 MGNITUDES VECTRILES 1.1.1 Unidades Toda magnitud, sea escalar o vectorial, posee unidades, que constituen una información fundamental siempre deben indicarse (cuánto de qué). Sin

Más detalles

Vectores en el espacio

Vectores en el espacio Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

Tema 0. REPASO. Javier Rodríguez Ruiz. Curso 2013-2014

Tema 0. REPASO. Javier Rodríguez Ruiz. Curso 2013-2014 Tema 0. REPASO Javier Rodríguez Ruiz Curso 2013-2014 1. Afirmaciones científicas 1.1. Los tres tipos de afirmaciones En toda teoría científica utilizamos afirmaciones que siempre consideraremos ciertas.

Más detalles

Tema 9: ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO. MOVIMIENTOS RÍGIDOS

Tema 9: ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO. MOVIMIENTOS RÍGIDOS Tema 9: ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO. MOVIMIENTOS RÍGIDOS Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría I. Curso

Más detalles

UNIDAD 4. Transformaciones isométricas (Primera parte)

UNIDAD 4. Transformaciones isométricas (Primera parte) Matemática UNIDD 4. Transformaciones isométricas (Primera parte) 1 Medio GUÍ N 1 INTRODUCCIÓN El artista holandés Maurits Cornelis Escher (1898 1972) es considerado uno de los artistas gráficos más famosos

Más detalles

SEGUNDA EDICIÓN DEL CURSO DE CAPACITACION EN MATEMATICA PARA PROFESORES DE PRIMARIA

SEGUNDA EDICIÓN DEL CURSO DE CAPACITACION EN MATEMATICA PARA PROFESORES DE PRIMARIA SEGUNDA EDICIÓN DEL CURSO DE CAPACITACION EN MATEMATICA PARA PROFESORES DE PRIMARIA MODULO III - GEOMETRIA ENCUENTRO NÚMERO TRES El Teorema de Thales y sus Aplicaciones 03 DE AGOSTO DE 2014 MANAGUA FINANCIADO

Más detalles

VECTORES COORDENADOS (R n )

VECTORES COORDENADOS (R n ) VECTORES COORDENADOS (R n ) Cómo puede ser representado un número Real? Un número real puede ser representado como: Un punto de una línea recta. Una pareja de números reales puede ser representado por

Más detalles

Álgebra Vectorial. Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1

Álgebra Vectorial. Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1 Álgebra Vectorial Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1 Indice. 1. Magnitudes Escalares y Vectoriales. 2. Vectores. 3. Suma de Vectores. Producto de un vector por un escalar.

Más detalles

REPASO DE VECTORES GRM Semestre 2013-1

REPASO DE VECTORES GRM Semestre 2013-1 REPASO DE VECTORES GRM Semestre 2013-1 Basado en material de Serway-Jewett, Physics, Chapters 3, 6,10; Volume 1. Bauer-Westfall, Fisica para ingeniería y ciencias, caps. 1, 5 y 10, Volumen 1 Tipler-Mosca,

Más detalles

1.1Estándares de longitud, masa y tiempo

1.1Estándares de longitud, masa y tiempo CLASES DE FISICA 1 PRIMER PARCIAL 1) UNIDADES DE MEDIDA 2) VECTORES 3) MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION 4) MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES 5) MOVIMIENTO RELATIVO FÍSICA Y MEDICIONES Al igual que todas las demás

Más detalles

Campo y potencial eléctrico de una carga puntual

Campo y potencial eléctrico de una carga puntual Campo y potencial eléctrico de una carga puntual Concepto de campo Energía potencial Concepto de potencial Relaciones entre fuerzas y campos Relaciones entre campo y diferencia de potencial Trabajo realizado

Más detalles

Vectores. Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales.

Vectores. Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales. Cantidades vectoriales escalares Vectores Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales. Una cantidad escalar es la que está especificada completamente por

Más detalles

TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA. 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO)

TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA. 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO) TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO) Son dos instrumentos de plástico transparente que se suelen usar de forma conjunta. La escuadra tiene forma de triángulo

Más detalles

VECTORES. Por ejemplo: la velocidad de un automóvil, o la fuerza ejercida por una persona sobre un objeto.

VECTORES. Por ejemplo: la velocidad de un automóvil, o la fuerza ejercida por una persona sobre un objeto. Un vector v es un segmento orientado. VECTORES Se representa gráficamente por medio de una flecha, por ejemplo: Todos los vectores poseen las siguientes características: Punto de aplicación: es el lugar

Más detalles

a. Dibujar los paralelogramos completos, señalar los vértices con letras.

a. Dibujar los paralelogramos completos, señalar los vértices con letras. PRACTICO DE VECTORES 1. Dada la siguiente figura, se pide determinar vectores utilizando los vértices. Por ejemplo, el vector, el vector, etcétera. Se pide indicar a. Tres vectores que tengan la misma

Más detalles

OSCILACIONES ARMÓNICAS

OSCILACIONES ARMÓNICAS Tema 5 OSCILACIONES ARMÓNICAS 5.1. Introducción. 5.. Movimiento armónico simple (MAS). 5.3. Cinemática y dinámica del MAS. 5.4. Fuerza y energía en el MAS. 5.5. Péndulo simple. MAS y movimiento circular

Más detalles

LONGITUD MASA TIEMPO AREA VOLUMEN, ETC AREA VOLUMEN VELOCIDAD ACELERACION, ETC LONGITUD MASA TIEMPO, ETC DESPLAZAMIENTO VELOCIDAD ACELERACION, ETC

LONGITUD MASA TIEMPO AREA VOLUMEN, ETC AREA VOLUMEN VELOCIDAD ACELERACION, ETC LONGITUD MASA TIEMPO, ETC DESPLAZAMIENTO VELOCIDAD ACELERACION, ETC MAGNITUDES FISICAS SEGÚN SU ORIGEN SEGÚN SU NATURALEZA FUNDAMENTALES DERIVADAS ESCALARES VECTORIALES LONGITUD MASA TIEMPO, ETC AREA VOLUMEN VELOCIDAD ACELERACION, ETC LONGITUD MASA TIEMPO AREA VOLUMEN,

Más detalles

Objetivos específicos de aprendizaje

Objetivos específicos de aprendizaje Introducir un cambio en la metodología de la enseñanza de las Matemáticas en general, y de la geometría en particular, con la ayuda de las NTIC, consiguiendo un mayor dinamismo en las clases, que repercuta

Más detalles

Transformaciones Isométricas

Transformaciones Isométricas Introducción Transformaciones Isométricas Actividad: En los siguientes pares de transformaciones, reconoce aquellas en las que se mantiene la forma y el tamaño. Una transformación de una figura geométrica

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Geometría Tridimensional

Geometría Tridimensional Capítulo 4 Geometría Tridimensional En dos dimensiones trabajamos en el plano mientras que en tres dimensiones trabajaremos en el espacio, también provisto de un sistema de coordenadas. En el espacio,

Más detalles

Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones

Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones 1.- los polígonos. Un polígono es un trozo de plano limitado por una línea poligonal (sin curvas) cerrada. Es un polígono No son polígonos Hay dos clases de polígonos:

Más detalles

INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS

INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS El presente tema se dedicará al estudio de los conceptos de vectores y números complejos. Se comenzará con un pequeño estudio de los vectores del plano y sus propiedades

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín CAPÍTULO II 4 El grupo afín En geometría clásica, antes de la aparición de los espacios vectoriales, se hablaba de puntos en lugar de vectores. Para nosotros serán términos sinónimos salvo que, cuando

Más detalles

UNIDAD 11. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (I).

UNIDAD 11. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (I). UNIDAD 11. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (I). Al final deberás haber aprendido... El examen tratará sobre... Describir los cuerpos geométricos del espacio e identificar sus elementos. Deducir las fórmulas para

Más detalles

5 Geometría analítica plana

5 Geometría analítica plana Solucionario Geometría analítica plana ACTIVIDADES INICIALES.I. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(, ) y B(8, ). El punto medio es M(, 8)..II. Dibuja un triángulo isósceles

Más detalles

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta PROBLEMAS MÉTRICOS Página 3 REFLEXIONA Y RESUELVE Diagonal de un ortoedro Halla la diagonal de los ortoedros cuyas dimensiones son las siguientes: I) a =, b =, c = II) a = 4, b =, c = 3 III) a =, b = 4,

Más detalles

Qué son los cuerpos geométricos?

Qué son los cuerpos geométricos? Qué son los cuerpos geométricos? Definición Los cuerpos geométricos son regiones cerradas del espacio. Una caja de tetrabrick es un ejemplo claro de la figura que en matemáticas se conoce con el nombre

Más detalles

INTRODUCCIÓN ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL Parte de la matemática útil para físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos. Permite presentar mediante las ecuaciones de modelo matemático diversas situaciones

Más detalles

Unidad 9: Vectores. 1. Sistemas de coordenadas y lugares geométricos. 1.1. Introducción.

Unidad 9: Vectores. 1. Sistemas de coordenadas y lugares geométricos. 1.1. Introducción. Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Departamento de Matemática Escuela de Ciencias Exactas y Naturales GEOMETRÍA I Licenciatura en Matemática - Profesorado en Matemática - Año 2014 Equipo

Más detalles

UNIDAD N º 6: Volumen (1ª parte)

UNIDAD N º 6: Volumen (1ª parte) UNIDAD N º 6: Volumen (1ª parte) De manera intuitiva, el volumen de un objeto es el espacio que él ocupa. El procedimiento a seguir para medir el volumen de un objeto dependerá del estado en que se encuentre:

Más detalles

Electrotecnia General Tema 8 TEMA 8 CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE O UNA CARGA MÓVIL

Electrotecnia General Tema 8 TEMA 8 CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE O UNA CARGA MÓVIL TEMA 8 CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE O UNA CARGA MÓVIL 8.1. CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN ELEMENTO DE CORRIENTE Una carga eléctrica en movimiento crea, en el espacio que la rodea, un campo magnético.

Más detalles

MECANICA CLASICA Segundo cuatrimestre de 2007. Cinemática y dinámica del cuerpo rígido, ángulos de Euler, Ecuaciones de Euler.

MECANICA CLASICA Segundo cuatrimestre de 2007. Cinemática y dinámica del cuerpo rígido, ángulos de Euler, Ecuaciones de Euler. MECANICA CLASICA Segundo cuatrimestre de 2007. Cinemática y dinámica del cuerpo rígido, ángulos de Euler, Ecuaciones de Euler. Problema 1: Analizar los siguientes puntos. a) Mostrar que la velocidad angular

Más detalles

Representación de un Vector

Representación de un Vector VECTORES Vectores Los vectores se caracterizan por tener una magnitud, expresable por un número real, una dirección y un sentido. Un ejemplo de vectores son los desplazamientos. Otro ejemplo de vectores

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Definiciones básicas Vectores 1.1. Magnitudes escalares y vectoriales. Hay magnitudes que quedan determinadas dando un solo número real: su medida. Por ejemplo:

Más detalles

Matrices y transformaciones

Matrices y transformaciones Matrices transformaciones La simetría corre por nuestras venas. Esta imagen representa el núcleo central del grupo hemo, el centro activo de la hemoglobina que oigena nuestras células. Fuente: http://www.cienciateca.com/simetria.html

Más detalles

TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A:

TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A: TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A: Vectores Conocer y utilizar la operatoria con vectores. Traslaciones Homotecias Coordenadas cartesianas en el plano y el espacio Rectas y planos en el espacio Ecuaciones cartesianas

Más detalles

TEMA 7 VECTORES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 7 VECTORES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 7 VECTORES MATEMÁTICAS I º Bach. TEMA 7 VECTORES 7. LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES DEFINICIÓN Un ector es un segmento orientado. Un ector AB queda determinado por dos puntos, origen A y extremo B.

Más detalles

Definición operacional, independientemente de cualquier sistema de referencia

Definición operacional, independientemente de cualquier sistema de referencia Carácter de las magnitudes físicas: Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores unitarios, Operaciones con vectores. No todas las magnitudes físicas tienen las mismas características matemáticas El carácter

Más detalles

Actividades con GeoGebra

Actividades con GeoGebra Conectar Igualdad - "Netbooks Uno a Uno" Actividades con GeoGebra Nociones básicas, rectas Silvina Ponce Dawson Introducción. El GeoGeobra es un programa que permite explorar nociones matemáticas desde

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 4 La recta en el plano Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa

Más detalles