Tema III: Sistemas Hamiltonianos: Variables acción

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1 Tema III: Sistemas Hamiltonianos: Variables acción ángulo 1. Transformaciones canónicas Sea Hq, p, t) un hamiltoniano tal que ṗ = H q q = H p Una transformación en el espacio de fases Q = Qq, p) es canónica, si existe un hamiltoniano H Q, P, t) H Q, P, t) = Hq, p, t) + F t tal que Q y P son variables canónicas 1.1) P = P q, p) 1.) P = H Q Q = H P La función F es la función generatriz construida como df 1 q, Q, t) = pdq P dq df q, P, t) = pdq + QdP df 3 p, Q, t) = qdp P dq 1.3) 1.4) df 4 p, P, t) = qdp + QdP 1.5) 1 1.6)

2 Capítulo Ejemplo: Oscilador armónico amortiguado Lagrangiano La ecuación del movimiento es: o sea Hamiltoniano L = e bt m m q k ) q d bt bt e m m q) + e m kq = 0 dt m q + b q + kq = 0 p = L q = e bt bt p m m q = q = e m m H = e bt m p m + e bt kq m Este Hamiltoniano es dependiente del tiempo por lo que no es una constante del movimiento. Veamos si hay una transformación canónica que pase a un Hamiltoniano constante. Transformación canónica Utilicemos la siguiente función generatriz En tal caso F q, ˆp, t) = e bt m qˆp F q F ˆp F t Las nuevas variables son por tanto: = e bt m ˆp = p = e bt m q = ˆq = b m e bt m qˆp ˆp = e bt m p ˆq = e bt m q

3 .. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI 3 y el nuevo Hamiltoniano Las ecuaciones de Hamilton son: Ĥˆq; ˆp) = ˆp m + kˆq + b m ˆqˆp ˆq = ˆp m + b m ˆq ˆp = kˆq + b m ˆp Puesto que el nuevo hamiltoniano Ĥ no depende explícitamente de t, es constante del movimiento. Si lo expresamos en términos de las variables iniciales donde no es díficil comprobar que Ĥ = e bt p m m + e bt kq m + b m pq Ĥ [Ĥ, H] + t = 0 Dado que p = e bt m m q, la constante Ĥ puede escribirse como Ĥ = e bt q m m + k q + b ) q q. Ecuación de Hamilton-Jacobi El procedimiento standard de resolución de un sistema hamiltoniano consiste en obtener tantas constantes del movimiento como grados de libertad de manera que el problema sea soluble por cuadraturas. Por otra parte, hemos visto que toda coordenada cíclica lleva asociada una integral primera su momento conjugado), de forma que una transformación canónica que nos pasase a un conjunto de coordenadas cíclicas nos aseguraría la resolución del problema...1 Función principal de Hamilton La función generatriz que más drásticamente verifica la finalidad buscada sería aquella para la que el nuevo hamiltoniano fuese estrictamente cero. En concreto se

4 4 Capítulo 3 denomina función principal de Hamilton a una función generatriz de segunda especie Sq, P, t) tal que: H = H + p = S q Q = S P Sq, P, t) t = 0.1) Puesto que H = 0, todas las Q son cíclicas y sus momentos conjugados constantes P = α.) La ecuación H q, S ) q, t + S t = 0.3) se denomina Ecuación de Hamilton-Jacobi y puede interpretarse como una ecuación en derivadas parciales para S. En esta ecuación hay n+1 variables: las n q y el tiempo. La solución general de S ha de depender de n+1 constantes. Una de ellas ha de ser aditiva, ya que.3) solo depende de las derivadas de S y por tanto si S es una solución S+cte también lo es. Puesto que la transformación canónica solo depende de las derivadas de S, la constante aditiva es irrelevante. Las otras n constantes las podemos identificar con los n momentos constantes P = α de manera que, la resolución de la ecuación de H-J ha de proporcionar Como H = 0, las ecuaciones de Hamilton son: S = Sq, α, t).4) P = α y la condición de transformación canónica implica Q = β.5) Q = S P = β = Sq, α, t) α.6) Esta última ecuación.6) permite despejar las q en la forma q = qα, β, t).7) con lo que el problema esta resuelto. Las n q i dependen de n constantes arbitrarias α y β que son las nuevas variables canónicas)

5 .. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI 5.. Sistemas autónomos: Función característica de Hamilton Si H no depende explícitamente del tiempo, la ecuación de H-J es: H q, S ) + S q t = 0.8) que admite para S la forma con lo que.8) es: Sq, α i, t) = W q, α i ) α 1 t.9) H q, W q, α ) i) = α 1.10) q De manera que en este caso la constante α 1 uno de los nuevos momentos) es el propio Hamiltoniano que solo será la energía si el sistema es natural) La función W se denomina función característica de Hamilton...3 Separación de variables en la ecuación de H-J Se dice que el sistema es separable en las variables q i si para W de la forma W q i, α i ) = n W j q j, α i ).11) la ecuación de H-J se puede separar en n ecuaciones de la forma Hamilton-Jacobi Vamos ahora a aplicar H-J a Puesto que Ĥ no depende de t y la ecuación de H-J es: α = 1 m j=1 H j q j, dw j dq j, α i ) = α j.1) Ĥˆq; ˆp) = ˆp m + kˆq + b m ˆqˆp Sˆq, α, t) = αt + W ˆq, α) dw dˆq ) + k ˆq + b ) dw m ˆq dˆq

6 6 Capítulo 3 Se puede separar haciendo: en cuyo caso y por tanto mα = dm = W = M b 4 ˆq ) dm + ˆq mk b dˆq 4 ) = 0 mα m ω b 4 )ˆq dˆq La función principal de Hamilton es, por tanto S = αt b 4 ˆq + y la ecuación del movimiento mα m ω b 4 )ˆq dˆq β = S ) 1 mα α = t + m ω b 4 )ˆq mdˆq La integral se resuelve con el cambio m ω b 4 )ˆq = mα sin θ de manera que con lo que β = t + m θ m ω b 4 [ ] α ˆq = mω b ) sin ω b t + β) 4m 4m y por tanto la variable física es: donde γ = ω b 4m q = e bt α m sin[γt + β)] mγ

7 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 7 3. Variables acción-ángulo Nos vamos a restringir, por el momento a sistemas autónomos, tales que la ecuación de H-J sea separable en la forma: donde H = α 1. Sq 1...q n, α 1...α n ) = α 1 t Un grado de libertad En tal caso, la función de Hamilton es: n W k q k, α 1...α n ) 3.1) k=1 Sq, α, t) = W q, α) αt donde W satisface la ecuación α = H q, W ) q siendo los antiguos momentos y las nuevas coordenadas β = S α p = W q = t + W α El procedimiento que vamos a describir resulta particularmente útil para sistemas cuyas trayectorias de fases son cerradas. La constancia del Hamiltoniano define una curva Hq, p) = α en el espacio de fase. Cuando dicha curva es cerrada, se define I como cuya inversión proporciona I = Iα) = 1 π pdq 3.) H = α = HI) 3.3) Veamos ahora una forma alternativa de transformación canónica. Busquemos nuevos momentos constantes I, de tal manera que el nuevo Hamiltoniano sea el mismo que el anterior y que la función generatriz sea Ŵ q, I) = W q, αi)). Las nuevas variables seran ahora cíclicas pero no constantes y las denominaremos θ Hq, p) = α Ŵ q,i) HI) = α 3.4)

8 8 Capítulo 3 p = θ = Ŵ q, I) q Ŵ q, I) I 3.5) 3.6) Las ecuaciones del movimiento para HI) serán I = cte θ = H I = cte = ω 3.7) y por tanto la solución θ = ωt + θ 0 3.8) ejemplo: Oscilador armónico Los puntos de retroceso son H = p m + mω q q 0 = α mω de manera que la variable de acción se calcula como Haciendo sin γ = q q 0 I = π π 0 I = 4 1 q0 ) m α mω π 0 q dq α ω cos γdγ luego = 4α [ γ πω + sin γ 4 H = α = Iω )] π 0 = α ω de manera que θ = ω = θ = ωt + θ 0

9 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 9 Ejemplo: Potencial lineal E El hamiltoniano es: El punto de retroceso es: xo H = p m + k x x 0 = ± α k y por tanto I = x0 mα kx)dx π 0 I = ) 1 [ mα kx)) 3/] ) x 0 = mα) 3/ π 3 mk 0 3mkπ ) 9mk π 1/3 α = I /3 8 ) 9mk π 1/3 I 1/3 ω = 3 8

10 10 Capítulo 3 Ejemplo: Péndulo 4 4 t El hamiltoniano es: El punto de retroceso es: y por tanto Hacemos los cambios I = π H = θ0 0 p mgl cos θ = α ml ) α θ 0 = arcos mgl k = mgl + α mgl ml α + mgl cos θ)dθ x = sin θ = cos θ = 1 x dθ = dx 1 x con lo cual Haciendo x = k snu, k) I = 8 π m gl 3 x0 0 k x 1 x dx I = 4 K=arsn1 m gl π 3 k cn udu 0

11 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO Varios grados de libertad. Separabilidad Sea un hamiltoniano autónomo Hq 1...q n, p 1..p n ) tal que la ecuación de H-J sea separable en la forma: donde H = α 1. Sq 1...q n, α 1...α n ) = α 1 t + n W k q k, α 1...α n ) 3.9) k=1 En tal caso, tomando como función generatriz la función W q 1...q n, α 1...α n ) = n W k q k, α 1...α n ) 3.10) k=1 obtenemos p k = q k W k q k, α 1...α n ) 3.11) y por tanto, es posible definir las variables de acción I k α 1..α n ) = 1 p k dq k 3.1) π como los nuevos momentos generados por la transformación canónica W q 1...q n, I 1...I n ) = n W k q k, I 1...I n ) 3.13) de forma que las nuevas coordenadas, conjugadas de las de acción, serán las variables de ángulo definidas como θ k = W I k = n i=1 En cuanto al nuevo hamiltoniano será: y las ecuaciones de H-J k=1 W i q k, I 1...I n ) I k 3.14) H = α 1 = HI 1...I n ) 3.15) I k = 0 θ k = H I k = ω k I 1...I n ) 3.16)

12 1 Capítulo 3 o bien I k = cte θ k = ω k I 1...I n )t + δ k 3.17) El conjunto de constantes I 1...I n ), δ 1...δ n ) son las n constantes requeridas. No obstante, las δ i son triviales, una vez conocidas las I i. En consecuencia: Un hamiltoniano se dice completamente integrable si existen n integrales I i en involución [I i, I j ] = )

13 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 13 Ejemplo: Partícula en un rectángulo El Hamiltoniano es: con H = 1 p m x + py) 0 x a 0 y b de forma que tanto p x como p y son constantes en módulo I 1 = 1 p x dx = 1 a p x dx = a π π 0 π p x I = 1 p y dy = 1 b p y dy = b π π π p x de forma que ) H = π I 1 m a + I b 0 I1 0 I Para cada valor de la energía, los posibles valores de I 1 y I estn situados sobre una elipse. Las frecuencias son por tanto ω 1 = π ma I 1 ω = π mb I que dependen de las condiciones iniciales a través de I 1 y I. n = ω = a mea 1 ω 1 b π I1

14 14 Capítulo 3 Así pues,para una energía dada, la relación entre las frecuencias será racional o irracional dependiendo de los valores de I 1 Las dos variables angulares son θ 1 = π x a θ = π y b que pueden identificarse con los dos ángulos de un toro. Las trayectorias en el espacio de fases se encuentran pues arrolladas sobre un toro de radios I 1 e I y ángulos θ 1 y θ. Para un mismo valor de la energía tenemos varios posibles toros ya que la energía es degenerada pues todos los valores de I 1 e I situados sobre una elipse tienen la misma energía. En la figuras siguientes se muestran secciones de los diversos toros correspondientes a una misma energía I 1 Las trayectorias sobre estos toros serán ergódicas o no dependiendo el valor de Toro racional con n=3 Trayectoria irracional

15 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 15 Ejemplo: Partícula en un potencial central El lagrangiano será y los momentos L = m ṙ + r ϕ ) V r) 3.19) p r = mṙ p ϕ = mr ϕ 3.0) Por tanto el hamiltoniano es: Los momentos de H-J serán H = p r m + p ϕ + V r) 3.1) mr P 1 = α 1 = H P = α = p ϕ 3.) Ejemplo: Potencial de Coulomb El movimiento se realiza en un plano y el Hamiltoniano es: H = p r m + p ϕ mr k r y por tanto y α 1 = H α = p ϕ p r = Ar + Br + C 1 r donde A = mα 1 < 0 B = mk > 0 C = α < 0 de manera que I ϕ = 1 π p ϕ dϕ = α π 0

16 16 Capítulo 3 I r = 1 π p r dr = 1 π r r 1 Ar + Br + C 1 r dr donde r 1 y r son las raices de Ar + Br + C = 0 de manera que I r = 1 π I r = [ ] Bπ A π C mk mα1 α I ϕ = α α = I ϕ 1 I r = mk mα 1 α α 1 = mk I r + I ϕ ) y la energía es degenerada a lo largo de las rectas de la gráfica En las figuras siguientes se ven los cortes de diferentes toros de la misma energía

17 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 17 En cuanto a las frecuencias son iguales ω = mk I r + I ϕ ) 3 = mk E mk ) 3/ y todos los toros son racionales con las trayectorias cerradas como muestra la figura Como el semieje mayor es: se verifica a = r 1 + r = B A = k E ω a 3 = k m que es la ley de Kepler

18 18 Capítulo 3 Ejemplo: Potencial Dipolar Sea el potencial central V = k r + λ r. El correspondiente Hamiltoniano será:. H = p 1 m + p m k r + λ r Las constantes de separación de Hamilton-Jacobi serán: α 1 = H, α = p S = α 1 t + α ϕ + mr α 1 +kmr α λm dr r y el potencial efectivo ver figura) es: V ef = α m k r + λ r donde los puntos de retroceso son k r 1 = 1 1 4α 1 α 1 k r = Las variables de acción serán I 1 = 1 π r r 1 ) ) λ + α m k α ) ) 1 λ + α α 1 k m mr α 1 +kmr α λm dr r = mk α 1 α + mλ

19 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 19 invirtiéndolas I = 1 π α 1 = mk α = I α dϕ = α 1 I 1 + I + mλ Así que en el formalismo de acción-ángulo, el Hamiltoniano es: H = mk 1 I 1 + I + mλ En las figuras se ven los cortes de los toros de la misma capa de energía ) ) y las frecuencias ω 1 = mk I 1 + I + mλ ) 3 ω = mk I I 1 + ) 3 I + mλ I + mλ y por tanto la relación entre las frecuencias será n = ω 1 ω = I + mλ que será racional o no dependiendo del valor de I En la siguiente figura se ve la variación de n con I I

20 0 Capítulo n I Toros racionales n=3)

21 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 1 Toros irracionales

22 Capítulo 3 Ejemplo: Potencial de Hartman Sea el potencial el lagrangiano será: V = k r + λ ρ θ L = m ẋ + ẏ + ż ) + k r λ ρ El problema es separable en coordenadas parabólicas x = ab cos φ y = ab sin φ z = a b en cuyo caso Por tanto L = m ẋ + ẏ + ż = [ ȧ 4 cos θ = a b a + b sin 4ab θ = a + b) r = a + b ρ = ab 3.3) ȧb + ḃa) 4ab + ab φ + ȧ ḃ) b ) ] + ḃ 1 + a ) + ab a 4 b φ + k a + b λ ab Los momentos serán: p a = m 4 p b = m b ) ȧ a 1 + a ) ḃ b p φ = mab φ

23 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 3 y el Hamiltoniano H = m Para emplear H-J α 1 = m [ a a + b [ a a + b p a + b ] a + b p b + p φ 4ab H = α 1 S = α 1 t + W a a) + W b b) + W φ φ) ) dwa + b da a + b Como ϕ es cíclica, podemos hacer ) dwb + db k a + b + λ ab ) dwφ 1 dφ 4ab ] k a + b + λ ab con lo que la ecuación de H-J es: 4a α = p ϕ ) ) dwa dwb 1 + 4b 4mk + mλ da db a + 1 ) 1 mα 1 a + b) = α b a + 1 ) b de manera que podemos separar el problema en la forma p a = p b = p ϕ = donde α 3 es la constante de separación Las variables de acción serán: ) dwa mα1 = + α 3 da 4a α + mλ 4a ) dwb mα1 = + 4mk α 3 α + mλ db 4b 4b ) dwϕ = α 3.4) dϕ I Φ = 1 π p Φ dφ = α I a = 1 π p a da = 1 π a a 1 Aa + Ba + C da a

24 4 Capítulo 3 donde A = mα 1 < 0 B = α 3 4 C = α + mλ 4 < 0 y a 1, a son las raices de Aa + Ba + C = 0. I a = 1 [ ] Bπ π A π C I a = α 3 1 α + mλ 8 mα 1 donde I b = 1 π p b db = 1 π b b 1 Ab + Bb + C db b A = mα 1 < 0 B = 4mk α 3 4 C = α + mλ 4 < 0 y b 1, b son las raices de Ab + Bb + C = 0. I b = 1 [ ] Bπ π A π C I b = 4mk α 3 1 α + mλ 8 mα 1 Para eliminar α 3 sumamos I a e I b I a + I b = IΦ 4mk + mλ + 8 mα 1 despejando α 1 H = α 1 = mk ) I a + I b + I φ + mλ

25 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 5 Las frecuencias asociadas a a y b son iguales ) 3 ω a = ω b = mk I a + I b + I φ + mλ mientras que ω Φ = ω a I φ I φ + mλ

26 6 Capítulo 3 Problemas 1) Dado el hamiltoniano H = p m + β 4 q4 a) Resolver el problema utilizando Hamilton-Jacobi b) Encontrar la frecuencia del movimiento utilizando el método de las variables acción-ángulo ) Resolver el hamiltoniano H = p m + 1 mω q + ɛq 3 3) Estudiar los espacios de fases de los dos hamiltonianos anteriores a) Representar las trayectorias en el espacio de fases b) Hacer el análisis de puntos críticos

27 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 7 1) Dado el hamiltoniano H = p m + β 4 q4 a) Resolver el problema utilizando Hamilton-Jacobi b) Encontrar la frecuencia del movimiento utilizando el método de las variables acción-ángulo Solución Hamilton-Jacobi donde las nuevas coordenadas son H = p m + β 4 q4 Sq, α) = αt + W q, α) P = α = H Q = t 0 y W q, α) = mα β 4 q4 )dq y la ecuación del movimiento es: es decir Q = S P t 0 = t + W α t 0 = t + m dq α β 4 q4 Haciendo deshaciendo el cambio q = q 0 cnu; 1/) q 0 = 4α β )1/4 q = t 0 + t = 1 m α q 0 u [ ] α t + t 0 q = q 0 cn ; 1/ m q 0 ) 1 4α 4 cn [ 4αβ ] β m ) 1 4 t + t0 ); 1/

28 8 Capítulo 3 Variable angular de acción Es una integral elíptica definida que puede escribirse en términos de funciones Γ o bien Si hacemos el cambio que es una función de Bessel I = 1 π ) m α βq4 dq 4 I = 4 q 4 0 mα 1 q 4 dq π 0 q 0 I = mα q 0 π I = 1 π que es expresable también como I = 1 π q z = 1 0 q 0 ) 4 1 z) 1/ z 3/4 dz ) 16m α 3 1/4 B1/4, 3/) β ) 16m α 3 1/4 Γ1/4)Γ3/) β Γ7/4) Utilizando las relaciones: Γ3/) = Γ ) Γ7/4) = Γ ) = Γ3/4) Γ3/4)Γ1/4) = Γ1/4)Γ 1 1 ) 4 obtenemos I = Invirtiendo para despejar α 3π 3/ k 0 = m β = 1 Γ1/) = π ) 1/4 ) 1 Γ α 3/4 4 α = H = k 0 I 4/3 81π 6 β ) 1/3 4m Γ 8 1/4) = π sin π 4 ) = π

29 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 9 de manera que la frecuencia es que depende de la energía ω = 4 3 k 0I 1/3

30 30 Capítulo 3 ) Resolver el hamiltoniano Solución H = p m + 1 mω q + ɛq 3 En la figura se ha representado el potencial V = 1 mω q +ɛq 3. Los estados ligados corresponden a 0 < E < m3 ω 6 54ɛ q 1 < q < q < q 3 donde q 1, q, q 3 son las raices de la ecuación de tercer grado ver Schaum) q 3 + mω q ɛ E ɛ = 0 que verifican q 1 + q + q 3 = mω ɛ q 1 q q 3 = E ɛ q 1 q + q 1 q 3 + q q 3 = 0 Resolución exacta Corresponde a resolver E = m q + V = m q + 1 mω q + ɛq 3

31 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 31 es decir dq ɛ q3 q)q q )q q 1 ) = m dt Esta integral puede resolverse con el cambio q = q + q 3 q ) cn u; k) de manera que: k = q 3 q q 3 q 1 q 3 q = q 3 q ) sn u; k) q q 1 = q 3 q 1 ) dn u; k) q q = q 3 q ) cn u; k) y la integral es en consecuencia du ɛ = q3 q 1 m dt ) q = q + q 3 q ) cn ɛq3 q 1 ) m t + t 0); k El caso particular en que E = m3 ω 6 54ɛ corresponde a q 3 = En tal caso k = 1 y la solución es: q 1 = q = mω 3ɛ E = q 1 6q 1 q = mω 6ɛ q = mω 3ɛ + mω ɛ 1 cosh [ ω t + t 0)] de forma que q ) = q ) = q 1 = q qt 0 ) = q 3

32 3 Capítulo 3 Variables de acción I = 1 π pdq = 1 π q3 que con el cambio de variable anterior es: donde I = 1 π u3 u Teniendo en cuenta q mɛq3 q)q q )q q 1 )dq q 3 q ) mɛq 3 q1)q3 q ) sn cn dn du I = q 3 q ) u3 mɛq3 q1) sn cn dn du π u cn u ) = 0 sn u ) = 1 u = K cn u 3 ) = 1 sn u 3 ) = 0 u 3 = 0 sn cn dn du = 1 { k k )u + k 4 + k )Eu) + k snu) cnu) dnu)3k sn u) 1 k ) } 15k 4 Cálculo aproximado Volviendo a : I = 1 π q3 q Haciendo el desarrollo en serie de la raiz me mω q ɛq 3 )dq bɛ a bɛ a a) donde en nuestro caso obtenemos haciendo I 1 π ɛ q3 π q a = me m ω q q3 q b = mq 3 me m ω q dq q 3 m me m ω q dq sin θ = mω E q

33 3.. VARIABLES ACCIÓN-ÁNGULO 33 obtenemos I 1 π π 0 me E mω cos θdθ ɛm π π 0 E mω ) sin 3 θ me dθ I E ω 4ɛ ) E 1 3π mω me