APUNTE N o 3 ESPACIOS VECTORIALES

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1 INGENIERÍA VESPERTINA EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL APUNTE N o 3 ESPACIOS VECTORIALES MATEMÁTICA II PROFESOR RICARDO SANTANDER BAEZA 003

2 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile Apunte 3 Espacios Vectoriales. Objetivos () Construir un ambiente suficientemente amplio, donde se puedan modelar situaciones prácticas. () Desarrollar técnicas que permitan controlar rápida y eficientemente una gran cantidad de información (3) Mostrar la equivalencia entre el ambiente teórico y práctico.. Motivación Consideremos el producto cartesiano de R consigo mismo, es decir el conjunto de puntos de la forma () R = {(x, y) x R y R} Es decir, Eje y Plano R (x, y) (0, 0) Eje x Figura : Plano Cartesiano De la figura observamos que: () El eje x y el eje y, son dos líneas rectas. () Como conjunto podemos describirlos como: Eje x = {(x, y) R y = 0} Así que; Eje y = {(x, y) R x = 0} () Eje x = {(x, 0) x R} (3) Eje y = {(0, y) y R}

3 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile (3) Si aceptamos los principios Una línea recta es un punto en movimiento (Euclides) para pertenecer a un conjunto hay que ser igual a un miembro de ese conjunto entonces (4) v Eje x [ x 0 ; x 0 R tal que v = (x 0, 0)] Observen que ( 4), dice por ejemplo que v = (, 0) pertenece al Eje x al igual que v = (33, 0). (4) Supongamos que v Eje x entonces ( 4), puede ser expresado matemáticamente como: v Eje x [ x 0 ; x 0 R tal que v = (x 0, 0)] v = (x 0, x 0 0) Si además hacemos: (x 0, x 0 0) = x 0 (, 0) entonces para determinar v = (33, 0), por ejemplo, simplemente necesitamos mover al elemento e = (, 0) a través del Eje x, 33 unidades. Así ( 4), puede ser expresada como sigue: Los elementos del Eje x son múltiplos de e Lo cual en Lenguaje Matemático se traduce como: (5) v Eje x [ x 0 ; x 0 R tal que v = x 0 e ] Análogamente, (6) u Eje y [ y 0 ; y 0 R tal que u = y 0 e ] donde e = (0, ) Conclusión.0..

4 Si notamos Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 3 (7) α (x, y) = (α x, α y) y (8) (x, y) = {α (x, y) α R} entonces () e = Eje x y e = Eje y () (x, y) es una recta que pasa por el origen. Cuál? (3) Recíprocamente, dado P = (x, y) R {(0, 0)} entonces Existe una única recta, digamos L que pasa por el origen y P L Existe α R tal que P = α (x, y) (basta tomar α = ) Lo anterior puede ser formalizado definiendo la siguiente función: (9) Ejemplo.0.. () 3 (, ) = (3, 6) : R R R (u, (x, y)) (u x, u y) () ( ) (, ) = (, ) (3) Gráficamente tenemos: Eje y (3,6) (, ) (, ) Eje x Figura Observación.0.3. () Sabemos del capitulo de grupos que (R, +) es un grupo abeliano () Además podemos ver directamente de la definición que; ( λ; λ R); ( β; β R); ( u; u R ); ( v; v R ); ( w; w R )

5 4 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile valen las siguientes propiedades de compatibilidad entre las operaciones, λ (u + v) = λ u + λ v (λ + β) u = λ u + β u u = u λ u = 0 = λ = 0 u = 0 De ahora en adelante la cuarteta (R, +,, R), será llamada un R - Espacio Vectorial y sus elementos se llamarán vectores y será nuestro Prototipo. 3. Definición y Ejemplos de espacios vectoriales Un conjunto V será un Espacio Vectorial si puede emular el comportamiento de R Formalmente se expresa a través de la siguiente. Definición Un conjunto, digamos V será llamado un K - Espacio Vectorial si () V φ () V admite una operación interna, digamos + ; definida por (0) + : V V V (u, v) u + v tal que ( 0) satisface las propiedades: ( u; u V); ( v; v V); ( w; w V), tenemos u + (v + w) = (u + v) + w (asociatividad de +) Existe 0 V V talque u + 0 V = 0 V + u = u (neutro de +) Para cada u, u + ( u) = u + u = 0 V (inverso de +) u + v = v + u (conmutatividad de +) Así, (V, +) es un grupo Abeliano o conmutativo. (3) V admite una operación externa, digamos ; definida por () : K V V (λ, v) λ v Donde K es un cuerpo conmutativo y ( ) satisface las propiedades:

6 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 5 ( λ; λ K); ( β; β K); ( u; u V); ( v; v V); ( w; w V), tenemos que λ (u + v) = λ u + λ v (λ + β) u = λ u + β u (λ β) u = λ (β u) u = u λ u = 0 V = λ = 0 K u = 0 V Ejemplo El conjunto de n-uplas, R n ; n N () Descripción del Conjunto () Igualdad en R n V := R n = {(x, x,..., x n ) x i R; i n} n N Sea u = (u, u,..., u n ) R n y v = (v, v,..., v n ) R n (3) Operación Interna u = v u i = v i ( i; i n) + : R n R n R n ((x,..., x n ), (y,..., y n )) (x + y,..., x n + y n ) Observen que: 0 R n = (0, 0,..., 0) es el elemento neutro aditivo. Si x = (x,..., x n ) entonces x = ( x,..., x n ) es el inverso aditivo de x. (4) Operación Externa : R R n R n (r, (x,..., x n )) (rx,..., rx n ) Observen que: r[(x,..., x n ) + (y,..., y n )] = r(x + y,..., x n + y n ) = (r(x + y ),..., r(x n + y n )) = (rx + ry ),..., rx n + ry n ) = (rx,..., rx n ) + (ry,..., ry n ) = r(x,..., x n ) + r(y,..., y n ) (rx,... rx n ) = 0 R n rx i = 0 ( i n) = r = 0 x i = 0 ( i n) = r = 0 (x,..., x n ) = 0 R n (5) Después que haya comprobado todas las otras propiedades concluirá que (R n, +,, R) es un genuino R - Espacio Vectorial.

7 6 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile Ejemplo El conjunto de Matrices M R (n m); n N; m N, () Descripción del Conjunto () Igualdad en M R (n m) M R (n m)={(a ij ) a ij R; i n; j m} Sea (a ij ) M R (n m) y (b ij ) M R (n m) entonces (a ij ) = (b ij ) a ij = b ij ( i; i n); ( j; j m) (3) Operación Interna + : M R (n m) M R (n m) M R (n m) ((a ij ), (b ij )) (a ij + b ij ) Observen que: 0 MR (n m) = (0) es el elemento neutro aditivo. A = (a ij ) = A = ( a ij ) es el inverso aditivo de A. (4) Operación Externa Observen que: : R M R (n m) M R (n m) (r, (a ij )) r (a ij ) = (ra ij ) r [(a ij ) + (b ij )] = r (a ij + b ij ) = (r a ij + r b ij ) = (r a ij ) + (r b ij ) = r (a ij ) + r (b ij ) r (a ij ) = 0 MR (n m) (r a ij ) = (0) = r a ij = 0 ( i n) ( j m) = r = 0 a ij = 0 ( i n) ( j m) = r = 0 (a ij ) = (0) (5) Así, (M R (n m), +,, R) es un R - Espacio Vectorial. Ejemplo Los Polinomios de grado n con coeficientes reales, R n [x] () Descripción del Conjunto { R n [x] = a(x) = () Igualdad en R n [x] } a i x i a i R, (0 i n) Sea a(x) R n [x] y b(x) R n [x] entonces a(x) = b(x) a i = b i ( i; i n)

8 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 7 (3) Operación Interna Observen que: + : R n [x] R n [x] R n [x] (a(x), b(x)) (a i + b i )x i 0 Rn[x] = 0x i es el elemento neutro aditivo. a(x) = ( a i )x i es el inverso aditivo de a(x) (4) Operación Externa Observen que: : R R n [x] R n [x] (r, a(x)) (r a i )x i Y r [a(x) + b(x)] = r [a(x) + b(x)]x i = = [r a(x) + r b(x)]x i r a(x)x i + = r a(x) + r b(x) r b(x)x i r a(x) = 0 Rn[x] r a i = 0x i = r a i = 0 ( i n) = r = 0 a i = 0 ( i n) = r = 0 a(x) = 0 Rn[x] (5) Así, (R n [x], +,, R) es un R - Espacio Vectorial. Ejemplo Funciones Reales definidas en U, F R (U, R) () Descripción del Conjunto Sea U R tal que U entonces F R (U, R)={f : U R f es una función} () Igualdad en F R (U, R) Sea f F R (U, R) y g F R (U, R) entonces f = g f(x) = g(x) ( x; x U)

9 8 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile (3) Operación Interna Donde, Observen que: + : F R (U, R) F R (U, R) F R (U, R) (f, g) f + g (f + g)(x) = f(x) + g(x)( x; x U) 0 FR (U,R) = 0 es el elemento neutro aditivo si y sólo si 0(x) = 0( x; x U). Esta función se conoce como la función nula. f es el inverso aditivo de f F R (U, R) si y sólo si ( f)(x) = f(x) (4) Operación Externa Donde, Observen que: : R F R (U, R) F R (U, R) (r, f) r f (r f)(x) = r f(x)( x; x U) Así que, r [f(x) + g(x)] = r f(x) + r g(x)( x; x U) r (f + g) = r f + r g r f(x) = 0 = r = 0 f(x) = 0 Luego, r f = 0 FR (U,R) r = 0 f = 0 FR (U,R) (5) Así, (F R (U, R), +,, R) es un R - Espacio Vectorial. Ejemplo Sea U R tal que U entonces () Funciones Reales Continuas en U, C R (U, R) C R (U, R)={f : U R f es una función continua en U} () Funciones Reales Derivables en U, D R (U, R) D R (U, R)={f : U R f es una función derivable en U} Observación Si en 3.0.5, 3.0.6, 3.0.7, y ponemos C en lugar de R entonces tenemos que: C n M C (n m) C[x]

10 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 9 F C (U, C) C C (U, C) D C (U, C) Son C- espacios vectoriales. Definición Los elementos de un k-espacio vectorial se denominarán vectores y los elementos de k se llamarán escalares. 4. Subespacios En orden a cumplir nuestros objetivos debemos comenzar por intentar responder la pregunta Cómo ubicar en forma eficiente los elementos de un k-espacio vectorial? () Una dificultad inmediata es la siguiente: Si V es un k-espacio vectorial y k tiene infinitos elementos entonces V tiene infinitos elementos. Si v V entonces r v V elementos r hay en k, así que k = = V = ( r; r k), así que hay tantos r v en V como donde, significa cardinalidad Ejemplo Sea V = R y v = (, 3) R entonces para cada r R tenemos que r v = r (, 3) = (r, 3 r) Luego, sí notamos a la colección de puntos de esta forma como en ( 8) entonces tenemos que () {(, 3)} = {r(, 3) r R} Representa la línea recta de ecuación y = 3x, es decir geométricamente tenemos:

11 0 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile y = 3x (, 3) (0, 0) Figura 3 Para este punto podemos concluir lo siguiente: Claramente, ( ) es un R-espacio vectorial En general, si V es un K-espacio vectorial entonces (3) ( v; v V ) = {v} = {r v r K} es un K-espacio vectorial Ya imaginas una recta de polinomios o de matrices!! () Podemos generalizar ( 3), a una cantidad finita de elementos de V. Sea G = {v, v,..., v n } V entonces G = {v, v,..., v n } = { r i v i r i K ( i n)} Ejemplo ( generadores canónicos o clásicos de R ) (a) Sea v = (x, y) R, entonces usando la operatoria de R, tenemos: v = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(, 0) + y(0, ) Esto significa que v = (x, y) {(, 0), (0, )}, así que y como entonces R {(, 0), (0, )} {(, 0), (0, )} R (4) R = {(, 0), (0, )} La pregunta es:

12 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile Qué significa que R = {(, 0), (0, )}? La respuesta es de acuerdo a la definición de {(, 0), (0, )}, que: Cada punto del plano se expresa como una suma de dos puntos de R, el uno del eje x y el otro del eje y. (b) Sea α = {(, ), (, )} R entonces {(, 0), (0, )} = {(, ), (, )} v {(, ), (, )} v R ( x i ; x i R) : v = x (, ) + x (, ) v = (v, v ) (v, v ) = (x + x, x x ) v = (v, v ) x + x = v x x = v v = (v, v ) x = v + v [ ] v + v (v, v ) = (, ) + Por ejemplo (, 5) = [ +5 [ v v x = v v ] (, ) ( ) ] [ (, ) + 5 ] (, ) = 7 ( 3) (, ) + (, ) En cualquier caso, de ( ) sigue que: R = {(, ), (, )} y como también R = {(, 0), (0, )} entonces comparando (transitividad de la igualdad) concluimos que {(, 0), (0, )} = {(, ), (, )} (c) Qué significa geometricamente el hecho que R = {(, 0), (0, )} y que tambien R = {(, ), (, )}?

13 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile Que R = {(, 0), (0, )} significa que ( (x, y); (x, y) R ) : (x, y) = x(, 0) + y(0, ) Equivalentemente y(0, ) (x, y) = x(0, ) + y(0, ) (0, 0) x(, 0) Figura 4 Lo anterior significa que, para ubicar al punto (x, y) debemos caminar x unidades en el eje x en la dirección de (, 0) y trazar por allí una paralela L al eje y, y debemos caminar y unidades en el eje y en la dirección de (0, ) y trazar por allí una paralela T al eje x entonces L T = (x, y) Que R = {(, ), (, )} significa que x + y x y ( (x, y); (x, y) R ) : (x, y) = (, ) + (, ) Equivalentemente {(, )} y(0, ) (x, y) {(, )} x + y (, ) x y (, ) (0, 0) x(, 0) Figura 5 Lo ( anterior ) significa que, para ubicar al punto (x, y) debemos caminar x + y unidades en el eje {(, )} en la dirección de (, ) y trazar

14 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 3 x y por allí una paralela al eje {(, )}, y debemos caminar unidades en el eje {(, )} en la dirección de (, ) y trazar por allí una paralela al eje {(, )} entonces en la intersección de ambas rectas encontramos el punto (x, y)!!! Motivados por nuestra discusión anterior comenzaremos a internarnos en un k- espacio vectorial V, para ello comenzamos con la siguiente: Definición Sea W V. W será de ahora en adelante llamado un k-subespacio vectorial de V si W W es un k-espacio vectorial Notación: W V W es un k-subespacio vectorial de V Ejemplo (algunos subespacios clásicos) () W = 0 V, subespacio nulo de V () W = V ( ) y se los conoce como subespacios triviales. (3) Sea K n+ 0 = {(x, 0) x K n } entonces K n+ 0 K n+ ;( n; n N). Más tarde, mostraremos rigurosamente que K n+ 0 es una forma de identificar a K n como un subconjunto de K n+ (4) D R (U, R) C R (U, R) F R (U, R) ver ( 3.0.8) y ( 3.0.9) La definición de subespacio dada es con seguridad clara, pero lamentablemente, mostrar que algo es o no un subespacio se transforma en una lata y esa no es la idea. cierto?. Pero, sea positivo, siempre hay una salida adecuada a la circunstancia, en matemática, estas se llaman Caracterizaciones y se hacen a través de Teoremas. Teorema Sea V un k-espacio vectorial y W V entonces W (5) W V u W v W r k u W = (u + v) W = r u W

15 4 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile Como existe una equivalencia, es decir aparece un entonces podemos y probablemente debamos, mostrar en las dos direcciones en forma independiente. Caso. (= ) Esto significa que: W V es un dato o hipótesis y W u W v W r k u W = (u + v) W = r u W es lo que hay que probar. Como W es un k-subespacio vectorial entonces por definición es un k-espacio vectorial y luego debe al menos satisfacer las siguientes propiedades: W Existe una operación interna + en W ; tal que u W v W = (u + v) W Existe una operación externa en W tal que Caso. ( =) r k u W = r u W Esto significa que: W u W v W r k u W = (u + v) W = r u W es un dato o hipótesis de libre disponibilidad y W V es lo que hay que probar. W

16 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 5 Por hipótesis existe una + y un en W y como V es un k-espacio vectorial entonces a fortiori (W, +,, k) es un k-espacio vectorial. Ejemplo Sea W = {(x, y, z) R 3 x + y z = 0} entonces W R 3 El algoritmo (procedimiento o rutina) a implementar para este caso tendrá el siguiente formato: Sean u W, v W y λ R (datos de entrada arbitrarios) () Por demostrar que (p.d.q.) (u + v) W () p.d.q. λ u W Listo!! (a) Análisis de datos: u W u = (u, u, u 3 ) R 3 u + u u 3 = 0 Analogamente v W v = (v, v, v 3 ) R 3 v + v v 3 = 0 (b) Demostremos que (u + v) W ( ) ( ) Luego, u + v = (u, u, u 3 ) + (v, v, v 3 ) [ ver ( ) y ( )] = (u + v, u + v, u 3 + v 3 ) ( Suma en R 3 ) (6) u + v R 3 De ( 6),concluimos que (u + v) es un buen candidato para pertenecer a W, pero falta chequear! si verifica la palabra de paso. Entonces, manos a la obra (u + v ) + (u + v ) (u 3 + v 3 ) = u + v + u + v u 3 v 3 = (u + u u 3 ) + (v + v v 3 ) = ( ver ( ) y ( )) = 0 Luego, (u + v) W, lo que muestra (.) Finalmente λu = λ(u, u, u 3 ) = (λu, λu, λu 3 )

17 6 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile Así que, λu R 3. Por otra parte, λu + λu λu 3 = λ(u + u u 3 ) = λ0 = 0 Luego, λu W, lo que muestra (.) Ejemplo (Uno en M R (n)) Sea W = {A M R (n) A = A t } entonces W M R (n) Sea A M R (n), B M R (n) y λ R () Análisis de datos (7) A W A = (a ij ) M R (n) (a ij ) = (a ji ) (8) B W B = (b ij ) M R (n) (b ij ) = (b ji ) () p.d.q. A + B W De ( 7) y ( 8), sigue que Por otra parte; A + B M R (n) (A + B) t = (a ij + b ij ) t = (a ji + b ji ) = (a ij ) t + (b ij ) t = (a ij ) + (b ij ) ver ( 7) y ( 8) = A + B Lo que muestra (.) (3) Finalmente, como: entonces λa M R (n) λa = λ(a ij ) = (λa ij ) Por otra parte; Así que, λa W (λa) t = (λ(a ij ) t = (λa ij ) t = (λa ji ) = λ(a ij ) t = λ(a ij ) ver ( 7) = λa

18 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 7 Ejemplo (Uno en R n [x]) { Sea W = p(x) = a i x i R n [x] } ia i = 0 entonces W R n [x] Sea p(x) = a i x i, q(x) = () Análisis de datos b i x i y λ R (9) p(x) W p(x) = (0) q(x) W p(x) = () p.d.q. p(x) + q(x) W De ( 9) y ( 0), sigue que p(x) + q(x) = Por otra parte; i(a i + b i ) = Lo que muestra (.) (3) Finalmente, como: entonces λp(x) R n [x] Por otra parte; = a i x i b i x i ia i = 0 ib i = 0 (a i + b i )x i R n [x] (ia i + ib i ) ia i + ib i = ver ( 9) y ( 0) = 0 λp(x) = λ = a i x i (λa i )x i Así que, λp(x) W Observación λia i = λ ia i = λ0 ver ( 9) = 0

19 8 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile Desde un punto de vista estructural el teorema 4.0.6, es una herramienta poderosa para decidir si un conjunto es o no, un subespacio en un espacio vectorial dado, no obstante el tiene un problemita que lamentablemente para nosotros es crucial; no nos dice quienes son los miembros del subespacio W. Para agregar este ingrediente a nuestro análisis, miremos con estos nuevos ojos a nuestros ejemplos anteriores: () Recreando el ejemplo v W v = (v, v, v 3 ) R 3 v + v v 3 = 0 v = (v, v, v 3 ) R 3 v + v = v 3 v = (v, v, v + v ) (v, v ) R v = (v, 0, v ) + (0, v, v ) (v, v ) R v = v (, 0, ) + v (0,, ) (v, v ) R Conclusión (i) Aunque W es un conjunto infinito, basta conocer dos vectores para caracterizar (determinar) a todos los elementos de W, es decir en lenguaje técnico. () W = {a (, 0, ) + a (0,, ) a R a R} (ii) Mejor W es un plano y sus generadores, son los vectores u = (, 0, ) u = (0,, ) donde, el término generador lo entenderemos como en ( 8). Así, W = {(, 0, ), (0,, )} () Analizando desde esta perspectiva el ejemplo 4.0.8, para n = a a A W A = ( a a ) a a A = ( a a ) a 0 A = 0 0 Luego, () W = A = a ( t a a a a = a a a a ( 0 a + a 0 ) + a ( 0 0 donde, (a, a, a ) R 3 {( ) ( 0, 0 ) ) ( 0 0, ) 0 ( a a 0 )} ) (3) Lo mostrado en los ejemplos anteriores constituye uno de los más importante resultados básicos. Por lo cual lo archivamos como un teorema.

20 Teorema Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 9 Sea V un K espacio vectorial y {v, v,..., v n } V entonces W = {v, v,..., v n } = { } r i v i r i K ( i n) V Sean u W, w W y λ K entonces u W u = a i v i a i K ( i n) (3) Ahora; () p.d.q. (u + w) W w W w = b i v i b i K ( i n) Luego, (u + w) W () p.d.q. λ u W u + w = = a i v i + b i v i (a i + b i ) v i Así que W V Luego, λ u W λ u = λ a i v i = (λ a i ) v i Definición Si V un K espacio vectorial entonces el conjunto { } () W = {v, v,..., v n } = r i v i r i K ( i n). Se llamará subespacio generado por α = {v, v,..., v n }

21 0 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile () u V, se llama una combinación lineal de α = {v, v,..., v n } si existen n - escalares, digamos {a, a,..., a n } tal que (4) u = a i v i Es decir, los elementos de W se llaman combinaciones lineales de α = {v, v,..., v n } 4.. Ejercicios resueltos de Subespacios en R n. () Si W = {(x, y, z, w) R 4 x y + 3z + 5w = 0} entonces W R 4 u W u = (u, u, u 3, u 4 ) R 4 u u + 3u 3 + 5u 4 = 0 u = (u, u, u 3, u 4 ) R 4 u = u 3u 3 5u 4 u = (u 3u 3 5u 4, u, u 3, u 4 ) (u, u 3, u 4 ) R 3 u = u (,, 0, 0) + u 3 ( 3, 0,, 0) + u 4 ( 5, 0, 0, ) u {(,, 0, 0), ( 3, 0,, 0), ( 5, 0, 0, )} Luego, W = {(,, 0, 0), ( 3, 0,, 0), ( 5, 0, 0, )} Así, aplicando ( 4.0.) tenemos que W R 4 () Si W = {(x, y, z, w) R 4 x y = 0 z + w = 0} entonces W R 4 u W u = (u, u, u 3, u 4 ) R 4 [u u = 0 u 3 + u 4 = 0] u = (u, u, u 3, u 4 ) R 4 u = u u 3 = u 4 u = (u, u, u 4, u 4 ) (u, u 4 ) R u = u (,, 0, 0) + u 4 (0, 0,, ) u {(,, 0, 0), (0, 0,, )} Luego, W = {(,, 0, 0), (0, 0,, )} Así, aplicando ( 4.0.) tenemos que W R 4 (3) R n = {e, e,..., e n }, donde e = (, 0, 0,..., 0) e = (0,, 0,..., 0). e n = (0, 0, 0,..., )

22 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 4.. Ejercicios Propuestos en R n. Demuestre que los siguientes subconjuntos de R n son subespacios. () W = {(x, y) R x + 3y = 0} () W = {(x, y) R 0x 5y = 0} (3) W = {(x, y, z) R 3 x + y + z = 0} (4) W = {(x, y, z) R 3 5x + y z = 0} (5) W = {(x, y, z, w) R 4 x + y + z w = 0} { (6) W = (x, y, z, w) R 4 3x = y + z w } Ejercicios resueltos en M R (n m). { a b () Si W = c d } M R () a + b c d = 0 entonces W M R () a b u W u = M c d R () a + b c d = 0 Luego, a b u = M c d R () c = a + b d ( a u = a + b d u = W = u = a a 0 + a 0 { 0, b 0 ) b (a, b, d) R d 3 0 b + b 0 0, d 0 ( 0 ) 0 d d ( 0 )} 0 ( 0 ) 0 { a b () Si W = M c d R () } a b a c = entonces W M c d b d R ()

23 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile Luego, a b a b a c u W u = M c d R () = c d b d a b u = M c d R () b = c a b u = (a, b, d) R b d 3 u = W = u = a a b 0 0 { 0, b + b 0 0, Ejercicios Propuestos en M R (n m) d 0 + d 0 } Determine si los siguientes subconjuntos de M R (n m) son subespacios vectoriales. () W = {A M R () A = A t }, donde A t significa la matriz traspuesta de la matriz A () W = {A = (a ij ) M R (n) La a ii = 0}. a ii se llama la traza de la matriz A y se nota tr(a) (3) W = {A M R (n) det(a) 0} { { } : Si j = n + i (4) W = A = (a ij ) M R (n) a ij = 0 : en otro caso { { } a ij : Si j i (5) W = A = (a ij ) M R (n) a ij = 0 : en otro caso { { } a ij : Si j i (6) W = A = (a ij ) M R (n) a ij = 0 : en otro caso 4.5. Ejercicios Resueltos en R n [x].

24 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 3 () Si W = {p(x) = a 0 + a x + a x a 0 a + a = 0} entonces W R [x] u W u = a 0 + a x + a x a 0 a + a = 0 u = a 0 + a x + a x a = a 0 + a u = a 0 + (a 0 + a )x + a x (a 0, a ) R u = a 0 ( + x) + a (x + x ) Luego, W = { + x, x + x } () Si W = {p(x) = a 0 + a x + a x p() = 0} entonces W R [x] Luego, u W u = a 0 + a x + a x p() = 0 u = a 0 + a x + a x a 0 + a + a = 0 u = a 0 + a x + a x a = a 0 a u = a 0 + a x + ( a 0 a )x (a 0, a ) R u = a 0 ( x ) + a (x x ) W = { x, x x } { (3) Si W = p(x) = a i x i } a i = 0 entonces W R n [x] u W u = a i x i a i = 0 n u = a i x i a n = ( n n ) u = a i x i a i n u = a i (x i x n ) a i x n Luego, W = { x n, x x n,..., x n x n }

25 4 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 4.6. Ejercicios Propuestos en R n [x]. Demuestre que los siguientes subconjuntos de R n [x] son subespacios. () W = {p(x) = a 0 + a x + a x p( 3) = 0} () W = {p(x) = a 0 + a x + a x + a 3 x 3 p( ) = 0} { } (3) W = p(x) = a i x i ja i = 0; j [R {0}] { (4) W = p(x) = a i x i } ia i = Ejercicios Resueltos Misceláneos. () Sea V un K espacio vectorial. Demuestre que si W V entonces 0 V W Como W V entonces para cada w W λ K arbitrario tenemos que λ w W, luego en particular para λ = 0 se verifica que 0 w = 0 V W Observen que en R por ejemplo, las rectas para ser un subespacio deben pasar por el origen (0, 0). Es decir W = {(x, y) R y = mx, m R} R En general, en R n son subespacios los conjuntos de la forma W = {(x, x,... x n ) R n () Sea V un K espacio vectorial. Demuestre que a i x i = 0} Si W V W V entonces W W V Aquí no queda otra opción que usar la definición ( por qué?), así que manos a la obra. Sean u W W, v W W y λ K entonces

26 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 5 (a) p.d.q. u + v W W u W W u W u W v W W v W v W W V = u + v W W V = u + v W Luego, (u + v) W W (b) p.d.q. λ u W W W V = λ u W W V = λ u W Luego, λ u W W (3) Sea V un K espacio vectorial. Demuestre que Si W V W V entonces W W no es necesariamente un subespacio de V. Basta con dar un contraejemplo, es decir un ejemplo que muestre que alguna de las condiciones para ser subespacio no se cumple. Considera los siguientes subespacios del plano Cartesiano W = Eje x = {(x, 0); x R} W = Eje y = {(0, y); y R} W W = {(x, y); x = 0 y = 0} Es claro, que W R y W R, sin embargo, (, 0) + (0, ) = (, ) W W (4) Sea V un K espacio vectorial y consideremos los subconjuntos de V k α = {v, v, v 3,..., v n } y β = {w, w,..., w n }. Si w k = iv i y ( k n) entonces demuestre que (5) {v, v,..., v n } = {w, w,..., w n }

27 6 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile (i) Entendiendo los elementos o datos del problema. u {v, v,..., v n } si y sólo si existen a, a,..., a n en K tal que (ii) Simplificando el problema. u = a i v i El punto anterior puede ser traducido a la siguiente forma operacional. Para conocer un elemento de {v, v,..., v n } o de {w, w,..., w n }, basta conocer los generadores (iii) Resolviendo el problema w k = k iv i = v + v + 3 v k v k entonces tomando en el punto (i) a = ; a = ;... ; a k = k sigue que w k {v, v,..., v n }, para k =,, 3,..., n, y entonces del punto (ii) sigue que (6) {w, w,..., w n } {v, v,..., v n } Por otra parte, w k+ w k = k+ k iv i iv i Así que, = (k + )v k+ Es decir, v k+ = (k+) (w k+ w k ) k =,, 3,..., n v = w v = w + 0 w + 0 w w n v = w + w + 0 w w n v 3 = 0 w - 3 w + 3 w w n. v n = 0 w + 0 w + 0 w n w n

28 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 7 Luego, (7) {v, v,..., v n } {w, w,..., w n } Así que juntando ( 6) y ( 7) tenemos que {v, v,..., v n } = {w, w,..., w n } 4.8. Ejercicios Propuestos Misceláneos. () Demuestre que W = {(x, y, z) R 3 x + y + z = } R (Ayuda: Use ( 4.7)) () Sea W = {(, 0, 0), (,, 0), (,, )} R 3 (i) Demuestre que (,, ) W. Es decir, resuelva la ecuación vectorial (,, ) = a (, 0, 0) + a (,, 0) + a 3 (,, ) (ii) Demuestre que (x, y, z) W, para cada (x, y, z) R 3 (iii) Concluya que R 3 = {(, 0, 0), (,, 0), (,, )} (3) Sea V un K espacio vectorial y α = {v, v }. Demuestre que {v, v } = {v, v + v } (4) Sea V un K espacio vectorial y α = {v, v }. Demuestre que {v, v } = {v v, v + v } (5) Sea V un K espacio vectorial y α = {v,..., v n } V. Sea β = {w,..., w n } V k tal que w k = v i y ( k n). Demuestre que (8) {v, v,..., v n } = {w, w,..., w n }

29 8 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile (6) Sea V un K espacio vectorial y α = {v,..., v n } V. Sea β = {w,..., w n } V k tal que w k = jv i y ( k n). Demuestre que (9) {v, v,..., v n } = {w, w,..., w n } (7) Demuestre que W = {(x, y, z) R 3 x y z = 0} R 3 W = {(x, y, z) R 3 x y = 0 y z = 0} R 3 W + W = {w + w w W w W } R 3 R 3 = W + W W W = {0 R 3} En general, si V es un K espacio vectorial, W V y W V entonces V se dice Suma directa de los subespacios W y W si V = W + W W W = {0 V } En tal caso, notamos V = W W (8) Demuestre que (9) Demuestre que R = {eje x} {eje y} M R (n) = { matrices simétricas } { matrices antisimétricas } (0) Demuestre que R n [x] = R 0 [x] {x, x,..., x n }

30 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 9 Motivación Base y Dimensión Sabemos que si V es un K espacio vectorial y W un subespacio de V entonces W es en particular un subconjunto de V. Es decir. W V = W V Ahora, si W = {v, v,..., v n } entonces (30) W = {v, v,..., v n } V = W = {v, v,..., v n } V La condición ( 30) nos permite hacer la siguiente definición. Definición Sea V un K espacio vectorial. Diremos que el subconjunto de V, α = {v, v,..., v n } es un Sistema de generadores para V si (3) V = {v, v,..., v n } Equivalentemente: α es un sistema de generadores si para cada v V existen n- escalares, digamos a, a,..., a n tales que v = a v + a v + + a n v n O en lenguaje más pragmático: α es un sistema de generadores si para cada v V la ecuación vectorial (3) v = a v + a v + + a n v n tiene solución. Ejemplo Clásicos () c(n) = {e, e,..., e n }, donde e = (, 0, 0,..., 0) e = (0,, 0,..., 0). e n = (0, 0, 0,..., ) Es un sistema de generadores para R n, ya que (33) (x, x,..., x n ) = x e + x e + + x n e n Por la forma de ( 33), se acostumbra a llamar a c(n) con el nombre de generadores canónicos.

31 30 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile () En particular; R = {(, 0), (0, )} (3) R = {(, ), (, )}, pues (x, y) = ( x + y )(, ) + ( x y )(, ) (4) m(n s) = {E ij ( i n) ( j s)}, donde { : en la posición ij E ij = 0 : en otra parte Es un sistema de generadores de M K (n s) Así por ejemplo, para n = s = a b c d Luego, = ae + be + ce + de = a M R () = { 0, b , c 0 0, } d (5) p(n) = {, x, x,..., x n } son los generadores canónicos de R n [x], pues, Es decir, q(x) = a 0 + a x + + a n x n Ejemplo Un poco más teóricos. R n [x] = {, x, x,..., x n } () Sea V un K espacio vectorial y α = {v, v }. Demuestre que V = {v, v } = V = {v, v + v } (a) Identificamos lo que hay que realizar. En este caso tenemos que demostrar que ( en símbolos p.d.q.) V = {v, v + v }, es decir debemos mostrar que la ecuación vectorial (34) v = a v + a (v + v )

32 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 3 Tiene solución para cada v V. (b) Analizamos los datos. Como V = {v, v } y v V entonces tiene solución la ecuación vectorial (35) v = b v + b v Es decir, existen b K y b K tal que ( 35) es una identidad. (c) Supongamos por un instante que la ( 34), tiene solución entonces tenemos v = a v + a (v + v ) = a v + a v + a v = (a + a )v + a v Luego, basta que tomemos: a + a = b a = b = a = b b a = b (d) As V = {v, v + v } Solución Alternativa p.d.q. Observemos que {v, v } = {v, v + v } (i) v = v + 0 (v + v ), luego v {v, v + v } (ii) v = ( ) v + (v + v ), luego v {v, v + v } (iii) Así que, (36) {v, v } {v, v + v } Análogamente, (i) v = v + 0 v, luego v {v, v } (ii) v + v = v + v, luego v + v {v, v } (iii) Así que, (37) {v, v + v } {v, v }

33 3 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile Luego, de ( 36) y ( 37), sigue que {v, v + v } = {v, v } () Sea V un K espacio vectorial, y α = {v, v }. Demuestre que V = {v, v } = V = {v v, v + v } Es un buen ejercicio. (3) Sea V un K espacio vectorial y α = {v, v, v 3,..., v n } V. Sea β = {w,..., w n } V tal que w k = entonces demuestre que k v i ; y ( k n) (38) V = {v, v,..., v n } = V = {w, w,..., w n } k (a) w k = v i ; ( k n) = w k {v, v,..., v n } (b) Luego, Ahora, {w, w,..., w n } {v, v,..., v n } (a) v k = w k w k, para k =, 3..., n y v = w. (b) Así que {v, v,..., v n } {w, w,..., w n } Finalmente, {v, v,..., v n } = {w, w,..., w n } (4) Sea V un K espacio vectorial y α = {v, v, v 3,..., v n } V. Sea β = {w, w,..., w n } V tal que w k = entonces demuestre que k iv i y ( k n) (39) V = {v, v,..., v n } = V = {w, w,..., w n } Es un buen ejercicio.

34 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 33 Observación Sea α = {v, v,..., v n } un sistema de generadores para el K - espacio vectorial V entonces tenemos lo siguiente: Para cada v V existen escalares a, a,..., a n en K tales que Equivalentemente, la ecuación v = a v + a v + + a n v n (40) v = x v + x v + + x n v n tiene siempre solución en K n Mejor aún, tenemos automáticamente una relación entre el espacio V y el conjunto M K (n ), definida por: [ ] α : V M K (n ) Donde, v [v] α a a [v] α =. v = a n a k v k El único problema es que un elemento de V, puede tener dos o más matrices relacionadas con el, como por ejemplo, si α = {(, 0), (0, ), (, 3)} entonces no cabe duda que R = {(, 0), (0, ), (, 3)}, no obstante tenemos la siguiente anomalía: k= (4) [(, 3)] α = 3 0 (4) [(, 3)] α = 0 0 Del análisis de ( 4) y ( 4) sigue que (0, 0) = (, 0) + 3 (0, ) + ( ) (.3) Pero, canónicamente el origen se expresa como (0, 0) = 0 (, 0) + 0 (0, ) + 0 (, 3) Así que la conclusión es la siguiente:

35 34 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile Teorema Sea V un K espacio vectorial y α = {v,..., v n } un sistema de generadores de V entonces para cada vector v V existen únicos escalares a, a,... a n tales que v = a i v i si y sólo si el vector nulo 0 V se escribe de forma única. Si v = a i v i y v = b i v i, son dos representaciones distintas de v entonces claramente tenemos que 0 V = (a i b i )v i. Es decir, 0 V tiene dos representaciones distintas. La recíproca es inmediata, pues 0 V es un vector del espacio. Definición Sea V un K espacio vectorial y α = {v,..., v n } un subconjunto de V. Diremos que α es un conjunto Linealmente Independiente (en símbolos Li) si el vector nulo 0 V tiene representación única como combinación lineal de los elementos de α. Caso contrario decimos que α es un conjunto Linealmente Dependiente (en símbolos Ld). Es decir, α es Li si (43) a i v i = 0 = a = a = = a n = 0 Ejemplo Clásicos () c(n) = {e, e,..., e n }, es un conjunto Linealmente independiente en R n, donde e = {, 0, 0,..., 0} e = {0,, 0,..., 0}. e n = {0, 0, 0,..., } Supongamos que tenemos la combinación lineal nula en R n (44) a e + a e + + a n e n = 0 R n ( 44) es siempre el comienzo para verificar si un conjunto es Li. o Ld..

36 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 35 Así, a e + a e + + a n e n = 0 R n (a, a,..., a n ) = (0, 0,..., 0) a i = 0 ( i n) luego, c(n) es un conjunto Li. en R n () Sea m(s t) = {E ij M K (s t) ( i s); ( j t)}, donde Así, por ejemplo m( ) = E ij = { en la posición ij 0 en otro caso { 0, 0 0 0, , 0 } Luego, m(s t) es un conjunto Li. en M K (s t);( s, s N)( t, t N) (juguemos a los símbolos.) Partimos como siempre: s t a ij E ij = 0 MK (s t) = j= a... a t a... a t... = a s... a st = a ij = 0 ( i s), ( j t) Luego, m(s t) es Li. en M K (s t), en lo que sigue, m(s) = m(s s) (3) Sea p(n) = {, x, x,..., x n }, (n N) entonces p(n) es Li. en K n [x]. Como siempre, supongamos que a i x i = 0 Kn[x] = a i x i = 0 Kn[x] entonces a i x i = 0x i = a i = 0 (0 i n) Observación Sea V un K espacio vectorial y α = {v,..., v n } un subconjunto de V entonces () La relación

37 36 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile [ ] α : V M K (n ) Donde, a v [v] α a [v] α =. v = a n a k v k es una función si y sólo si α es un sistema de generadores y es un conjunto linealmente independiente en V. () Más aún [ ] α es una biyección entre los K - espacios vectoriales V y M K (n ) a función inversa de [ ] α es la siguiente: k= Donde, [ ] α : M K (n ) V a a. a n v v = a k v k k= (3) Así que tenemos el siguiente diagrama. V Espacio Teórico [ ] α [ ] α M K (n ) Espacio Práctico (4) Así que un conjunto α con esas características permite determinar en forma única cada elemento del espacio vectorial, es decir este conjunto es un generador exacto del espacio V.

38 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 37 Definición Sea Sea V un K espacio vectorial y α = {v,..., v n } un subconjunto de V entonces α se llamará una base del espacio vectorial V si () α es un sistema de generadores de V. () α es un conjunto Linealmente independiente en V Equivalentemente α es una base de V si para cada v V existen únicos escalares a, a,..., a n en K tal que v = a v + a v + + a n v n Ejemplo Clásicos () En K n (45) c(n) = {e, e,..., e n } La llamaremos la base canónica de K n, pues () En M K (n s) (x, x,..., x n ) = x e + x e + + x n e n [(x, x,..., x n )] c(n) = x x. (46) m(n s) = {E ij ( i n); ( j s)} x n La llamaremos la base canónica de (M) K (n s), pues por ejemplo para n = s = x x x x = x E + x E + x E + x E = x + x x x 0 0 (3) En K[x] (47) p( ) = {, x, x,... }

39 38 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile La llamaremos la base canónica de los polinomios con coeficientes en el cuerpo K, pues genéricamente un polinomio se escribe como p(x) = a 0 + a x + a x + + a t x t ; (t N) En particular, (48) p(n) = {, x, x,..., x n }; (n N) La llamaremos la base canónica de K n [x], el espacio vectorial de polinomios hasta de grado n. Ejemplo Otros ejemplos () En K n, sea α = {v, v,..., v n } una base entonces cα = {c v, c v,..., c v n }, es una nueva base de K n, para cada c K {0} α + = {v, v + v,..., v i }, es una nueva base de K n En general β = {w, w,..., w n }, donde w j = K n fijo, es una base de K n j a i v i, para (a, a,... a n ) () Sea V = {f : [ π, π] R tal que f continua }. Si definimos el subespacio de V W = {, sin x, cos x, sin x, cos x,..., sin nx, cos nx} entonces α = {, sin x, cos x, sin x, cos x,..., sin nx, cos nx}, es una base de W, para cada n N Observación Sea α = {v, v,..., v n } una base de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K y sea w V Si α = {v, v,..., v n, w } entonces α es Ld. en V. Aplicamos la definición de independencia (dependencia) Lineal. Supongamos que a i v i + a n+ w = 0 V entonces P.D.Q. existe al menos un a j en nuestra lista de escalares que es no nulo (a j 0).

40 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 39 Com α es una base entonces le aplicamos su definición para obtener una representación única para el vector w, es decir (49) w = Dos casos inmediatos Caso. Caso. b j v j j= w = 0 V = α es Ld.!!! w 0 = b j v j + ( )w = 0 V j= Es decir de ( 49) sigue que tenemos una combinación lineal nula con al menos un escalar no nulo, luego α Ld. Si α s = {v, v,..., v n, w,..., w s } entonces α s es Ld. en V. Caso. Caso. w i = 0, para algún i = α s es Ld w i 0, para algún i = α s es Ld Aplicando el argumento descrito para α En cualquier caso, hemos probado uno de los resultados más importantes del algebra Lineal: Teorema Sea α = {v, v,..., v n } una base de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K entonces cualquier subconjunto de V que posea más de n-elementos es linealmente dependiente Corolario Sean α = {v, v,..., v n } y β = {w, w,..., w m } dos bases de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K entonces n=m. Como α es base y β es linealmente independiente entonces por el teorema tenemos que m n. Recíprocamente como β es base y α es Linealmente independiente entonces nuevamente

41 40 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile por 5.0.4, tenemos que n m. así que n = m. De lo anterior podemos concluir con la siguiente definición. Definición Sea V un K espacio vectorial. número de vectores de una base de V. Llamaremos dimensión de V al Notaremos: dim K (V ) := dimensión de V sobre K Ejemplo Clásicos o Canónicos () dim R (R n ) = n; pues card(c(n)) = n () dim C (C n ) = n; pues card(c(n)) = n (3) dim R (C) = ; (4) dim K (K n [x]) = n + ; pues card(p(n)) = n + (5) dim K (K[x]) = ; pues card(p( )) = (6) dim K (M K (n s)) = n s; pues card(m(n s)) = n s Más adelante obtendremos muchos otros ejemplos, pero por ahora nos dedicaremos a cosechar lo que hemos sembrado. En la siguiente sección, la cual sin lugar a dudas es la base de la importancia radical que tiene el Algebra Lineal en el desarrollo de la actual tecnología, estudiaremos la aparición de los lenguajes que caracterizan a la investigación teórica o modelamiento y a la investigación práctica o matricial. Lecturas sugeridas como complementarias al estudio hasta ahora realizado. () Hoffman K. y Kunze R. Algebra Lineal Prentice Hall () Lang S. Introduction to Linear Algebra Addison - Wesley (3) Lima E. Algebra Linear Matematica Universitaria (4) Rojo J. Ejercicios y problemas de Algebra Lineal McGraw-Hill

42 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 4 6. Espacio Coordenado Motivación Para fijar ideas partamos considerando nuestro prototipo de buen espacio vectorial, osea R. Hasta el momento sabemos que : () Existe una biyección natural entre R y M R ( ), definida por (x, y) R ( x y [ ] c() ) M R ( ) Figura 6 Luego,las coordenadas en el sentido usual, de un punto (x, y) en el plano, respecto de la base canónica son x e y, en ese orden. () Si α = {(, ), (, )}, es otra base del plano entonces las coordenadas de (x, y) respecto de α son x + y y x y. Es decir tenemos, (x, y) R x + y x y [ ] α M R ( ) Figura 7 (3) Las situaciones anteriores nos sugieren dos cuestiones centrales, que podemos resumir en el siguiente diagrama: R R R [ ] c() [ ] α) M R ( )? M R ( ) Figura 8

43 4 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile Vamos a intentar responder a este problema. () Fijense bien [(x, y)] α = = = x + y x y x + y x y x y = ( [(, 0)] α [(0, )] α ) [(x, y)]c() Luego, podemos notar con toda propiedad: Y obtenemos lo siguiente: [I] α c() = En primer lugar, respondemos el problema inicial, pues: [I] α c() [(x, y)] c() = [(x, y)] α En segundo lugar, si copiamos la idea en el otro sentido: [I] c() α = ( [(, )] c() [(, )] c() ) = ( x () Como [(x, y)] c() = entonces en particular y) ( [(, )] c() = ) [(, )] c() = Luego, podemos definir una matriz que guarde esa información como sigue: [ (50) [I] c() α = ]

44 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 43 (3) Análogamente como entonces en particular [(, 0)] α = [(0, )] α = [(x, y)] α = x + y x y Luego, podemos definir una matriz que guarde esa información como sigue: (5) [I] α c() = (4) Finalmente, veamos que se puede hacer con esas matrices Luego, x + y x y = x y (5) [I] c() α Así que, [(x, y)] α = [(x, y)] c() x x + y = y x y (53) [I] α c() [(x, y)] c() = [(x, y)] α = 0 0

45 44 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile entonces (54) [I] c() α [I] α c() = I Es decir, (55) [I] c() α = [I] α c() Definición Sea V un K - espacio vectorial y α = {v, v,..., v n } una base de V entonces [v] α M K (n ) se llamará las α - coordenadas de v y M K (n ) el α - espacio coordenado de V. Esto permite construir una tripleta,((v, α), [ ] α,m K (n )), que contiene a la teoría y a la práctica, conectadas por un sistema de información o base α. Es decir, tenemos la función (V, α) [ ] α M K (n ) Figura 9 Donde se verifica la ecuación fundamental: (56) v = a a i v i [v] α =. a a n Observación Contrucción de la Matriz Cambio de Coordenadas Supongamos que tenemos dos tripletas del tipo : (57) ((V, α), [] α, M K (n )) (58) ((V, β), [] β, M K (n )) donde β = {w, w,..., w n } entonces

46 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 45 Para cada vector v V tenemos dos ecuaciones fundamentales (59) v = (60) v = a a i v i [v] α =. a a n b b i w i [v] β =. Existe alguna relación entre ( 59) y ( 60)? Para responder esa interrogante podemos hacer lo siguiente : (i) Aplicando la fórmula ( 60), a cada uno de los elementos de la base α obtenemos b b n a a v = a w + a w +... a n w n [v ] β =. a n a a v = a w + a w +... a n w n [v ] β =. v n = a n w + a n w +... a nn w n [v n ] β =. a n a n a n (ii) La información de los elementos de la base α respecto de la base β puede ser organizada en una matriz de la forma :. a nn (6) [I] β α = ([v ] β [v ] β... [v n ] β ) O bien (6) [I] β α = a a... a n a a... a n.... a n a n... a nn

47 46 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile (iii) Finalmente [I] β α [v ] α = = a a... a n a a... a n.... a n a n... a nn a a a n Así que, = [v ] β (63) [I] β α [v i] α = [v i ] β ( i n) En general tenemos el siguiente Teorema Si γ es una base de V entonce (i) [u + v] γ = [u] γ + [v] γ ( u; u V ); ( v; v V ) (ii) [c u] γ = c [u] γ ( u; u V ); ( c; c K) [u] γ + [v] γ = = b. b n a +. a n b + a. b n + a n Análogamente, [c u] γ = = [u + v] γ c b. c b n b n = c b. = c [u] γ

48 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 47 Corolario Para cada u V (64) [I] β α [u] α = [u] β b u = b i v i equivalentemente [v] α =. b n luego, [ ] [I] β α [u] α = [I] β α b i v i α b = = = = b i [I] β α [v i] α ver ( 6.0.) b i [v i ] β ver ( 63) [b i v i ] β [ ] b i v i β Corolario = [u] β [I] β α [I]α β = I n sabemos de ( 6.0.), que entonces En particular; [I] β α [u] α = [u] β ( u; u V ) [I] α β [I]β α [u] α = [I] α β [u] β ( u; u V ) = [u] α [I] α β [I]β α [v i] α = [I] α β [v i] β ( i; i n) = [v i ] α

49 48 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile Analogamente, Así que [I] β α [I]α β [w i] β = [I] β α [w i] α ( i; i n) = [w i ] β [I] α β [I]β α = [I]β α [I]α β = I n Conclusión [I] β α es una matriz invertible y () [ ] [I] β α = [I] α β () Tenemos el siguiente diagrama conmutativo V R V [ ] α [ ] β) M R (n ) M R (n ) [I] β α Figura 0 Definición Equivalentemente [ ] [I] β α [ ] α = [ ] [ ] β [I] α β [ ] β = [ ] α [I] β α, será llamada la matriz cambio de la base α a la base β. Ejemplo Sea V un K espacio vectorial y sea α = {v, v,..., v n }, una base de V. Sea β = i {w, w,..., w n } tal que w i = jv j, para ( i n) entonces () β es una base de V j=

50 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 49 w i = i jv j, para ( i n) entonces w i+ = (i + )v i+ + w i, así que j= v i+ = w i+ w i, para i y v = w, luego i + (65) v i+ = i + w i + i + w i+ {w, w,..., w n } luego, V = {v, v,..., v n } = {w, w,..., w n } entonces β es una base de V. () w i = v + v + 3v iv i entonces [I] α β = n (3) Como, v i = i w i + i w i entonces [I] β α = n 6.. Ejercicios Resueltos. () Sean S y S = {(, 0, ), (,, 0), (0, 0, )} dos bases ordenadas de R 3 y sea [I] S S = 0 la matriz de cambio de la base S a la base S (a) Determine la base S Solución

51 50 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile Sea S = {u, u, u 3 }. Si la matriz de cambio de base es [I] S S entonces se tiene: u = (, 0, ) + 0(,, 0) + (,, ) = (,, ) u = (, 0, ) (,, 0) + (,, ) = (4,, 0) u 3 = (, 0, ) + (,, 0) + (,, ) = (,, ) De donde : S = {(,, ), (4,, 0), (,, )} (b) Para α = (,, 3), determine [α] S Solución [α] S = a b c = (,, 3) = a(,, ) + b(4,, 0) + c(,, ) = = a + 4b + c = a b + c 3 = a + c = a = 3, b =, c = 0 = [α] S = 3/ / 0 () Sea β = {(, 0, ), (,, 0), (,, )} una base ordenada de R 3 y considera µ R 3 tal que: [µ] β = 6 3 Encuentre µ. Solución [µ] β = 6 3 = µ = 6(, 0, ) 3(,, 0) + (,, ) = (,, 4) (3) Sea C = {, x, x } y S = { + x + x, x + x, + x + x } dos bases de R [x]. Hallar [I] C S la matriz cambio de base desde S a la base C Solución Las columnas C j ( j 3) de la matriz [I] C S son tales que : C j = [u j ] C donde u j S = [I] C S =

52 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile 5 (4) Sea V un k e.v y sea α = {v, v,, v n } una base ordenada de V. Se i define β = {w, w, w n } (otra base de V )como w i = jv j (a) Determine [I] α β Solución De la definición de β se tiene: j= w = w = w 3 =. w n = jv j = v = v + 0v + + 0v n j= jv j = v + v = v + v + 0v v n j= 3 jv j = v + v + 3v 3 = v + v + 3v 3 + 0v v n j=. jv j = v + v + 3v nv n j= Lo que implica: [w ] α = Finalmente [I] α β =. 0. 0, [w ] α = ,, [w n ] α = 0 0 n (b) Si v es un vector de V tal que [v] α = 3 calcular [v] β. n Solución Como [I] α β es invertible y [I] α β = [I] β α y además [I] β α[v] α = [v] β 3. n

53 5 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile entonces: ( [I] α β) = / / / /3 / /n Luego, / / / /3 / /n 3. n = Así que, [v] β =

54 Contenidos. Objetivos. Motivación 3. Definición y Ejemplos de espacios vectoriales 4 4. Subespacios 9 5. Base y Dimensión Espacio Coordenado 4 Bibliografía 57 53

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56 Bibliografía [] Boldrini D, Algebra Linear [] Grossman, S. Álgebra lineal, Mc Graw Hill 997. [3] Gustafson, R. Álgebra Intermedia, Brooks/Cole Publishing Company 997. [4] Hofmman K. and Kunze R., Algebra Lineal [5] Kolman, B. Álgebra lineal con Aplicaciones y Matlab, Prentice Hall 999. [6] Nakos, G. Álgebra Lineal con Aplicaciones, Brooks/Cole Publishing Company 998 [7] Santander R., Algebra Lineal, Universidad de Santiago de chile 00. [8] Santander R., Un Segundo curso de Algebra Lineal, Universidad de Santiago de chile