Campo eléctrico y superficies equipotenciales La trazadora analógica
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- Daniel Sánchez Vega
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1 Campo eléctrico y superficies equipotenciales La trazadora analógica 2 de abril de Objetivos Determinar el campo de potencial electrostático entre dos electrodos metálicos. 2. Material Figura 1: Montaje de la práctica de la trazadora analógica. 1 fuente de tensión de 10 V y 100 ma. 1 multímetro digital 1 mesa de metacrilato con taladros. 1 plancha de espuma flexible con taladros. 1
2 1 juego de piezas de cobre. 1 juego de tuercas y tornillos. papel conductor. cables y pinzas de conexión. 3. Teoría Cuando un objeto metálico se conecta a una fuente de potencial V, en su superficie se acumula una densidad de carga eléctrica tal que el potencial eléctrico en todo el objeto, incluida su superficie, es igual a V. Si dos objetos metálicos se conectan a potenciales V 1 y V 2, el potencial eléctrico V (r) en el espacio entre ellos variará entre el valor V 1 cerca del objeto 1, y el V 2 cerca del objeto 2, cumpliendo la ecuación de Laplace 2 V (r) = 0. Aunque dicha ecuación se deduce para el espacio vacío, sigue siendo aproximadamente válida si el espacio entre los objetos metálicos contiene un material uniforme de resistividad mucho mayor que la del metal, tal como el papel conductor usado en la práctica. Ese papel conductor nos permitirá medir el potencial V (r) usando un simple voltímetro (que en realidad mide una pequeña corriente entre sus bornes). Más exactamente, podremos medir la diferencia entre el potencial V (r) y el potencial en uno de los objetos, como por ejemplo V 1. Al resolver la ecuación de Laplace, para obtener el potencial teórico, hay que tener en cuenta que, puesto que realizamos las medidas sobre un plano, debemos usar la fórmula del laplaciano en dos dimensiones. Si queremos hacer la analogía con una situación en tres dimensiones tendremos que considerar que nuestros objetos son infinitos en la tercera dimensión, y, por lo tanto, lo que estamos observando será la proyección de dichos objetos tridimensionales sobre un plano. Así, un círculo y un rectángulo representarán las secciones de un cilindro y de una placa perpendiculares al papel, respectivamente. De esta forma, obtenemos las siguientes expresiones aproximadas para el potencial eléctrico a lo largo de las líneas de trazos de la figura 2. Entre dos círculos metálicos de radios R 1 y R 2 conectados a potenciales V 1 y V 2 : ( ) x x1 V (x) = V 0 + Qln (1) x 2 x siendo x 1 y x 2 (x 1 < x 2 ) las posiciones de los centros de los círculos y V 0 = V 2l 1 + V 1 l 2 l 1 + l 2 (2) Q = V 2 V 1 l 1 + l 2 (3) donde l 1 = ln((x 12 /R 1 ) 1), l 2 = ln((x 12 /R 2 ) 1), x 12 = x 2 x 1. Dentro de un anillo vacío, el potencial será constante. Para un círculo a potencial V 1, de radio R 1 centrado en x 1, y una barra a potencial V 0, con su borde izquierdo en x 0 > x 1, podemos usar la misma ecuación (1), sustituyendo V 2 = 2V 0 V 1, x 2 = 2x 0 x 1 y R 2 = R 1. Entre un círculo interior de radio R 1, a potencial V 1, y un anillo concéntrico de radio interior R 2 a potencial V 2, el potencial viene dado por V (r) = V 2 ln(r/r 1 ) V 1 ln(r/r 2 ) ln(r 1 /R 2 ) (4) siendo r = x x 1 la distancia al centro del círculo. 2
3 4. Experimentos Sujetar los electrodos metálicos (piezas de cobre) a la mesa de metacrilato, con el papel conductor y la plancha flexible entre los electrodos y la mesa. Con ayuda del juego de tuercas y tornillos, asegurar un buen contacto entre los electrodos y el papel conductor. Conectar las dos pinzas de la fuente de tensión a la parte inferior de los tornillos que sujetan los dos electrodos. En la fuente de tensión, establecer una diferencia de potencial V 12 V 2 V 1 10 V. Uno de los electrodos de la fuente se conecta a tierra y se toma como origen de potenciales, de modo que V 1 = 0 y V 2 = V 12. Con el multímetro digital en modo voltímetro, medir el potencial V (r) al que se encuentran diversos puntos r del papel. Los puntos r que se encuentran al mismo potencial forman una línea equipotencial, y las líneas perpendiculares a las líneas equipotenciales son las líneas de corriente. Figura 2: Configuraciones de electrodos para las cuales debe medirse el potencial V (r). Para cada una de las cuatro distribuciones de los electrodos de la figura 2: Obtener V (x), en puntos x separados 1 cm a lo largo de las líneas de trazos. Representar gráficamente los valores medidos junto a la función teórica V teorica (x) dada por las ecuaciones (1-4). Buscar puntos r, separados 2 cm, en los cuales V (r) = 2 V, y dibujar la línea equipotencial que los une. Repetir lo mismo para V (r) = 5 V y para V (r) = 8 V. Dibujar aproximadamente varias líneas de campo eléctrico, que sean perpendiculares a las líneas equipotenciales obtenidas previamente. 3
4 5. Medidas Diámetro d 1 ± d 1 (cm) = Diámetro d 2 ± d 2 (cm) = Centro x 1 ± x 1 (cm) = Centro x 2 ± x 2 (cm) = V 2 V 1 V 12 ± V 12 (V) = x ± x (cm) V (x) ± V (x) (V) V teorico (x) (V) Cuadro 1: Voltaje en funcion de la posición x a lo largo de la línea punteada de la configuración con dos discos pequeños. El cálculo mediante las ecuaciones (1-4) del potencial V teorico puede posponerse hasta la elaboración del informe final. Todos los demás valores y errores deben completarse durante la toma de datos. 4
5 Diámetro d 1 ± d 1 (cm) = Centro x 1 ± x 1 (cm) = Borde izquierdo x 0 ± x 0 (cm) = V 2 V 1 V 12 ± V 12 (V) = x ± x (cm) V (x) ± V (x) (V) V teorico (x) (V) Cuadro 2: Voltaje en funcion de la posición x a lo largo de la línea punteada de la configuración con un disco y una barra. Diámetro d 1 ± d 1 (cm) = Diámetro d 2 ± d 2 (cm) = Centro x 1 ± x 1 (cm) = Centro x 2 ± x 2 (cm) = V 2 V 1 V 12 ± V 12 (V) = x ± x (cm) V (x) ± V (x) (V) V teorico (x) (V) Cuadro 3: Voltaje en funcion de la posición x a lo largo de la línea punteada de la configuración con dos discos de distinto tamaño. 5
6 Diámetro d 1 ± d 1 (cm) = Diámetro interior d 2 ± d 2 (cm) = Centro x 1 ± x 1 (cm) = V 2 V 1 V 12 ± V 12 (V) = x ± x (cm) V (x) ± V (x) (V) V teorico (x) (V) Cuadro 4: Voltaje en funcion de la posición x a lo largo de la línea punteada de la configuración con un disco y un anillo concéntricos. 6
7 x = cm Figura 3: Plantilla para representar las líneas equipotenciales y las líneas de campo en la configuración con dos discos pequeños. Márquese claramente la posición de los puntos en los cuales se 7 ha medido cada potencial constante, y dibújense después las líneas equipotenciales que los unen. Finalmente, trácense líneas de campo aproximadas, de modo que crucen perpendicularmente a todas las líneas equipotenciales.
8 Figura 4: Plantilla para representar las líneas equipotenciales y las líneas de campo en la configuración con un disco y una barra. 8 x = cm
9 Figura 5: Plantilla para representar las líneas equipotenciales y las líneas de campo en la configuración con dos discos de distinto tamaño. 9 x = cm
10 Figura 6: Plantilla para representar las líneas equipotenciales y las líneas de campo en la configuración con un disco y un anillo concéntrico. 10 x = cm
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