SUPERFICIES. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una

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1 SUPERFICIES El objetivo de este tema es el estudio de superficies regulares en el espacio. Definiremos de forma rigurosa lo que es una superficie, veremos formas de expresar una superficie, esencialmente mediante ecuaciones paramétricas o implícitas. También clasificaremos los puntos de una superficies según que sean regulares o singulares. Además construiremos el vector normal a la superficie en un punto, y con él la recta normal en ese punto. El sentido del vector normal permite fijar la orientación, cuando la curva es orientable. Esta distinción hay que hacerla, pues existen curvas no orientables, como la banda de Möbius. De hecho, la clasificación más elemental e importante de superficies es en orientables y no orientables. Sólo trabajaremos con superficies orientables. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una ecuación implícita. Definimos la curva como la imagen de una parametrización cuyo dominio era un intervalo Γ I γ I γ Γ Para una superificie consideraremos la misma definición cuyo dominio es un subconjunto de R 2. Universidad Antonio de Nebrija 1 Superficies

2 S Φ D Definición.- Una superficie en el espacio es una aplicación continua φ : D R 2 R 3 (u,v) φ(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) A la aplicación φ se le llama parametrización de la superficie y las ecuaciones: x = x(u,v) φ(u,v) = y = y(u,v),(u,v) D z = z(u,v) son las ecuaciones paramétricas de la superficie. Nos referiremos indistintamente a la parametrización o a las ecuaciones paramétricas, pues en esencia son lo mismo. Denotamos por S la gráfica de la curva, es decir, el conjunto de puntos: S = {(x,y,z) R 3 (x,y,z) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)), (u,v) D} Abusando de la notación, identificamos la superficie Φ con su gráfica S, de forma que a la gráfica de la parametrización también la llamamos superficie, y dos parametrizaciones con la misma gráfica consideraremos que son la misma superificie. Obsérvese que S = {(x,y,z) (x,y,z) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)), (u,v) D}, por lo tanto una superficie se describe siempre a través de dos parámetros u,v. Universidad Antonio de Nebrija 2 Superficies

3 Ejemplo.- Consideremos el plano coordenado xy de R 3. Es imagen de la aplicación φ : R 2 R 3, φ(u,v) = (u,v,0). x(u,v) = u y(u,v) = v z(u,v) = 0, u,v R Ejemplo.- La esfera unidad de R 3 es imagen de la aplicación: [ φ : [0,2π] π 2, π ] R 2 R 3, r(u,v) = (cosucosv,senucosv,senv) 2 Unas ecuaciones paramétricas de la esfera son: x(u,v) = cosucosv y(u,v) = senucosv z(u,v) = senv, 0 u 2π π 2 v π 2 Ejemplo.- El cilindro circular de radio 1 es imagen de la aplicación: φ : [0,2π] R R 2 R 3, r(u,v) = (cosu,senu,v) Unas ecuaciones paramétricas del cilindro son: x(u,v) = cosu y(u,v) = senu z(u,v) = v, u [0,2π] v (, ) Universidad Antonio de Nebrija 3 Superficies

4 Definición.- Sea S una superficie tal que existe una función F(x,y,z) verificando S = {(x,y,z) R 3 F(x,y,z) = 0} entonces se dice que F(x,y,z) = 0 es una ecuación implícita de S en R 3. Ejemplo.- El plano coordenado xy de R 3 S (u,v,0), u,v R, tiene una ecuación implícita: z = 0. Ejemplo.- La esfera unidad de R 3 S (cosucosv,senucosv,senv), u [0,2π], v [ π 2, π 2], tiene una ecuación implícita: x 2 +y 2 +z 2 = 1. Ejemplo.- El cilindro circular de radio 1 S (cosu,senu,v), u [0,2π], v (, ), tiene una ecuación implícita x 2 +y 2 = 1. PUNTOS SINGULARES Y REGULARES Igual que pasaba con las curvas, podemos dar dos definiciones de punto singular atendiendo a que la superficie esté expresada mediante ecuaciones paramétricas o implícitas: A) Si la superficie S está expresada en ecuaciones paramétricas, S φ(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)), u,v D Definición.- Sea (u 0,v 0 ) D se dice que P 0 = φ(u 0,v 0 ) es regular para la parametrización φ, si φ(t) es de clase C 1 cerca de (u 0,v 0 ) y rg x u (u 0,v 0 ) x v (u 0,v 0 ) y u (u 0,v 0 ) y v (u 0,v 0 ) z u (u 0,v 0 ) z v (u 0,v 0 ) = 2 En caso contrario se dice que P 0 es singular para dicha parametrización. B) Si la curva S está dada en ecuaciones implícitas, S = {F(x,y,z) = 0}: Definición.- Un punto P 0 S se dice regular si F es de clase C 1 cerca de P 0 y el rango de JF(P 0 ) es máximo. es decir: ( F JF(P 0 ) = x (P 0), F y (P 0), F ) z (P 0) = (0,0,0) Universidad Antonio de Nebrija 4 Superficies

5 En caso contrario se dice que P 0 es singular. Como sucedía con las curvas, estas definiciones no son equivalentes. La primera depende de la parametrización, y si un punto es singular para la segunda, lo será también para la primera, así que en este sentido la mejor definición es la segunda. Ejemplo.- Consideramos el cilindro parabólico x = y 2. La función F(x,y,z) = y 2 x es la que da lugar a la ecuación implícita. Calculamos su matriz jacobiana: JF(x,y,z) = ( 1,2y,0) 0 Así que todos los puntos de S son regulares. CAMBIO DE PARÁMETRO Si tenemos una superficie S podemos parametrizarla de distintas formas, es decir, podemos encontrar varias parametrizaciones φ que tienen la misma imagen, S. Ejemplo.- Consideremos el tronco de cono x 2 + y 2 = z 2, 2 z 5. Dos posibles parametrizaciones son: x(u,v) = u φ 1 (u,v) = y(u,v) = v z(u,v) =, (u,v) {(x,y) R 2 4 x 2 +y 2 25} u 2 +v 2 x(r,θ) = rcosθ φ 2 (r,θ) = y(r,θ) = rsenθ z(r,θ) = r, r [2,5],θ [0,2π] Definición.- Sean φ y φ dos parametrizaciones de una superficie S φ : D R 2 R 3 (u,v) (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) φ : D R 2 R 3 (α,β) (x (α,β),y (α,β),z (α,β)) Diremos que φ y φ son equivalentes si existe una aplicación h : D D diferenciable y biyectiva con φ = φ h. Universidad Antonio de Nebrija 5 Superficies

6 A la aplicación h : D D se le llama cambio de parámetro. Ejemplo.- Siguiendo con el ejemplo anterior, el cambio de parámetro entre las dos parametrizaciones es: h : [2,5] [0,2π] R 2 (r,θ) (u,v) = (rcosθ,rsenθ) VECTORES NORMALES A UNA SUPERFICIE Un vector normal a la superficie en un punto es un vector perpendicular a la misma. En sentido estricto, como la superficie puede ser curva, en principio puede ser difícil definir lo que quiere decir ser perpendicular a algo curvo. Sin embargo, para todo punto regular podemos construir un plano tangente a la superficie en dicho punto, y sí tenemos una idea clara de lo que es ser perpendicular a un plano. Si la superficie está expresada mediante una parametrización, las derivadas parcialesdelamismaenelpuntonosdansendosvectorestangentealasuperficie en el punto. Con dichos vectores podemos construir el plano tangente. Sin llegar a construir dicho plano, es sabido que dados dos vectores, el producto vectorial de los mismos es otro vector perpendicular a ambos, así que tenemos la siguiente definición. Definición.- Sean S una superficie y φ : D R 3 una parametrización de S. Sea (u 0,v 0 ) D tal que P 0 = φ(u 0,v 0 ) es un punto regular para una parametrización φ.sedefinevector normal as enunpuntop 0 al vector unitario en la dirección de φ u (u 0,v 0 ) φ v (u 0,v 0 ) Si S F(x,y,z) = 0, la dirección del vector normal a S en P 0 viene dado por el gradiente de F: ( F x (P 0), F y (P 0), F ) z (P 0) Ejemplo.- Consideramos el tronco de cono x 2 +y 2 = z 2, 2 z 5. La función que nos define la ecuación es F(x,y,z) = x 2 +y 2 z 2, y su gradiente es: F(x,y,x) = (2x,2y, 2z) Universidad Antonio de Nebrija 6 Superficies

7 El único punto que hace nulo el gradiente es el (0,0,0) S. Entonces cualquier punto del tronco de cono es regular y su vector normal es (x,y, z). En los puntos (4,0,4), ( 4,0,4) y (0, 4,4) los vectores normales son Tomemos otra función que nos defina la superficie: G(x,y,z) = z 2 x 2 y 2, y su gradiente es: G(x,y,x) = ( 2x, 2y,2z) De nuevo el único punto que hace nulo el gradiente es el (0,0,0) S. Entonces cualquier punto del tronco de cono es regular y su vector normal es ( x, y,z), que tiene la misma dirección que en el caso anterior, pero sentido contrario. En los puntos (4,0,4), ( 4,0,4) y (0, 4,4) los vectores normales son Veamos que ocurre si consideramos los cálculos sobre una parametrización. Sea φ 1 : {(x,y) R 2 4 x 2 + y 2 25} R 3 con φ(u,v) = (u,v, u 2 +v 2 ), calculamos sus derivadas parciales: φ u = ( 1,0, ) u, u 2 +v 2 ( φ v = 0,1, ) v u 2 +v 2 y el vector normal es el producto vectorial de ambos: ( ( ) ı j k u 1,0, v u ) 0,1, 2 +v 2 u = 1 0 u 2 +v 2 u 2 +v 2 v 0 1 u ( 2 +v 2 ) = u u 2 +v 2, v u 2 +v 2,1 Universidad Antonio de Nebrija 7 Superficies

8 En los puntos φ 1 (4,0) = (4,0,4), φ 1 ( 4,0) = ( 4,0,4) y φ 1 (0, 4) = (0, 4,4) los vectores normales son Si consideramos φ 2 : [2,5] [0,2π] R 3 con φ(r,θ) = (rcosθ,rsenθ,r), calculamos sus derivadas parciales: φ r = (cosθ,senθ,1), φ θ = ( rsenθ,rcosθ,0) y el vector normal es el producto vectorial de ambos: ı j k (cosθ,senθ,1) ( rsenθ,rcosθ,0) = cosθ senθ 1 rsenθ rcosθ 0 = ( rcosθ, rsenθ,r) Enlospuntosφ 2 (4,0) = (4,0,4), φ 2 (4, π) = ( 4,0,4)yφ 2 ( 4, π 2) = (0, 4,4) los vectores normales son En un punto regular siempre hay dos vectores normales. Geométricamente es muy intuitivo que si encontramos un vector normal, otro vector con la misma dirección y sentido contrario también es normal a la superficie. Otra forma de verlo es darse cuenta de que, tendiendo a la definición, calculamos el vector normal mediante un producto vectorial, pero éste no es conmutativo, y si cambiamos el orden de los factores obtenemos otro vector de la misma dirección y módulo, pero sentido contrario, pero que sigue siendo normal al plano tangente. Universidad Antonio de Nebrija 8 Superficies

9 Para poder establecer una orientación hay que elegir entre un vector normal. Pero no en todas las superficies es posible elegir un vector normal de forma continua. Banda de Moebius Cilindro Estas superficies (véase ejemplo de la banda de Moebius) se denominan no orientables o de solo una cara. Si la superficie es orientable (véase ejemplo del cilindro), el sentido del vector normal se conserva. Trabajaremos con superificies orientables. Si dos parametrizaciones de una superficie s dan lugar a vectores normales opuestos diremos que tienen distinta orientación. Si dan lugar al mismo vector normal unitario, se dice que tienen la misma orientación. A pesar de que una parametrización u otra proporcione distintas orientaciones y que para una puedan aparecer puntos singulares que no existen para la otra, no hay una regla general para decidir cuál es mejor, dependerá de lo que pretendamos hacer con ella. Ejemplo.- Sea S la esfera de radio 2 y centro en el punto Ω = (1, 2, 3) y calculemos su vector normal en el punto P = (3,2,3). Una parametrización de S es ( ) φ : [0,2π) π 2, π 2 R 3 (θ,ϕ) (2cosθcosϕ+1,2senθcosϕ+2,2senϕ+3) Universidad Antonio de Nebrija 9 Superficies

10 En primer lugar tenemos que ver cómo se expresa el punto P mediante esta parametrización. Si φ(θ 0,ϕ 0 ) = (3,2,3), entonces: 2cosθ 0 cosϕ 0 +1 = 3 2cosθ 0 cosϕ 0 = 2 cosθ 0 cosϕ 0 = 1 2senθ 0 cosϕ 0 +2 = 2 2senθ 0 cosϕ 0 = 0 senθ 0 cosϕ 0 = 0 2senϕ 0 +3 = 3 2senϕ 0 = 0 senϕ 0 = 0 De la tercera coordenada deducimos que ϕ 0 = 0, así que sustituyendo en la primera y la segunda ecuación: Así que P = φ(0,0). cosθ 0 cos0 = 1 senθ 0 cos0 = 0 cosθ 0 = 1 senθ 0 = 0 θ 0 = 0 Calculamos las derivadas parciales de la parametrización: φ (θ,ϕ) = ( 2senθcosϕ,2cosθcosϕ,0) θ φ (θ,ϕ) = ( 2cosθsenϕ, 2cosθsenϕ,2cosϕ) ϕ Si calculamos el producto vectorial de las derivadas parciales obtenemos el vactor normal para cualquier punto φ(θ, ϕ), pero como no nos interesa el vector genérico, sino sólo el vector en el punto P = φ(0,0), lo que haremos es calcular el valor de las derivadas parciales en (0,0) y hacer el producto vectorial del resultado, que es más sencillo de calcular que en general: φ θ (0,0) = (0,2,0), φ (0,0) = (0,0,2) ϕ y el vector normal es: ı j k (0,2,0) (0,0,2) = = (4,0,0) normalizando este vector obtenemos n = (1, 0, 0). Ejemplo.- Sea S parametrizada como φ : R [0,2π) R 3 (u,v) (ucosv,usenv,u) y calculamos su vector normal en el punto P = (1,0,1). Universidad Antonio de Nebrija 10 Superficies

11 Los primero será encontrar la expresión de P respecto a esta parametrización: φ(u 0,v 0 ) = (u 0 cosv 0,u 0 senv 0,u 0 ) = (1,0,1) de la última coordenada deducimos que u 0 = 1, así que cosv 0 = 1 y senv 0 = 0, por tanto v 0 = 0, es decir P = φ(1,0). Calculamos las derivadas parciales: φ u (u,v) = (cosv,senv,1), φ (u,v) = ( usenv,ucosv,0) u Como en el ejemplo anterior, al interesar solamente el vector en el punto P, podríamos calcular el valor de las derivadas parciales en (1, 0) y trabajar con eso. Vamos a hacerlo de la otra forma, y es hacerlo para cualquier punto y sustituir en la expresión general del vector: φ φ (u,v) u v (u,v) = ı j k cosv senv 1 usenv ucosv 0 = ( ucosv, usenv,ucos 2 v +usen 2 v) = ( ucosv, usenv,u(cos 2 v +sen 2 v)) = ( ucosv, usenv,u) Este vector no tiene por que ser unitario, así que lo normalizamos: ( ucosv, usenv,u) = ( ucosv) 2 +( usenv) 2 +u 2 el vector normal en general será: n = ( ucosv, usenv,u) u 2 para el punto P = φ(1,0): n(1,0) = ( cos0 2, sen0 2, = u 2 (cos 2 v +sen 2 v)+u 2 = u 2 +u 2 = 2u 2 = u 2 ( = cosv 2, senv 2, ) ( 1 = 1,0, 2 2 ) 1 2 ) 1 2 PLANO TANGENTE Aunque ya lo hemos introducido de forma informal, definimos ahora el plano tangente: Universidad Antonio de Nebrija 11 Superficies

12 Definición.- Se llama plano tangente a la superficie S en un punto regular P 0, al plano que pasa por P 0 y es ortogonal al vector normal. Dada la parametrización φ(u,v) y un punto de la superficie P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) = φ(u 0,v 0 ), las derivadas parciales de la parametrización en el punto nos proporcionan dos vectores tangentes a la superficie en P 0, es decir, dos vectores contenidos en el plano tangente, que además no son proporcionales y con dos vectores no proporcionales de un plano y un punto, podemos construir la ecuación del plano. La ecuación del plano tangente en P 0 es: x x 0 y y 0 z z 0 x T p S u (u y 0,v 0 ) u (u z 0,v 0 ) u (u 0,v 0 ) = 0 (1) x v (u 0,v 0 ) y v (u 0,v 0 ) z v (u 0,v 0 ) Si la superficie está expresada mediante una ecuación implícita F(x,y,z) = 0, el gradiente nos da un vector proporcional al vector normal, es decir, un vector perpendicular al plano, y con un vector perpendicular a un plano y un punto, podemos calcular también la ecuación del plano. La ecuación del plano tangente en el punto P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) es: T p S (x x 0 ) F x (P 0)+(y y 0 ) F y (P 0)+(z z 0 ) F z (F 0) = 0 (2) Ejemplo.-Calculemoslaecuación elplanotangenteenunpuntop = (x 0,y 0,0) del planocoordenadoxy. Unaecuación implícita del mismoes z = 0yhabíamos visto que el vector normal para esta ecuación en cualquier punto de la superficie es (0,0,1). Usamos la ecuación (2): (x x 0 ) 0+(y y 0 ) 0+(z 0) 1 = 0 z = 0 es decir, el plano tangente coincide con el plano coordenado del que partíamos. En general, siempre que la superficie sea un plano, el plano tangente en cada punto coincidirá con el plano de partida. Si consideramos la parametrización φ : R 2 R 3, φ(u,v) = (u,v,0), sus derivadas parciales eran: φ u = (1,0,0), φ v = (0,1,0) Universidad Antonio de Nebrija 12 Superficies

13 y el plano tangente, usando la ecuación (1) llegamos al mismo resultado: x x 0 y y 0 z 0 T P S = z = 0 Ejemplo.- Calculamos el plano tangente a la esfera de radio 2 y centro en el punto Ω = (1,2,3) en el punto P = (3,2,3). Habíamos visto que el vector normal en P es (1,0,0). Usando la ecuación (2) para calcular el plano tangente tenemos: (x 3) 1+(y 2) 0+(z 3) 0 = 0 x 3 = 0 el plano tangente es el plano vertical x = 3. Ejemplo.- Calculamos el plano tangente en el punto P = (1,0,1) de la superficie S parametrizada como φ : R [0,2π) R 3, φ(u,v) = (ucosv,usenv,u). Habíamos visto que las derivadas parciales son: φ u (u,v) = (cosv,senv,1), φ (u,v) = ( usenv,ucosv,0) u Para un punto (x 0,y 0,z 0 ) = φ(u 0,v 0 ) cualquiera el plano tangente tiene como Universidad Antonio de Nebrija 13 Superficies

14 ecuación: T P S x x 0 y y 0 z z 0 cosv 0 senv 0 1 u 0 senv 0 u 0 cosv 0 0 = (y y 0 )( u 0 senv 0 )+(z z 0 )u 0 cos 2 v 0 +(z z 0 )u 0 sen 2 v 0 (x x 0 )(u 0 cosv 0 ) = u 0 cosv 0 (x x 0 ) u 0 senv 0 (y y 0 )+u 0 (z z 0 ) = 0 para calcular el plano en el punto P = (1,0,1) = φ(1,0) basta con sustituir en la ecuación general que acabamos de calcular: 1 cos0(x 1) 1 sen0(y 0)+1 (z 1) = 0 (x 1)+(z 1) = 0 x+z = 0 RECTA NORMAL También con el vector normal se puede construir una recta que pasa por el punto y es perpendicular al plano tangente: Definición.- Se llama recta normal a la superificie S en P 0 a la recta que pasa por P 0 y tiene vector director el vector normal. Universidad Antonio de Nebrija 14 Superficies

15 Si el vector normal es n = (n 1,n 2,n 3 ), las ecuaciones paramétricas de la recta son: x = x 0 +n 1 t y = y 0 +n 2 t z = z 0 +n 3 t Nota.- Como a la hora de construir una recta el hecho de que el vector director que tomemos sea unitario o no, no es relevante, dado que lo único que nos interesa de él es su dirección, en realidad para calcular la recta normal no nos hará falta el vector normal. Así, si la superficie está dada mediente una ecuación implícita F(x,y,z) = 0, nos basta con sus derivadas parciales: x = x 0 + F x (P 0)t y = y 0 + F y (P 0)t z = z 0 + F z (P 0)t Ejemplo.-Larectanormalalplanocoordenadoxy encualquierpunto(x 0,y 0,0). Teníamos que su gradiente era F(x,y,x) = (0,0,1), así que la recta es: x = x 0 +0 t y = y 0 +0 t z = 0+1 t Las ecuaciones implícitas son x = x 0,y = y 0. x = x 0 y = y 0 z = t Ejemplo.- La recta normal a la esfera de radio 2 y centro en el punto Ω = (1,2,3) en el punto P = (3,2,3). El vector normal es (1,0,0), así que las ecuaciones paramétricas de la recta son: x = 3+1 t y = 2+0 t z = 3+0 t y las ecuaciones implícitas son y = 2, z = 3. x = 3+t y = 2 z = 3 Universidad Antonio de Nebrija 15 Superficies

16 Ejemplo.- Recta normal a lasuperficies parametrizada como φ : R [0,2π) R 3, φ(u,v) = (ucosv,usenv,u) en el punto P = (1,0,1). Puesto que el vector normal tiene denominadores y raíces, para simplificar el cálculo tomaremos un vector proporcional a él pero más sencillo, por ejemplo ( 1,0,1). x = 1 1 t y = 0+0 t z = 1+1 t x = 1 t y = 0 z = 1+t Éstas son las ecuaciones paramétricas. Si queremos encontrar las implícitas, despejamos el parámetro t: t = 1 x z = 1+(1 x) = 2 x x+z = 2 las ecuaciones implícitas son: { x+z = 2 y = 0 A continuación veremos dos tipos de superficies especiales. Por un lado las superficies de revolución, que se generan al girar una curva en torno a un eje, y por otro lado las superficies de traslación, generadas al deslizar una curva sobre otra con la que se corta. Veremos cómo construir las ecuaciones de estos tipos de superficie a partir de las de las curvas que las generan. Finalmente introduciremos las curvas sobre una superficie. Aunque no lo veremos, el estudio de las curvas contenidas en una superficie proporciona mucha información sobre ésta. En particular, las curvas coordenadas permiten tratar una superficie de forma similar a un plano, con lo que se facilita su manejo. SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Definición.- Una superficie de revolución S es una superficie engrendada por una curva Γ que gira entorno a un eje E. Definición.- Cada punto de Γ describe una circunferencia en el plano perpendicular al eje, estas circunferencias se llaman paralelos. Las curvas obtenidas de la superficie de revolución al cortar con planos que contengan al eje se llaman meridianos. Universidad Antonio de Nebrija 16 Superficies

17 Paralelo Meridiano Eje Curva Supondremos que la curva Γ no tiene puntos múltiples y que no corta al eje de giro E, aunque en realidad hay superficies de revolución donde la curva sí corta al eje, como en el ejemplo siguiente. Ejemplo.- Girando la recta de ecuaciones implícitas x = z, y = 0 en torno al eje z obtenemos el cono x 2 +y 2 = z 2. Ecuación de una superficie de revolución. Si el eje E es una recta que pasa por el punto P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) en la dirección del vector v = (v 1,v 2,v 3 ) y la curva generatriz es: { f1 (x,y,z) = 0 Γ f 2 (x,y,z) = 0 La superficie S se puede pensar como un conjunto de circunferencias, cada una de las cuales: Universidad Antonio de Nebrija 17 Superficies

18 1) tiene su centro en el eje, 2) se apoya en Γ, 3) está contenida en un plano perpendicular al eje. Atendiendo a estos tres hechos, un punto genérico (x,y,z) de la superficie de revolución S cumple que: 1) por pertenecer a una circunferencia de centro un punto (x 0,y 0,z 0 ) del eje: (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 +(z z 0 ) 2 = R 2 2) por estar la circunferencia en un plano perpendicular a E, el vector de posición del punto y el vector director del eje forman un ángulo constante: v 1 x+v 2 y +v 3 z = λ 3) por pertenecer a la curva Γ, anulas las ecuaciones implícitas de ésta: { f1 (x,y,z) = 0 f 2 (x,y,z) = 0 A partir de estos tres hechos se puede establecer una relación entre R 2 y λ. Esta relación vendrá expresada mediante una cierta función, llámese F(R 2,λ) = 0. Sustituyendo en esta función R 2 y λ, obtenemos una ecuación implícita de S: F(x,y,z) = F((x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 +(z z 0 ) 2,v 1 x+v 2 y +v 3 z) = 0 Ejemplo.- El cilindro se obtiene girando en torno al eje una recta paralela a él. Tomemos como eje la recta que pasa por el punto (0,0,0) en la dirección del vector (0,0,1) (e.i., el eje OZ) y como curva la recta de ecuaciones implícitas x = 0, y = 2. Universidad Antonio de Nebrija 18 Superficies

19 z x y Atendiendo a las tres condiciones vistas, un punto (x,y,z) de la superficie cumple: (x 0) 2 +(y 0) 2 +(z 0) 2 = R 2 0 x+0 y +1 z = λ x = 0 y = 2 x 2 +y 2 +z 2 = R 2 z = λ x = 0 y = 2 Sustituimos las tres últimas condiciones en la primera para obtener la relación entre los parámetros R 2 y λ: 4+λ 2 = R 2 F(λ,R 2 ) = 4+λ 2 R 2 = 0 sustituimos ahora λ y R 2 : F(x,y,z) = 4+z 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) = 4 x 2 y 2 = 0 de donde obtenemos la ecuación del cilindro: x 2 +y 2 = 4. Ejemplo.- El toro circular se obtiene girando una circunferencia en torno al eje. Tomemos como eje la recta que pasa por el punto (0,0,0) en la dirección del vector (0,0,1) y como curva la circunferencia contenido en el plano y = 0, de centro en (a,0,0) y radio b, siendo a > b > 0. Las ecuaciones implícitas de la circunferencia son y = 0, (x a) 2 +z 2 = b 2. Universidad Antonio de Nebrija 19 Superficies

20 a b Atendiendo a las tres condiciones vistas, un punto (x,y,z) de la superficie cumple: (x 0) 2 +(y 0) 2 +(z 0) 2 = R 2 0 x+0 y +1 z = λ y = 0 (x a) 2 +z 2 = b 2 sustituyendo z = λ e y = 0 en la otra ecuaciones: x 2 +λ 2 = R 2 (x a) 2 +λ 2 = b 2 x 2 +y 2 +z 2 = R 2 z = λ y = 0 (x a) 2 +z 2 = b 2 despejamos la x de una de la primera ecuación y la llevamos a la segunda,obtenemos la relación entre λ y R 2 : ( R 2 λ 2 a ) 2 +λ 2 = b 2 por último, encontramos la ecuación del toro al sustituir λ = z y R 2 = x 2 + y 2 +z 2 ( (x 2 +y 2 +z 2 ) z 2 a ) 2 +z 2 = b 2 ( x 2 +y 2 a ) 2 +z 2 = b 2 Consideramos dos curvas: SUPERFICIES DE TRASLACIÓN Γ 1 γ(u) = (x(u),y(u),z(u)) Γ 2 γ (v) = (x (v),y (v),z (v)) Universidad Antonio de Nebrija 20 Superficies

21 que se cortan en un punto P = (x 0,y 0,z 0 ). Al deslizar una de las curvas a lo largo de la otra se genera una superficie: Definición.- La superficie de traslación de directriz la curva Γ 1 y generatriz la curva Γ 2 es la superficie formada al trasladar Γ 2 paralelamente a sí misma cuando P 0 recorre Γ 1. Ecuación paramétrica de una superficie de traslación. Consideramos un punto Q de la curva Γ 2. Al trasladar esta curva a lo largo de Γ 1, el punto P 0 va a otro punto P y el punto Q va al punto R. Entonces, los vectores P 0 Qy PRsonelmismo.Peroestosvectoresseobtienencomodiferencia de los vectores de posición de los puntos inicial y final de cada vector, así que tenemos: P 0 Q = PR OQ OP 0 = OR OP El punto R es un punto genérico de la superficie, así que en definidas cuentas lo que queremos es conocer la expresión de R. Despejamos su vector de posición: OR = OP + OQ OP0 R Γ 1 Q P 0 P 0 Γ 2 El vector de posición de un punto tiene las mismas coordenadas del punto. Las coordenadas de P, como es un punto de Γ 1, las proporciona la parametrización γ,lascoordenadasdeq,comoesunpuntodeγ 2,seobtienendelaparametrización γ y las de P 0 son conocidas, así que: OR = γ(u)+γ (v) OP 0 Universidad Antonio de Nebrija 21 Superficies

22 así que las ecuaciones paramétricas son: x = x(u)+x (v) x 0 y = y(u)+y (v) y 0 z = z(u)+z (v) z 0 Nota.- A la hora de tomar la directriz y la generatriz, en realidad son intercambiables pues vemos que en la ecuaciones paramétricas de la superficie intervienen de forma idéntica. Ejemplo.- El cilindro se obtiene trasladando una circunferencia a lo largo de una recta normal a ella que la corte. Tomamos por ejemplo la circunferencia de ecuaciones x 2 +y 2 = 1, z = 0. Una parametrización de ella es γ (t) = (cost,sent,0). Como directriz tomamos la recta x = 1, y = 0. Una parametrización de la misma es γ(t) = (1,0,t). La intersección de ambas es el punto (1,0,0). La superficie de traslación es: x = 1+cosv 1 y = 0+senv 0 z = u+0 0 x = cosv y = senv z = u El caso del cilindro demuestra que una misma superficie puede ser a la vez de revolución y de traslación. Ejemplo.- El paraboloide elíptico se obtiene trasladando una parábola a lo largo de otra a la que corte perpendicularmente. Movemos por ejemplo la parábola Γ 2 de ecuaciones implícitas z = x 2, y = 0 a lo largo de la parábola Γ 1 de ecuaciones implícitas z = y 2, x = 0. Las parametrizaciones son: γ (t) = (t,0,t 2 ) γ(t) = (0,t,t 2 ) Universidad Antonio de Nebrija 22 Superficies

23 Γ 1 Γ 2 El punto de intersección es el (0,0,0). La superficie de traslación es: x = 0+v 0 y = u+0 0 z = u 2 +v 2 0 x = v y = u z = u 2 +v 2 CURVAS SOBRE SUPERFICIES Una superficie contiene muchas curvas distintas. Si tenemos una curva, ésta estará contenida en la superficie si los puntos de la curva verifican las ecuaciones de la superficie. Pero si la superficie está dada en forma paramétrica, tenemos dos parámetros, mientras que la parametrización de la curva sólo depende de un parámetro. Esto se soluciona poniendo en relación los parámetros de la superficies para los puntos de la curva, lo que lleva a la siguiente definición. Definición.- Una curva sobre una superficie S parametrizada por φ(u, v) es cualquier relación ϕ(u, v) = 0 entre los parámetros. Ejemplo.- Consideramos el cilindro de radio 1, parametrizado como: φ(u,v) = (cosu,senu,v). Tomamos como relación entre los parámetros ϕ(u,v) = u + v 1, así que ϕ(u,v) = 0 implica que v = 1 u. Sustituimos en la parametrización y obtenemos la parametrización de la curva: γ(u) = (cosu,senu,1 u) que es la parametrización de una hélice. Universidad Antonio de Nebrija 23 Superficies

24 Dentro de todas las curvas que puede contener una superficie, destacan las siguientes: Definición.- Las curvas coordenadas de S con respecto a una parametrización φ(u,v) son dos familias de curvas obtenidas cuando u = constante ó v = constante. Ejemplo.- Consideramos la esfera de radio unidad x 2 + y 2 + z 2 = 1 con la parametrización usual: x = cosucosv y = senucosv z = senv Vamos a ver que las curvas coordenadas son los paralelos y los meridianos usuales de una esfera. Haciendo u = cte: z x = Acosv y = Bcosv z = senv En el plano Bx = Ay tenemos la relación: x u y cos 2 v +sen 2 v = 1, π 2 v π 2 Es decir, obtenemos semicircunferencias de radio 1. Universidad Antonio de Nebrija 24 Superficies

25 Haciendo v = cte: z x = Acosu y = Asenu z = B Es la intersección de la esfera con el plano z = B, que es una circunferencia de radio A. x A z=b y Universidad Antonio de Nebrija 25 Superficies

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