Tema III: Sistemas Hamiltonianos: Variables acción

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Tema III: Sistemas Hamiltonianos: Variables acción"

Transcripción

1 Tema III: Sistemas Hamiltonianos: Variables acción ángulo 1. Transformaciones canónicas Sea Hq, p, t) un hamiltoniano tal que ṗ = H q q = H p Una transformación en el espacio de fases Q = Qq, p) es canónica, si existe un hamiltoniano H Q, P, t) H Q, P, t) = Hq, p, t) + F t tal que Q y P son variables canónicas 1.1) P = P q, p) 1.) P = H Q Q = H P La función F es la función generatriz construida como df 1 q, Q, t) = pdq P dq df q, P, t) = pdq + QdP df 3 p, Q, t) = qdp P dq 1.3) 1.4) df 4 p, P, t) = qdp + QdP 1.5) 1 1.6)

2 Capítulo Ejemplo: Oscilador armónico amortiguado Lagrangiano La ecuación del movimiento es: o sea Hamiltoniano L = e bt m m q k ) q d bt bt e m m q) + e m kq = 0 dt m q + b q + kq = 0 p = L q = e bt bt p m m q = q = e m m H = e bt m p m + e bt kq m Este Hamiltoniano es dependiente del tiempo por lo que no es una constante del movimiento. Veamos si hay una transformación canónica que pase a un Hamiltoniano constante. Transformación canónica Utilicemos la siguiente función generatriz En tal caso F q, ˆp, t) = e bt m qˆp F q F ˆp F t Las nuevas variables son por tanto: = e bt m ˆp = p = e bt m q = ˆq = b m e bt m qˆp ˆp = e bt m p ˆq = e bt m q

3 .. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI 3 y el nuevo Hamiltoniano Las ecuaciones de Hamilton son: Ĥˆq; ˆp) = ˆp m + kˆq + b m ˆqˆp ˆq = ˆp m + b m ˆq ˆp = kˆq + b m ˆp Puesto que el nuevo hamiltoniano Ĥ no depende explícitamente de t, es constante del movimiento. Si lo expresamos en términos de las variables iniciales donde no es díficil comprobar que Ĥ = e bt p m m + e bt kq m + b m pq Ĥ [Ĥ, H] + t = 0 Dado que p = e bt m m q, la constante Ĥ puede escribirse como Ĥ = e bt q m m + k q + b ) q q. Ecuación de Hamilton-Jacobi El procedimiento standard de resolución de un sistema hamiltoniano consiste en obtener tantas constantes del movimiento como grados de libertad de manera que el problema sea soluble por cuadraturas. Por otra parte, hemos visto que toda coordenada cíclica lleva asociada una integral primera su momento conjugado), de forma que una transformación canónica que nos pasase a un conjunto de coordenadas cíclicas nos aseguraría la resolución del problema...1 Función principal de Hamilton La función generatriz que más drásticamente verifica la finalidad buscada sería aquella para la que el nuevo hamiltoniano fuese estrictamente cero. En concreto se

4 4 Capítulo 3 denomina función principal de Hamilton a una función generatriz de segunda especie Sq, P, t) tal que: H = H + p = S q Q = S P Sq, P, t) t = 0.1) Puesto que H = 0, todas las Q son cíclicas y sus momentos conjugados constantes P = α.) La ecuación H q, S ) q, t + S t = 0.3) se denomina Ecuación de Hamilton-Jacobi y puede interpretarse como una ecuación en derivadas parciales para S. En esta ecuación hay n+1 variables: las n q y el tiempo. La solución general de S ha de depender de n+1 constantes. Una de ellas ha de ser aditiva, ya que.3) solo depende de las derivadas de S y por tanto si S es una solución S+cte también lo es. Puesto que la transformación canónica solo depende de las derivadas de S, la constante aditiva es irrelevante. Las otras n constantes las podemos identificar con los n momentos constantes P = α de manera que, la resolución de la ecuación de H-J ha de proporcionar Como H = 0, las ecuaciones de Hamilton son: S = Sq, α, t).4) P = α y la condición de transformación canónica implica Q = β.5) Q = S P = β = Sq, α, t) α.6) Esta última ecuación.6) permite despejar las q en la forma q = qα, β, t).7) con lo que el problema esta resuelto. Las n q i dependen de n constantes arbitrarias α y β que son las nuevas variables canónicas)

5 .. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI 5.. Sistemas autónomos: Función característica de Hamilton Si H no depende explícitamente del tiempo, la ecuación de H-J es: H q, S ) + S q t = 0.8) que admite para S la forma con lo que.8) es: Sq, α i, t) = W q, α i ) α 1 t.9) H q, W q, α ) i) = α 1.10) q De manera que en este caso la constante α 1 uno de los nuevos momentos) es el propio Hamiltoniano que solo será la energía si el sistema es natural) La función W se denomina función característica de Hamilton...3 Separación de variables en la ecuación de H-J Se dice que el sistema es separable en las variables q i si para W de la forma W q i, α i ) = n W j q j, α i ).11) la ecuación de H-J se puede separar en n ecuaciones de la forma Hamilton-Jacobi Vamos ahora a aplicar H-J a Puesto que Ĥ no depende de t y la ecuación de H-J es: α = 1 m j=1 H j q j, dw j dq j, α i ) = α j.1) Ĥˆq; ˆp) = ˆp m + kˆq + b m ˆqˆp Sˆq, α, t) = αt + W ˆq, α) dw dˆq ) + k ˆq + b ) dw m ˆq dˆq

6 6 Capítulo 3 Se puede separar haciendo: en cuyo caso y por tanto mα = dm = W = M b 4 ˆq ) dm + ˆq mk b dˆq 4 ) = 0 mα m ω b 4 )ˆq dˆq La función principal de Hamilton es, por tanto S = αt b 4 ˆq + y la ecuación del movimiento mα m ω b 4 )ˆq dˆq β = S ) 1 mα α = t + m ω b 4 )ˆq mdˆq La integral se resuelve con el cambio m ω b 4 )ˆq = mα sin θ de manera que con lo que β = t + m θ m ω b 4 [ ] α ˆq = mω b ) sin ω b t + β) 4m 4m y por tanto la variable física es: donde γ = ω b 4m q = e bt α m sin[γt + β)] mγ

7 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 7 3. Variables acción-ángulo Nos vamos a restringir, por el momento a sistemas autónomos, tales que la ecuación de H-J sea separable en la forma: donde H = α 1. Sq 1...q n, α 1...α n ) = α 1 t Un grado de libertad En tal caso, la función de Hamilton es: n W k q k, α 1...α n ) 3.1) k=1 Sq, α, t) = W q, α) αt donde W satisface la ecuación α = H q, W ) q siendo los antiguos momentos y las nuevas coordenadas β = S α p = W q = t + W α El procedimiento que vamos a describir resulta particularmente útil para sistemas cuyas trayectorias de fases son cerradas. La constancia del Hamiltoniano define una curva Hq, p) = α en el espacio de fase. Cuando dicha curva es cerrada, se define I como cuya inversión proporciona I = Iα) = 1 π pdq 3.) H = α = HI) 3.3) Veamos ahora una forma alternativa de transformación canónica. Busquemos nuevos momentos constantes I, de tal manera que el nuevo Hamiltoniano sea el mismo que el anterior y que la función generatriz sea Ŵ q, I) = W q, αi)). Las nuevas variables seran ahora cíclicas pero no constantes y las denominaremos θ Hq, p) = α Ŵ q,i) HI) = α 3.4)

8 8 Capítulo 3 p = θ = Ŵ q, I) q Ŵ q, I) I 3.5) 3.6) Las ecuaciones del movimiento para HI) serán I = cte θ = H I = cte = ω 3.7) y por tanto la solución θ = ωt + θ 0 3.8) ejemplo: Oscilador armónico Los puntos de retroceso son H = p m + mω q q 0 = α mω de manera que la variable de acción se calcula como Haciendo sin γ = q q 0 I = π π 0 I = 4 1 q0 ) m α mω π 0 q dq α ω cos γdγ luego = 4α [ γ πω + sin γ 4 H = α = Iω )] π 0 = α ω de manera que θ = ω = θ = ωt + θ 0

9 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 9 Ejemplo: Potencial lineal E El hamiltoniano es: El punto de retroceso es: xo H = p m + k x x 0 = ± α k y por tanto I = x0 mα kx)dx π 0 I = ) 1 [ mα kx)) 3/] ) x 0 = mα) 3/ π 3 mk 0 3mkπ ) 9mk π 1/3 α = I /3 8 ) 9mk π 1/3 I 1/3 ω = 3 8

10 10 Capítulo 3 Ejemplo: Péndulo 4 4 t El hamiltoniano es: El punto de retroceso es: y por tanto Hacemos los cambios I = π H = θ0 0 p mgl cos θ = α ml ) α θ 0 = arcos mgl k = mgl + α mgl ml α + mgl cos θ)dθ x = sin θ = cos θ = 1 x dθ = dx 1 x con lo cual Haciendo x = k snu, k) I = 8 π m gl 3 x0 0 k x 1 x dx I = 4 K=arsn1 m gl π 3 k cn udu 0

11 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO Varios grados de libertad. Separabilidad Sea un hamiltoniano autónomo Hq 1...q n, p 1..p n ) tal que la ecuación de H-J sea separable en la forma: donde H = α 1. Sq 1...q n, α 1...α n ) = α 1 t + n W k q k, α 1...α n ) 3.9) k=1 En tal caso, tomando como función generatriz la función W q 1...q n, α 1...α n ) = n W k q k, α 1...α n ) 3.10) k=1 obtenemos p k = q k W k q k, α 1...α n ) 3.11) y por tanto, es posible definir las variables de acción I k α 1..α n ) = 1 p k dq k 3.1) π como los nuevos momentos generados por la transformación canónica W q 1...q n, I 1...I n ) = n W k q k, I 1...I n ) 3.13) de forma que las nuevas coordenadas, conjugadas de las de acción, serán las variables de ángulo definidas como θ k = W I k = n i=1 En cuanto al nuevo hamiltoniano será: y las ecuaciones de H-J k=1 W i q k, I 1...I n ) I k 3.14) H = α 1 = HI 1...I n ) 3.15) I k = 0 θ k = H I k = ω k I 1...I n ) 3.16)

12 1 Capítulo 3 o bien I k = cte θ k = ω k I 1...I n )t + δ k 3.17) El conjunto de constantes I 1...I n ), δ 1...δ n ) son las n constantes requeridas. No obstante, las δ i son triviales, una vez conocidas las I i. En consecuencia: Un hamiltoniano se dice completamente integrable si existen n integrales I i en involución [I i, I j ] = )

13 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 13 Ejemplo: Partícula en un rectángulo El Hamiltoniano es: con H = 1 p m x + py) 0 x a 0 y b de forma que tanto p x como p y son constantes en módulo I 1 = 1 p x dx = 1 a p x dx = a π π 0 π p x I = 1 p y dy = 1 b p y dy = b π π π p x de forma que ) H = π I 1 m a + I b 0 I1 0 I Para cada valor de la energía, los posibles valores de I 1 y I estn situados sobre una elipse. Las frecuencias son por tanto ω 1 = π ma I 1 ω = π mb I que dependen de las condiciones iniciales a través de I 1 y I. n = ω = a mea 1 ω 1 b π I1

14 14 Capítulo 3 Así pues,para una energía dada, la relación entre las frecuencias será racional o irracional dependiendo de los valores de I 1 Las dos variables angulares son θ 1 = π x a θ = π y b que pueden identificarse con los dos ángulos de un toro. Las trayectorias en el espacio de fases se encuentran pues arrolladas sobre un toro de radios I 1 e I y ángulos θ 1 y θ. Para un mismo valor de la energía tenemos varios posibles toros ya que la energía es degenerada pues todos los valores de I 1 e I situados sobre una elipse tienen la misma energía. En la figuras siguientes se muestran secciones de los diversos toros correspondientes a una misma energía I 1 Las trayectorias sobre estos toros serán ergódicas o no dependiendo el valor de Toro racional con n=3 Trayectoria irracional

15 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 15 Ejemplo: Partícula en un potencial central El lagrangiano será y los momentos L = m ṙ + r ϕ ) V r) 3.19) p r = mṙ p ϕ = mr ϕ 3.0) Por tanto el hamiltoniano es: Los momentos de H-J serán H = p r m + p ϕ + V r) 3.1) mr P 1 = α 1 = H P = α = p ϕ 3.) Ejemplo: Potencial de Coulomb El movimiento se realiza en un plano y el Hamiltoniano es: H = p r m + p ϕ mr k r y por tanto y α 1 = H α = p ϕ p r = Ar + Br + C 1 r donde A = mα 1 < 0 B = mk > 0 C = α < 0 de manera que I ϕ = 1 π p ϕ dϕ = α π 0

16 16 Capítulo 3 I r = 1 π p r dr = 1 π r r 1 Ar + Br + C 1 r dr donde r 1 y r son las raices de Ar + Br + C = 0 de manera que I r = 1 π I r = [ ] Bπ A π C mk mα1 α I ϕ = α α = I ϕ 1 I r = mk mα 1 α α 1 = mk I r + I ϕ ) y la energía es degenerada a lo largo de las rectas de la gráfica En las figuras siguientes se ven los cortes de diferentes toros de la misma energía

17 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 17 En cuanto a las frecuencias son iguales ω = mk I r + I ϕ ) 3 = mk E mk ) 3/ y todos los toros son racionales con las trayectorias cerradas como muestra la figura Como el semieje mayor es: se verifica a = r 1 + r = B A = k E ω a 3 = k m que es la ley de Kepler

18 18 Capítulo 3 Ejemplo: Potencial Dipolar Sea el potencial central V = k r + λ r. El correspondiente Hamiltoniano será:. H = p 1 m + p m k r + λ r Las constantes de separación de Hamilton-Jacobi serán: α 1 = H, α = p S = α 1 t + α ϕ + mr α 1 +kmr α λm dr r y el potencial efectivo ver figura) es: V ef = α m k r + λ r donde los puntos de retroceso son k r 1 = 1 1 4α 1 α 1 k r = Las variables de acción serán I 1 = 1 π r r 1 ) ) λ + α m k α ) ) 1 λ + α α 1 k m mr α 1 +kmr α λm dr r = mk α 1 α + mλ

19 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 19 invirtiéndolas I = 1 π α 1 = mk α = I α dϕ = α 1 I 1 + I + mλ Así que en el formalismo de acción-ángulo, el Hamiltoniano es: H = mk 1 I 1 + I + mλ En las figuras se ven los cortes de los toros de la misma capa de energía ) ) y las frecuencias ω 1 = mk I 1 + I + mλ ) 3 ω = mk I I 1 + ) 3 I + mλ I + mλ y por tanto la relación entre las frecuencias será n = ω 1 ω = I + mλ que será racional o no dependiendo del valor de I En la siguiente figura se ve la variación de n con I I

20 0 Capítulo n I Toros racionales n=3)

21 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 1 Toros irracionales

22 Capítulo 3 Ejemplo: Potencial de Hartman Sea el potencial el lagrangiano será: V = k r + λ ρ θ L = m ẋ + ẏ + ż ) + k r λ ρ El problema es separable en coordenadas parabólicas x = ab cos φ y = ab sin φ z = a b en cuyo caso Por tanto L = m ẋ + ẏ + ż = [ ȧ 4 cos θ = a b a + b sin 4ab θ = a + b) r = a + b ρ = ab 3.3) ȧb + ḃa) 4ab + ab φ + ȧ ḃ) b ) ] + ḃ 1 + a ) + ab a 4 b φ + k a + b λ ab Los momentos serán: p a = m 4 p b = m b ) ȧ a 1 + a ) ḃ b p φ = mab φ

23 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 3 y el Hamiltoniano H = m Para emplear H-J α 1 = m [ a a + b [ a a + b p a + b ] a + b p b + p φ 4ab H = α 1 S = α 1 t + W a a) + W b b) + W φ φ) ) dwa + b da a + b Como ϕ es cíclica, podemos hacer ) dwb + db k a + b + λ ab ) dwφ 1 dφ 4ab ] k a + b + λ ab con lo que la ecuación de H-J es: 4a α = p ϕ ) ) dwa dwb 1 + 4b 4mk + mλ da db a + 1 ) 1 mα 1 a + b) = α b a + 1 ) b de manera que podemos separar el problema en la forma p a = p b = p ϕ = donde α 3 es la constante de separación Las variables de acción serán: ) dwa mα1 = + α 3 da 4a α + mλ 4a ) dwb mα1 = + 4mk α 3 α + mλ db 4b 4b ) dwϕ = α 3.4) dϕ I Φ = 1 π p Φ dφ = α I a = 1 π p a da = 1 π a a 1 Aa + Ba + C da a

24 4 Capítulo 3 donde A = mα 1 < 0 B = α 3 4 C = α + mλ 4 < 0 y a 1, a son las raices de Aa + Ba + C = 0. I a = 1 [ ] Bπ π A π C I a = α 3 1 α + mλ 8 mα 1 donde I b = 1 π p b db = 1 π b b 1 Ab + Bb + C db b A = mα 1 < 0 B = 4mk α 3 4 C = α + mλ 4 < 0 y b 1, b son las raices de Ab + Bb + C = 0. I b = 1 [ ] Bπ π A π C I b = 4mk α 3 1 α + mλ 8 mα 1 Para eliminar α 3 sumamos I a e I b I a + I b = IΦ 4mk + mλ + 8 mα 1 despejando α 1 H = α 1 = mk ) I a + I b + I φ + mλ

25 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 5 Las frecuencias asociadas a a y b son iguales ) 3 ω a = ω b = mk I a + I b + I φ + mλ mientras que ω Φ = ω a I φ I φ + mλ

26 6 Capítulo 3 Problemas 1) Dado el hamiltoniano H = p m + β 4 q4 a) Resolver el problema utilizando Hamilton-Jacobi b) Encontrar la frecuencia del movimiento utilizando el método de las variables acción-ángulo ) Resolver el hamiltoniano H = p m + 1 mω q + ɛq 3 3) Estudiar los espacios de fases de los dos hamiltonianos anteriores a) Representar las trayectorias en el espacio de fases b) Hacer el análisis de puntos críticos

27 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 7 1) Dado el hamiltoniano H = p m + β 4 q4 a) Resolver el problema utilizando Hamilton-Jacobi b) Encontrar la frecuencia del movimiento utilizando el método de las variables acción-ángulo Solución Hamilton-Jacobi donde las nuevas coordenadas son H = p m + β 4 q4 Sq, α) = αt + W q, α) P = α = H Q = t 0 y W q, α) = mα β 4 q4 )dq y la ecuación del movimiento es: es decir Q = S P t 0 = t + W α t 0 = t + m dq α β 4 q4 Haciendo deshaciendo el cambio q = q 0 cnu; 1/) q 0 = 4α β )1/4 q = t 0 + t = 1 m α q 0 u [ ] α t + t 0 q = q 0 cn ; 1/ m q 0 ) 1 4α 4 cn [ 4αβ ] β m ) 1 4 t + t0 ); 1/

28 8 Capítulo 3 Variable angular de acción Es una integral elíptica definida que puede escribirse en términos de funciones Γ o bien Si hacemos el cambio que es una función de Bessel I = 1 π ) m α βq4 dq 4 I = 4 q 4 0 mα 1 q 4 dq π 0 q 0 I = mα q 0 π I = 1 π que es expresable también como I = 1 π q z = 1 0 q 0 ) 4 1 z) 1/ z 3/4 dz ) 16m α 3 1/4 B1/4, 3/) β ) 16m α 3 1/4 Γ1/4)Γ3/) β Γ7/4) Utilizando las relaciones: Γ3/) = Γ ) Γ7/4) = Γ ) = Γ3/4) Γ3/4)Γ1/4) = Γ1/4)Γ 1 1 ) 4 obtenemos I = Invirtiendo para despejar α 3π 3/ k 0 = m β = 1 Γ1/) = π ) 1/4 ) 1 Γ α 3/4 4 α = H = k 0 I 4/3 81π 6 β ) 1/3 4m Γ 8 1/4) = π sin π 4 ) = π

29 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 9 de manera que la frecuencia es que depende de la energía ω = 4 3 k 0I 1/3

30 30 Capítulo 3 ) Resolver el hamiltoniano Solución H = p m + 1 mω q + ɛq 3 En la figura se ha representado el potencial V = 1 mω q +ɛq 3. Los estados ligados corresponden a 0 < E < m3 ω 6 54ɛ q 1 < q < q < q 3 donde q 1, q, q 3 son las raices de la ecuación de tercer grado ver Schaum) q 3 + mω q ɛ E ɛ = 0 que verifican q 1 + q + q 3 = mω ɛ q 1 q q 3 = E ɛ q 1 q + q 1 q 3 + q q 3 = 0 Resolución exacta Corresponde a resolver E = m q + V = m q + 1 mω q + ɛq 3

31 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 31 es decir dq ɛ q3 q)q q )q q 1 ) = m dt Esta integral puede resolverse con el cambio q = q + q 3 q ) cn u; k) de manera que: k = q 3 q q 3 q 1 q 3 q = q 3 q ) sn u; k) q q 1 = q 3 q 1 ) dn u; k) q q = q 3 q ) cn u; k) y la integral es en consecuencia du ɛ = q3 q 1 m dt ) q = q + q 3 q ) cn ɛq3 q 1 ) m t + t 0); k El caso particular en que E = m3 ω 6 54ɛ corresponde a q 3 = En tal caso k = 1 y la solución es: q 1 = q = mω 3ɛ E = q 1 6q 1 q = mω 6ɛ q = mω 3ɛ + mω ɛ 1 cosh [ ω t + t 0)] de forma que q ) = q ) = q 1 = q qt 0 ) = q 3

32 3 Capítulo 3 Variables de acción I = 1 π pdq = 1 π q3 que con el cambio de variable anterior es: donde I = 1 π u3 u Teniendo en cuenta q mɛq3 q)q q )q q 1 )dq q 3 q ) mɛq 3 q1)q3 q ) sn cn dn du I = q 3 q ) u3 mɛq3 q1) sn cn dn du π u cn u ) = 0 sn u ) = 1 u = K cn u 3 ) = 1 sn u 3 ) = 0 u 3 = 0 sn cn dn du = 1 { k k )u + k 4 + k )Eu) + k snu) cnu) dnu)3k sn u) 1 k ) } 15k 4 Cálculo aproximado Volviendo a : I = 1 π q3 q Haciendo el desarrollo en serie de la raiz me mω q ɛq 3 )dq bɛ a bɛ a a) donde en nuestro caso obtenemos haciendo I 1 π ɛ q3 π q a = me m ω q q3 q b = mq 3 me m ω q dq q 3 m me m ω q dq sin θ = mω E q

33 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 33 obtenemos I 1 π π 0 me E mω cos θdθ ɛm π π 0 E mω ) sin 3 θ me dθ I E ω 4ɛ ) E 1 3π mω me

Transformaciones canónicas

Transformaciones canónicas apítulo 29 Transformaciones canónicas 29.1 Introducción onsideremos una transformación arbitraria de las coordenadas en el espacio de las fases de dimensión 2(3N k) (con el tiempo como un parámetro) Q

Más detalles

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) 1.1 Definiciones Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes respecto

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene: a) el centro en el punto (, 5) y el radio es igual a 7. b) un diámetro con extremos los puntos (8, -) y (, 6). a) La

Más detalles

Movimiento oscilatorios: libre, amortiguado, forzado.

Movimiento oscilatorios: libre, amortiguado, forzado. Movimiento oscilatorios: libre, amortiguado, forzado. Masa sujeta a un resorte Ley de Hooke: F = kx Segunda Ley de Newton: ma = kx; a = ω x; ω = k m Conservación de la energía: E = 1 m ẋ + 1 mω x ẋ = E

Más detalles

Movimiento oscilatorio

Movimiento oscilatorio Capítulo 13 Ondas 1 Movimiento oscilatorio El movimiento armónico simple ocurre cuando la fuerza recuperadora es proporcional al desplazamiento con respecto del equilibrio x: F = kx k se denomina constante

Más detalles

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Tema 2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Introducción Estudiaremos en este tema varios tipos de E.D.O. de primer orden que es posible resolver de forma exacta. 2.1 Ecuaciones en variables

Más detalles

Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales

Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales 775 Análisis matemático para Ingeniería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 1 Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales En este capítulo se inicia el estudio de lo que se

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO Si un hombre es perseverante, aunque sea duro de entendimiento se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en fuerte Leonardo Da Vinci TRASLACION DE

Más detalles

FORMATO DE CONTENIDO DE CURSO PLANEACIÓN DEL CONTENIDO DE CURSO

FORMATO DE CONTENIDO DE CURSO PLANEACIÓN DEL CONTENIDO DE CURSO FACULTAD DE: CIENCIAS BÁSICAS PROGRAMA DE: FÍSICA VERSIÓN: 0 PÁGINA: 1 de 7 PLANEACIÓN DEL CONTENIDO DE CURSO 1.IDENTIFICACIÓN DEL CURSO NOMBRE : MECÁNICA CLÁSICA CÓDIGO : 21046 SEMESTRE : VI NUMERO DE

Más detalles

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad) Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb

Más detalles

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6

Más detalles

FÍSICA 2º BACHILLERATO EL OSCILADOR ARMÓNICO. PROBLEMAS RESUELTOS

FÍSICA 2º BACHILLERATO EL OSCILADOR ARMÓNICO. PROBLEMAS RESUELTOS FÍSICA º BACHILLERATO EL OSCILADOR ARMÓNICO. PROBLEMAS RESUELTOS TIMONMATE 1. Las características conocidas de una partícula que vibra armónicamente son la amplitud, A= 10 cm, y la frecuencia, f= 50 Hz.

Más detalles

Despejes www.math.com.mx

Despejes www.math.com.mx Despejes En esta lección se abordan problemas de despeje de fórmulas www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel MathCon c 2007-2008 Contenido 1. órmulas 2 2. Problemas de despeje 3 1 órmulas Una fórmula

Más detalles

TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA Nueva del Carmen, 35. 470 Valladolid. Tel: 983 9 63 9 Fax: 983 89 96 TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos / Criterios de evaluación O.7. Concepto y propiedades de los vectores O.7. Operaciones con vectores:

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 RECTAS - EJERCICIOS TEÓRICOS 1- Demostrar que la ecuación

Más detalles

Capítulo 3. Sistema de dos niveles con degeneramientos. 3.1 El modelo atómico general

Capítulo 3. Sistema de dos niveles con degeneramientos. 3.1 El modelo atómico general Capítulo 3 Sistema de dos niveles con degeneramientos En el Capítulo 2 hemos presentado modelos atómicos simplificados que, con algunas aproximaciones, se acercan a las situaciones experimentales pertinentes.

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ) La ecuación de un M.A.S. es x(t) cos 0t,, en la que x es la elongación en cm y t en s. Cuáles son la amplitud, la frecuencia y el período de este

Más detalles

OSCILACIONES ARMÓNICAS

OSCILACIONES ARMÓNICAS Tema 5 OSCILACIONES ARMÓNICAS 5.1. Introducción. 5.. Movimiento armónico simple (MAS). 5.3. Cinemática y dinámica del MAS. 5.4. Fuerza y energía en el MAS. 5.5. Péndulo simple. MAS y movimiento circular

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1).

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1). INTEGRALES DE LÍNEA. 15. alcular las siguientes integrales: (a) (x + y) ds donde es el borde del triángulo con vértices (, ), (1, ), (, 1). (b) x + y ds donde es la circunferencia x + y ax (a > ). (a)

Más detalles

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO CAPÍTULO I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO SECCIONES 1. Vectores. Operaciones con vectores. 2. Rectas y planos en R 3. 3. Curvas y superficies en R 3. 4. Nociones de topología métrica. 1 1. VECTORES. OPERACIONES

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

5 Geometría analítica plana

5 Geometría analítica plana Solucionario Geometría analítica plana ACTIVIDADES INICIALES.I. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(, ) y B(8, ). El punto medio es M(, 8)..II. Dibuja un triángulo isósceles

Más detalles

VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes.

VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes. VECTORES EN EL ESPACIO. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas (,, t), 0, t, t) y(, 2, t) sean linealmente dependientes. Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podrá expresar

Más detalles

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Sección 3.1.4 1. Dom a = [ 1, 1]. Dom b = R. Dom c = (, 4). Dom d = ( 1, ). Dom e = R ( 1, 3] y Dom f = R {, }. 5x 4 x < 1, (x 1)(3x ) x < 1,. (f + g)(x)

Más detalles

5. Introducción a la Formulación Lagrangiana y Hamiltoniana

5. Introducción a la Formulación Lagrangiana y Hamiltoniana 5. Introducción a la Formulación Lagrangiana y Hamiltoniana Introducción Definiciones: coordenadas, momentos y fuerzas generalizados. Función Lagrangiana y ecuaciones de Euler-Lagrange. Coordenadas cíclicas.

Más detalles

FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS.

FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS. FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS. FUNCIÓN. Es toda aplicación entre dos conjuntos A y B formados ambos por números. f A --------> B Al conjunto A se le llama campo de existencia de la función

Más detalles

EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EJERCICIOS TEMA 4 EJERCICIOS TEMA 4 3 TOPOLOGÍA Ejercicio 1 Sea el conjunto A = 0; 1) [ fg. Hallar A, A, A 0 fra). Solución: A = 0; 1); A = [0; 1] [ fg;

Más detalles

1. Derivadas parciales

1. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para

Más detalles

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(

Más detalles

α = (rad/s 2 ) Experimento 8

α = (rad/s 2 ) Experimento 8 Experimento 8 MOVIMIENTO DE ROTACIÓN Objetivos 1. Establecer algunas similitudes entre el movimiento de traslación y el de rotación,. Medir la posición, velocidad y aceleración angulares de objetos girando,

Más detalles

Integrales y ejemplos de aplicación

Integrales y ejemplos de aplicación Integrales y ejemplos de aplicación I. PROPÓSITO DE ESTOS APUNTES Estas notas tienen como finalidad darle al lector una breve introducción a la noción de integral. De ninguna manera se pretende seguir

Más detalles

Tema 9. Funciones de varias variables.

Tema 9. Funciones de varias variables. Tema 9. Funciones de varias variables. 9.1 Introducción 9.2 Límite continuidad. 9.3 Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Teorema Schwart. 9.4 Diferencial. 9.5 Regla de la cadena. Derivación

Más detalles

Sistemas de vectores deslizantes

Sistemas de vectores deslizantes Capítulo 1 Sistemas de vectores deslizantes 1.1. Vectores. Álgebra vectorial. En Física, se denomina magnitud fsica (o simplemente, magnitud) a todo aquello que es susceptible de ser cuantificado o medido

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Problemas de Selectividad. Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad. Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad Isaac Musat Hervás 3 de mayo de 007 Índice General 1 Problemas de Álgebra 5 1.1 Matrices en General....................... 5 1. Determinantes.......................... 6 1.3

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

Funciones de varias variables reales

Funciones de varias variables reales Capítulo 6 Funciones de varias variables reales 6.1. Introducción En muchas situaciones habituales aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V =

Más detalles

Las Funciones Analíticas. f (z 0 + h) f (z 0 ) lim. h=z z 0. = lim

Las Funciones Analíticas. f (z 0 + h) f (z 0 ) lim. h=z z 0. = lim Las Funciones Analíticas 1 Las Funciones Analíticas Definición 12.1 (Derivada de una función compleja). Sea D C un conjunto abierto. Sea z 0 un punto fijo en D y sea f una función compleja, f : D C C.

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

Análisis Dinámico: Integración

Análisis Dinámico: Integración Análisis Dinámico: Integración Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: Integración 1 / 57 Integración indefinida

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica. Boletin 6. Funciones de Varias Variables EJERCICIOS RESUELTOS Curso 003-004 1. En cada apartado, calcular

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES PRIMER ORDEN, NOCIONES BÁSICAS E. SÁEZ Una Ecuación Diferencial Partial (E.D.P.) de Primer Orden, en dos variables, es simplemente una expresión de la forma

Más detalles

Dinámica. Fuerza es lo que produce cualquier cambio en la velocidad de un objeto. Una fuerza es lo que causa una aceleración

Dinámica. Fuerza es lo que produce cualquier cambio en la velocidad de un objeto. Una fuerza es lo que causa una aceleración Tema 4 Dinámica Fuerza Fuerza es lo que produce cualquier cambio en la velocidad de un objeto Una fuerza es lo que causa una aceleración La fuerza neta es la suma de todas las fuerzas que actúan sobre

Más detalles

9 Geometría. analítica. 1. Vectores

9 Geometría. analítica. 1. Vectores 9 Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C

Más detalles

Aplicaciones de ED de segundo orden

Aplicaciones de ED de segundo orden CAPÍTULO Aplicaciones de ED de segundo orden..1 Movimiento armónico simple x 0 k m Sistema masa-resorte para el estudio de las vibraciones mecánicas Para iniciar el estudio de las vibraciones mecánicas,

Más detalles

Mario Cosenza Mec anica Cl asica Versi on B-2015

Mario Cosenza Mec anica Cl asica Versi on B-2015 Mario Cosenza Mecánica Clásica Versión B-2015 Mario Cosenza Universidad de Los Andes Mérida, Venezuela Mecánica Clásica Versión B-2015 c MMXV a Claudia Mi propósito es exponer una ciencia muy nueva que

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

Deseamos, pues, al alumno el mayor de los éxitos en su intento.

Deseamos, pues, al alumno el mayor de los éxitos en su intento. INTRODUCCIÓN Todo debería hacerse tan sencillo como sea posible, pero no más Albert Einstein, físico Cuanto más trabajo y practico, más suerte parezco tener Gary Player, jugador profesional de golf E studiar

Más detalles

TRABAJO Y ENERGÍA Página 1 de 13

TRABAJO Y ENERGÍA Página 1 de 13 TRABAJO Y ENERGÍA Página 1 de 13 EJERCICIOS DE TRABAJO Y ENERGÍA RESUELTOS: Ejemplo 1: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m. La fuerza necesaria

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

8 Geometría. analítica. 1. Vectores

8 Geometría. analítica. 1. Vectores Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U

Más detalles

Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas

Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas. Vectores y puntos en el plano. Coordenadas.... Operaciones con vectores... 5.. Suma y resta de vectores... 5.. Producto de un número real por un vector....

Más detalles

Parcial I Cálculo Vectorial

Parcial I Cálculo Vectorial Parcial I Cálculo Vectorial Febrero 8 de 1 ( Puntos) I. Responda falso o verdadero justificando matematicamente su respuesta. (i) La gráfica de la ecuación cos ϕ = 1, en coordenadas esféricas en R3, es

Más detalles

Problemas de 2 o Bachillerato (ciencias sociales) Isaac Musat Hervás

Problemas de 2 o Bachillerato (ciencias sociales) Isaac Musat Hervás Problemas de 2 o Bachillerato ciencias sociales) Isaac Musat Hervás 27 de mayo de 2007 2 Índice General 1 Problemas de Álgebra 5 1.1 Matrices, Exámenes de Ciencias Sociales............ 5 1.2 Sistemas de

Más detalles

MÉTODOS DE ELIMINACIÓN Son tres los métodos de eliminación más utilizados: Método de igualación, de sustitución y de suma o resta.

MÉTODOS DE ELIMINACIÓN Son tres los métodos de eliminación más utilizados: Método de igualación, de sustitución y de suma o resta. ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. Dos o más ecuaciones con dos incógnitas son simultáneas cuando satisfacen iguales valores de las incógnitas. Para resolver ecuaciones de esta

Más detalles

M.A.S. Y MOV ONDULATORIO FCA 07 ANDALUCÍA

M.A.S. Y MOV ONDULATORIO FCA 07 ANDALUCÍA . La ecuación de una onda armónica que se propaga por una cuerda es: y (x, t) = 0,08 cos (6 t - 0 x) (S.I.) a) Determine el sentido de propagación de la onda, su amplitud, periodo, longitud de onda y velocidad

Más detalles

Vectores y Valores Propios

Vectores y Valores Propios Capítulo 11 Vectores y Valores Propios Las ideas de vector y valor propio constituyen conceptos centrales del álgebra lineal y resultan una valiosa herramienta en la solución de numerosos problemas de

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos

Más detalles

PRUEBA ESPECÍFICA PRUEBA 2009

PRUEBA ESPECÍFICA PRUEBA 2009 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES DE 5 AÑOS PRUEBA ESPECÍFICA PRUEBA 009 MATEMÁTICAS PRUEBA SOLUCIONARIO UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK 5 URTETIK GORAKOAK 009ko MAIATZA MATEMATIKA PRUEBAS

Más detalles

2º Tema.- Ampliación de análisis cinemático de mecanismos planos mediante métodos analíticos.

2º Tema.- Ampliación de análisis cinemático de mecanismos planos mediante métodos analíticos. Universidad de Huelva ESCUELA POLITECNICA SUPERIOR Departamento de Ingeniería Minera, Mecánica y Energética Asignatura: Ingeniería de Máquinas [570004027] 5º curso de Ingenieros Industriales 2º Tema.-

Más detalles

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo: Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA

EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Halle el punto P simétrico del punto P ( 3, 4, 0) respecto del plano Л que contiene a la recta s : x = y 2 = z 1 y al

Más detalles

FAMILIAS NORMALES VARIABLE COMPLEJA #6

FAMILIAS NORMALES VARIABLE COMPLEJA #6 VARIABLE COMPLEJA #6 FAMILIAS NORMALES Recordemos que F C(D, C) es una familia normal cuando cada sucesión en F tiene una subsucesión que converge en C(D, C). Esto es lo mismo que decir que cerr(f) es

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015 ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 05 Práctica : Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos A. Vectores Hasta el 9 de marzo. Sean v = (0,, ) y w = (,, 4) dos vectores de IR 3. (a) Obtener el coseno

Más detalles

8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

8 GEOMETRÍA ANALÍTICA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCICIOS PROPUESTOS 8. Las coordenadas de los vértices de un rectángulo son A(, ); B(, 5); C(6, 5), y D(6, ). Halla las coordenadas y representa los vectores AB, BC, CD y DA. Qué

Más detalles

2.1.5 Teoremas sobre derivadas

2.1.5 Teoremas sobre derivadas si x < 0. f(x) = x si x 0 x o = 0 Teoremas sobre derivadas 9 2. f(x) = x 3, x o = 3 a. Determine si f es continua en x o. b. Halle f +(x o ) y f (x o ). c. Determine si f es derivable en x o. d. Haga la

Más detalles

Notas del curso de Ecuaciones Diferenciales

Notas del curso de Ecuaciones Diferenciales Notas del curso de Ecuaciones Diferenciales 1 Introducción 2 2 Existencia y unicidad de las soluciones 4 3 Dependencia de las condiciones iniciales 8 4 Ecuaciones diferenciales autónomas 9 4.1 Orbitas

Más detalles

forma explícita forma implícita Por ejemplo cuando: a) representa la forma implícita a una. representa implícitamente a

forma explícita forma implícita Por ejemplo cuando: a) representa la forma implícita a una. representa implícitamente a FUNCIONES IMPLÍCITAS Profesora Claudia Durnbeck Una curva C contenida en ó puede estar definida por una ecuación: forma explícita forma implícita En muchos casos se puede pasar de una forma a otra, pero

Más detalles

1. Ecuaciones no lineales

1. Ecuaciones no lineales 1. Ecuaciones no lineales 1.1 Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 Dada la ecuación xe x 1 = 0, se pide: a) Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas. b) Aplicar el método de la bisección y acotar

Más detalles

Trabajo y Energía. Mario I. Caicedo. Departamento de Física. Universidad Simón Bolívar

Trabajo y Energía. Mario I. Caicedo. Departamento de Física. Universidad Simón Bolívar Trabajo y Energía Mario I. Caicedo Departamento de Física Universidad Simón Bolívar Índice 1. Motivación 2 2. Elementos de Matemáticas 4 2.1. Desplazamiento Infintesimal........................... 4 2.2.

Más detalles

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente.

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente. 3 Ecuaciones 17 3 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen ligados, mediante operaciones algebraicas, números y letras Las letras que aparecen en una ecuación se llaman incógnitas Existen

Más detalles

Geometria Analítica Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas

Geometria Analítica Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas 1. Verificar las identidades siguientes: 1) P (3, 3), Q( 1, 3), R(4, 0) Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas 2) O( 10, 2), P ( 6, 3), Q( 5, 1) 2. Demuestre que los puntos dados forman un triángulo isósceles.

Más detalles

CAPITULO 11. MOVIMIENTO OSCILATORIO.

CAPITULO 11. MOVIMIENTO OSCILATORIO. CAPITULO 11. MOVIMIENTO OSCILATORIO. Los principales objetivos de los capítulos anteriores estaban orientados a describir el movimiento de un cuerpo que se puede predecir si se conocen las condiciones

Más detalles

Guía Semana 12 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática

Guía Semana 12 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática . RESUMEN FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Varias Variables 8- Guía Semana Teorema del Cambio de Variables. Sea Ω ÊN un abierto y T : Ω ÊN una función de clase

Más detalles

El concepto de integral con aplicaciones sencillas

El concepto de integral con aplicaciones sencillas El concepto de integral con aplicaciones sencillas Eliseo Martínez Marzo del 24 Abstract Este artículo trata de ejemplos sencillos del concepto de integral con aplicaciones a la Física, la Teoría de la

Más detalles

Unidad 0. Aritmética Elemental. Estructuras Algebraicas I (LM) - Estructuras Algebraicas (PM) - Año 2009

Unidad 0. Aritmética Elemental. Estructuras Algebraicas I (LM) - Estructuras Algebraicas (PM) - Año 2009 Unidad 0 Aritmética Elemental Estructuras Algebraicas I (LM) - Estructuras Algebraicas (PM) - Año 2009 1. Buen orden e inducción. Empezamos haciendo hincapié en el carácter intrínseco de sucesión que tiene

Más detalles

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función

Más detalles

Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor. Tema 7 Polinomios de Taylor. 7.1 Polinomios de Taylor. Definición 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por P n,a, el polinomio: P n,a (x) = f(a)

Más detalles

MECANICA CLASICA Segundo cuatrimestre de 2007. Cinemática y dinámica del cuerpo rígido, ángulos de Euler, Ecuaciones de Euler.

MECANICA CLASICA Segundo cuatrimestre de 2007. Cinemática y dinámica del cuerpo rígido, ángulos de Euler, Ecuaciones de Euler. MECANICA CLASICA Segundo cuatrimestre de 2007. Cinemática y dinámica del cuerpo rígido, ángulos de Euler, Ecuaciones de Euler. Problema 1: Analizar los siguientes puntos. a) Mostrar que la velocidad angular

Más detalles

Tema 1.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

Tema 1.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Tema 1.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ampliación de Matemáticas Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial. Índice General 1 Ecuaciones diferenciales ordinarias.

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada ( Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada ( Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 0-0 Opción A Ejercicio, Opción A, Modelo 5 de 0 ['5 puntos] Un alambre de longitud metros se divide en dos trozos Con el primero se forma

Más detalles

x y y x 2x y x y x 2y 2 5 x 2y 2 5 EJERCICIOS PROPUESTOS

x y y x 2x y x y x 2y 2 5 x 2y 2 5 EJERCICIOS PROPUESTOS Solucionario 6 CÓNICAS 6.I. Calcula las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos e identifícalos. a) Puntos que equidistan de A(3, 3) y de B(, 5). b) Puntos que equidistan de r: y 0 y s: y 0. c)

Más detalles

1.3 Concepto de vector fijo, ligado o localizado

1.3 Concepto de vector fijo, ligado o localizado Capítulo 1 VECTORES 1.1 Magnitud escalar Magnitud escalar es aquella cuya determinación solo requiere el conocimiento de un número real y de una unidad de medida. El número indica la cantidad de veces

Más detalles

UNIDAD 2: Funciones racionales y con radicales 2.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES

UNIDAD 2: Funciones racionales y con radicales 2.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES .5 FUNCIONES CON RADICALES UNIDAD : Funciones racionales y con radicales.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES Aprendizajes: - Eplora en una situación o problema que da lugar a una función

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

CINEMATICA DE MAQUINAS

CINEMATICA DE MAQUINAS CINEMATICA DE MAQUINAS 4.1.- CAMPO DE VELOCIDADES EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA INDEFORMABLE 4.2.- ACELERACION DE UN PUNTO EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA INDEFORMABLE 4.3.- EJE INSTANTANEO

Más detalles

Las ecuaciones que nos dan la posición (x) de la partícula en función del tiempo son las siguientes: ( )

Las ecuaciones que nos dan la posición (x) de la partícula en función del tiempo son las siguientes: ( ) DESARROLLO DE LA PARTE TEÓRICA DE LA UNIDAD DIDÁCTICA. 1. Cinemática del movimiento armónico simple. Dinámica del movimiento armónico simple 3. Energía del movimiento armónico simple 4. Aplicaciones: resorte

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

DRAFT. Trabajo, Calor y Primer Principio de la Termodinámica.

DRAFT. Trabajo, Calor y Primer Principio de la Termodinámica. DRAFT Trabajo, Calor y Primer Principio de la Termodinámica. J.V. Alvarez Departmento de Fisica de la Materia Condensada, Universidad Autonoma de Madrid. 28049 Madrid, Spain. (Dated: October 10, 2007)

Más detalles

CAPÍTULO VII. INTEGRACIÓN INDEFINIDA

CAPÍTULO VII. INTEGRACIÓN INDEFINIDA CAPÍTULO VII. INTEGRACIÓN INDEFINIDA SECCIONES A. Integrales inmediatas. B. Integración por sustitución. C. Integración por partes. D. Integración por fracciones simples. E. Aplicaciones de la integral

Más detalles

La curvatura en el periastro y el problema de Kepler The curvature in the periastro and the problem of Kepler

La curvatura en el periastro y el problema de Kepler The curvature in the periastro and the problem of Kepler La curvatura en el periastro y el problema de Kepler The curvature in the periastro and the problem of Kepler Campillo IES Ruiz de Alda Isaac Peral s/n 30730 San Javier (Murcia) solivare@fresno.pntic.mec.es

Más detalles

9 VECTORES Y RECTAS EN EL PLANO

9 VECTORES Y RECTAS EN EL PLANO 9 VECTRES RECTAS EN EL PLAN EJERCICIS PRPUESTS 9. Dibuja cuatro vectores equipolentes al vector AB de la figura que tengan sus orígenes en los puntos, C, D y E. D E AB C D C E 9. En la figura siguiente,

Más detalles

1. DEFINICION DE ENERGIA ESPECIFICA

1. DEFINICION DE ENERGIA ESPECIFICA ENERGIA ESPECIFICA 1. DEFINICION DE ENERGIA ESPECIFICA El concepto de energía específica, desarrollado en 191 por Bakmeteff, deriva de la ecuación de Bernoulli antes mostrada. Cuando la distribución de

Más detalles

49 http://iedonboscohunter.hol.es

49 http://iedonboscohunter.hol.es 49 http://iedonboscohunter.hol.es MODULO PRECALCULO SEGUNDA UNIDAD Funciones Algebraicas Había un hombre en Roma que se parecía mucho a César Augusto; Augusto se enteró de ello, mandó buscarlo y le preguntó.

Más detalles

Osciladores lineales

Osciladores lineales GUIA 6 Osciladores lineales El propósito de este capítulo es estudiar algunas características de las soluciones de la ecuación diferencial lineal m d2 x dt + c dx 2 dt + k x = f(t), en el caso en que m,c

Más detalles