Genética de polinomios sobre cuerpos locales

Transcripción

1 Genética de polinomios sobre cuerpos locales Hayden Stainsby Universitat Autònoma de Barcelona STNB 30 de enero de 2014

2 Resumen 1 Tipos 2

3 Tipos sobre (K, v) (K, v) cuerpo valorado discreto, O anillo de valoración, m = πo ideal maximal, F 0 := F = O/m cuerpo residual Un tipo sobre (K, v) es un objeto computacional capaz de representar un punto del espacio de MacLane (µ, L) M Más precisamente, un tipo es una colección de datos discretos: t = (ψ 0 ; (φ 1, λ 1, ψ 1 );... ; (φ r, λ r, ψ r )) que determinan una cadena de MacLane óptima de una valoración inductiva µ de K(x) y un ideal maximal L del anillo (µ) Vemos que los datos de t están estructurados en niveles. El número r de niveles es el orden del tipo

4 Datos de un tipo de orden cero Un tipo de orden cero t = (ψ 0 ) está determinado por la elección de un polinomio mónico irreducible ψ 0 F[y] Contiene los siguientes datos de nivel cero: La valoración mínima µ 0 de K(x) y su normalización v 0 = µ 0 Datos numéricos: m 0 = 1, λ 0 = ν 0 = 0, h 0 = 0, e 0 = 1 El operador polinomio residual 0-ésimo: R 0 : K[x] F 0 [y], g g(y)/π v 0(g) ψ 0 F 0 [y] mónico irreducible, de grado f 0 F 1 = F 0 [y]/(ψ 0 ) = F 0 [z 0 ] extensión de F 0 de grado f 0 z 0 = y (mod ψ 0 ) F 1

5 Datos de un tipo de orden positivo Dado un tipo t = (ψ 0 ; (φ 1, λ 1, ψ 1 );... ; (φ r 1, λ r 1, ψ r 1 )) de orden r 1 0, podemos fabricar un tipo t = (t ; (φ r, λ r, ψ r )) de orden r añadiendo los siguientes datos en el nivel r-ésimo: Un representante φ r de t. Es decir, φ r O[x] mónico tal, que m r := deg φ r = e r 1 f r 1 m r 1, R r 1 (φ r ) = ψ r 1 El operador poĺıgono de Newton N r = N vr 1,φ r Una pendiente λ r = h r /e r, con h r, e r enteros positivos coprimos La pendiente no-normalizada ν r = h r /e 1 e r µ r = [µ r 1 ; (φ r, ν r )] y su normalización v r = e 1 e r µ r El operador polinomio residual r-ésimo R r := R vr 1,φ r,λ r : K[x] F r [y] ψ r F r [y] mónico irreducible, ψ r y, f r := deg ψ r F r+1 = F r [y]/(ψ r ) = F r [z r ] extensión de F 0 de grado f 0 f r z r = y (mod ψ r ) F r+1

6 Operador polinomio residual r-ésimo para r > 0 N r (g) 0 g = 0 s asφs r K[x] Q s = (s, v r 1(a sφ s r )) P 0 Q sj h r e r P j P d pendiente λ r 0 s r (g) = s 0 s j s d c j := { 0, si Qsj por encima de P j, z t r 1(a sj ) r 1 R r 1 (a sj )(z r 1 ) F r, si Q sj = P j Para a K[x]: t 0 (a) = 0, t k (a) = (s k (a) l k v k (a))/e k si k > 0 R r (g) := c 0 + c 1 y + + c d y d F r [y] c 0 c d 0 = deg R r (g) = d, y R r (g)

7 Tipos y valoraciones inductivas Para t tipo de orden r denotamos µ = µ t = µ r (1) µ t es una valoración inductiva con cadena de MacLane (φ 1,ν 1 ) (φ 2,ν 2 ) (φ r,ν r ) µ 0 µ 1 µ r 1 µ r = µ t (2) Diagrama conmutativo con isomorfismos verticales: F = F 0 F 1 F r ι 1 ι r F = F 0,µ F 1,µ F r,µ tales que R i,µ = ι i [y] R i para todo i. Podemos pues identificar: F i = F i,µ, z i 1 = z i 1,µ, ψ i 1 = ψ i 1,µ, R i = R i,µ

8 Tipos y valoraciones inductivas Así pues, un tipo t = (ψ 0 ; (φ 1, λ 1, ψ 1 );... ; (φ r, λ r, ψ r )) determina: (1) Una cadena de MacLane de una valoración inductiva µ t, que se corresponde con los datos: (ψ 0 ; (φ 1, λ 1, ψ 1 );... ; (φ r, λ r, )) (2) Un ideal maximal L t = ψ r (y r ) (µ t ) del anillo (µ t ), que se corresponde con los datos: ψ r, F r+1, z r Lema φ K[x] representante de t φ KP(µ t ), R(φ) = L t

9 Tipos y puntos del espacio de MacLane Definición t es óptimo si m 1 < < m r t es fuertemente óptimo si además e r f r > 1 Convenimos que los tipos de orden r = 0 son fuertemente óptimos Estas condiciones se traducen en que la cadena de MacLane de µ t sea óptima y en que además el ideal maximal L t sea fuerte Si denotamos por T el conjunto de los tipos sobre (K, v) y por T str T el subconjunto de los tipos fuertemente óptimos, obtenemos una aplicación de MacLane: ml: T str M, t (µ t, L t ) Es fácil ver que esta aplicación es exhaustiva. Estudiemos sus fibras.

10 Equivalencia de tipos Definición Consideremos dos tipos fuertemente óptimos de orden r: t = (ψ 0 ; (φ 1, λ 1, ψ 1 );... ; (φ r, λ r, ψ r )) t = (ψ 0 ; (φ 1, λ 1, ψ 1 );... ; (φ r, λ r, ψ r )) Decimos que t t son equivalentes si ψ 0 = ψ 0 y para 1 i r: (a) φ i = φ i + a i, deg a i < m i, µ i (a i ) µ i (φ i ) (b) λ i = λ i (c) ψ i (y) { = ψ i(y η i ), donde 0, si µ i (a i ) > µ i (φ i ) (i.e. φ i µi φ i ) η i = R i (a i ) F i, si µ i(a i ) = µ i (φ i ) (i.e. φ i µi φ i ) Proposición t t ml(t) = ml(t )

11 Tipos y polinomios primos Denotamos por T = T str / el conjunto cociente y por [t] T str la clase de equivalencia de t Obtenemos aplicaciones biyectivas T ml M ok (P/ ) La composición assigna a cada t T str la clase de equivalencia de Okutsu [φ] de qualquier representante φ de t. Además, [φ] O[x] coincide con el conjunto Rep(t) de todos los representantes de t

12 Construcción de tipos Proposición Sea t un tipo de orden r 1 y consideremos m r+1 := e r f r m r, V r = v r 1 (φ r ), V r+1 := e r f r (e r V r + h r ) Dados 0 ϕ F r [y] con deg ϕ < f r, y un entero b V r+1, podemos construir un polinomio g O[x] tal, que deg g < m r+1, v r (g) = b, y sr (g)/er R r (g) = ϕ Si tomamos ϕ = ψ r y fr, b = V r+1, el polinomio g así construido er fr nos proporciona un representante de t: φ = φr + g Como λ r+1, ψ r+1 pueden ser escogidos libremente, podemos construir tipos con invariantes h i, e i, f i y orden r prescritos. Podemos construir polinomios primos con profudidad e invariantes de MacLane-Okutsu prescritos, dando lugar a extensiones de cuerpos locales con propiedades aritméticas prescritas.

13 Estructura de árbol en el conjunto de tipos Podemos representar un tipo como un árbol no ramificado. (φ 1, λ 1, ψ 1 ) (φ r, λ r, ψ r ) ψ 0 Cada nodo se corresponde con el tipo obtenido recogiendo los datos de las aristas del camino que une el nodo con el nodo inicial Podemos dotar el conjunto T de una estructura de árbol (φ 1, λ 1, ψ 1 ) (φ r, λ r, ψ r ) ψ 0 (φ, λ, ψ) (φ, λ, ψ ) Los nodos raiz se corresponden con P(F) Induce estructuras naturales de árbol en el subconjunto T str y en el cociente T = T str / La aplicación T str T conserva la longitud de los caminos

14 primos Definición Una representación OM de F P es un par [t F, φ], donde t F T str y la biyección canónica T P/ envia [t F ] [F ] φ es un representante de t F Los datos discretos de t F son una especie de secuencia de ADN compartida por todos los individuos en la clase [F ] φ [F ] O[x] es una buena aproximación de F. La calidad de la aproximación se mide por el número racional positivo v(φ(θ)) = δ 0 (F ) + λ/e(f ), λ Z >0 donde F (θ) = 0 y λ = mínima pendiente de N r+1 (F ) := N v r,φ (F ) En la práctica, identificamos la representación OM con el tipo (t F ; (φ, λ, ψ)), donde ψ = R r+1 (F ) := R vr,φ,λ(f )

15 Factorizaciones OM Definición Sea g O[x] mónico con factores primos g = G 1 G s en O v [x] Una factorización de Okutsu de g es una expresión g P 1 P s, con P 1,..., P s P O[x] tales que P j G j para todo 1 j s, a menos de la ordenación de los factores Si los G j son todos equivalentes a P, entonces g P s es una factorización de Okutsu que no distingue los factores de g Definición P j [G j ] es una aproximación de Montes a G j como factor de g si v(p j (θ j )) > v(p j (θ k )), k j (G k (θ k ) = 0, k) Una factorización OM de g es una factorización de Okutsu g P 1 P s tal que cada P j es una aproximación de Montes a G j como factor de g

16 Árbol genómico de un polinomio primo Dado F P, consideremos t F T str tal, que la aplicación biyectiva T P/ envia [t F ] [F ] El árbol genómico de F es el subárbol T(F ) T formado por el camino que une [t F ] con su nodo-raiz. (φ 1, λ 1, ψ 1 ) (φ r, λ r, ψ r ) ψ 0 Una representación OM de F, dada por un tipo t = (t F ; (φ, λ, ψ)), se representa mediante un árbol (φ 1, λ 1, ψ 1 ) (φ r, λ r, ψ r ) (φ, λ, ψ) ψ 0 La arista punteada nos recuerda que el tipo t no es (jamás) fuertemente óptimo, con lo que no da lugar a un elemento de T

17 Representación OM de un polinomio libre de cuadrados Sea f O[x] un polinomio libre de cuadrados con factores primos f = F 1 F t en O v [x] El árbol genómico de f es T(f ) = T(F 1 ) T(F t ) Definición Una representación OM de f es una familia [t Fj, φ Fj ] de representaciones OM de cada factor primo F j, con la propiedad que f φ F1 φ Ft es una factorización OM de f. Si completamos cada representación OM en un tipo t j = ( t Fj ; (φ Fj, λ Fj, ψ Fj ) ), entonces podemos asociar a cada representación OM un árbol de tipos. Por ejemplo:

18 Árbol de una representación OM t F1 t 1... t 2... tf2 t3 t F4... t 4 En este ejemplo, f = F 1 F 4, con F 2 F 3 Las hojas de este árbol se corresponden con los factores primos de f y el tipo determinado por el camino que une la hoja con el nodo raiz es una representación OM de este factor Si suprimimos los nodos hoja del árbol y las aristas punteadas, nos queda el árbol genómico de f La estructura de este árbol es útil para ciertas cuestiones donde necesitemos conocer con precisión la información genética que comparten dos factores. Por ejemplo, para calcular v(res(f i, F j ))

19 Objetivos (I) Calcular una representación OM de un polinomio dado f, libre de cuadrados Tendremos la información genética de cada factor primo y una primera buena aproximación a cada uno de los factores (II) A partir de una representación OM de un factor primo F de f, obtener una aproximación a F con una calidad prefijada Nos proporcionará un algoritmo de factorización v-ádico Estas tareas son llevadas a cabo por el Algoritmo de Montes y el Algoritmo SFL (Single-factor lifting), respectivamente

20 Muchas gracias por vuestra atención.