open green road Guía Matemática profesor: Nicolás Melgarejo .cl

Transcripción

1 Guía Matemática RAÍCES profesor: Nicolás Melgarejo.cl

2 . Raíces y potencias La radicación podemos entenderla como la operación inversa a la potenciación, así como multiplicar y dividir, sumar y restar. La raíz enésima de a elevada a m es n a m, de la cual podemos distinguir dos elementos importantes: Mira! Para el traajo algeraico y aritmético con raíces es importante que no olvidemos que existe una relación entre raíces y potencias: a m n n a m De esta relación podemos encontrar una serie de propiedades para las raíces.. n a n n a Esto se dee a que n a n a n n (a) n n a. n a n n a Esto se dee a que n a n a n n ( a ) n n a. n m a n m a Esto se dee a que n m a ( m a ) n ( ) a n m a m n a n m n m a

3 . n a n a n Esto se dee a que n a n (a n ) n (a n ) n n a n n n a n Esta propiedad es muy útil, ya que nos permite extraer de la raíz todas las cantidades suradicales que tengan un exponente divisile por el índice de la raíz. De manera general: n a m a m n n Ejemplo Aplica las propiedades de las raíces para escriir los radicales de la forma más simple posile.. 6 Escriimos las cantidades suradicales como potencias y luego aplicamos la propiedad Escriimos la cantidad suradical como factorización prima y luego extraemos de la raíz las cantidades suradicales que tengan un exponente divisile por el índice Escriimos el numerador y denominador como potencia y luego extraemos de la raíz las cantidades suradicales que tengan un exponente divisile por el índice ( 5 5 )

4 Aplicando la relación entre potencias y raíces: Aplicando la relación entre potencias y raíces: Aplicamos la propiedad : ( ) Para simplificar el radical deemos escriir la cantidad suradical como factorización prima Para simplificar el radical deemos escriir la cantidad suradical como factorización prima La potencia la podemos escriir como, de este modo podemos extraer de la raíz cuadrada. Ejercicios Aplica las propiedades de las raíces para escriir los radicales de la forma más simple posile

5 . Raíces semejantes Decimos que dos o más radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y la misma cantidad suradical, por ejemplo,, m y 5 son radicales semejantes porque tienen en común el radical. Mira!.. Reducción de radicales semejantes Las raíces semejantes se reducen de la misma manera que lo hacemos para términos algeraicos semejantes, hallando la suma o resta de los coeficientes de las raíces semejantes y colocando esa suma o diferencia como coeficiente de la parte radical en común. Ejemplo. Simplificar: a) 7 5 (7 5) 8 ) ( 0 + 9) c) ( ). Efectuar la siguiente operación. a) + 7 A primera vista no hay términos comunes, pero podemos reescriir las cantidades suradicales como factorización prima y luego extraemos términos ) ( + ) 5 Aplicamos los mismos pasos que en el caso anterior Un error común es pensar que: a + a + Pruea la falsedad de esta afirmación con a 6 y 6 5

6 Ejercicios Reduce los radicales semejantes (x ) + (x + ) x Radicales algeraicos Como es de esperar, todas las propiedades que hemos estudiado para cantidades aritméticas aplican para expresiones algeraicas. A continuación presentamos una serie de ejemplos para mostrar la aplicación de las propiedades de los radicales en álgera. Ejemplo. Simplificar: a) 9x y 7 9x y 7 9 x y 7 7 x x y 6 y 7xy x y 7xy xy ) 50a 50a 5a 5 a 5a c) 6x y 7 Descomponemos las potencias de tal manera que sus exponentes sean múltiplos del índice de la raíz, en este caso múltiplos de. 6x y 7 x y 7 x y 6 y y x y 6

7 d) 5a 5a 5 a (5a) (5a) (5a) 5a e) 8 8x 7 9n f ) 5 5m 8 8x 7 x 7 x x 6 x x 9n 5 5m 5 n 5m m n 5 m 5m 5 n m 5m. Reduce términos semejantes a) 5ax 5 + 9a x 9ax 7 Extraemos las cantidades suraricales que tengan exponente divisile por el índice de la raíz. 5ax 5 + 9a x 9ax 7 5 a x x + 7 a a x x a x 6 x 5x ax + 7ax ax x ax (5x + 7ax x ) ax Recuerda que al extraer una cantidad suradical, ésta queda como coeficiente de la raíz elevada a la razón entre el exponente que tenía dentro de la raíz y el índice de la raíz. n a m a m n n 7

8 Ejercicios Simplificar.. a. 50a 8. mn 8. 08a a a 7 c a 9 x a 8. 7x 6a Operaciones con raíces de diferente índice Para sumar o restar fracciones necesitamos que éstas tengan el mismo denominador. Si no lo tienen uscamos el mínimo común múltiplo entre los denominadores y luego escriimos fracciones equivalentes a las anteriores, pero con el denominador encontrado. Notemos que en los radicales ocurre algo similar. Para sumar, restar, multiplicar y dividir raíces necesitamos que éstas tengan el mismo índice, entonces qué podemos hacer cuando dos raíces tienen índices diferentes? Veamos el siguiente ejemplo para entender. Ejemplo. Multiplicar x por x Primero escriimos las raíces como potencias de exponente fraccionario. x x x (x ) Para que podamos usar la propiedad de la multiplicación de las raíces con igual índice, deemos reescriirlas como radicales equivalentes que tengan igual índice. Al expresarlas como potencias de exponente fraccionario los índices corresponden a los denominadores. Entonces deemos reescriir los exponentes como fracciones con el mismo denominador usando el mínimo común múltiplo. El MCM(, ) 6, entonces: y 6 6 Ahora usamos las fracciones con denominador 6 para reescriir las raíces. x (x ) x 6 (x ) 6 6 x 6 (x ) 6 x (x ) 6 x x 6 x 7 x 6 x 8

9 . Simplificar x 9x Hacemos los mismos pasos que en el caso anterior. x 9x (x ) (9x) (x ) 6 (9x) 6 6 (x ) 6 (9x) 6 (x ) (9x) 6 x 9 x 6 x 6 x 6 x 6 9x Ejercicios Desarrolla las operaciones y reduce x x. 9x y 6 8x 5. x y x y 6. x 5 5x 0 6x a 0 a 9. 8a 6 6x. Comparación de raíces con el mismo índice Para x > y y n, todos reales positivos, se cumple que: n x > n y Este resultado nos permite definir si una raíz es mayor o menor que otra, sólo comparando si la cantidad suradical es menor o mayor. Por ejemplo qué número es mayor 0 ó 5? Para responder esta pregunta podemos escriir amas raíces con el mismo índice como lo hemos hecho en los anteriores ejemplos. Los índices son y, por lo tanto, el menor múltiplo común es 6. Mira!

10 Como las raíces tienen el mismo índice, el radical mayor es el que tiene la mayor cantidad suradical, en este caso Entonces podemos concluir que 6 5 > > 0 Ejercicios 5 Escriir en orden decreciente de magnitud.. 6,., 5.,, , 7.,, 8 6., 6, 9 5. Racionalización Consiste en reescriir una fracción cuyo denominador es un radical a otra fracción equivalente en donde su denominador sea un racional. Con esta acción hacemos desaparecer todo signo radical del denominador. En la racionalización podemos distinguir dos casos diferentes. Mira! 5.. Denominador monomio radical En este caso deemos amplificar la fracción por el radical, del mismo índice del radical del denominador, tal que al multiplicarlo con el denominador dé como resultado un racional. Para comprenderlo veamos una serie de ejemplos. Ejemplo Racionaliza:. 5x Para eliminar el radical del denominador amplificamos por 5x 5x 5x 5x 5x 5x 5x 5x 5x 5 x 5x 5x 0

11 De manera general para cualquier a > 0 se cumple que: a a a. 9x El denominador es 9x que es igual a x. Para extraer cantidades suradicales de esta raíz cúica, los exponentes de los términos que componen a la cantidad suradical deen ser múltiplos de. Saemos que la raíz por la que amplificaremos tiene índice. Además la cantidad suradical es x, para que los podamos extraer de la raíz cúica deemos multiplicarlos por x, de este modo deemos multiplicar el numerador y denominador por x. 9x x x x x x x x x. x x Nos podemos dar cuenta que la cantidad suradical del factor que usaremos para amplificar, se compone de todas letras y números de la cantidad suradical de la raíz del denominador, cada una de éstas elevada a la potencia que le falta para llegar al índice. Por ejemplo, si el denominador es x, el factor para amplificar será una raíz de índice y la cantidad suradical estará compuesta por y x, cada una de éstas elevadas al número que le falta a y x para llegar a un exponente igual al índice de la raíz (en este caso particular ). A le falta unidad en el exponente y a x le faltan unidades en el exponente, entonces deemos multiplicar numerador y denominador por x. El denominador es 9a a, a le faltan dos unidades en el exponente para 9a igualar el valor del índice de la raíz, y a a le faltan tres unidades en el exponente. Entonces el factor es a. 9a a a a a a a a a 9a a 9a a

12 Ejercicios 6 Racionaliza x a. 5x 5. x 7x 8. 6 x y 5. a 6. 5n mn 9. x m n Expresiones conjugadas Consideremos una expresión algeraica que contiene radicales de índice dos: a + Tomemos la expresión compuesta por los mismos elementos, pero ahora con signo opuesto: a Se dice que estas dos expresiones son conjugadas. Otros ejemplos de pares de conjugadas son: a + y a a y a + Entonces la conjugada de es +, la conjugada de es +, y la conjugada de + 5 es 5. Pero cuál es la importancia de los pares de expresiones conjugadas? Veamos lo que ocurre al multiplicar expresiones conjugadas: En otro ejemplo: ( )( + ) ( ) () ( ) ( + ) ( ) ( ) Notemos que si multiplicamos un inomio por su conjugado otendremos una suma por su diferencia, lo que eliminará los radicales.

13 El producto de una expresión por su conjugada es racional. De hecho si a y son reales, entonces: ( a + )( a ) ( a) ( ) a Las expresiones conjugadas son muy importantes para la racionalización donde el denominador es un inomio que contiene radicales de segundo grado. 5.. Denominador inomio con radicales de segundo grado Para racionalizar el denominador de una fracción cuando éste se compone de un inomio que contiene radicales de segundo grado, deemos simplemente amplificar la fracción por el conjugado del denominador. Ejemplo. Racionaliza: a) 5 Amplificamos por el conjugado del denominador que es ) + ( 5 + ) ( 5 )( 5 + ) ( 5 + ) ( 5) ( 5 + ) ( 5 + ) + + ( )( ) ( + )( ) + ( ) ( ) + (5 ) 5

14 . Racionalizar la expresión con tres radicales de índice dos en el denominador. Utilizando la propiedad de asociatividad, agrupamos el denominador en términos: ( + 5) 6 El conjugado de ( + 5) 6 es ( + 5) + 6. Amplificamos la fracción por el conjugado. ( + 5) 6 ( + 5) 6 ( + 5) + 6 ( + 5) + 6 (( + 5) + 6) ( + 5) ( 6) (( + 5) + 6) ( ) + ( 5) + ( 5) 6 (( + 5) + 6) (( + 5) + 6) Ahora amplificamos por el conjugado del denominador, que es ( 0 + ) ( 0 + ) 0 0 ( )( 0 ) ( 0) Ejercicios 7 Racionaliza

15 Biliografía [ ] Álgera, Edición 98, CODICE S.A. Madrid (98) Dr. Aurelio Baldor. [ ] Aritmética, Edición 98, CODICE S.A. Madrid (98) Dr. Aurelio Baldor. 5