TRANSFORMACIONES EN EL PLANO (3º E.S.O.) I.E.S. Cartuja 2010/2011 LAS TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

Transcripción

1 1.-INTRODUCCIÓN: LAS TRANSFORMACIONES EN EL PLANO 2.-LOS VECTORES: HERRAMIENTA CON QUE SE EXPRESA LA NATURALEZA a) Definición. b) Operaciones e interpretación geométrica. c) Definición de un vector a partir de 2 puntos. d) Clasificación de los vectores. 3.-CLASIFICACIÓN Y CARACTERÍSTICAS DE LOS MOVIMIENTOS a) La traslación. b) El giro. c) La simetría central. d) La simetría axial. e) La homotecia y sus elementos invariantes. 4.-COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS a) Composición de traslaciones. b) Composición de giros. Del mismo centro De distinto centro. c) Composición de simetrías centrales. d) Composición de simetrías respecto de una recta. Ejes paralelos. Ejes perpendiculares. Ejes oblicuos. e) Estudio de mosaicos y frisos. INTRODUCCIÓN: LAS TRANSFORMACIONES EN EL PLANO La geometría nació en Egipto debido a razones prácticas. Cuando crecía el Nilo, nade sabía cuáles eran sus tierras, de manera que había que inventar algún método para medir la tierra (geo=tierra metría=medida). Más tarde, Tales de Mileto (uno de los siete sabios de grecia) intentaba justificar los cálculos que realizaron los egipcios, dando lugar a una disciplina con carácter deductivo. Para los griegos la matemática toma tintes filosóficos artísticos y se sirven de entes perfectos como la circunferencia o la esfera para representar el universo que les rodea (explican el movimiento de los astros). Euclides, Apolonio y Arquímedes fueron grandes matemáticos de la época (s III a.c.). En especial, destacar la labor de Euclides que con su obra Elementos de geometría, consigue caracterizar a través de axiomas el espacio físico donde nos movemos. Esta obra ha sido utilizada como base del estudio de la geometría en toda europa hasta el siglo XIX (22 siglos) y de la cual se dice que es de la que más ejemplares se han editado después de la Santa Biblia. 1

2 En el siglo XV y XVI Descartes y Fermat funden la geometría con el análisis para dar lugar a la geometría analítica, que cobra especial importancia en el estudio de la Mecánica y la óptica (Newton, Leibniz, Pascal, Huygens). Nosotros nos vamos a centrar en el estudio de la geometría en el plano, en particular estudiaremos las transformaciones geométricas. Durante la historia, el hombre ha hecho numerosas construcciones de carácter geométrico (dólmenes, arquitectura, decoración, textil romano, filigrana de los libros ), estas figuras presentan una característica fundamental y es que se repiten de acuerdo con cierto orden (traslaciones, giros, simetrías) formando frisos y mosaicos. Ejemplos en nuestra Andalucía son la Alhambra de Granada, la Giralda de Sevilla o la mezquita de Córdoba (Además de los monumentos de carácter religioso y palacios edificados a lo largo y ancho de la geografía andaluza). Las simetrías no sólo aparecen en el arte, también lo hacen en la naturaleza, así por ejemplo tenemos el cuerpo humano, los animales (como las mariposas y las aves, los huevos de gusanos), e incluso las plantas (como la hiedra densa o el cactus). Una transformación es una aplicación (afín y de carácter biyectiva) en el plano que nos transforma cada uno de los puntos del plano para darnos nuevos puntos también en el plano. Se puede dividir en varios tipos: A) Las que conservan La forma pero no las dimensiones (semejanzas y homotecias). La forma y las dimensiones: movimientos (isometrías). B) Las que no conservan (sombras). Los movimientos admiten a su ve una doble clasificación: 1) Directos: conservan el sentido de giro. 2) No directos: no conservan. Dentro de las isometrías, estudiaremos la traslación, el giro y la simetría en torno a un punto (central) y en torno a un eje (axial) así como la composición de ellas. A lo largo de la historia, hemos encontrado muestras de carácter geométrico utilizadas por el hombre: hileras de dólmenes prehistóricos (Stonehenge), decoraciones pintadas por egipcios, bandas esculturales de los libros medievales. En todos estos ejemplos aparecen un motivo o figura que se repite con cierto orden y periodicidad, una vez realizada sobre ella una traslación, giro o simetría de cualquier tipo. En las construcciones de frisos y mosaicos, se cambian lo que denominamos motivos mínimos de diferentes formas que tienen como objetivo la decoración en el plano. En Andalucía, encontramos muy diversos e importantes manifestaciones de este tipo de decoración geométrica en el legado artístico romano e hispano musulmán: Alhambra de Granada, Mezquita de Córdoba, ruinas Itálicas en el Aljarafe Sevillano, etc. 2

3 Por último, decir que la geometría no solo aparece en diseños ornamentales, también se encuentra presente en la naturaleza. Observar la simetría del cuerpo animal, la piel de las serpientes, los panales de las ovejas, las alas de mariposa VECTORES: LA HERRAMIENTA CON QUE SE EXPRESA LA NATURALEZA a) DEFINICIÓN: Vamos a suponer que queremos ir desde una isla A a otra B (ver fig.1). Por conveniencia suponemos que la isla A, está centrada en un sistema de referencia, y por lo tanto, sus coordenadas son A=(0,0). Si queremos llegar a la isla B, debemos tomar varias decisiones: La dirección, en nuestro caso Noreste. El sentido de nuestro movimiento que será desde A hasta B. (fig. 1: para ir desde la isla A hasta la B, necesitamos un vector) El módulo o magnitud de la velocidad. Así, por ejemplo, si la distancia entre A y B es 6Km y queremos llegar antes de 2h, la velocidad (en módulo) debería ser al menos de 3Km/h. Una vez que llegamos a B (en un tiempo inferior a 2h, queremos volver muy rápido, es decir, como máximo, quiero tardar h), debemos de tomar las siguientes decisiones: Dirección de vuelta: N-E El sentido: el contario al de ida. El módulo: 24Km/h. Definimos un vector, como una magnitud en la que además defiinimos la dirección y el sentido. Es conveniente distinguir entre una magnitud escalar (que es un número acompañado de una unidad de medida) y una magnitud vectorial (que es un vector). La representación de un vector se realiza de acuerdo con la figura, como si fuese un segmento sobre el que dibujamos una flecha que nos indica el sentido. Un vector lo escribimos con una letra en minúscula sobre la que colocamos una flecha y viene dado mediante un par de números que representan las coordenadas del vector en el plano. 3

4 Observa el siguiente ejemplo: (ver fig.2) Dirección (3,5) =(3,5) Módulo = Suma: Sentido: el positivo tanto de la componente x como la y. b) OPERACIONES CON VECTORES: Sea =(, ) =(, ) definimos la suma como Ejemplo: 2.- Producto por un escalar: + =( +, + ) =(1,2) =( 5,3) entonces + =( 4,5) (fig 2: representación de un vector) Sea α un número cualquier y =(, ), definimos el producto por un escalar como Ejemplo: α. =(α.,α. ) α=3 y =(1,2) entonces α. =3.(1,2)=(3,6) Veamos la interpretación geométrica de ambas operaciones. a) Suma (fig.3): supongamos que tenemos dos vectores =(2,2.5) =(0.5,6) al sumarlos componente a componente tendremos + =(2.5,8.5) (fig. 3: interpretación geométrica de la suma, los vectores forman un paralelogramo). Por lo tanto y según la figura, pondremos los dos vectores en el origen de coordenadas y dibujaremos una línea paralela a cada uno de ellos que pase por el extremo del otro vector, dando lugar a un paralelogramo cuya diagonal es la suma. 2 1 La longitud de un vector coincide con la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma con el sistema de referencia y por lo tanto, se calcula con el teorema de Pitágoras: El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es la suma del cuadrado de cada uno de los catetos 2 La razón del porqué da un paralelogramo, es sencilla, primero dibujamos el vector moviéndonos dos cuadritos a la derecha, y 2.5 hacia arriba, luego, para sumarle el, partimos del extremo de, y nos 4

5 Es importante darse cuenta que se pueden sumar dos vectores si ponemos a uno a continuación del otro. (Fig.4) (Fig. 4: suma de dos vectores) b) Producto (fig.5): sea un vector =(2,2) y multiplicamos por 2, obtenemos =(4,4) por lo que la longitud se ha duplicado. 3 (Fig. 5: interpretación geométrica del producto de un vector por un número). c) DEFINICIÓN DE UN VECTOR A PARTIR DE DOS PUNTOS: Necesitamos 2 puntos para definir el segmento que une a ambos, así como su orientación. Veámoslo con un ejemplo (ver fig.6). Sean los puntos A=(2,3) y B=(7,5). Es claro que las coordenadas del punto A coinciden con las del vector =(2,3) y las de B con las del vector =(7,5). Vamos a obtener el vector cuyo sentido irá desde A hasta B. Para calcularlo, utilizando lo que hemos visto de la suma de vectores tenemos: (Fig. 6: representación del vector AB definido por dos puntos) Por lo que + = = =(5,2) movemos 0.5 unidades a la derecha y 6 hacia arriba (también se puede hacer al revés, obteniendo el paralelogramo). 3 Nota: sean tres vectores,, entonces se cumplen las siguientes propiedades: 1.- Conmutativa: + = Asociativa: + + =( + )+ 3.- Elemento neutro 0 + = +0 = 4.- Elemento opuesto de es Distributiva respecto del producto por un escalar: α. ( + )= α +α 5

6 d) CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES: De acuerdo con el apartado anterior, vemos que los vectores de la figura 7 son equivalentes, aún cuando sus orígenes están desplazados. Esto nos permite clasificar los vectores de la forma siguiente a) Libres: conjunto de vectores de igual módulo, sentido y dirección pero que no tienen igual punto de aplicación (no tienen igual origen). También los llamamos equipolentes. 4 (Fig. 7: vectores libres) b) Fijos: aquellos vectores que están asociados invariablemente a un punto de aplicación u origen. Por lo tanto, además de la dirección, módulo y sentido, necesitamos conocer su origen. c) Opuestos: son vectores que teniendo el mismo módulo y dirección, tienen distinto signo. CLASIFICACIÓN Y CARACTERÍSTICAS DE LOS MOVIMIENTOS: a) TRASLACIÓN: Supongamos una persona que se va moviendo y la fotografiamos en dos instantes (Fig. 8). Entre esos dos instantes se desplaza 2m respecto del árbol. Teniendo en cuenta la definición de vector, es fácil entender que toda traslación es equivalente a un vector. El vector que caracteriza esta traslación es de la forma =(2,0). Observa que todo el cuerpo de la persona se desplazan 2m, de manera que el vector se aplica en todos los puntos del cuerpo, por lo que es un vector libre. (Fig.8 Traslación de 2m de la corredora respecto del árbol) Definición: se denomina traslación a un movimiento caracterizado por un vector libre. Se representará con la letra T, de tal forma que aplicada a un punto P nos dé el P, lo que se escribe como T(P)=P 4 Además, existen otras denominaciones a) Deslizantes: cuando se aplican a lo largo de la línea que determina su dirección. b) Axiales: en Física, son vectores ligados a efectos de rotación y giro. 6

7 Características: 1. Conserva forma y dimensiones. 2. Directo (conserva el sentido de giro). 3. No tiene puntos invariantes (salvo si coincide con la dirección de la recta). 4. Para encontrar la transformación de cualquier figura, aplicamos el vector (que es libre) a cada uno de los puntos de la figura. Así, por ejemplo, (ver figura 9) b) GIRO: (Fig. 9: forma de aplicar una traslación) Supongamos una rueda suspendida sobre un eje (ver fig. 10). En un instante determinado aplicamos una fuerza tangencial a la misma de tal forma que observamos que los radios de la rueda empiezan a moverse. Si realizamos dos fotografías instantáneas, vemos que el radio ha descrito un ángulo α. Tal movimiento descrito por el ángulo se le denomina giro. (Fig. 10: ilustración de un giro) Definición: un giro de centro o y ángulo α es un movimiento, que hace corresponder a un punto P otro P tal que = y =α Se representará con la letra ( )= Características: 1.- Conserva forma y dimensiones. 2.- Conserva el sentido de giro (directo). 3.- d(o,p)=d(o,p )=R (en donde R es el radio de giro, que permanece constante, es decir que no estira ni encoge a las figuras). 4.- El centro del giro (donde pincharíamos con el compás) es un punto que no se mueve, por lo tanto, permanece invariante tras el giro. Una de las características de los giros, es el centro de giro, que se define como el número de rotaciones que se le pueden hacer a una figura, para que permanezca invariante. Por ejemplo, el hexágono de la figura presenta invarianza bajo los giros de 60º, 120º, 180º, 240º, 300º y 360º. De manera que su centro de giro es 6. 7

8 c) SIMETRÍA CENTRAL: Es un movimiento que tiene lugar cuando aplicamos un giro de 180º. Es importante observar que para realizar una simetría central no necesitamos medir el ángulo con un transportador, porque ya es conocido (es llano). Veamos un ejemplo (Fig.11): (Fig. 11: transformación de dos puntos por medio de una simetría central) Con esta figura puede entenderse perfectamente, por qué se le llama simetría central (todos los puntos transformados se obtienen haciendo pasar líneas por el centro O). Decir por último, que las características de este movimiento son las mismas que las que tiene el giro. d) SIMETRÍA AXIAL: Podemos ver la simetría axial tomando un folio y doblándolo en torno a una línea que dibujemos sobre el mismo, que llamaremos eje (ver figura 12) (Fig. 12: ejemplos de simetría axial) Definición: se denomina simetría axial de eje e, al movimiento que verifica dos condiciones: a) El segmento que une a un punto cualquiera P y su transformado P, es ortogonal al eje de simetría. b) La distancia de un punto cualquiera P, y su transformado P al eje de simetría es la misma. A la simetría axial que mueve un punto P hasta la posición P, la representaremos con S(P)=P. 8

9 Características: 1.- Conserva la forma y el tamaño. 2.- Es un movimiento inverso (no conserva el sentido de giro Los puntos invariantes o dobles son el eje, cualquier recta perpendicular al eje y también, cualquier circunferencia centrada en el eje. ECUACIONES DE LOS MOVIMIENTOS MÁS IMPORTANTES: º = = (si fuese de -90º cambiaríamos el signo de ambas igualdades). º = = (para un giro de -180º no cambia el signo). = = = = = = 9