Tema III. Espacios vectoriales

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1 Tema III. Espacios vectoriales 1. Espacios vectoriales 2. Dependencia e independencia lineal 3. Sistemas generadores. Bases 4. Cambio de base 5. Subespacios vectoriales. Ecuaciones. 6. Interpretación geométrica 1. Espacios vectoriales Carmen Moreno Definición. Sea K un cuerpo conmutativo. Un conjunto V posee estructura algebraíca de espacio vectorial sobre K cuando: 1) l.c.i. en V: + : V V V ( x, y) x + y (V,+): Grupo Abeliano 2) l.c.externa con dominio de operadores K: i : K V V ( k, x) kix

2 e.v. 2 Verificándose: 1. λ (x+y)= λ x+ λ y 2. (λ+ µ) x= λ x+ µ x Enunciadas x, y V, 3. λ (µ x)= (λ µ) x λ, µ K 4. 1 x=x x, y: Vectores λ, µ: Escalares Ejemplos de espacios vectoriales R 2 es un e.v sobre R R n es un e.v sobre R K n es un e.v sobre K (M mxn (K), +, ) e.v.sobre K Polinomios de grado menor o igual n con coeficientes en K (K n [x], +, ) Funciones reales (F, +, ) Ejercicio En R 3 se definen las operaciones: (x,y,z)+(x,y,z )=(x+x,y+y,z+z ) y λ (x,y,z)=(0, λy, λz), λ R. Es R 3 un e.v. sobre R con dichas operaciones?

3 Primeras propiedades e.v. 3 A) Derivadas de ser (V,+) Grupo Abeliano B) Específicas de espacio vectorial 1. 0 K x=0 para cualquier x V 2. λ 0=0 para cualquier λ K 3.(-λ) x= λ (-x)=-(λ x) 4. Si λ x=0, entonces λ=0 K ó x=0 5. Si λ x= µ x, x 0, entonces λ =µ 2. Dependencia e independencia lineal Sea (V,+, ) e.v. sobre K y el sistema de vectores {x 1,.., x m } V Definición. El vector x V es una combinación lineal de x 1,.., x m cuando existen escalares λ 1,.., λ m K tales que x= λ 1 x λ m x m (1,3) R 2 es c.l. de los vectores (1,1) y (0,1) ya que (1,3)=1 (1,1)+2 (0,1)

4 e.v. 4 Definición. El sistema {x 1,.., x m } Ves ligado ólos vectores x 1,.., x m V son linealmente dependientes (l.d.), cuando existen escalares λ 1,.., λ m K, no todos ellos nulos y una combinación lineal nula de esos vectores: λ 1 x λ m x m =0 Los vectores (1,3), (1,1) y (0,1) de R 2 son l.d Definición (-1) (1,3)+1 (1,1)+2 (0,1)=(0,0) El sistema {x 1,.., x m } Ves libre ólos vectores x 1,.., x m V son linealmente independientes (l.i.), cuando de toda combinación lineal nula de los mismos, λ 1 x λ m x m =0, se deduzca que son nulos todos los escalares: λ 1 =...= λ m =0 Los vectores (1,2) y (0,1) de R 2 son l.i.: De λ 1 (1,2) + λ 2 (0,1)=(0,0) se deduce λ 1 = λ 2 =0 Método de Gauss

5 e.v. 5 Propiedades Proposición. Un sistema de vectores {x 1,.., x n } V es ligado si y sólo si uno (al menos) de los vectores es c.lineal del resto. {0}: Sistema ligado de V {z}: Sistema libre de V (z 0) Cualquier subsistema de un sistema libre es libre Cualquier sistema que contenga un sistema ligado es ligado 0 S S: ligado Ejercicios 1 Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores de R 3 : (-1,3,2), (2,-1,3) y (4,-7,-1)

6 v v = e.v. 6 v v v 2 = 2v1+ v2 v v = 4v + v v 1 = v v 2 = v v 3 = v 2 + v 3 0 = v = v + v = = (2 v1+ v2) + (4 v1+ v3) 0= 2v v + v v = 2v + v Hallar el valor de x para que el sistema de vectores de R 3 {(11,-16,x), (2,-1,3), (1,2,1)} sea ligado.

7 3. Sistemas generadores. Bases e.v. 7 Envoltura lineal F={x 1,..., x n } V i= n L(F)= λ x: i λ K V = i = 1 = Conjunto de todos los vectores c.l. de los vectores x 1,..., x n de F Ejemplo V= R 2, F={(1,1), (0,1)} R 2 (2,3) R 2 (2,3) L(F) ya que (2,3)=2 (1,1)+1 (0,1) s.g. de V F={x 1,..., x n } Ves un s.g. de V si L(F)=V V L(F): Todo v Ves c.l de los vectores de F V es un e.v. de tipo finito si posee un s.g. finito R 2 es de tipo finito: F={(1,0), (0,1)} R 2 es un s.g. de R 2 : R 2 L(F): Todo vector (x,y) R 2 es c.l. de los vectores de F: (x,y)=x (1,0)+y (0,1)

8 Base B Ves una base de V si : e.v. 8 B es un sistema libre B es un s.g. de V Ejemplo B={(1,0), (0,1)} R 2 es una base (canónica) de R 2 K n, B c ={e 1,.., e n }, e i =(0,..,1,..,0) Teorema de la base Teorema. Sea V un espacio vectorial de tipo finito, {0} V. Entonces (1) V posee una base (T. Existencia) (2) El nº vectores de cualquier sistema libre es nº vectores de cualquier s.g. de V (3) Todas las bases de V tienen el mismo número de vectores (dimensión) Lema. Si de un s.g. de V se elimina un vector c.l. del resto, el sistema resultante sigue siendo s.g

9 e.v. 9 Dimensión de un e.v. Es el cardinal de una cualquiera de sus bases dim(r 2 )=2 dim(r n )=n dim(k n )=n dim(k n [x])=n+1: B c ={1, x, x 2,.., x n } dim(m mxn (K))=mn Coordenadas de un vector respecto de una base. V, dim(v)=n, B={v 1,..., v n }: Base de V B es un s.g. de V V L(B) x V fix L(B) fi$ a 1,..., a n K : x= a 1 v a n v n x=(a 1,..., a n ) B Coordenadas de x resp. de la base B Son únicas

10 Coordenadas de P=1-2x+3x 2 -x 3 R 3 [x] e.v. 10 P=(1,-2,3,-1) Bc 1 2 Coordenadas de la matriz A= M2 1 3 A=(1,-2,1,3) Bc Estudio de la dependencia lineal de las matrices de M 2 (R): A, B, C = 2 0 = = ( R) Estudio de la dependencia lineal de los polinomios de R 2 [x] : P 1 =1-x+x 2, P 2 =-1+2x 2, P 3 =-x+2x 2 Estudio de la dependencia lineal de las funciones e x, senxy cosxde (F,+, ) Corolario. Si dim(v)=n entonces, (1)n+1 vectores constituyen un sistema ligado (2) n-1 vectores no pueden ser un s.g. de V Recuerda: De todo s.g. de V se puede extraer una base de V

11 Teorema de ampliación e.v. 11 Todo sistema libre de V puede ser ampliado a una base de V. Dar una base de R 3 que contenga al vector (1,2,1) Consecuencia Si dim (V)=n, para que un sistema S de n vectores de V sea una base de V basta con que se cumpla una de las dos condiciones siguientes: (1) S sea un sistema libre de V (2) S sea un s.g. de V 4. Cambios de base V, dim(v)=n. Bases B={u 1,..., u n } B ={v 1,...,v n } x x L( B) x = ( x1,..., xn) V x L( B ) x = ( y,..., y ) B 1 n B

12 x = xu + + x u = yv + + y v (1) 1 1 n n 1 1 n n u LB ( ) u = a v a v i n u = a v a v Sustituyendo los u i en (1): n n1 1 nn n 1 1 n e.v 12 x = x1u1+ xnun= = x1( a11v a1 nvn) + + xn( an1v annvn) = = ( xa xnan1) v1+ + ( xa 1 1n + + xnann) vn = y v + + y v xa xnan1= y1 xa 1 1n + + xnann = yn Matricialmente: Ecuaciones de un cambio de base a11 a1 n = an1 a nn ( x x )... ( y y ) 1 n 1 n n n (Filas) X B C BB = X B

13 Ejemplo e.v. 13 R 3, B={u 1,u 2,u 3 } y B ={v 1,v 2,v 3 }, donde u 1 =-v 2 +v 3 u 2 =v 1 +v 2 +v 3 u 3 =v 2 a) Hallar las ecuaciones del cambio de base de B a B. b) Halar las coordenadas del vector x=(7,4,9) B en la base B. c) Hallar las coordenadas del vector x=-v 1 +7v 2-5v 3 respecto de la base B. Ejercicio Hallar las coordenadas del vector (3,-2,1) respecto de la base {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} de R 3 Tres bases B 1 ={(2,1,1), (1,1,1), (1,-1,1)} B 2 ={(1,0,1), (-1,1,1), (1,-1,0)}. Hallar C B1B2

14 5. Subespacios vectoriales. Ecuaciones e.v. 14 (V,+, ) : e.v. Sobre K. S V es un subespacio vectorial de V cuando (S,+, ) :e.v. sobre K Es CN: 0 ŒS Al menosdos s.e.v. impropios: V y {0} dim (S) dim (V), siendo dim(s)=dim(v) S=V Teorema de caracterización Un subconjunto S de un e.v. V es un subespacio vectorial de V si y sólo si "x,yœs "α,β K se verifica α x+β y ŒS Ejemplo 1 Sea V= R 2. El conjunto S={λ x: λœr} R 2 es en s.e.v. de R 2. Los s.e.v. propios de R 2 son rectas que pasan por el origen (0,0)

15 Ejemplo 2 Los s.e.v. propios de R 3 son rectas o planos que contienen al vector (0,0,0) e.v. 15 Sea V= R 3. El conjunto S={(x 1,x 2,x 3 ): x 1-2x 2 +3x 3 =0} R 3 es un s.e.v. de R 3. Ejemplo 3 Sea V= R 3. El conjunto S={(x 1,x 2,0): x 1,x 2 R} R 3 es un s.e.v. de R 3 Ejemplo 4 F={x 1,..,x n } V. La envoltura lineal de F, i= n L(F)= λ x: i λ K =<F> V i = 1 es un s.e.v. de V: Subespacio generado por F F es un s.g. del subespacio L(F) De F se puede extraer una base de L(F)

16 e.v. 16 Ecuaciones de un subespacio vectorial (Recta/plano de R 3 ) Paramétricas Parámetros. (Plano : a y b; l y m; l 1 y l 2 S={lu+ mv: l, m Œ R}) Implícitas (Plano: Ax+By+Cz=0) Ecuaciones paramétricas de un subespacio V, e.v., dim(v)=n. B={u 1,..., u n } S, s.e.v. de V, dim(s)=s<n. B s ={v 1,...,v s } x S x L( B ) x = ( λ,..., λ ) x L( B) x = ( x1,..., xn) s 1 s B s x = λ v + + λ v = xu + + x u (1) 1 1 s s 1 1 n n v LB ( ) v = a u a u i n v = a u a u s s1 1 sn n n B

17 Sustituyendo los v i en (1): x = λ v + λ v = 1 1 s s e.v. 17 = λ ( au au) + + λ ( au au) = n n s s1 1 sn n = ( λa + + λ a ) u + + ( λa + + λ a ) u = 1 11 s s n s sn n λ1a11+ + λsas1= x1 (1) λ1a1n + + λsasn = xn Matricialmente: a11 a1 n = as1 a sn = xu ( λ λ )... ( x x ) 1 s 1 (Filas) Ejemplo 1 X Bs B s = X B n x u Ecuaciones Paramétricas del s.e.v. S V= R 3. Sea S el s.e.v. de R 3 generado por los vectores (1,0,-1), (2,1,1) y (3,1,0). Dar unas ecuaciones paramétricas del s.e.v. S n n

18 B=Bc de R 3 B s ={(1,0,-1), (0,1,3)} x S X Bs B s = X B = λ1 = x1 (1) λ2 = x2 λ1 + 3λ2 = x3 ( λ λ ) ( x x x ) e.v. 18 Dim (S)=2: Plano Ec. Paramétricas de S S={(l 1, l 2, - l 1 +3 l 2 ): l 1, l 2 R}= ={l 1 (1,0,-1) + l 2 (0,1,3): l 1, l 2 R} Ecuaciones implícitas (o cartesianas) de S nº ec.implícitas l.i.de S= dim(v)-dim(s)=n-s A partir de las paramétricas, eliminando parámetros. Se obtienen anulando n-s menores de orden > s de la matriz ampliada, A*, del sistema (1)

19 λ1 = x1 S, (1) λ2 = x2 λ + 3λ = x e.v. 19 Ejemplo Ecuaciones implícitas del plano S del ejemplo t A= 0 1 = Bs r( A) = r( Bs) = x1 A* = 0 1 x x 3 (1): Compatible fi r(a*) debe ser 2 fi n-s=3-2=1 ecuación implícta del plano S. Sistema (1): Ecuaciones paramétricas de S. 1 0 x1 A* = x2 = x x 1-3x 2 +x 3 =0 3

20 e.v. 20 Paso de ecuaciones implícitas a paramétricas Dar unas ecuaciones paramétricas del s.e.v. S de R 3 de ecuación impícita x 1-3x 2 +x 3 =0 (2). nº ecs. Implícitas =dim (V) dim(s) fi dim(s) =2: S: PLANO Obtener la base Bs: dos vectores l.i. que satisfagan el sistema (2) x 2 =l x 3 = m x 1 =3 l- m, l, m R S={(3 l- m, l, m): l, m R} B s ={(3,1,0), (-1,0,1)} l =1 m=0 m =1 l =0 X Bs B s = X B

21 6. Interpretación geométrica e.v. 21 Los s.e.v. propios de R 2 son rectas que pasan por el origen (0,0) Los s.e.v. propios de R 3 son rectas o planos que contienen al vector (0,0,0)