Ficha 3. Funciones. x f x x y x y a) Definición de función

Transcripción

1 Ficha 3. Funciones a) Definición de función Sean A y B dos conjuntos no vacíos y f una relación definida de A hacia B, de tal forma que a cada elemento de A se le asocia un único elemento de B. Dicha relación se llama función y se denota f : A B. Formas de representar una función Diagrama Gráfica Tabular x -1 5 f x x y NO son funciones las siguientes relaciones Diagrama Gráfica Tabular x y

2 Ejercicio. Justifique si la relación dada es función o no. Relación Justificación No es función ya que el elemento del conjunto A posee dos asociaciones. Sí es función ya que todo elemento del conjunto A se asocia solo una vez con los elementos del conjunto B. x y No es función ya que el elemento 1 del conjunto inicial posee dos asociaciones. No es función ya que al pasar una línea vertical sobre la traza esta toca más de un punto de la misma, lo que significa que algún elemento del conjunto principal se asocia más de una vez. f : N N tal que f x x 1 f : tal que Z Z No es función ya que el elemento 0 del conjunto inicial no se puede asociar con ningún elemento del otro conjunto. Nótese que f y -1 no pertenece a N. f x x Sí es función ya cualquier número del conjunto inicial tendrá un número asociado en el otro conjunto.

3 b) Dominio y pre imágenes Sea f : A B una función, luego se define: a) El Dominio como todo el conjunto A. b) Las preimágenes como cualquier elemento del Dominio. Por ejemplo para la función f : 1,0,, 3 el Dominio = 1,0,,3 serían -1, 0, y el 3. y las preimágenes c) Codominio, Ámbito e imágenes Sea f : A B una función, luego se define: a) El Codominio como todo el conjunto B. b) Las imágenes como los elementos del conjunto B que están asociados con un elemento del conjunto A. c) El Ámbito es el conjunto formado por todas las imágenes. Por ejemplo para la función f : 1,0,, 3 donde a cada elemento del dominio se le asocia su doble, el Codominio =, las imágenes serían -, 0, 4 y 6 y el Ámbito =,0,4,6. Ejercicio. Complete sobre el espacio subrayado con la información que se le solicita según la función dada. 1) f :, 1,0,1 4, 3,, 1,0 tal que f x x 1 El Dominio es, 1,0,1 El Codominio es 4, 3,, 1,0 El Ámbito es 3,,,0 f 1 3 f 1 11 f f La preimagen de -3 es - La imagen de 0 es -1

4 ) f : 0, tal que f x x 1 El Dominio es 0, El Codominio es El Ámbito es 3,1 f f 1 3 Abierto Cerrado La preimagen de 4 es 3 x 1 4 x 4 1 x 3 3 x La imagen de 1 es -1 f ) x y El Dominio es 1,0,1, El Codominio es El Ámbito es 7, 6,0,1 La preimagen de 1 es La imagen de 0 es -6 4) El Dominio es 1,,3 El Codominio es El Ámbito es,1, La preimagen de 1 es 3 La imagen de 1 es -,0,1, 5) El Dominio es 3, 1 0, El Codominio es El Ámbito es 3,0 La preimagen de - es La imagen de -1 es -1

5 d) Regimen de variación en gráficas El regimen de variación se entiende como los intervalos de preimágenes donde la traza de la función sube, baja o se matiene horizontal (constante). Ejemplo. Una función f y su regimen de variación. El crecimiento El decrecimiento La parte constante Crece en 0,1 Decrece en,0 Es contante en 4, 1, e) Partes negativas y positivas de una función en una gráfica. Sea f una función, entonces: 1) La parte positiva de f denotada f x 0 la representa el conjunto de preimágenes asociadas a la traza que se encuentra sobre el eje x. Ejemplo. Solo se analiza la parte sobre el eje x. ) La parte negativa de f denotada f x 0 la representa el conjunto de preimágenes asociadas a la traza que se encuentra por debajo del eje x. Ejemplo. Solo se analiza la parte bajo el eje x. La función es f x 0 en 1, La función es f x 0 en 3,0

6 f) Punto máximo y mínimo de una función en una gráfica. Sea f una función y x, y 1 1 un punto que le pertenece, entonces: 1) x, y 1 1 representa el un punto máximo si con la preimagen x 1 se obtiene el valor más alto en el eje y. Ejemplo x, y 1 1 representa el un punto mínimo si con la preimagen x 1 se obtiene el valor más bajo en el eje y. ) El punto máximo no es posible encontrar con los datos de la gráfica. 3 El punto mínimo es, 1 Ejercicio. Realice el análisis de las siguientes gráficas Gráfica Análisis Dominio =,3 Codominio = Ámbito = 1,3 La preimagen de 1 es La imagen de 3 es 1 La función crece en,0 La función decrece en 0, La función es constante en,3 f x 0 en,3 f x 0 en El punto máximo es 0,3 El punto mínimo puede ser,1

7 Dominio = 0,3 Codominio = Ámbito = 1, La preimagen de 0 es La imagen de 1 es 1 La función crece en 1,3 La función decrece en0,1 La función es constante en f x 0 en 0,1,3 f x 0 en 1, El punto máximo es 0, El punto mínimo no puede ser encontrado con los datos de la gráfica. g) Funciones inyectivas y biyectivas Una función es Inyectivas si todas las imágenes tienen una y solo una preimagen asociada. Ejemplos f a, b e, d, t : f : 0, f : 1,, 3 x -1 3 f x Una función es Biyectiva si todas las imágenes tienen una y solo una preimagen asociada y el ámbito es igual a su Codominio. Ejemplos f : 1, 3,4 f : 0,3 1, f :, 1,0,1 0,1,,3 x f x 0 1 3

8 Ejercicios 1) Sea el conjunto A 11, y sea el conjunto B 0,30,40, cuántas funciones h: A B pueden establecerse de manera que h sea inyectiva? Justifique su respuesta. Existen 6 funciones tal que h: A B y h sea inyectiva. Justificación usando regla del producto. Cantidad de veces que se combina 11 3 veces Cantidad de veces que se combina veces, se elmina 1 opción para mantener el concepto de inyectividad. 3 En total hay 6 posibles resultados. Justificación geométrica ) Sea el conjunto f : con f x x 5. Sea : las funciones f y g inyectivas? Justifique su respuesta. g con g x x 5. Son Tanto f como g son funciones inyectivas, ya que ambas son rectas crecientes en todo su dominio y eso garantiza que cada imagen tenga asociada una única preimagen. Esto se puede apreciar ya que si trazamos rectas horizontales sobre la gráfica de ambas funciones estás solo tocan solo un punto de la traza. Observe:

9 h) Composición de funciones Sean f : A B y g : B C dos funciones, entonces la composición de f en g es una nueva función de la forma f g : A C tal que f gx g f x. 1) Por ejemplo. Si f x x y g x x, entonces: a) b) g f x g f x g f x x g f x x 4x 4 f gx f gx f gx x Ejercicios 1) Justifique si la relación dada es función o no. a) b) c) X Y 0 5 d) f Z Z f x x : tal que e) f : Z Z tal que f x x f) Z f : tal que f x 4 x

10 ) Determine lo que se le solicita en cada caso a) f : 0,1, 1,0,1,,3,4,5,6 tal que f x x Dominio, Codominio, ámbito, la preimagen de 6, la imagen de 1. b) f : 1,,3,4 tal que f x 3x 1 Dominio, Codominio, ámbito, la preimagen de -8, la imagen de. c) f : 1, tal que f x x Dominio, Codominio, ámbito, la preimagen de 0, la imagen de 0. d) f : 0,5 tal que f x 1 x 3 Dominio, Codominio, ámbito, la preimagen de 3) Analice las siguientes gráficas, según lo indicado. 1, la imagen de 4. a) Dominio Codominio Ámbito La preimagen de es La imagen de 3 es La función crece en La función decrece en La función es constante en f x 0 en f x 0 en El punto máximo es El punto mínimo es b) Dominio Codominio Ámbito La preimagen de 1 es La imagen de 6 es La función crece en La función decrece en La función es constante en f x 0 en f x 0 en El punto máximo es El punto mínimo es

11 c) Dominio Codominio Ámbito La preimagen de 1 es La imagen de 1 es La función crece en La función decrece en La función es constante en f x 0 en f x 0 en El punto máximo es El punto mínimo es d) Dominio Codominio Ámbito La preimagen de 4 es La imagen de es La función crece en La función decrece en La función es constante en f x 0 en f x 0 en El punto máximo es El punto mínimo es 4) Justifique cuales de las siguientes funciones son inyectivas. f x x si f : a) f x x si f : f 3x x si f : 5 f x x si f : b) c) d) 3 5) Sea el conjunto A 0,1,,3 y sea el conjunto B 11,1,13,14,15, cuántas funciones g : A B pueden establecerse de manera que g sea inyectiva? Justifique su respuesta. 6) Sea el conjunto C 1,,3 y sea el conjunto D 0,1,,3,4,5 f : C D pueden establecerse de manera que f respuesta. 7) Determine f gx y f x g en cada caso. a) f x x y gx 3x 1, cuántas funciones sea inyectiva? Justifique su b) f x y g x x x 3 4x c) f x x y gx x d) f x 1 y gx x

12 8) Determine lo que se le indica en cada caso a) f g si f x 3x y g x x 1 1 b) g f si f x y g x x 1 5 x c) g f si f x 3x y g x x 1 d) f g4 f x si 5 x y gx x 9) De acuerdo con los datos de las gráficas adjuntas, conteste las siguientes preguntas. Grafica de la función f Gráfica de la función g a) Cuál es el valor de f g b) Cuál es el valor de g f 1?? c) Cuál es el valor de x tal que f gx 0? d) Cuál es el valor de x tal que g f x 3 e) En la composición f gx? cuál es la imagen de 0?