NOTAS DE CLASE TEORIA DE LA COMPUTACIÓN. Autora: Dra. Cecilia Poblete Ibaceta. Revisión Técnica: Ing. David Jiménez Mimila

Transcripción

1 NOTAS DE CLASE TEORIA DE LA COMPUTACIÓN Autor: Revisión Técnic: Ing. Dvid Jiménez Mimil Edición Corregid y Aumentd de Enero de 2006

2 TABLA DE CONTENIDOS CONJUNTOS... 3 RELACIONES Y FUNCIONES GRAMÁTICAS MÁQUINAS TEÓRICAS AUTÓMATAS FINITOS DETERMINÍSTICOS AUTÓMATAS FINITOS NO DETERMINÍSTICOS AUTÓMATAS DE PILA MÁQUINAS DE TURING COMPUTABILIDAD GRAFOS BIBLIOGRAFÍA

3 CONJUNTOS. 3

4 DEFINICIONES BÁSICAS: 1. CONJUNTO: Grupo de elementos ien definidos. Cso: A = {, e, i, o, u} conjunto definido por Enumerción A = { vocles} conjunto definido por Comprensión A = { x x es vocl} conjunto definido por Notción Ejercicio: Defin otros 3 conjuntos, cd uno por los 3 tipos de definición. 2. CARDINALIDAD: Es el número de elementos de un conjunto y se denot por #, o si A es un conjunto, entonces su crdinlidd se represent por A Cso: A = {, e, i, o, u} # (A)= A = 5 Hy conjuntos que tienen un número infinito de elementos. Est crdinlidd se denot por 1 Tl es el Cso de: N = { Nturles } = { 1, 2, 3, 4, 5...} #(N) = Z = {Enteros} = {... 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...} Q = {Rcionles} = { x / y x, y son enteros, y distinto de 0}, = decimles con periodicidd} = {frcciones} I = {Irrcionles} = {π, e...} = {decimles sin periodicidd} R = {Reles} = R I C = {Complejos} = { x + i y x, y son Reles, i = -1} 3. CONJUNTO VACÍO: Conjunto que no tiene elementos. Se denot por φ o { }. Nótese que es conjunto = {φ} no es vcío, porque tiene un elemento que es el φ. L Crdinllidd del Conjunto Vcío es cero. # (φ) = 0 Cso: Conjunto de enteros que sen pres e impres l vez. Ejercicio: Defin otros 3 conjuntos que sen vcíos. 4. PERTENENCIA: Crcterístic de cd elemento miemro de un conjunto. El símolo pr denotr l pertenenci es. Sólo los elementos pertenecen los conjuntos. Cundo un elemento no pertenece un conjunto ddo, se utiliz el símolo Cso: Si A = {, e, o} entonces A, e A y o A, pero j A Ejercicio: Defin otros 3 conjuntos que no sen vcíos y encuentre ls pertenencis. 5. UNIÓN: Es l grupción de todos los elementos que pertenecen vrios conjuntos. El símolo pr denotr l Unión es. 1 El Infinito es un concepto, no un número. Por est rzón, hy infinitos más grndes o más pequeños, que otros infinitos. 4

5 L notción: A B = {x x A o x B} se lee como: A unido con B es el conjunto formdo por ls x (culquier elemento) tl que x pertenece A o x pertenece B o x pertenece mos l vez. L operción o es inclusiv Cso: Si A = {, c, f, g} y B = { 1, 2, 3, c} entonces A B = {, c, f, g, 1, 2, 3} Ejercicio: Defin otros 3 conjuntos que no sen vcíos y encuentre ls uniones entre ellos. Propieddes de l Unión: Propiedd Conmuttiv A B = B A Propiedd Asocitiv (A B) C = A (B C) Elemento Neutro pr l Unión A φ = A Ejercicio: Pr los 3 conjuntos definidos en el ejemplo nterior, compruee ls propieddes de l Unión. Recuerde que: Z = Z - { 0 } Z + Q = Q - { 0 } Q + R = Q I Enteros = Enteros Negtivos, el Cero y Enteros Positivos Rcionles = Rcionles Negtivos, el Cero y Rcionles Positivos Reles = Rcionles e Irrcionles 6. INTERSECCIÓN: Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen vrios conjuntos l vez. El símolo pr denotr l Intersección es. L notción: A B = {x x A y x B} se lee como: A intersectdo con B es el conjunto formdo por ls x (culquier elemento) tl que x pertenece A y x pertenece B. Cso: Si A = {, c, f, g} y B = { g, f, h, 1, 2} entonces A B = { g, f} Ejercicio: Defin otros 3 conjuntos que no sen vcíos y encuentre ls intersecciones entre ellos. 5

6 Propieddes de l Intersección: Propiedd Conmuttiv A B = B A Propiedd Asocitiv (A B) C = A (B C) El conjunto vcío es suconjunto de A φ = φ culquier conjunto Ejercicio: Pr los 3 conjuntos definidos en el ejemplo nterior, compruee ls propieddes de l Intersección. 7. OTRAS PROPIEDADES: ) A (B C) = (A B) (A C) Propiedd Distriutiv de l Unión sore l Intersección ) A (B C) = (A B) (A C) Propiedd Distriutiv de l Intersección sore l Unión Ejercicio: Pr los 3 conjuntos definidos en el ejemplo nterior, compruee ls propieddes de Distriución. 8. CONJUNTO UNIVERSO: Es el conjunto formdo por todos los elementos, definido pr un cso en prticulr. Se denot por el símolo U o Ω Cso: U = {letrs} = {,, c, d...y, z} Ejercicio: Defin 3 conjuntos Universo. 9. CONJUNTO COMPLEMENTO: Es el conjunto formdo por los elementos que fltn pr formr el Universo. El conjunto complemento se form prtir de un conjunto Universo ddo y de otro conjunto definido. Se denot por el nomre del conjunto definido compñdo con un póstrofe o con un C de complemento. Cso: Si U = {letrs} y A = {vocles} entonces A = A c = {consonntes} Cso: Si U = {números nturles} y B = {nturles pres} entonces B = {nturles impres} Ejercicio: Pr los 3 conjuntos definidos en el ejemplo nterior, defin conjuntos prticulres y encuentre sus Complementos. Propieddes del Universo y del Complemento: ) A U = U ) A A = U c) A A = φ d) A U = A e) φ = U f) U = φ 6

7 g) (A B) = A B Ley de De Morgn. Se lee como: El Complemento de un Unión es l Intersección de los Complementos h) (A B) = A B Ley de De Morgn. Se lee como: El Complemento de un Intersección es l Unión de los Complementos Ejercicio: Pr los 3 conjuntos definidos en el ejemplo nterior, compruee ls propieddes del Universo y del Complemento. 10. Prioriddes de ls Operciones: L operción de Complemento es l únic que tiene prioridd sore l Unión y l Intersección. Sólo los préntesis rompen l prioridd. Si en un expresión no hy préntesis ls operciones se relizn de izquierd derech, según cul se encuentre primero. Esto signific que: ). A B C es equivlente (A B) C ). A B C es equivlente (A B) C Cso: Si A = {, c, 3, 4, g}, B = { 1, 2, 3, c} y C = { 1,, 3} entonces: A B C = (A B) C = {3, c} { 1,, 3} = {3, c, 1, } Cso: Si A = {,, c, 3, 5, h}, B = { 1, 2, 3, 4, 5} y C = { 1,, z, 3} entonces: A B C = (A B) C = {,, c, 3, 5, h, 1, 2, 4} { 1,, z, 3} = { 1,, 3} 11. SUBCONJUNTOS: Un conjunto es Suconjunto de otro conjunto, si todos los elementos del primero son elementos del segundo. Los suconjuntos se denotn por el símolo Cso: Si A = {,, c, g}, B = {,, c, g, 1, 2, 3} entonces A B Propieddes de los Suconjuntos: ) A Culquier conjunto es suconjunto del Universo ) A A B c) φ A El conjunto vcío es suconjunto de culquier conjunto d) Si A B = A entonces A B 11. CONJUNTO POTENCIA: Es el conjunto formdo por todos los suconjuntos, incluyendo el conjunto vcío, que se pueden formr con los elementos de un conjunto. Cso: Si B = {,, c} entonces el conjunto potenci de B se denot por 2 B o P(B). P(B) = { φ, {}, {}, {c}, {, }, {, c}, {, c}, {,, c} } Nótese que l #(B) = 3, por lo tnto #(P(B)) = 2 3 = 8 elementos. 7

8 El Conjunto Potenci de un conjunto ddo B, tiene 2 #(B) elementos. 12. DIAGRAMAS DE VENN: son l representción gráfic de los conjuntos. Cso: Si A = {,, c, d, e, f}, B = {, d, f, h, i} y C = {,, c}, su representción en Digrms de Venn es l siguiente: A B C d f e d f h i c c Agrupándolos, se otiene: A C e d f h i c B Donde se precin los elementos comunes en ls intersecciones de los círculos que representn cd conjunto. Ejercicio: Encuentre ls uniones, intersecciones, crdinliddes y conjuntos potenci utilizndo los conjuntos del Cso nterior. Además indique un conjunto universo y encuentre los complementos de cd conjunto otenido. 13. Producto Crtesino: Ddos dos conjuntos A y B, su Producto Crtesino, representdo por A x B, es el conjunto de todos los pres ordendos que tienen l form (, ), tl que A y B. Si se trt del producto crtesino de un conjunto consigo mismo, se escrie dicho producto con notción de potencis. A x A = A 2. Cundo se teng A 3, se trtrá del producto crtesino de A 2 x A (triplets ordends), y sí sucesivmente. Ejemplo: Se C = { 1, 2, 3}, entonces: 8

9 C 2 = C x C = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3,1), (3, 2), (3, 3)} Ejercicio: Ddos 2 conjuntos culesquier A y B, encontrr A x B, B x A, A 2, A x B 2 Biliogrfí Recomendd pr el Cpítulo: Conjuntos y Producto Crtesino. Antero Gutiérrez Tlmntes. EDUVEM. 9

10 RELACIONES Y FUNCIONES. 10

11 DEFINICIONES BÁSICAS: 1. RELACIÓN: Regl de correspondenci entre 2 conjuntos que gener pres ordends, de ls cules se cumple que el primer elemento del pr pertenece l primer conjunto y el segundo elemento l segundo conjunto. En prticulr son de interés los pres ordendos generdos por un regl de correspondenci entre un primer conjunto llmdo Origen, hci un segundo conjunto llmdo Destino. Cso: Se R1 : x --> 2 * x, con x que pertenece N. Cd elemento de N, se soci con su pr. Entonces R1 de N en N = { (1, 2), (2, 4), (3, 6)... } Cso: Se R2 : x --> x + 3, con x que pertenece N Cd elemento de N se soci consigo mismo más 3. Entonces R2 = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)... } Ejercicio: Defin 3 relciones e indique los pres resultntes. 2. DOMINIO, CODOMINIO Y RANGO: Son los tres conjuntos que prticipn en un relción. El Domino es donde se inici l relción (Origen). El Codominio es el conjunto hci donde lleg l relción (Destino). Rngo o Imgen es el conjunto del Codominio que prticip en l relción y que está formdo por los segundos elementos de cd pr de l relción; en otrs plrs, es el suconjunto del Codominio constituido por los elementos que hn sido relciondos con el Dominio. Cso: Se R3 : x --> x * x, con x que pertenece Z. Dominio = Z Codominio = Z Rngo o Imgen = {0, 1, 4, 9, 16, 25...} Gráficmente: Z Z Rngo o Imgen L relción de Z en Z es R3 = {... (-2, 4), (-1, 1), ( 0,0), (1, 1), (2, 4)...} 11

12 Nótese que en este cso 2 elementos distintos, tienen un mism imgen, deido que tnto los enteros negtivos como los enteros positivos, se relcionn con su cudrdo que siempre es positivo. 3. FUNCIONES: Son relciones especiles en que cd elemento del dominio tiene un y sol un imgen en el Codominio Cso: Sen los conjuntos A = {1, 2 } y B = {2, 3 } y l relción de A en B R4 = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} Gráficmente: A B Est relción de A en B no es función porque el elemento 1 no tiene un y sólo un imgen. De hecho el elemento 1 tienen dos imágenes, el elemento 2 y el elemento 3, y que existen los pres (1,2) y (1,3). Ejercicio: Defin 3 relciones en ls cules no se teng un únic imgen pr un elemento del conjunto Inicio. Cso: Sen los conjuntos H = {,, c } y J = {1, 2} y l relción R5 = {(, 1), (, 2)} Est relción de H en J no es función porque no se cumple que... cd elemento del dominio..., deido que el elemento c no tiene imgen definid. Gráficmente: H J c

13 Ejercicio: Defin 3 relciones en ls cules no se teng que todo el dominio prticipe en ells. Cso: Sen los conjuntos X = {i, j, k} y W = {,, c, d} y l relción de X en Y R6 = {(i, ), (j, ), (k, c)} Gráficmente: X i j k W c d Est relción sí es función, donde: Dominio = {i, j, k} Codominio = {,, c, d} Rngo = {,, c} y que cd elemento de X le corresponde exctmente un imgen. 13

14 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES 1. FUNCIONES UNO A UNO O INYECTIVAS: son ls funciones en ls que cd elemento del rngo es imgen de sólo un elemento del dominio Cso: Sen los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6} y l función R7 = {(1, 4), (2,4), (3, 5)} Est función de A en B no es Inyectiv porque el elemento 4 es imgen de 1 y de 2 l vez. Gráficmente: A B Cso: Con los mismos conjuntos del Cso nterior y l función R8 = {(1, 4), (2, 6), (3, 5)}, se tiene un función inyectiv. Gráficmente: A B Ejercicio: Defin 3 funciones inyectivs y un que no lo se. 14

15 2. FUNCIONES SOBRE O SUPRAYECTIVAS: Son quells funciones donde el codominio coincide con el rngo. Cso: Sen los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {,, c} y l relción R9 = {(1, ), (2, ), (3, )} Gráficmente: A 1 B 2 3 c Est función de A en B no es supryectiv porque el Codominio = {,, c}, mientrs que el Rngo = {, }, y que el elemento c no es imgen. Cso: Sen los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {, } y l relción R10 = {(1, ), (2, ), (3, )} Gráficmente: A 1 2 B 3 Est función de A en B sí es supryectiv y que el Codominio y el Rngo son igules. Ejercicio: Definir 3 funciones supryectivs y un que no lo se. 15

16 3. FUNCIONES BIYECTIVAS: son ls funciones que son Inyectivs y Supryectivs l vez. Cso: Sen los conjuntos A = {, e, i} y B = {1, 2, 3} y l relción R11 = {(1, i), (2, e), (3, )} Gráficmente: A B 1 e 2 i 3 Se trt de un función de B en A que es iyectiv. Nótese que en un función Biyectiv, l crdinlidd del Dominio dee ser igul l crdinlidd del Codominio, que su vez, coincide con el Rngo. Ejercicio: Definir: ) 3 funciones iyectivs. ) Un función inyectiv y no supryectiv. c) Un función supryectiv y no inyectiv d) Un función no inyectiv y no supryectiv Biliogrfí Recomendd pr el Cpítulo: Álger Didáctic: Concepto de Función. Antero Gutiérrez Tlmntes. EDUVEM. 16

17 GRAMÁTICAS. 17

18 Un lenguje es un conjunto de plrs y métodos pr cominr plrs, que es usdo y entendido por un extenso grupo de persons 2 Mientrs un Lenguje Nturl como espñol, inglés, frncés, etc. es primero hldo y luego estructurdo grmticlmente, un Lenguje de Progrmción, primero dee ser definido en sus prtes que lo componen y posteriormente cd elemento (orciones, frses, etc.) dee ser revisdo en su sintxis, ntes de ser o no ceptdo por dicho lenguje. Un grmátic o grmátic estructurd por frses, se define como l cuádrupl siguiente: 1. T = es el conjunto finito de elementos Terminles, siendo éstos quellos símolos que están utodefinidos. 2. NT = es el conjunto finito de símolos No Terminles, siendo éstos quellos símolos que se definen en función de otros No Terminles o de Terminles, o de un cominción de mos 3. S = es el elemento Inicil (Strt), generlmente un No Terminl desde donde se comienz el nálisis de l cden que se quiere compror si es generd o no por l grmátic. 4. P = es el conjunto finito de Producciones, donde se estlece un relción A ß, entre No Terminles y Terminles. Por lo tnto G = { T, NT, S, P} Un grmátic gener un cden si l empezr desde el símolo de inicio (S), se pueden plicr ls producciones (P) de modo que se llegue solmente símolos terminles (T). Entonces se dice que tl cden es generd por l grmátic. Ls producciones de un grmátic pueden ser descrits en función de: ) Notción BNF (Bckus Nur Form), donde los No Terminles se encierrn entre < y >, y están definidos después del símolo ::= Un verticl ( ) indic un opción diferente l que l precede, correspondiendo un operdor o (or). Cso: l notción <V0> ::= s t <V1> s t <V0> <V1> indic que el No Terminl V0 es un Terminl s, seguid de un Terminl t, seguid de otro No Terminl V1; o V0 es un Terminl s, seguid de un Terminl t, seguid del No Terminl V0, seguid del No Terminl V1. V1 es un No Terminl que tmién dee estr definido 3. ) Gráfic o Digrm de Sintxis donde los Terminles están encerrdos en Círculos y los No Terminles están encerrdos en Cudros. Ls flechs indicn el sentido de l rut que dee seguirse pr nlizr el tipo de cdens generds. 2 Wester s New Collegite Dictionry 3 Nótese l Recursividd en l definición de <V0> 18

19 Cso: l notción <V0> ::= s t <V1> s t <V0> <V1> dd en BNF se represent gráficmente por: s t V1 <V0> s t V0 V1 c) Regls de Escritur donde ls diferentes opciones pr definir los No Terminles, están descrits de form seprd. Un flech indic que empiez l definición. Cso: l notción <V0> ::= s t <V1> s t <V0> <V1> dd en BNF se represent trvés de regls de escritur como: <V0> s t <V1> <V0> s t <V0> <V1> Un Grmátic Regulr es quell cuys producciones son de l form A ß y cumplen con: A <= ß l longitud de A es menor o igul l longitud de ß donde A consiste solmente de un No Terminl y ß es de l form B (terminl seguido de un no terminl), o de l form (terminl), o de l cden vcí. Un Grmátic Regulr produce un Lenguje Regulr. Un lenguje L es Regulr si y sólo si existe un Autómt Finito que cept únicmente ls misms cdens que el lenguje L. L importnci de ls grmátics regulres rdic en que permiten representr los digrms de sintxis de los lengujes de progrmción. Cso: Se l grmátic G1 definid por: T = { x, y, z}, NT = {V0, V1}, S = V0 y ls Producciones: V0 x V0 V0 y V1 V1 y V1 V1 z 19

20 Nótese que ests producciones están escrits de modo que l grmátic es regulr. Ests producciones se representn en BNF (Bckus Nur Form), de l siguiente mner: <V0> :: = x <V0> y <V1> <V1> :: = y <V1> z Nótese que en BNF los Terminles se escrien tl como son, los No Terminles están encerrdos entre < y >, y l rr verticl signific otr opción y se lee como o Ests producciones tmién pueden representrse como Digrms de Sintxis (en form gráfic). Cundo se puede diujr un Digrm de Sintxis, entonces l grmátic es regulr. <V0> x y z El lenguje producido por est grmátic es de l form: x n y m z, con n >= 0 y m > 0 Donde x n signific x x x x x...x n veces. Esto no es l representción de un producto, sino l notción pr l conctención de x con x, n veces. Nótese que l notción x n y n con n >= 1 implic que dee her el mismo número n de letrs x y de letrs y, y esto sólo puede ser verificdo si se cuent con lgún tipo de proceso o de lmcenmiento que permit "contr" o "recordr" cuánts letrs x se tenín ntes de contr ls letrs y. Un Árol de Derivción o Árol de Sintxis es un estructur que sirve pr compror si un orción dd pertenece o no l lenguje definido por l Grmátic. Este árol permite seprr l cden en sus componentes (prser) de mner que, prtiendo del Símolo Inicil, se pliquen sucesivmente ls Producciones hst que se llegue estlecer un Producción válid. 20

21 Cso: Se nlizrá el Cso de l cden x y 2 z, pr ver si est cden es o no ceptd por l grmátic G1, definid ntes. xy 2 z = xyyz V0 = x <V0> V0 = x y <V1> V0 = x y V0 = x y y Por lo tnto l cden sí es ceptd por G1. y <V1> z Cso: Otener los digrms de sintxis pr otener cdens del tipo x n con n >= 1. Pr myor fcilidd, considere que es necesrio tener en cuent los vlores de los exponentes x Los vlores posiles de n son 1, 2, 3, 4...Cundo X se encuentr sore l flech principl, como en este cso, se ve l oligtoriedd de X; esto es, por lo menos dee de her un. Ejemplo 1: Otener los digrms de sintxis pr otener cdens del tipo indicdo. Pr myor fcilidd, considere que es necesrio tener en cuent los vlores de los exponentes (n, m). ( 2 ) n n >= 1. x n y m n >= 0 y m>= 1 c. ( 2 ) m m >= 1 d. n m n >= 1 y m >= 3 21

22 Cso: Ve l diferenci entre:.. y x x y y Amos digrms muestrn que hy dos ciclos, uno pr ls X y otro pr ls Y. En el primero l prición de ls X ( lo menos un) es oligtori mientrs que en el segundo, es opcionl (puede no her). En mos, l prición de ls Y ( lo menos un), es oligtori. Ejemplo 2: Explique l diferenci entre:. y y x y. x y y Ejemplo 4: Cuál es l diferenci entre n n con n >= 1 y n m con n, m >= 1? Estlezc cdens válids pr cd cso y relice el digrm de sintxis pr el segundo cso, pr su myor comprensión. Ejemplo 5: Cuál es l diferenci entre n m con n, m >= 1 y n m con n >= 1, m >= 0? Estlezc cdens válids pr cd cso y relice el digrm de sintxis pr myor comprensión. 22

23 Cso: Se l expresión x n y m con n >= 2 y m >= 2 y pr Pr los vlores de los exponentes, se tiene: n = 2, 3, 4, 5... m = 2, 4, 6, 8... Su digrm de sintxis es el siguiente: x x y y Un form fácil de otener ls producciones, es seprr el digrm en prtes donde se identifiquen los ciclos. A ests prtes se les pondrá el nomre de los No Terminles que se requiern. V1 V2 V3 x x y y Se indicrá el nomre de todo el digrm como <V0>, por lo que: <V0> :: = <V1> <V2> <V3> <V0> está formdo por <V1>, seguido por <V2>, seguido por <V3> <V1> :: = x <V1> es x <V2> ::= x x <V2> <V2> es x o es x seguid de <V2>. Nótese l recursividd en l definición, cuyo punto de slid siempre es x <V3> ::= yy yy <V3> <V3> es yy o es yy seguid de <V3>. Nótese l recursividd en l definición, cuyo punto de slid siempre es yy Nótese que l <V3> no está definido de mner regulr. Otro modo de escriir est producción, pr que se presente como regulr es: <V3> ::= y <V4> <V3> es y seguid de <V4> 23

24 <V4> ::= y y <V3> <V4> es y, o es y seguid de <V3>. Nótese l definición circulr entre <V3> y <V4>, donde l slid es y indicd en <V4> Ejemplo 6: Se l grmátic G2 definid por: T = {}, NT = {V0}, S = V0 y ls Producciones: V0 V0 V0 Nótese que est grmátic, no está escrit como grmátic regulr. Pero como hy un digrm de sintxis que l represent, entonces l grmátic puede ser escrit como regulr, con ls producciones siguientes: V0 V1 V1 V1 V0 El Digrm de Sintxis correspondiente es: <V0> ) Descri ls producciones en BNF ) Descri el lenguje producido por est grmátic c) Diuje un árol de derivción pr compror si l orción 8 pertenece l lenguje Ejemplo 7: Se l grmátic G3 definid por: T = {, }, NT = {V0}, S = V0 y ls Producciones: V0 V0 V0 V0 El lenguje producido por est grmátic es de l form: L = { 2 m + 1 o 2 n, con m, n >= 0 } (Recuerde que el cero es un número pr) ) Descri ls producciones en BNF y de modo que l grmátic se regulr ) Descri ls producciones como Digrms de Sintxis (en form gráfic) c) Diuje un árol de derivción pr compror si l orción 8 pertenece l lenguje 24

25 Ejemplo 8: Se l grmátic G5 definid por: T = {, +, (, )}, NT = {V0, V1, V2}, S = V0 y ls Producciones: V0 (V0) V0 + V1 V1 + V2 V2 + V2 V2 Ls producciones en BNF son: <V0> :: = ( <V0> ) + <V1> <V1> :: = + <V2> <V2> :: = + <V2> Est grmátic no es regulr y el lenguje que se gener prtir de ell, tmpoco es regulr. Ls cdens generds no pueden ser explicds trvés de un digrm de sintxis. Diuje un árol de derivción pr compror si l siguiente orción pertenece l lenguje ( ( ) ) Ejemplo 9: Se l grmátic G4 definid por: T = {x, y, z}, NT = {V0}, S = V0 y ls Producciones: V0 x V0 V0 V0 y V0 V0 z Diuje un árol de derivción pr compror si l orción xxyyzz pertenece l lenguje Est grmátic no es regulr y el lenguje que se gener prtir de ell, tmpoco es regulr. Ls cdens generds no pueden ser explicds trvés de un digrm de sintxis. Ejemplo 10: Construy un grmátic regulr y el digrm de sintxis correspondiente, de form tl que se oteng el lenguje indicdo en cd cso: ) L = { n m n>= 1, m >= 0} ) L = { n m n>= 1, m >= 3} c) L = { n m n>= 2, m no negtivo y pr} Ejemplo 11: Se l grmátic G1, donde: Terminles = {x, y, z} No Terminles = {A, B, S}, Inicil = S Y ls Producciones: <S> ::= x <A> x <A> ::= y <B> x <B> ::= z <A> z 25

26 Su Digrm de Sintxis puede representrse por: x x y z Compror si cd un de ls siguientes cdens, es ceptd o no, usndo un árol de derivción: ) xxzxz ) xyzyz c) xyzxz d) xxyzy e) xyzyx Ejemplo 12: Se l grmátic G2, donde: Terminles = {,, c}, No Terminles = {V, W}, Y ls Producciones: <V> ::= <W> <W> ::= <W> c Inicil = V Su Digrm de Sintxis puede representrse por: c Compror si cd un de ls siguientes cdens, es ceptd o no, usndo un árol de derivción: ) c ) c c) c d) cc e) c Ejemplo 13: Se l grmátic G3, donde: Terminles = {,, c, d}, No Terminles = {V0, V1, V2}, Inicil = V0 26

27 Y ls Producciones: <V0> ::=<V1> <V2> <V1> ::= <V1> <V2> ::= c c <V3> <V3> ::= d d <V3> Su Digrm de Sintxis puede representrse por: c d Compror si cd un de ls siguientes cdens, es ceptd o no, usndo un árol de derivción: ) ccdd ) c c) ddd d) cdd e) ccddd Ejemplo 14: Se l grmátic G4, donde: Terminles = {,, c, d}, No Terminles = {W, V1, V2}, Inicil = W Y ls Producciones: <W> ::= <V1> <V1> <V1> ::= c <V0> c <V0> ::= d <V0> d Su Digrm de Sintxis puede representrse por: c d Compror si cd un de ls siguientes cdens, es ceptd o no, usndo un árol de derivción: ) c ) c c) cdd d) cd e) cd 27

28 Ejemplo 15: Se l grmátic G5, donde: Terminles = {,, c, d}, No Terminles = {W, V1, V0}, Inicil = W Y ls Producciones: <W> ::= <V1> <V1> ::= c <V0> c <V0> ::= d d <V0> Ests Producciones no están escrits de modo que correspondn un Grmátic Regulr, pero hy un digrm de sintxis que lo represent Ls producciones que correspondn un Grmátic Regulr son: <W> ::= <V1> <V1> ::= <V2> <V2> ::= d <V2> c Su Digrm de Sintxis puede representrse por: c d Compror si cd un de ls siguientes cdens, es ceptd o no: ) ccd ) dc c) c d) ccddd Ejemplo 16: Se l grmátic G6, donde: Terminles = {,, c, d}, No Terminles = {W, V1, V2}, Inicil = W Y ls Producciones, que no están escrits de form regulr, son: <W> ::= <V1> <V1> ::= d d <V1> d <V2> <V1> <V2> ::= c d Ls Producciones escrits de modo que correspondn un Grmátic Regulr son: <W> ::= <V0> <V0> ::= <V1> <V1> ::= d d <V1> d <V3> <V3> ::= c <V1> d <V1> Hcer el digrm de sintxis y compror si cd un de ls siguientes cdens, es ceptd o no, usndo un árol de derivción: ) cd ) dc c) ddcd 28

29 d) cdc e) dcc Ejemplo 17: Se l grmátic G7, donde: Terminles = {0, 1, ,,, c... z} No Terminles = { dígito, letr, identificdor} donde <Dígito> ::= <Letr> ::= c... z Inicil = identificdor Producciones: <identificdor> ::= <letr> <identificdor> <letr> <identificdor> <dígito> Hcer el digrm de sintxis y compror si cd un de ls siguientes cdens, es ceptd o no, usndo un árol de derivción: ) 11 ) sueldo c) 26 d) %ño e) cuot vent Ejemplo 18: Otener l grmátic que permit generr enteros y reles, siendo que un número entero puede tener culquier de ls siguientes forms: ) 12 ) 123E4 Y un número rel puede tener culquier de ls siguientes forms: ) ) 12.3 c) 123E 2 d) 123.6E+5 e) 123.5E-2 Un Grmátic Amigu es quell que pr un mism sentenci, produce más de un Arol de Sintxis o de Derivción. 29

30 Cso: Sen ls producciones siguientes que corresponden l siguiente grmátic: <expresión> ::= i <expresión> - <expresión> <expresión> / <expresión> donde / indic l división Al prser l cden: i - i / i, se podrí otener: <expresión> <expresión> - <expresión> i - <expresión> / <expresión> i - i / i que corresponde l rest de i menos el cociente de i / i Y tmién se podrí otener: <expresión> <expresión> / <expresión> <expresión> - <expresión> / i i - i / i que corresponde l cociente de l rest de i menos i, entre i De este modo se otienen dos ároles de sintxis diferentes, mos correctos. Sin emrgo, es necesrio considerr que ritméticmente l prioridd de l división, siempre es myor que l prioridd de l rest, por lo que: i - i / i = i (i / i) Ejemplo 19: Siguiendo el ejemplo nterior, prser ls siguientes cdens: ) i / i - i ) i - i - i / i c) i / i - i / i Ejemplo 20: Sen ls producciones siguientes que corresponden l siguiente grmátic: <expresión> ::= i <expresión> + <expresión> <expresión> * <expresión> 30

31 Prser ls siguientes cdens: ) i + i * i ) i * i + i c) i + i + i * i d) i * i + i * I Nótese que con ests producciones no qued clro si expresiones como ls indicds en ) y ), son sums o productos; por esto, es que se dice migu. Ejemplo 21: Sen ls producciones siguientes que corresponden l siguiente grmátic: <expresión> ::= i <expresión> + <expresión> <expresión> - <expresión> Prser ls siguientes cdens: ) i - i + i ) i + i - i c) i - i - i + i d) i + i - i + i Ejemplo 22: Otener l grmátic que incluy ls prioriddes de los operdores ritméticos, de form tl que l multiplicción y l división tengn myor prioridd que l sum y l rest. L multiplicción y l división tienen l mism prioridd entre ells, y se ejecutn de izquierd derech, según l que se encuentre primero en l expresión. L sum y l rest tienen l mism prioridd entre ells, y se ejecutn de izquierd derech, según l que se encuentre primero en l expresión. Se definirá un Expresión Regulr como quell expresión que represent l conjunto de cdens ceptds por un grmátic regulr. Ejemplo 23: Anlice, comprend y prend ls siguientes producciones: ) <w> :: = Expresión Regulr = <w> ) <W> :: = <W> Expresión Regulr = ( ) n, Con n >= 1 <w> 31

32 c) <W> :: = <W> Expresión Regulr = n, con n >= 1 <w> <W> :: = Expresión Regulr = o <w> d) <V0> :: = <W> <W> :: = <W> c <w> c Expresión Regulr = ( ) n c, Con n >= 0 e) <W> :: = <V0> <V0> :: = c c <V0> Expresión Regulr = o o c n, con n >= 1 <w> c f) <W> :: = <V1> <V0> <V1> <V0> :: = c c <V0> <V1> :: = d d <V1> <w> d c Expresión Regulr = c n d m, con n >= 0, m >= 1 32

33 h) <w> :: = <V1> <V1> <V1> :: = c c <V0> <V0> :: = d d<v0> <w> c d Expresión Regulr = ( o ) c d n, con n >= 0 i) <w> :: = <V1> <V1> :: = d d <V1> d <V2> <V1> <V2> :: = c d <w> c d d Expresión Regulr = d n c m d i, con n, m, i >= 0 33

34 MÁQUINAS TEÓRICAS. 34

35 Existen procesos que sólo dependen de los dtos de entrd; esto es, no sen en qué estdo se encuentrn, de mner que no considern este hecho. Otros procesos sin emrgo, sí recuerdn el estdo en que se encuentrn, de modo que considern tnto dicho estdo, como los dtos que están entrndo en un momento determindo. A estos últimos procesos se les puede llmr con memori (porque recuerdn donde están). Ls Máquins de Estdo Finito son modelos strctos de equipos con memori intern, unque ést se muy primitiv. Ests máquins tienen: ) Un conjunto finito de Símolos de Entrd (SE) ) Un conjunto finito de Símolos de Slid. (SS) c) Un conjunto finito de estdos (E) d) Un función de estdo siguiente f : (E x SE) E e) Un función slid g : (E x SE) SS f) Un estdo inicil que pertenece E Los Autómts de Estdo Finito son Máquins Teórics que permiten hcer reconocimientos de ptrones (lexicográfico, sintáctico y semántico), de mner que se pued determinr si estos ptrones puedn o no ser ceptdos por dichs máquins. Así, un Autómt de Estdo Finito, es un clse especil de máquin que gurd relción con un lenguje en prticulr. Un conjunto finito de estdos implic un número determindo de estdos ien definidos o situciones donde se puede estr. Un Digrm de Trnsiciones es un representción gráfic de lo que sucede cundo se inici en un estdo determindo (llmdo estdo inicil) y se recie como dto de entrd un elemento. Si este elemento pertenece un conjunto de símolos de entrd, se continú con el proceso; de lo contrrio, el proceso se detiene y se tiene un no ceptción. Si el proceso continú se tom en cuent dónde se encuentr (en qué estdo está), qué recie (el elemento nlizr) y se ps otro estdo definido o se mntiene en el mismo estdo donde se encontr. Esto se repite pr cd elemento que se recie hst llegr un estdo finl (tmién llmdo estdo de ceptción) y cundo esto sucede se dice que l orción o cden formd por todos los símolos nlizdos, es ceptd por l máquin. Si no se lleg un estdo de ceptción, se dice que l cden no es ceptd por l máquin. Un Digrm de Trnsición, tmién llmdo Digrm de Estdos o Red de Trnsiciones, es un gráfic formd por Círculos que representn los Estdos, que se conectn trvés de rcos rotuldos. Los Estdos indicn l posición ctul en que se encuentr el nálisis y deen tener nomres (letrs o números) pr identificrlos. Los rótulos de los rcos generlmente representn el símolo leído desde l cden nlizd. Cd gráfic dee tener sólo un Estdo Inicil (por donde se inici) y uno o más Estdos Finles o de Aceptción (donde se termin o se cept). Los estdos finles se representn con un dole círculo. Un estdo finl puede coincidir con un estdo inicil. Ddo un Estdo de Trnsición se dese nlizr si un cden dd, es o no ceptd por dicho estdo. Un cden es ceptd o se dice válid, cundo se prte desde el estdo de inicio y trvés de los rcos, se lleg un estdo finl. 35

36 Cso: Se el siguiente estdo de trnsición: 1 letr 3 letr, dígito dígito 2 Donde se tiene que 1 es el Estdo Inicil (flech inicil) y 3 es el Estdo Finl (dole círculo) Los rótulos sore los rcos indicn que: Estndo en el estdo 1, si se lee un letr, se ps l estdo 3 Estndo en el estdo 1, si se lee un dígito, se ps l estdo 2 Estndo en el estdo 3, si se lee un letr o un dígito, se qued en el estdo 3 No hy definición de qué ps si estndo en el estdo 2, se lee un letr o un dígito. Ls cdens ceptds son del tipo: 23, c1, edd, sueldo, etc. Ls cdens no ceptds son del tipo: 123 si empiez con un dígito, lleg l estdo 2 y luego no puede continur sueldo totl cundo encuentre el espcio, no puede continur. 5% el símolo de % no es ni letr ni dígito Cso: Se el siguiente digrm, considerndo que los símolos de entrd o Alfeto, son y. El estdo inicil es S. El estdo de ceptción es W. Anlizr si l cden es ceptd o no. S W Z 36

37 En este cso, el digrm de trnsición indic lo siguiente: ) Inicio en el estdo S ) Estndo en S, lleg un. Como es símolo de entrd, pso l estdo W c) Estndo en W, lleg un (l segund) y permnezco en el estdo W d) Estndo en W, lleg un (l tercer) y permnezco en el estdo W e) Como W es estdo de ceptción, l cden es ceptd. Un Tl de Trnsiciones es otr form de definir un Digrm de Trnsiciones, donde se estlece un mtriz cuys columns tienen los elementos del lfeto que se pueden leer, y los renglones tienen los estdos existentes. En este cso, es necesrio indicr el estdo inicil y el conjunto de estdos finles. Cundo en lgun celd de l mtriz se encuentr un Ø, signific que no hy un pr definido, en el producto crtesino de E x A Cso: Se l siguiente Tl de Trnsiciones, donde el estdo inicil es S1 y el estdo finl es {S3} S1 S1 S2 S2 S3 Ø S3 S3 S1 Est tl tmién puede ser representd como un relción de E x A 2 E, donde 2 E es el conjunto potenci de E (S1, ) S1 (S1, ) S2 (S2, ) S3 (S2, ) Ø (S3, ) S3 (S3, ) S1 A prtir de dich tl, se puede construir el Digrm de Trnsiciones correspondiente: S1 S2 S3 37

38 Cso: El siguiente Digrm de Trnsiciones cept cdens de símolos del lfeto A={0,1} y donde se cumple l condición de que hy un número pr de ceros 1 S1 0 S2 0 S3 1 Nótese que como no se indic nd cerc de los 1, se pueden encontrr cuntos 1 sen necesrios, pero en cunto se hll un 0, sigue necesrimente otro 0, cumpliéndose l condición pedid. Cso: El siguiente Digrm de Trnsiciones cept cdens de símolos del lfeto A={0,1} y donde se cumple l condición de que cd 0 esté seguido por un 1 1 S1 0 S2 1 S3 1 Ejemplo 1: Construir pr cd cso, un Digrm de Trnsiciones que cepte cdens de símolos del lfeto ddo y donde se cumpl l condición indicd. Alfeto Condición ) {,,c} Cd dee estr seguid de, por lo menos dos letrs ) {,,c} Cd cden dee ser de l form c, cunts veces se quier, pero lo menos un vez. 38

39 Cso: Tmién pueden tenerse situciones como l siguiente: 1 S1 1 S2 En cuyo cso se indicrá: (S1, 1) = {S1, S2} y se leerá: estndo en el estdo S1, encuentro un 1 y puedo quedrme en el estdo S1 o psr l estdo S2. Esto es un migüedd, porque no se se cuál cmino seguir. Ejemplo 2: Indique qué cdens se pueden representr con los siguientes digrms de trnsición, siendo que Dígito = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. dígito A Dígito - {0} B 0, 2, 4, 6, 8 C 0, 2, 4, 6, 8. dígito A Dígito - {0} B 0, 5 C 0, 5 Ejemplo 3: Se podrín representr los múltiplos de 3 trvés de un digrm de trnsición?, y de 6?, y de 8? y de 9? Explique cd cso. 39

40 Ejemplo 4: Considerndo que A es el lfeto, E es el conjunto de estdos, F es el conjunto de estdos de ceptción o finles, y que S es el estdo inicil, diuje el Digrm de Trnsición correspondiente : ) A = {,} E = {S0,S1,S2} F = {S0} S = S0 S0 vcío {S1, S2} S1 {S2} {S0,S1} S2 {S0} vcío ) A = {,} E = {S0,S1,S2} F = {S0,S1} S = S0 S0 {S1} {S0,S2} S1 vcío {S2} S2 {S1} vcío c) A = {,} E = {S0,S1,S2,S3} F = {S1} S = S1 S0 vcío {S3} S1 {S1,S2} {S3} S2 vcío {S0,S1,S3} S3 vcío vcío d) A = {,,c} E = {S0,S1,S2} F = {S0,S2} S = S0 c S0 {S1} vcío vcío S1 {S0} {S2} {S0,S2} S2 {S0,S1,S2} {S0} {S0} e) A = {,,c} E = {S0,S1,S2,S3 } F = {S0,S3} S = S0 c S0 {S1} {S0,S1,S3} vcío S1 {S2,S3} vcío vcío S2 vcío {S0,S3} {S1,S2} S3 vcío vcío {S0} 40

41 AUTÓMATAS FINITOS DETERMINÍSTICOS. 41

42 Los Autómts Finitos Determinísticos (AFD) permiten reconocer cdens que pertenecen los Lengujes Regulres, los cules son generdos por ls Grmátics Regulres. Esto es, si existe un AF que permite reconocer un cden, entonces existe un grmátic que puede ser expresd como Grmátic Regulr y que gener dich cden. Un Autómt Finito Determinístico (AFD) está definido por l siguiente quíntupl: 1. E = es el conjunto finito de estdos 2. A = es el lfeto de l máquin 3. S = es el estdo inicil, un elemento de E 4. Z = es un conjunto de estdos finles o de ceptción, es un suconjunto de E 5. M = es l función de E x A 2 E, donde 2 E es el conjunto potenci de E. Es decir, AFD = {E, A, S, Z, M} Cso: Ddo el siguiente digrm de trnsición de un AFD: S letr F letr, dígito dígito Se tiene que: E = es el conjunto finito de estdos = {S, F} A = es el lfeto de l máquin = {letr, dígito} S = es el estdo inicil, un elemento de E = S Z = es un conjunto de estdos finles o de ceptción = {F} M = es l función de E x A 2 E (2 E es el conjunto potenci de E), donde: { (S, letr) = F, (S, dígito) = S, (F, letr) = F, (F, dígito) = F } Nótese que los pres (S, letr), (S, dígito), etc. pertenecen E x A. Ls cdens ceptds por este AFD constn de dígitos y letrs en culquier cominción, pero lo menos deen tener un letr. 42

43 Cso: Se el siguiente Digrm de Trnsición. Verifique si se trt o no de un AFD x y S y x 1 Verifique que ls cdens ceptds son un cominción de x e y, pero si hy x, ésts deen estr en número pr. Escri este enuncido de mner forml (notción mtemátic). Escri l expresión pr representr este tipo de cdens. Cundo el estdo Inicil coincide con el estdo Finl, se cept l Cden vcí, representd por λ. L quíntupl socid l AF es: E = {S, 1} A = {x, y] S = s Z = {S} M: es función de E x A 2 E x y S 1 S 1 S 1 Por lo tnto se trt de un AFD El digrm de sintxis es: y x x y 43

44 L expresión del Lenguje generdo es: L = { ( y n ( x y m x ) p ) k con n,m, p, k >= 0} L grmátic que gener este lenguje es: T = { x, y} NT = { V0, V1, V2, V3} S = V0 P = { <V0> :: = λ <V1> <V2> <V1> <V2> <V1> <V2> <V0> <V1> <V0> <V2> <V0> <V1> :: = y y <V1> <V2> :: = x <V3> <V3> :: = x <V1> x } Ejemplo 1: Se el siguiente Digrm de Trnsición., Su digrm de sintxis es:. Verifique si se trt o no de un AFD (encuentre l quíntupl que lo definirí). Encuentre l expresión del lenguje generdo c. Encuentre l grmátic que gener dicho lenguje 44

45 Ejemplo 2: Se el siguiente Digrm de Trnsición., D C F L expresión del lenguje generdo es: L = { n m ( r p ) k n, r, p, k >= 0; m >= 1}. Verifique si se trt o no de un AFD (encuentre l quíntupl que lo definirí). Diuje su digrm de sintxis c. Encuentre l grmátic que gener dicho lenguje Ejemplo 3: Se el siguiente Digrm de Trnsición. S1 S2 S3 Pr verificr si se trt o no de un AFD, hy que encontrr l quíntupl que lo definirí. E = {S1, S2, S3} A = {, } S = S3 Z = {S1] M: es función de E x A 2 E S1 S1 S2 S2 S2 S1 S3 S1 S2 Por lo tnto se trt de un AFD 45

46 . Diuje su digrm de sintxis. Encuentre l expresión del lenguje generdo c. Ls siguientes expresiones representn cdens ceptds?. Explique cd cso. n m con n, m >= 0 n m con n >= 1 y m >= 0 ( ) n con n >= 1 ( ) n con n >= 0 d. Encuentre l grmátic que gener dicho lenguje Ejemplo 4: Pr cd uno de los siguientes Digrms de Trnsición.. Complételo con otro color, de modo que se un AFD.. Defin l quíntupl. c. Hlle 3 expresiones que representen cdens no válids. d. Hlle l expresión de cdens válids S0 y S1 x x S y x x 46

47 4.3. D C F 4.4. y x 1 y 3 x 2 y x 4.5. y x y 1 2 x 4.6. x 1 y 47

48 4.7. x, z y z 1 x, y x, y x 1 2 y x, y 3 Ejemplo 5: Diuje el utómt correspondiente lo siguiente: Estdo inicil = R Estdo finl = {U} Estndo en R, con un sigo en R Estndo en R, con un, pso S Estndo en S, con un, pso T Estndo en S, con un, sigo en S Estndo en T, con un, pso U Estndo en U, con un, quedo en U Estndo en U, con un, pso T Indique si es o no un AFD, y en Cso que no lo se, complete l definición del mismo Cuál es l expresión que represent ls cdens válids? Escri l expresión como enuncido. 48

49 Los AFD no tienen un "memori" que permit recordr los símolos nlizdos ntes del símolo ctul, por lo tnto ls cdens del tipo n n o cdens que incluyn préntesis, no pueden ser nlizds trvés de estos utómts. Pero ls plrs reservds de los lengujes, los nomres de dtos y los símolos de los operdores, sí podrán ser reconocidos por los AFD. 49

50 AUTÓMATAS FINITOS NO DETERMINÍSTICOS. 50

51 Un Autómt Finito No Determinístico (AFN) está definido por l siguiente quíntupl: 1. E = es el conjunto finito de estdos 2. A = es el lfeto de l máquin 3. S = es el estdo inicil, un elemento de E 4. Z = es un conjunto de estdos finles o de ceptción, es un su conjunto de E 5. M = es el mpeo (no un función) de E x A 2 E, donde 2 E es el conjunto potenci de E. Es decir, AFN = {E, A, S, Z, M} Lo que hce que el AFN se No Determinístico es que hy un migüedd o un no determinción cerc de qué cmino tomr en lgún estdo con un elemento del lfeto. Bst que hy un sol migüedd, pr que se teng l no determinción. Est no determinción tmién se tiene cundo no hy un pr definido con respecto un estdo y el símolo leído; esto ocurre porque no hy un función, sino simplemente un mpeo. L diferenci entonces entre un AFN y un AFD es que el primero tiene un mpeo y el segundo, un función. Pr trnsformr un AFN en un AFD, se requiere convertir el mpeo en función. Cundo se tiene un AFN, es necesrio considerr que si se quiere hcer un simulción en l computdor de un lenguje en prticulr, es necesrio tener todos los elementos que hgn del mpeo, un función; esto es, se deen tener cd uno de los estdos socidos con un elemento del lfeto, pr indicr sólo un cmino ien determindo, que es posile tomr. De hí surge l necesidd de encontrr un AFD equivlente l AFN que se tiene; esto es, que el nuevo AFD encontrdo cepte el mismo lenguje que el AFN originl. Cso: L notción M (S, ) = { S1, S2} nos indic que hy un relción que hce que, estndo en el estdo S y si se lee un, se pued ir l estdo S1 o l estdo S2, siendo mos cminos válidos. Esto es un Amigüedd Est mism notción puede ser representd por un Tl de Trnsiciones o Tl de Estdos, como l siguiente: Alfeto Estdos S {S1, S2} Y tmién por el Digrm de Trnsición siguiente: S1 S2 51

52 Cso: Se el AFN indicdo. Encuentre su tl de trnsiciones. Indique en cd cso, dónde se hll l migüedd (puede her vris migüeddes). D C F L quíntupl de este AFN está dd por: E = { C, D, F} A = {, } S = F Z = {D} M: es relción de E x A 2 E { (F, ) = F (F, ) = C (C, ) = {C, D} (D, ) = D } El lenguje producido por este AFN es del tipo L = { n m i con n, i >= 0 y m >= 1} L grmátic está definid por: T = {, } NT = {V0, V1, V2} S = V0 P = <V0> ::= <V1> <V1> <V1> <V0> <V2> <V1> ::= <V1> <V2> ::= <V2> Su digrm de sintxis es: <V0> <V0> 52

53 Ejemplo 1: Dd l siguiente tl de estdos de un AFN S1 {S1,S2,S3} Ø S2 Ø {S1} S3 Ø {S2} L quíntupl de este AFN está dd por: E = { S1, S2, S3} A = {, } S = S3 Z = {S1} M: es relción de E x A 2 E mostrd en l tl de trnsición ) Explique dónde se encuentr l No Determinción o l migüedd ) Diuje el Digrm de Trnsición c) Diuje el Digrm de Sintxis d) Encuentre l expresión generl del lenguje generdo e) Encuentre l grmátic que gener el lenguje Ejemplo 2: Anlice el siguiente AFN. Note que donde hy migüedd, según el cmino que se tome, se encuentr un entero o un rel. dígito 1 dígito 2 dígito. 3 4 dígito dígito dígito 5 ) Diuje l tl de Trnsición ) Diuje el Digrm de Sintxis c) Encuentre l expresión generl del lenguje generdo d) Encuentre l grmátic que gener el lenguje 53

54 Ejemplo 3: Hllr l quíntupl que define l AFN indicdo Su Digrm de Sintxis está ddo por: ) Diuje l tl de trnsiciones ) Encuentre l expresión generl del lenguje generdo c) Encuentre l grmátic que gener el lenguje Ejemplo 4: Hllr l quíntupl que define l AFN indicdo. x 1 x 2 x L expresión generl del lenguje generdo es: L = {( x n m x ) p con n>= 1, m, p >=0} 54

55 ) Diuje l tl de trnsiciones ) Diuje el Digrm de Sintxis c) Encuentre l grmátic que gener el lenguje Ejemplo 5: Hllr l quíntupl que define l AFN indicdo., S1 S2 S3 ) Diuje l tl de trnsiciones ) Diuje el Digrm de Sintxis c) Encuentre l expresión generl del lenguje generdo d) Encuentre l grmátic que gener el lenguje Ejemplo 6: Se el Digrm de Trnsición indicdo., 1 S3 ) Explique dónde se encuentr l No Determinción o l migüedd ) Hllr l quíntupl que define l AFN c) Encontrr su tl de trnsiciones d) Diuje el Digrm de Sintxis e) Encuentre l expresión generl del lenguje generdo f) Encuentre l grmátic que gener el lenguje Ejemplo 7: Se el Digrm de Trnsición indicdo. x y 1 y y 2 55

56 ) Explique dónde se encuentr l No Determinción o l migüedd ) Hllr l quíntupl que define l AFN c) Encontrr su tl de trnsiciones d) Diuje el Digrm de Sintxis e) Encuentre l expresión generl del lenguje generdo f) Encuentre l grmátic que gener el lenguje Ejemplo 8: Exprese un crcterístic de ls cdens ceptds por el siguiente AFN:,, A C B Ejemplo 9: Exprese un crcterístic de ls cdens ceptds por el siguiente AFN:,,, R W Z Ejemplo 10: Exprese un crcterístic de ls cdens ceptds por el siguiente AFN:, 56

57 Ejemplo 11: Exprese un crcterístic de ls cdens ceptds por el siguiente AFN:,, Ejemplo 12: Exprese un crcterístic de ls cdens ceptds por el siguiente AFN: x, y y x Ároles de Derivción: A trvés de los Ároles de Derivción se puede ser si un cden es ceptd o no por un AFN. En este nálisis se puede tener uno de vrios csos: 1. Que se llegue l finl de l cden y no se hy podido psr un estdo de ceptción. Esto es un error y l cden no es ceptd. 2. Que se llegue un estdo de ceptción sin her termindo l cden y no se pued seguir en dicho estdo porque no existe un ucle que lo permit. Esto es un error y l cden no es ceptd. 3. Que se encuentre en un estdo en el cul no está definido qué hcer con el elemento encontrdo. Esto es un error y l cden no es ceptd. 4. Que se hy termindo l cden y se encuentre en un estdo de ceptción. L cden sí es ceptd por el AFN. 57

58 Cso: Se l cden que se dese nlizr con el siguiente AFN: Su árol de derivción es el siguiente: 1 Estndo en 1 se encuentr un. Se puede psr l estdo 2 o 1, quedrse en 1. Continundo se lleg : 2 1, Error1. 2 Error2 1, 2, 1, 2, 3 L cden sí es ceptd 3, Error3 1, 2, Error1 2, Error1 Error1: Estndo en el estdo 2, no está definido qué se hce l encontrr el elemento hlldo. L cden no es ceptd. Error2: Se có l cden y no se llegó l estdo de ceptción. L cden no es ceptd. Error3: Se llegó l estdo de ceptción, pero l cden no h termindo y no hy ucle pr permnecer en 3. L cden no es ceptd. Ejemplo 13: Hg los Ároles de Derivciones correspondientes pr dos cdens por cd uno de los AFN ddos en los ejemplos del 1 l 12. AFD socidos AFN: De cd AFN se puede derivr un AFD que le correspond. Pr ello se consider lo siguiente: 1. El conjunto originl de estdos E que se tiene en el AFN, se mntendrá en el nuevo AFD, pero hrá más estdos; de hecho, puede ser el conjunto potenci completo. De todos estos estdos, hrá lgunos de ellos que nunc se lcncen, por lo que podrán no ser considerdos. 2. El lfeto A tmién será el mismo que en el AFN 58

59 3. El estdo inicil S será el mismo que en el AFN. 4. El conjunto de los estdos de ceptción, serán los mismos que en el AFN originl, pero se incrementrá con todos los nuevos estdos, que incluyn los estdos de ceptción originles. Cso: Se el AFN que se muestr en l figur: x y D x C x F Definido por: 1. E = {D, C, F} es el conjunto finito de estdos 2. A = {x, y} es el lfeto de l máquin 3. S = D es el estdo inicil, un elemento de E 4. Z = {F} es un conjunto de estdos finles o de ceptción 5. M = está definido por: M (D, x) = {C, D} M (C, x) = {F} M (C, y) = {C} es el mpeo (no un función) de E x A 2 E, donde 2 E es el conjunto potenci de E. El AFD que se quiere construir prtir del AFN está definido por: 1. E = {Ø, {D}, {C}, {F}, {C, D}, {C, F}, {D, F}, {C, D, F}} es un conjunto finito de estdos, que corresponde l conjunto potenci de E 2. A = {x, y} es el lfeto de l máquin 3. S = D es el estdo inicil, un elemento de E 4. Z = { {F}, {C, F}, {D, F}, {C, D, F}} es un conjunto de estdos finles; todos contienen {F} 5. M = está definido por: M (Ø, x) = Ø M ((C, D), x) = {C, D, F} 4 M (Ø, y) = Ø M ((C, D), y) = {C} M (C, x) = F M ((C, F), x) = {F} M (C, y) = {C} M ((C, F, D), x) = {C, D, F} M (D, x) = {C, D} M ((C, F), y) = {C} M (D, y) = Ø M ((D, F), x) = {C, D} M (F, x) = Ø M ((D, F), y) = Ø M (F, y) = Ø M ((C, F, D), y) = {C} 4 Pr visulizr los nuevos estdos, ve por ejemplo cuáles estdos se ps estndo en C o en D, hiendo hlldo un x, y sí encontrrá ((C, D), x) 59

60 Tl como se muestr utilizndo un Digrm de Trnsición. x x C, D y y C, D, F D x C y y x D, F y F y x x, y Ø C, F x, y x Pero los estdos {D, F} y {C, F} nunc serán lcnzdos (ningun flech lleg ellos), por lo que el Digrm de Trnsición finl qued como: x x D x y C, D y Ø x, y y C x, y y x C, D, F F Nótese que tmpoco llegn flechs l estdo D, pero como éste es el Inicio, se conserv como tl. Así se h construido un AFD equivlente l AFN originl, es decir que mos ceptn el mismo lenguje. Por lo tnto el nuevo AFD es: 1. E = {Ø, {D}, {C}, {F}, {C, D}, {C, D, F}} 2. A = {x, y} 3. S = D 4. Z = { {F}, {C, D, F}} 60

61 5. M = está definido por: M (Ø, x) = Ø M (F, x) = Ø M (Ø, y) = Ø M (F, y) = Ø M (C, x) = F M ((C, D), x) = {C, D, F} 5 M (C, y) = {C} M ((C, D), y) = {C} M (D, x) = {C, D} M ((C, F, D), x) = {C, D, F} M (D, y) = Ø M ((C, F, D), y) = {C} Otro modo de relizr este AFD correspondiente l AFN ddo, es trvés de l Tl de Trnsiciones. Cso: Se el AFN siguiente: S1 S2 S3 L Tl de Trnsiciones correspondiente l AFN, incluye los nuevos estdos, los cules se originn prtir de l prte superior de l tl: S1 S1, S2, S3 Ø S2 Ø S1 S3 Ø S2, S3 S1, S2, S3 S1, S2, S3 S1, S2, S3 S2, S3 Ø S1, S2, S3 Ø Ø Ø 5 Pr visulizr los nuevos estdos, ve por ejemplo cuáles estdos se ps estndo en C o en D, hiendo hlldo un x, y sí encontrrá ((C, D), x) 61

62 Gráficmente, corresponde l digrm siguiente:,, Ø S1, S2, S3 S2, S3 S1 S2 S3 Como los estdos S1 y S2 nunc se lcnzn y ninguno es inicil, el digrm finl del AFD qued como sigue:, Ø, S2, S3 S1, S2, S3 S3 L tupl correspondiente este AFD es: 1. E = {Ø, {S3}, {S2, S3}, {S1, S2, S3}} 2. A = {, } 3. S = S3 4. Z = { {S1, S2, S3}} 62

63 5. M = está definido por: M (Ø, ) = Ø M ((S2, S3), ) = Ø M (Ø, ) = Ø M ((S2, S3), ) = {S1, S2, S3} M (S3, ) = Ø M ((S1, S2, S3), ) = {S1, S2, S3} M (S3, ) = {S2, S3} M ((S1, S2, S3), ) = {S1, S2, S3} Ejemplo 1: Ddo el siguiente AFN, encontrr su AFD correspondiente: S0 y x S1 y S2 Ejemplo 2: Dd l siguiente tl de estdos de un AFN B S1 {S1,S2,S3} Ø S2 Ø {S1} S3 Ø {S2} Donde S3 es el estdo inicil y S1 el estdo de ceptción ) Explique dónde se encuentr l No Determinción o migüedd ) Diuje el Digrm de Trnsición c) Diuje el digrm de trnsición del AFD correspondiente. Ejemplo 3: Dd l siguiente tl de estdos de un AFN A B S1 {S1,S2,S3} Ø S2 S2 S1 S3 Ø S1 Donde S3 es el estdo inicil y S1 el estdo de ceptción ) Explique dónde se encuentr l No Determinción o migüedd ) Diuje el Digrm de Trnsición 63

64 Ejemplo 4: Diseñe utómts de estdo finito no determinístico que cepten ls cdens no nuls sore el lfeto {,} (cundo se necesrio defin los elementos de l quíntupl que se requiern) y que tengn l propiedd que se expres: ) Comiencen con o con ) Terminen en o en c) Contengn o d) Tod se encuentre entre dos e) No contengn o f) Pr cd uno de ellos, encuentre un AFD correspondiente. 64

65 AUTÓMATAS DE PILA. 65

66 Un Autómt Push Down o Máquin de Pil (APD) es un máquin teóric definid como un séxtupl: 1. E = Conjunto finito de estdos 2. A = Alfeto 3. SP = Conjunto finito de Símolos de Pil 4. T = Conjunto finito de Trnsiciones 5. S = Estdo inicil, elemento de E 6. EF = Conjunto finito de Estdos Finles o de Aceptción. Si EF es vcío, signific que el APD será por Pil Vcí Es decir APD = {E, A, SP. T, S, EF} Un Pil es un estructur strct de dtos que funcion según el principio El Último que Entr es el Primero que Sle, tmién conocido como LIFO por sus sigls correspondientes Lst In First Out. Es un tipo de dtos strcto porque no está implementdo en los lengujes comerciles, por lo que se requiere hcer un simulción de ell, en cso de que se requier utilizr. Un pil tiene un solo extremo por donde se mete y se sc l informción. Cuent demás con un Apuntdor que indic dónde se puede gurdr l informción o dónde se encuentr l informción que se puede extrer. Por su estructur, l informción sólo se gurd encim de l informción y existente, y sólo puede scrse l informción que esté sore l demás. Los errores posiles en un pil son trtr de scr informción de un pil vcí, o queder meter informción en un pil llen. Est pil ctú como un lmcenmiento temporl de los símolos que estén formndo un cden sore l cul se quier ser si es ceptd o no por el APD en cuestión. De dich pil tmién se sc l informción. Los elementos de pil (SP) formn un conjunto que contiene lgunos o todos los símolos del lfeto y otros símolos que tienen un crácter lógico, como un mrc específic en l pil. Ls operciones que se pueden relizr en un APD son: 1. Leer un símolo de entrd. Éste es un símolo que pertenece A y form prte de un cden nlizr 2. Scr un símolo de l pil. Sólo puede ser el último elemento insertdo en ell y puede trtrse y se que un símolo del lfeto o de otro símolo especil perteneciente SP. 3. Meter un símolo en l pil y puede trtrse y se que un símolo del lfeto o de otro símolo especil perteneciente SP. 4. Psr otro estdo que pertenece E. Un Trnsición es un mner que expresr qué se hce en el APD según vrios spectos considerr. L nomencltur utilizd es l siguiente: 1. T = {EA, SL, SS; EN, SP} donde 2. EA = es el Estdo Actul donde nos encontrmos pr hcer el nálisis de l cden exminr. 66