Solución: Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en dicho punto x = 2. b 1 + b

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1 Matmáticas Emprsarials I PREGUNTAS DE TIPO TEST DERIVADAS Y APLICACIONES Drivabilidad ( ) b si S09. La función f ( ) s continua y drivabl n = : a( ) si a) Si a = y b = b) Si a = y b = 5 c) Nunca pud sr drivabl. Para qu sa continua dbn coincidir los límits latrals con su valor d dfinición n dicho punto =. Si, f ( ) ( ) b + b Si +, f ( ) a( ) a + Por tanto, la función srá continua n = cuando + b = a +. Para qu sa drivabl dbn coincidir las drivadas latrals n =. ( ) si Salvo n =, f ( ) a( ) si Vamos qué pasa n =. Si, f ( ) ( ) Si +, f ( ) a( ) a a a Por tanto, la función s drivabl cuando a = ; b = 5 b a ( ) 5 si La función continua y drivabl s: f ( ) ( ) si La rspusta s b). ( b), F09. La función f ( ) b, a) Continua y drivabl si b = ± a) Drivabl sólo si b = b) Continua sólo si b = 0 0 s: Continuidad n = 0. (Para qu sa continua s ncsario qu los límits latrals san iguals.) Por la izquirda: lim f ( ) lim ( b) Por la drcha: lim f ( ) lim b b b = 0 0

2 Matmáticas Emprsarials I Drivabilidad n = 0. Salvo n = 0, la drivada s: b, 0 f ( ), 0 Drivada por la izquirda: lim f ( ) lim b 0 0 Drivada por la drcha: lim f ( ) lim No dpnd dl valor d b. 0 0, 0 Lugo, la función continua (y drivabl) s f ( )., 0 La rspusta s c). F09. La drivada d g( ) ( ) a) b) 8 7 n l punto val: 0 c) 7 g( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g ( ) La rspusta s c). ( ) (simplificando) g ( / ) a si S08. La función f ( ) s continua y drivabl si: si a a) a = b) a = c) a = Continua: Si, f a Si +, f /a a = o a =. a si Drivabl: f ( ) si a Si, f a Si +, f /a a = La rspusta s a).

3 Matmáticas Emprsarials I 5 sn( a) si 0 J08. La función f ( ) vrifica: a b b si 0 a) Es continua n = 0 cuando a = 5/. b) Es drivabl n = 0 cuando b a 5. c) En = 0 nunca pud sr drivabl. Continuidad n = 0: Si 0, f() 5 Si 0 +, f() b b = 5. 5 sn( a) si 0 Por tanto, f ( ). a 5 5 si 0 Drivabilidad: a cos( a) Salvo n = 0, f ( ) a 5 Si 0, f () a La rspusta s b). si 0 si 0 Si 0 +, f () 5 a = 5 5 a. a S07. La función f ( ) s drivabl n = : b a) Si a = b b) Si a = y b = c) Ninguna d las antriors. Sol. Si, f() a. Si +, f() b + a = b + Salvo n =, f ( ) b Si, f (), y si +, f () b + = b + b = y a = La rspusta s c). si 0 F07. La función f ( ) s drivabl n l punto = 0 cuando: a b si 0 a) a = b = b) a = y b = c) a = y b = 0 Para continua: Si 0, f ( ) 0 Si 0 +, f ( ) a b b b = 0 Drivabl: si 0 f ( ) a si 0 Si 0, f ( ) Si 0 +, f ( ) a a a =. La rspusta s c).

4 Matmáticas Emprsarials I Rcta tangnt a una curva S09. La cuación d la rcta tangnt a la curva d cuación y, l punto d abscisa =, s: a) y 7 b) y c) Ninguna d las antriors, la cuación d dicha rcta s: La cuación d la tangnt srá y f ( ) f ()( ), dond f ( ) ( ) f ( ) ; f ( ) f ( ) ( ) ( ) Por tanto, la tangnt s: y y F09. La curva d cuación y y la rcta y b son tangnts n l punto a) Para cualquir valor d b. 7 b) Sólo si b c) No pudn sr tangnts para ningún valor d b. : Sol: En l punto d tangncia la drivada db valr, qu s l valor d la pndint d la rcta tangnt. y 6 6 Para, y. El punto d tangncia s, Como s punto db cumplir la cuación d la rcta y b : 7 b b S08. La cuación d la rcta tangnt a la curva y n l punto d abscisa = s: 5 a) y b) y c) y = 8 8 Sol. 5 y y y() = /; y () = /8 tangnt: y ( ) 8 8

5 Matmáticas Emprsarials I 5 J08. La cuación d la rcta tangnt a la función a) y ( ) f ( ) n l punto d abscisa = s: b) y c) Ninguna d las antriors, dicha cuación s: a) La cuación d la rcta tangnt a la función y f () n l punto d abscisa = a vin dada por la prsión: y f ( a) f ( a)( a) En st caso: f ( ) f ( ) ; f ( ) f ( ). Por tanto, la rcta tangnt s: y ( ) y S07. La cuación d la rcta tangnt a la curva f ( ) 6 n su punto d inflión s: a) y = 6 + b) y = + 6 c) y = f ( ) 6 f ( ) 6 f ( ) PI = (, 0) Tangnt: y = 6( ) y = F07. La cuación d la tangnt a la curva f ( ) n l punto = s: 8 8 a) y b) y c) Ninguna d las antriors ( ) f ( ) f ( ) (f() = 6/5; f () = 8/5) ( ) La tangnt s: y ( ) y

6 Matmáticas Emprsarials I 6 Máimos, mínimos inflión S09. La función f ( ) p tin, n algún < 0: a) Un mínimo si p < 0 b) Un máimo si p > 0 c) Ninguna d las antriors. Puntos singulars: f ( ) p 0 si p < 0 pud habr máimos o mínimos. (S dscarta b) f ( ) 6 < 0 n algún < 0 hay máimo. n algún > 0 hay mínimo. S09. La función p ( ) a b tin un punto d inflión n (, ), sindo, admás, dcrcint n s punto, si: a) a = b = b) a = y b = c) a = y b = 0 Sol. p ( ) a 6 b p ( ) 6a 6 Para qu (, ) sa punto d inflión db cumplirs qu p ( ) y qu p ( ) 0. D p ( ) 0 6a 6 0 a =. Para qu p ( ) a b b =. Por tanto: p ( ) Como p ( ) 6, s tin qu p ( ) ; lugo la función s dcrcint n l punto (, ). p S09. La función f ( ) tin un mínimo local n = : a) Cualquira qu sa l valor d p. b) Si p =. c) Ninguna d las antriors. p f ( ) ( p ) p 0 p / s punto singular. Para qu = p = p f ( ) ( p ) f (0) > 0, para cualquir valor d p: pro p =. a F09. La función f ( ) tin un mínimo rlativo n = : a) Cuando a = 8 b) Cuando a = 0 c) En = no pud tnr un mínimo rlativo. Para qu f() tnga un mínimo rlativo n = db cumplirs qu: f () = 0 y f () > 0 (6 a)( ) ( a) a a f ( ) f ( ) 0 a = 8 ( ) ( ) 6 Vamos qu, para s valor d a = 8, f () > 0: f ( ) f ( ) 0 ( ) 6

7 Matmáticas Emprsarials I 7 S08. La función ( ) f p tin: a) Un mínimo si p > b) Un punto d inflión si p = c) Ninguna d las antriors f ( ) p 0 p = ln p (posibl máimo o mínimo) f ( ) f ln p) p (, qu s > 0 si p > Hay mínimo. J08. La función f ( ) ( )( ) tin: a) Un máimo n =. b) Un punto d inflión n =. c) Un punto d inflión n =. f ( ) ( )( ) f ( ) ( ) ( )( ) 5( ) ( ) f ( ) 5( ) ( ) 5( ) 0( ) ( ) c) S07. La función f ( ) p tin, n = 0: a) Un máimo si p < b) Un punto d inflión si p > c) Ninguna d las antriors f ( ) f ( ) p ( 8 p p) 0 = 0 (posibl máimo o mínimo) f ( 0) p < 0 si p < Hay máimo. ( ) S07. La función f ( ) tin: a) Un máimo y un mínimo b) Sólo un máimo c) Sólo un mínimo. La drivada s: f ( ) ( ) ( ) ( ), qu s anula n = ±. Si <, f () < 0 f() dcrc. Si < <, f () > 0 f() crc. Por tanto n = hay un mínimo rlativo. Si >, f () < 0 f() dcrc. Por tanto, n = hay un máimo rlativo.

8 Matmáticas Emprsarials I 8 Difrncial F09. Tnindo n cunta qu 6 8, utilizando la difrncial s obtin qu l valor d 65 s: a) 8,08 b) 8,065 c) 8,065 Sol. S toma f ( ) f ( ). Mdiant la difrncial: df ( ) f ( ) d df ( ) d Para = 6 y d = s tin: df ( 6) 0, Por tanto, f ( 65) f (6) df (6) 8 0,065 8, 065 Mdiant la tangnt n = 6, qu s y f ( 6) f (6)( 6) y 8 ( 6) 6 y. 6 Para = 65, f ( 65) 65 = 8,065 6

9 Matmáticas Emprsarials I 9 Taylor F09. El polinomio d Taylor d grado d la función f ( ) sin cos, n = 0, s: a) P( ) 6 b) P( ) 6 c) P( ) 6 Sol. f ( ) sin cos f ( 0) f ( ) cos sin f ( 0) f ( ) sin cos f ( 0) f ( ) cos 8sin f ( 0) Por tanto, P( )!! 6 J08. El polinomio d Taylor d º grado d la función f ( ) ln( ) n l punto = 0 s: ( ) ( ) a) P ( ) ( )!! b) P( ) c) P( ) ( )! f ( ) ln( ) f ( ) ln( ) f ( ) ( ) ( 6 f ( ) f ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( Lugo: f ( 0) 0 ; f ( 0) 0 ; f ( 0) ; f ( 0) ; f ( ) 8 Por tanto, P ( ) J08. Usando l polinomio d Taylor d grado dos d la función f ( ) s pud stimar qu: a),, b),, c) Ninguna d las antriors.

10 Matmáticas Emprsarials I 0 Calculamos l polinomio d Taylor d grado ( ) / f ( ) Lugo: f ( 0) ; f ( 0) ; f ( 0) ; Por tanto, P( ) Para = 0, = /5, s tin f ( ) / f f ( 0,) 0,, P(0,) 5 5

11 Matmáticas Emprsarials I Otras aplicacions d la drivada S09. La función f ( ) ln cumpl: a) Corta dos vcs al j OX. b) Tin un mínimo rlativo n algún punto mayor qu 0. c) No corta al j OX. La función stá dfinida para > 0. Drivando: f ( ) f ( ) 0 si y f ( ) 0 la función tin un máimo n. Como f ln ln 0,5 0, sto s, l máimo s mnor qu 0, la función nunca corta al j OX. F09. El valor qu vrifica l torma dl valor mdio para f ( ) a, n l intrvalo (, ), s: a 5 5 a) b) c) a f () f () 9 a ( a) f ( ), (, ) a 5 a a 5 S08. El númro ral c qu vrifica l torma dl valor mdio para f ( ), n l intrvalo (a, a), con a 0, s: a b) c b) c a c) Ninguna d las antriors Sol. Es obvio qu la función s continua y drivabl n l intrvalo dado. f (a) f ( a) / a / a f ( c) c a a a a c J08. El límsn ln 0 val: a) 0 b) c) Ninguna d las antriors. ln sn 0 límsn ln = [0 ] = lím 0 0 = lím lím 0 cos 0 cos 0 sn sn sncos 0 = lím 0 0 cos sn =

12 Matmáticas Emprsarials I J08. La discontinuidad, n l punto = 0, d la función dfinindo: a) f ( 0) / b) f ( 0) / c) Dicha discontinuidad no pud vitars. f ( ) pud vitars La discontinuidad s vita dfinindo f (0) lím f ( ) 0 lím 0 0 ( ) 0 L H lím 0 6 Lugo f ( 0) / ln(cos()) S07. El valor d lím s: 0 a) No ist: +. b) Eist sólo por la drcha: si 0 + c). Lo harmos aplicando la rgla d L Hôpital. sn() ln(cos()) 0 cos() tag() 0 lim = 0 ( L H ) lim lim 0 0 ( tag ()) = ( L H ) lim = S07. La función f ( ) 8 p, con p > 6, tin un máimo n = 0 y corta al j OX: a) Cuatro vcs b) Eactamnt dos vcs c) Ninguna vz. f ( ) 6 f ( ) 6 0 ( ) 0 = 0; = ; =. Estos puntos son posibls máimos o mínimos. Para: <, f ( ) 0 la función dcrc; < < 0, f ( ) 0 la función crc n = hay un mínimo. 0 < <, f ( ) 0 la función dcrc n = 0 hay un máimo. >, f ( ) 0 la función crc n = hay un mínimo. Como l mínimo val f ( ) f () 6 p > 0 la función simpr toma valors positivos. Por tanto, nunca corta al j OX.

13 Matmáticas Emprsarials I F07. La función f ( ) tin: a a) Un mínimo rlativo si a / b) Una asíntota vrtical para cualquir valor d a 0. c) Ninguna d las antriors. ( a) a f ( ) ( a) ( a) Si a / la drivada no s anula n ningún caso, la función no pud tnr mínimos rlativos (ni máimos). ( ) Si a = /, la función s f ( ) ; qu no stá dfinida n = / pro tin / una discontinuidad vitabl. Lugo no tin asíntota vrtical. cos F07. El valor d lím s: 0 sn a) / b) c) Ninguna d las antriors, su valor s: cos 0 sn lím = 0 sn 0 = (aplicando L Hôpital) = lím 0 sncos cos = lím 0 cos cos snsn 0 = 0 = (L H) = F07. La función f ( ) ( ) s: a) Crcint para todo > b) Conva () para todo > c) Ninguna d las antriors. f ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) La función tin un punto d inflión n =. Para < s cóncava (); para > s conva ().

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