FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y

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1 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos que a es ua preimage de b. Geeralmete, las fucioes se deota co las letras miúsculas f, g, h. Si a es u elemeto del cojuto A, la image que la fució f asiga al elemeto a se aotará f (a), lo que escribimos: f : A a f A se deomia domiio de la fució f, lo que aotamos: Dom ( f ) A. Además B recibe el ombre de cojuto de llegada ó codomiio de la fució f. El recorrido de la fució f está costituido por los elemetos b perteeciete al cojuto B tales que hay algú B ( a) a A para cual b f ( a), es decir: ( f ) { b B / a A : b f ( a) } Re c Si A es u subcojuto del cojuto de los úmeros reales IR, diremos que f es ua fució de ua variable real, y cuado B es u subcojuto de los úmeros reales diremos que f es ua fució real. E este curso os iteresa estudiar fucioes reales de variable real. IGUALDAD DE FUNCIONES f : A B g : C D Sí y so dos fucioes, diremos que las fucioes f y a f ( a) c g( c) g so iguales, lo que aotaremos f g cuado se cumpla las siguietes tres codicioes: A C B D, y f ( a) g( a), para cada a perteeciete a A. Es frecuete que presetemos ua fució real de variable real mostrado solo ua fórmula tipo y f ( ). E tal caso asumiremos (por omisió) que el codomiio o cojuto de llegada la fució f es IR y que el domiio de la fució f está costituido por todos los úmeros reales tales que f ( ) eiste, es decir: Dom ( f ) { IR / f ( ) eiste}. [Escriba teto] Págia

2 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 Ejemplos: Sí y f ( ), defie ua fució real de variable real, se tiee que: Dom ( f ) IR / eiste y { IR / 0} IR { }. 8 La image de es y f ( ). La image de t + es ( ) ( t + ) t y f t +. t + t t 8 Ua preimage de es. Ua preimage de es t +. t ( ) Como se señaló ateriormete, el codomiio ó cojuto de llegada de la fució f es IR(se asume, por omisió). Cómo obteer aalíticamete el recorrido de ua fució real de variable real? Para obteer e forma aalítica el recorrido de ua fució real de variable real e caso que esté presetada solo por ua fórmula tipo y f ( ), despejamos la variable idepediete e térmios de la variable depediete y, haciedo eplícito todas las restriccioes que aparezca respecto la variable depediete y e este procedimieto (por ejemplo deomiadores distitos de cero y catidades subradicales mayor o igual que cero e el caso de raíces de ídice par), además de las restriccioes que se obtega a partir del domiio de la fució. E este ejemplo: Sí Dom( f ) IR { }, teemos que: y f ( ) ssi y ( ) ssi ( y + ) y + ssi y + y + Por lo tato, la úica restricció que observamos respecto de la variable depediete y es que este último deomiador debe ser distito de cero, esto es: y + 0. Re c f y IR / y + 0 IR. Cocluimos que: ( ) { } { } Ua gráfica de esta fució es: [Escriba teto] Págia

3 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 Si f : ] 7, ] f ( ) Teemos que Dom ( f ) ] 7, ] IR, segú auciado. El codomiio de f es IR. Para obteer el recorrido de la fució f razoado de modo similar al ejemplo aterior, teemos que: ( f ) ] 7, ] Dom : ssi y + 7 < y + ssi y + y + 7 < y + y + ssi 7y + y + 7 > 0 0 y + y + ssi ( 7 y < y > 7 ) y ssi 7 7 < y Rec f 7 y IR / < y y 7,. Cocluimos que: ( ) { } ] ] 7 A cotiuació ecotrará ua gráfica de la fució de este ejemplo. Observe esta gráfica y la aterior y aote sus cometarios. 7 [Escriba teto] Págia

4 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 y f ( ) co ] 7, ]. ] ] ( ) f : 0, IR Sí f f o es ua fució, ya que o cumple co la codició asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A ] 0, ] u úico elemeto b de IR ya que si a 0,, pero o eiste f (a). a, teemos que ] ] Ejercicios: Obtega el domiio y el recorrido de las siguietes fucioes reales de variable real: y f ( ) 7 4 y f ( ) y f ( ) 4 y f ( ) y f ( ) 7 y f ( ) 6 ( ) y y + 9 y f ( ) 0 y f ( ) f 6 + [Escriba teto] Págia 4

5 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 ALGUNAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL TÍPICAS FUNCIÓN CONSTANTE So fucioes reales de variable real de la forma: y f, dode c IR. Dom ( f ) IR. Re c ( f ) { c} ( ) c. La gráfica de ua fució costate e ua recta horizotal ubicada sobre el eje de abscisas cuado c > 0, bajo tal eje sí c < 0; o bie coicide co ese eje cuado c 0..4 Ejemplos: y f ( ) y f ( ) 0 [Escriba teto] Págia

6 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 Observamos que la gráfica de la fució costate y 0 coicide co el eje de abscisas. y f ( ) 0. FUNCIONES LINEALES So fucioes reales de variable real de la forma: y f m +, co m, IR.. Si 0 ( ) m, la fució lieal coicide co la fució costate ( ). Dom ( f ) IR. Sí m 0, Re c ( f ) IR..4 Cuado m 0, Re c ( f ) { }. Sí m y 0 se tiee que la fució lieal es y f ( ) f. llamada fució idetidad de IR, cuya gráfico es la diagoal que pasa por el orige del sistema de coordeadas y divide al primer y tercer cuadrate (respectivamete) e dos sectores de igual área..6 Si m 0, la gráfica de la fució lieal es ua líea recta cuya icliació queda determiada por la pediete de la recta m..7 El puto ( 0, ) es el itercepto de la recta co el eje de ordeadas..8 Si 0,0 es el itercepto de la recta co el eje horizotal. m, el puto ( ) m.9 Para represetar la gráfica de ua fució lieal es suficiete coocer dos de sus putos..0 Cualquier par de putos del plao que tega abscisas distitas determia ua úica fució lieal..6 Gráfico de la fucioes lieales: y f m + co m, IR m 0 ( ) [Escriba teto] Págia 6

7 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 m > 0 > 0 m > 0 0 m > 0 < 0 m m m m < 0 > 0 m < 0 0 m < 0 < 0 0 m 0 m m 0 EJERCICIOS: Para cada ua de las siguietes fucioes lieales obtega el domiio y el recorrido. Además obtega la correspodiete gráfica mostrado los iterceptos co eje de abscisas y eje de ordeadas : y y y 9 4 y 0 7 y 6 y π. FUNCION VALOR ABSOLUTO. Dom ( ) IR. +. ( ) IR [ 0, [ Re c 0. sí < 0 y f ( ), IR í 0 [Escriba teto] Págia 7

8 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04. Gráfico de la fució Valor Absoluto: y 0.4. ( ) para cada IR. para cada IR + 0 [ o, [.6 No es verdadero:..7 No es verdadero: ( ).8 No es verdadero: ( ) para cada IR. Muestre cotraejemplos. para cada IR. Muestre cotraejemplos. para cada IR. Muestre cotraejemplos. Ejercicio: Determie los subcojutos maimales de IR(e setido de iclusió) e los que se cumple las igualdades.6,.7 y.8 respectivamete. 4 FUNCIÓN PARTE ENTERA Sí es u úmero etero, la parte etera de está defiida como el mayor de los eteros que es meor ó igual a. La parte etera de se aota [ ]. 4.0 Ejemplos: 00 [ ] [ 0,69] 0 [ π ] [ 7,904] 40 [ e ] [ ] , para cada úmero atural tal que. [Escriba teto] Págia 8

9 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE Ua defiició de la fució parte etera es: 4. Dom ([ ]) IR 4. Re c ([ ]) Z f ( ) [ ] Má{ z Z / z } y 4.4 Gráfico de la fució parte etera: FUNCION SERRUCHO. Dom ( f ) IR. Re c ( f ) [ 0,[. Gráfica de la fució serrucho: y f ( ) [ ] [Escriba teto] Págia 9

10 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE FUNCIÓNES CUADRATICAS So fucioes reales de variable real de la forma: y f a + b +, co a,b, c IR a 0 6. Sí 0 ( ) c a, la fució cuadrática coicide co la fució lieal y f ( ) b + c 6. Dom ( f ) IR 6. ], 4a ] sí a < 0 Rec( f ) [, [ sí a > 0, dode b 4ac. 4a 6.4 La gráfica de ua fució cuadrática es ua parábola vertical que abre hacia arriba cuado a > 0; o bie ua parábola vertical que abre hacia abajo sí a < 0. b 6. El vértice de la parábola de ecuació y a + b + c, sí a 0. V, a 4a es ( ) 6.6 Sí a > 0 la parábola de ecuació y a + b + c abre hacia arriba y tiee u úico puto míimo ubicado e el vértice. 6.7 Cuado a < 0 la parábola de ecuació y a + b + ctiee u úico puto máimo ubicado e el vértice. 6.8 El itercepto de la parábola de ecuació y a + b + c es el puto P ( 0,c). 6.9 Cuado > 0 A,0 y (,0), la parábola iterseca al eje de abscisas e los putos ( ) b b+ B dode a y a. b 6.0 Sí > 0 la abscisa del vértice dimidia a y, es decir la abscisa del a + b vértice es el puto medio etre y, o equivaletemete. a [Escriba teto] Págia 0

11 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE E el caso 0 dode b y tal puto coicide co el vértice de la parábola., la parábola corta al eje horizotal solo e el puto ( ) a 6. Sí < 0 y a > 0 la parábola se ubica sobre el eje horizotal. 6. Sí < 0 y a > 0 la parábola se ubica bajo el eje horizotal. 6.4 Gráfico de fucioes cuadráticas:,0, a > 0 0 a > 0 < 0 a > 0 > 0 a < 0 < 0 a < a < 0 < EJERCICIOS: Para cada ua de las siguietes fucioes cuadráticas determie el domiio y el recorrido. Además obtega la gráfica determiado e cuatos putos iterseca el eje de abcisas, (teiedo presete el discrimiate b 4ac) señalado eplícitamete el vértice, el itercepto co el eje el vertical, el o los itercepto(s) co el eje de abscisas (e caso que eista()), el valor máimo o el valor míimo. y + y y y 4 y 0 6 y Obtega el o los itercepto(s) (e caso que eista()) e cada par de parábolas del listado aterior. [Escriba teto] Págia

12 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE FUNCION POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO POSITIVO So fucioes reales de variable real de la forma: y f Cosideramos dos casos: ( ) co IN {,,,4,...} { úmeros eteros positivos} 7. Sí es u úmero etero positivo impar,esto es {,,,7,... } Dom ( f ) IR y Re c ( f ) IR. 7. Sí es u úmero etero positivo par, esto es {,4,6,... } + Dom ( f ) IR y c ( f ) IR [ 0, [. Re Gráfico de la fució potecia co epoete etero positivo impar: y co IN impar 7.. Gráfico de la fució potecia co epoete etero positivo par: y co IN par [Escriba teto] Págia

13 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE ACTIVIDADES: 7.4. Represete e u mismo sistema de coordeadas las fucioes potecias de epoete etero par y, y, y, y, y, Represete e u mismo sistema de coordeadas las fucioes potecias de epoete etero impar y y, y, y, y,, Represete e u mismo sistema de coordeadas las fucioes potecias de epoete etero y y, y, y, y,, Verifique que cada ua de las siguietes afirmacioes so falsas, mostrado cotraejemplos: a, b IR a b a b a) ( )( ) 4 4 b) ( a, b IR)( a b a b ) 6 6 c) ( a, b IR)( a b a b ) 8 4 d) ( a, b IR)( a b a b ) e) ( a, b a b a b) 4 4 f) ( a, b IR)( a b a b ) 6 6 g) ( a, b IR)( a b a b) 8 8 h) ( a, b IR)( a b a b) 6 8 i) ( a IR)( a a a a a 0...) (E adelate.tega presete los mitos que acaba de caer) 7.4. Determie Itervalos I maimales (e el setido de iclusió) tales que las siguietes afirmacioes sea verdaderas: a, b I a b a b a, b I a b a b a) ( )( ) a) ( )( ) b) ( a, b I )( a b a b ) b) ( a, b I )( a b a b ) c) ( a, b I )( a b a b ) c) ( a, b I )( a b a b ) d) ( a, b I )( a b a b ) d) ( a, b I )( a b a b ) e) ( a, b I )( a b a b) e) ( a, b I )( a b a b) f) ( a, b I )( a b a b ) f) ( a, b I )( a b a b ) g) ( a, b I )( a b a b) g) ( a, b I )( a b a b) h) ( a, b I )( a b a b) h) ( a, b I )( a b a b) i i) ( a I )( a a a a a...) i) ( a I )( a a a a a...) [Escriba teto] Págia

14 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE Verifique que: a, b IR a b a b a) ( )( ) b) ( a, b IR)( a b a b ) c) ( a, b IR)( a b a b ) d) ( a, b IR)( a b a b ) Determie Itervalos I maimales (e el setido de iclusió) tales que las siguietes afirmacioes sea verdaderas: 7 9 a I a a a a a... a) ( )( ) 7 9 b) ( a I )( a a a a a...) 8. FUNCION RAÍZ DE ÍNDICE ENTERO POSITIVO So fucioes reales de variable real de la forma: ( ) y f, co IN Cosideramos dos casos: 8. Sí es u úmero etero positivo impar mayor que uo, esto es {,,7,... } Dom ( f ) IR y Re c ( f ) IR.,4,6, Sí es u úmero etero positivo par, esto es { } + + Dom ( f ) [ 0, [ y c ( f ) IR [ 0, [. IR 0 Re 0 8. Sí, la fució se deomia fució raíz cuadrada. 8.4 Cuado la fució se deomia fució raíz cúbica. 8.. Gráfico de la fució raíz co epoete etero positivo impar mayor o igual tres y IN impar [Escriba teto] Págia 4

15 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE Gráfico de la fució raíz co epoete etero positivo par: y co IN par. 9. FUNCION POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO So fucioes reales de variable real de la forma: y f ( ) co IN {,,,4,...} { úmeros eteros positivos} Cosideramos dos casos: 9. Sí es u úmero etero positivo impar, esto es {,,,7,... } Dom ( f ) IR { 0} y Rec ( f ) IR { 0}. 9. Sí es u úmero etero positivo par, esto es {,4,6,... } Dom ( f ) IR { 0} y Rec ( f ) ] 0, [. 9.. Gráfico de la fució potecia co epoete etero egativo impar: [Escriba teto] Págia

16 y UNIVERSIDAD TECNLOGICA METROPOLITANA CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04., 0 IN impar 9.. Gráfico de la fució potecia co epoete etero egativo par y., 0 IN par 0. FUNCION RAÍZ DE ÍNDICE ENTERO NEGATIVO So fucioes reales de variable real de la forma: y f ( ), co IN [Escriba teto] Págia 6

17 CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 Cosideramos dos casos: 0. Sí es u úmero etero positivo impar, esto es {,,,7,... } Dom ( f ) IR { 0} y Re c ( f ) IR { 0}. 0. Sí es u úmero etero positivo par, esto es {,4,6,... } Dom ( f ) ] 0, [ y Rec ( f ) ] 0, [. 0.. Gráfico de la fució raíz co ídice etero egativo impar: y IN impar 0.. Gráfico de la fució raíz co ídice etero egativo par: y IN par [Escriba teto] Págia 7

18 FUNCIONES POLINOMICAS UNIVERSIDAD TECNLOGICA METROPOLITANA CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 So fucioes reales de variable real de la forma: y f a + a a + a co IN U { 0} ; a 0, a,, a, a IR. Dom ( f ) IR ( ) 0. 0, etoces la fució poliómica es ua fució costate.., etoces la fució poliómica es ua fució lieal..4, etoces la fució poliómica es ua fució cuadrática. FUNCION RACIONAL POLINOMICA So fucioes reales de variable real de la forma: p y f ( ) d ( ) ( ) co p ( ) y ( ) d fucioes poliómicas. Dom ( f ) { IR / d( ) 0} EJERCICIOS: Determie el domiio y el recorrido de las siguietes fucioes racioales poliómicas: + y f ( ) y f ( ) 0 4 y f ( ) 8 4 y f ( ) y f ( ) 6 y f ( ) y f ( ) 8 y f ( ) [Escriba teto] Págia 8

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.

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