Ejercicios (Números reales)

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1 Ejercicios (Números reales).. Decir si cada una de las siguientes expresiones es cierta o falsa: a) d) 30ÿ ÿ00 k j 4 k 30ÿ 00 ÿ k j 4, b) k ÿ00 00, c).. Expresar con notación de sumatorio: 0ÿ a) ` 3 ` 3 4 ` ` 0, b) ` 40 ` 900 ` ` ` , p ` j q ` c) x ` 3x 4x 3 ` 5x 4, d) a 0 x 4 ` a x 3 ` a x ` a 3 x ` a 4, e) a 5 a 4 b ` a 3 b a b 3 ` ab 4 b 5, f) a 5 ` a 4 b ` a 3 b ` a b 3 ` ab 4 ` b Sabiendo que jpj`q j j`, hallar la suma de n 0ÿ. jpj`q.4. Hallar las sumas siguientes (n P N): a) pj q. (Usar la igualdad j pj q j, j P N.) b) j. (Apoyarse en a).).5. Algunas de estas afirmaciones sobre los números naturales n y p son ciertas y otras falsas. Decidir de qué tipo es cada una de ellas y justificar la respuesta. a) n es par si, y solo si, n es par. b) pn ` pq es par si, y solo si, pn pq es par. c) Si np es impar, entonces n ` p es par. d) Si n ` np ` p es par, entonces np es par. e) Si n ` np ` p es par, entonces n y p son pares..6. Probar que x n y n px yqpx n ` x n y ` `xy n ` y n q para cada n P N, x, y P R. Escribir el segundo miembro con notación de sumatorio. Esta expresión recibe el nombre de Fórmula o Identidad Ciclotómica. j,

2 .7. Deducir de la Identidad Ciclotómica la suma de n xj, x. Hacer operaciones en la expresión p xq n jxj para deducir la suma de n jxj, x. Análogamente en p xq n j x j para deducir la suma de n j x j, x..8. Demostrar por inducción las propiedades siguientes (n P N): a) c) e) g) k npn ` qpn ` q k ` 4, b) 6 kpk ` qpk ` q k k npn ` q, ÿ n k 3 d) kpk ` q k k?? n, f) k k k p q k`, k k n` k ar j aprn q (r ). r.9. Deducir de las ecuaciones, 4 p ` q, 4 ` 9 ` ` 3, 4 ` 9 6 p ` ` 3 ` 4q, np3n ` 7q pn ` qpn ` q, npn ` qpn ` q, 3 una fórmula general sencilla que incluya las anteriores como casos particulares, y demostrarla mediante el Principio de Inducción Matemática..0. Dado un número n P N, se define su factorial como n! npn qpn q, y también se define 0!. Dados dos números m, n P N Yt0u con m n, se define el coeficiente binómico m sobre n como ˆm m! n n!pm nq!. Probar las siguientes propiedades: ˆm ˆm ˆm a), 0 m ˆ ˆm m b), n m n ˆ m m m,

3 c) ˆ ˆm m ` n n ` ˆm `. n `.. Probar la fórmula del Binomio de Newton: para cada x, y P R y cada n P N, px ` yq n `n j xj y n j. Deducir de ella que: ˆ ˆn n a) ` n ` ` ` ` n, n ˆn n ˆ n b) n ` ` `p q `p q n 0. n.. Demostrar que 7 n` 48 n 7 (n P N) es divisible por Demostrar que n ` 5n (n P N) es múltiplo de 9..4 (Desigualdad de Bernouilli). a) Probar que para todo x y todo n P N se verifica p ` xq n ` nx. b) Demostrar también que si n y x 0 la desigualdad anterior es estricta..5. Probar las siguientes desigualdades para n P N: a) n! n (n 3), b) pnq! n pn!q, d c c) n ` pn q` `.6. Para qué naturales n es cierto que Probarlo por inducción. b `?? n `. n! 8n pnq!?.7. Encontrar y demostrar por inducción una fórmula explícita para a n si a y, para todo n P N, 3

4 a) a n` a n pn ` qpn ` q, b) a n` c) a n` n ` n ` a n, d) a n` 3a n pn ` qpn ` 3q, ` nan. n.8. Supongamos que x 0 0 y x n e x n para todo n P N. Mostrar que 0 x n para todo n P N..9. Supongamos qu er 0, x 0 0 y que x n` R x n ` x n, si n P N Yt0u. Probar que para todo n P N se tiene que x n x n`? R y x n?r n px 0?Rq x Sean x, y 0 y para cada k, n P N, sea k,n j k`n j xj y n j. a) Probar, mediante la fórmula del Binomio de Newton, que,n nxpx ` yq n. b) Hallar,n. Sugerencia: calcular antes,n jpj q`n j xj y n j. c) Obtener un procedimiento para calcular k,n para cualesquiera k, n P N... Probar por inducción que sen x ` sen 3x ` `senpn qx.. Sean a a 5 y cos nx, n P N. senx a n` a n ` 6a n, n. Mostar por inducción que a n 3 n p q n para todo n P N. 4

5 .3. Sean a, a 0, a 3 4, y a n` 9a n 3a n ` 5a n,,n 3. Mostrar por inducción que a n 3 n 5 n ` para todo n P N..4. Los números de Fibonacci f, f, f 3,... se definen por f f y Demostrar por inducción que f n` f n ` f n, n P N. f n p `?5q n p?5q n n?, n P N. 5 (La anterior es conocida como Fórmula de Binet.).5 (Desigualdad de Cauchy-Schwartz). Probar que si x,...,x n,y,..., y n P R, entonces x j y j. Deducir que, si a ` b c ` d, entonces ac ` bd..6. Sea P n la propiedad n k k pn`q 8. x j a) Probar que si P n es cierta, entonces P n` es cierta. b) Discutir la afirmación: se deduce por inducción que P n es cierta para todo n P N..7. Decidir para qué números naturales n es cierta la desigualdad n n. Demostrarlo por inducción..8. Comparar n n` y pn`q n para n P N, y enunciar y demostrar qué desigualdad se verifica entre ambos números..9. Probar que para todo número natural n es ` ` n n Demostrar que el cardinal del conjunto de las partes de un conjunto que tiene n elementos es n. y j 5

6 .3. Hallar las soluciones de las desigualdades siguientes: a) x ` 9x ` 6 x `, b) x ` x, c) x x ` 5 0, d) 3x x 0, e) ` x 3x `, f) x ` 9x ` 6 x ` g) x 4x ` 4 x 0, h) ` x 3 3x ` 4 3x `. x,.3. Escribir las siguientes fórmulas con expresiones equivalentes que no impliquen valores absolutos: a) a ` b ` a b, b) a ` b a b, c) a ` b ` c ` a b ` a ` b c ` a b, d) a ` b ` c a b a ` b c a b..33. Resolver las ecuaciones: a) x 5x ` 6 px 5x ` 6q, b) x x ` x x `, c) px ` 4x ` 9q`px 3q x ` 4x ` 9 ` x 3, d) x x ` 0, e) x x ` Resolver las siguientes desigualdades: a) x ` 3 x, b) xpx 4q x 4 x, c) x ` x, d) x ` x `, e) x 5 x `, f) 3x 5 3, g) x, h) x x `, i) x, j) x x, k) x x ` x, l) x ` x, m) ` x x, n) x3 x. 6

7 .35. Estudiar para qué números reales se cumple: a) x ` x y x ` x, b) x x 5x..36. Si 0 x y son dos números reales, probar que xy x ` y? xy a ` b? a ` b..37 (Desigualdad de las Medias). Probar por inducción que si a, a,...,a n son números reales positivos tales que a a a n, entonces a ` a ` `a n n. Deducir de aquí que si x, x,...,x n son números reales no negativos cualesquiera, entonces x ` x ` `x n n n? x x x n, es decir, su media aritmética es siempre mayor o igual que su media geométrica..38. Sea x P R. Demostrar que si x " para todo " 0, entonces x 0. Qué números reales x cumplen que x " para todo " 0?.39. Sea p un número racional no nulo y x un irracional. Probar que p ` x y px son irracionales.40. Mostrar que? p es irracional si p es primo..4. Probar que? 3? y 3a `?5 son irracionales algebraicos..4. Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, de los siguientes conjuntos, indicando si son máximo o mínimo respectivamente: a) t n` n P N uyt0u, b) t n P N u, c) t n n P N u, n n n d) t x P Q x? uytx P Q 7 u, e) t n P N u, x 5 n f) t n P N u, g) t `r n n `p qn sn n P N u, h) t n `p qn n P N u, i) t,,,,,,,...u, 8 j) t x P R n x np3n qx `pn 3n q 0 u, n k) tp q n n` n` n P N u, l) t x P R x 9 u, m) t x P R x 7 u, n) t x P R x ` x 0 u, ñ) t x P R x 0, x ` x 0 u, 7

8 o) t x P R x ` x ` 0 u, p) t x P R x ` 5 u, q) t x P R px ` q u, r) t x P Q x 7 u, 8 s) p, q, t) 8 p, q, u) 8 r, s. n n n n n n n n.43. Sea A un conjunto, s sup A y " 0. Se puede asegurar que existe algún a P A tal que s " a s? En caso afirmativo, demostrarlo. En caso negativo, dar un contraejemplo y modificar las desigualdades anteriores para que sea cierto..44. Sean A y B dos conjuntos no vacíos, acotados, de números reales..45. a) Demostrar que si A Ä B, entonces sup A sup B, ínf A ínf B. b) Probar que si x y para todos los x P A, y P B, entonces y por lo tanto sup A ínf B. sup A y para todo y P B, x ínf B para todo x P A, c) Demostrar que si sup A ínf B, entonces a b para todos los a P A, b P B. Justificar si es cierto el recíproco. a) Sean A y B dos conjuntos acotados de números reales. Definimos el conjunto A ` B tx ` y x P A, y P B u. Demostrar que n suppa ` Bq sup A ` sup B, ínfpa ` Bq ínf A ` ínf B. b) Sean A tx,x,...,x n uär, B ty,y,...,y n uär, y consideremos el conjunto Demostrar que C tx ` y,x ` y,...,x n ` y n u. sup C sup A ` sup B, ínf C ínf A ` ínf B. Dar algún ejemplo que muestre que las desigualdades pueden ser estrictas. 8

9 .46. Sean A y B dos conjuntos acotados de números reales. Definimos el conjunto A B tx y x P A, y P B u. Demostrar que suppa Bq sup A ínf B, ínfpa Bq ínf A sup B..47 (Teorema de Dedekind). Sean S y T dos conjuntos no vacíos tales que todo número real está en S o en T y tales que si s P S y t P T entonces s t. Probar que existe un único número real tal que todo número real menor que está en S y todo número real mayor que está en T. (Una descomposición de los reales en dos conjuntos con estas propiedades se denomina una cortadura de Dedekind. 9

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