Los vectores desempeñan un papel importante en Matemáticas, Física e Ingeniería y actualmente en materias como procesamiento de imágenes.

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1 ESPACIOS VECTORIALES 1. INTRODUCCIÓN Escalares y Vectores E la técica existe catidades como Logitud, Área, Volume, Temperatura, Presió, Masa, Potecial, Carga eléctrica que se represeta por u úmero real. A estas catidades se les deomia MAGNITUDES ESCALARES. Otras magitudes como el desplazamieto, la velocidad, el campo eléctrico, la fuerza se debe represetar mediate u vector (módulo, direcció y setido) y se deomia MAGNITUDES VECTORIALES. Los vectores desempeña u papel importate e Matemáticas, Física e Igeiería y actualmete e materias como procesamieto de imágees.. EL CONJUNTO R Detro del cojuto de los úmeros reales está Números Naturales : 0,1,,, Números Eteros :,,,,0,1,,, a Números Racioales : : a, b, b 0 b Números Irracioales: No expresables como cociete de dos úmeros eteros. Ejemplos: 1,41 ; e,71 ;,14 Recta Real: La recta e la que se represeta los úmeros reales. Valor absoluto: a a a si a 0 si a 0 Itervalos: a b x a x b a b x a x b Abierto:, : Cerrado:, : Los itervalos puede ser semiabiertos o semicerrados. Mauel Hervás Maldoado 1

2 Distacia etre dos úmeros reales: d( a, b) b a El cojuto,d es u Espacio métrico.. EL CUERPO R Se defie la Suma habitual etre úmeros reales abc,, Co las propiedades: 1. Asociativa: a b c a b c. Neutro 0 : a 0 0 a a Grupo aditivo. Opuesto a : a ( a) 0 ( a) a 4. Comutativa: a b b a Grupo aditivo abeliao Se defie el Producto habitual etre úmeros reales abc,, Cosiderado la Suma (+) y producto a b c a b c a a a 1. Asociativa:. Distributiva del respecto + Aillo a b c a b a c. Uidad 1 : 1 1 Aillo Uitario de úmeros reales: Iverso : a 1 a. El 0 NO tiee iverso a a a, además tiee la comutativa a b b a el Cuerpo es comutativo. que cumple estas propiedades es u CUERPO. Si Mauel Hervás Maldoado

3 4. EL ESPACIO VECTORIAL R A partir del cojuto de los úmeros reales vamos a formar el cojuto producto cartesiao que está formado por la tera de úmeros reales x1, x, x. El primer elemeto x 1 es la primera compoete, el segudo x es la seguda y el tercero x la tercera. Es IMPORTANTE el orde e que figura los elemetos. Igualdad: Dos teras so iguales si lo so sus compoetes Operacioes: x1 x1' x1, x, x x1 ', x ', x ' x x ' x x' Suma Se cosidera las teras x1, x, x del cojuto deomiar vector a cada tera de.. Vamos a Sea los vectores a b R a a a a b b b b. Para, ( 1,, ), ( 1,, ) realizar a b se suma compoete a compoete: a b ( a b, a b, a b ) 1 1 Ejemplo: a i j k, b i j k a b i 5 j k Las propiedades de la SUMA de vectores so: a, b R 1. Comutativa: a b b a a b c a b c. Asociativa:. Neutro: a 0 0 a a 4. Opuesto: a ( a) 0 ( a) a Mauel Hervás Maldoado

4 Producto por escalar a ( a, a, a ) y el escalar (úmero real) k. Sea el vector 1 Ejemplo: a (,,1) a (6,9,) ka ( ka1, ka, ka ) Las propiedades del producto por escalar so: ab, y kh, 5. Distributiva respecto a la suma de vectores: k( a b) ka kb 6. Distributiva respecto a la suma de escalares: ( k h) a ka ha 7. Asociativa respecto al producto por escalar: k( ha) ( kh) a 8. El 1 es eutro para el producto por escalar: 1a a El cojuto de teras de co las operacioes SUMA y PRODUCTO POR ESCALAR que verifica los ocho axiomas ateriores se dice que tiee estructura de ESPACIO VECTORIAL sobre el cuerpo o bie que es es u -espacio vectorial de dimesió. Coviee distiguir etre la tera x1, x, x que es u vector y las compoetes de la tera x1, x, x que so los escalares. 4. EL ESPACIO VECTORIAL R Se geeraliza todo lo aterior de al cojuto formado por las -plas x1, x,, x e las que los elemetos x ; i 1... so úmeros reales y x x1, x,, x es u vector. i De forma aáloga se defie la Suma de vectores: a b ( a b, a b,, a b ) 1 1 y el producto de vector por escalar (úmero real). ka ka1 ka ka (,,, ) Como e co dichas operacioes se verifica los 8 axiomas ateriores, se dice que es u -espacio vectorial de dimesió. Mauel Hervás Maldoado 4

5 5. VECTORES GEOMÉTRICOS Cocepto de vector fijo U vector AB es u segmeto orietado e el que se debe distiguir: Orige A B Extremo Direcció: Es la direcció de la recta que pasa por A y B. Setido: Viee idicado por la puta de la flecha. Módulo: Es la logitud del segmeto. Si coicide el orige A y el extremo B el vector resultate AA 0 es el vector ulo. Al cojuto de los vectores fijos del espacio se deomia F. Equipolecia Dos vectores fijos, o ulos, co igual módulo, direcció y setido, pero distito puto de aplicació se dice que so equipoletes. La iterpretació geométrica es que la figura que resulta co dos vectores equipoletes es u paralelogramo. Vector libre La equipolecia es ua relació de equivalecia ya que posee las propiedades Reflexiva, Simétrica y Trasitiva. La equipolecia por tato agrupa e clases de equivalecia a todos los vectores fijos de F. E cada clase se ecuetra los vectores fijos equipoletes co uo dado (por ejemplo co el vector AB ). Cada clase queda represetada por uo cualquiera de ellos, por ejemplo por el vector AB, que se deomia Represetate de la clase y se suele expresar por ua letra miúscula u AB. Pues bie u vector libre es cada ua de las clases de equivalecia y queda idetificado por el vector represetate u. Al cojuto cociete que es el cojuto formado por todas las clases de equivalecia, es decir el cojuto de los vectores libres del espacio, se deomia V. Mauel Hervás Maldoado 5

6 Propiedad fudametal Si u es u vector libre de V y O u puto cualquiera del espacio, existe u úico vector fijo co orige e O, represetate de la clase de equivalecia. Operacioes: Suma Dados dos vectores libres a, b V se deomia SUMA al vector que se obtiee del modo siguiete: Se toma u puto arbitrario O del espacio. Co este orige se lleva el vector a OA y dode termia la flecha se lleva a cotiuació el vector b AB. Pues bie uiedo el orige O co el extremo B se obtiee el vector suma que se represeta a b OB. Observar que se verifica la regla del paralelogramo: Si co el mismo orige O se lleva los vectores a y b el vector suma resultate a b es la diagoal del paralelogramo que tiee por lados ambos vectores a y b. Producto de escalar (úmero real) por vector Dado u vector libre a V y u úmero real k (o ulo) el producto k a es tambié u vector libre que tiee Módulo: k a Direcció la direcció de a Setido el mismo que a si k 0 y el opuesto si k 0 Si k 0 k a 0 o bie a 0 Mauel Hervás Maldoado 6

7 6. ESPACIO VECTORIAL ABSTRACTO Sea ( K;, ) u cuerpo comutativo cuyos elemetos se deomia escalares (habitualmete se usa ) y ( E; ) u cojuto, cuyos elemetos se deomia vectores, dotado de la operació itera SUMA: Sea los vectores a, be a ( a1, a,, a), b ( b1, b,, b). Para realizar a b se suma compoete a compoete: a b ( a b, a b,, a b ) 1 1 Se defie la operació extera Producto de escalar por vector: Sea el vector a ( a1, a,, a ) y el escalar k K. ka ka1 ka ka (,,, ) Se dice que E es u espacio vectorial sobre K o tambié u K espacio vectorial si cumple los 8 axiomas: x, y, ze,, K 1) Asociativa: x ( y z) ( x y) z ) Neutro: x 0 x 0 x. ) Simétrico: x ( x) 0 ( x) x. 4) Comutativa: x y y x. 5) La ley extera es distributiva respecto a la suma de vectores: ( x y) x y. 6) La ley extera es distributiva respecto a la suma de escalares: ( ) x x x. 7) La ley extera es asociativa: ( ) x ( x). 8) El 1 actúa como eutro para la ley extera: 1x x. U cuerpo comutativo se cosidera espacio vectorial sobre si mismo. Ejemplos de espacios vectoriales: U cuerpo comutativo se cosidera espacio vectorial sobre si mismo. Los cojutos,,,, co suma de -plas y producto de vector por escalar, so R-ev. Mauel Hervás Maldoado 7

8 El cojuto de los úmeros complejos co la suma de complejos y producto por u úmero real es tambié espacio vectorial sobre R. El cojuto de los vectores libres co la suma de vectores y producto por escalar es u espacio vectorial. El cojuto de los poliomios de grado co la suma de poliomios y producto de poliomio por escalar es espacio vectorial. El cojuto de las matrices m co la suma de matrices y producto de matriz por escalar es espacio vectorial. El cojuto de las sucesioes de úmeros reales co suma de sucesioes y producto de sucesió por escalar es espacio vectorial. El cojuto de las fucioes reales cotiuas defiidas e u itervalo co las operacioes suma de fucioes y producto de fució por escalar es espacio vectorial. No so espacios vectoriales: El cojuto de los putos de ua recta del plao que o pase por el orige. Porque o icluye el (0,0) El cojuto de poliomios de grado. Porque la suma puede o ser poliomio de grado. El cojuto de las matrices cuadradas de orde que o so ivertibles. Porque la suma puede ser ua matriz regular (ivertible) A1 A ; A1 A Sigular Sigular Regular Mauel Hervás Maldoado 8

9 7. Combiació lieal. U vector v es combiació lieal de p vectores u 1, u,..., u p si se puede expresar: v a u a u a u 1 1 p p siedo a1, a,, ap úmeros reales, deomiados coeficietes de la combiació lieal. El vector 0 es combiació lieal de cualquier cojuto de vectores, lo que se iterpreta geométricamete diciedo que es paralelo a todos los vectores del plao. Ejemplos: Sea los vectores a (,,), b (1,1,1) a b Dados a (5,7), b (1,1), c (,). Expresar a como combiació lieal de los otros dos: 5 1 (1,1) (,) (5,7) Es decir a b c 7 8. Subespacio vectorial U subcojuto S de V que matiee las citadas propiedades se dice que es u subespacio vectorial de V. Se caracteriza por ser u subcojuto NO VACÍO, pues al meos tiee el vector 0, además la suma de dos vectores de S es u vector de S y se matiee el producto por escalar: Las codicioes que debe cumplir S para ser subespacio vectorial de V so S (No vacío) u, vs u v S (Cerrado para la suma) K, u S u S (Cerrado para el producto por escalar). Estas codicioes se agrupa: a, b S ; k, hr k a hb S idicado que cualquier combiació lieal de dos vectores de S tambié perteece a S Mauel Hervás Maldoado 9

10 Los cojutos 0 y V so subespacios vectoriales de V que se deomia triviales (o impropios), siedo los demás subespacios propios. Ejemplos de subespacios: 1. El cojuto de las matrices simétricas de orde es u subespacio vectorial del cojuto de las matrices cuadradas de orde co la suma de matrices y producto por escalar. t A, A A A A 1 simetrica t t t A A A A A A t t 1 simetrica K, A A A A A. El cojuto de las matrices sigulares de orde NO es subespacio del cojuto de las matrices cuadradas de orde co la suma de matrices y producto por escalar. Ya que la suma de dos matrices sigulares puede ser ua matriz regular A1 A ; A1 A Sigular Sigular Regular. El cojuto de los vectores de ua recta que pasa por el orige es u subespacio del espacio vectorial R (plao). S x y R x y (, ) / 0 ya que la suma de dos vectores es otro vector de la recta y el producto de u vector de la recta por u escalar es u vector de la recta. 4. El cojuto de los vectores de ua recta que o pasa por el orige NO es u subespacio del espacio vectorial R (plao). S x y R x y (, ) / 1 ya que o cotiee al vector 0 (0,0). Mauel Hervás Maldoado 10

11 9. Subespacio egedrado Sea C u1, u,, u p u cojuto de vectores de u espacio vectorial V. El subespacio egedrado por C es el formado por todas las combiacioes lieales: Se dice que u L( C) a1u 1 au apu p : ai R. i1.. p 1, p u es u sistema geerador del subespacio. Ejemplo. Ecotrar el valor de a para que el vector u (, a,) perteezca al subespacio egedrado por u (1,4,), u (,1,0). 1 Solució: Para que u perteezca al subespacio egedrado por u, u debe ser combiació lieal de ambos. 1 (, a,) (1,4,) (,1,0) 1 4 a a 5 1 U sistema geerador de u subespacio puede teer alguos vectores que a su vez sea combiació lieal de otros del cojuto Ejemplo. Comprobar si los vectores v(4,0,), w (,0,) perteece al subespacio egedrado por A u (1,1,1), u (1,0,1), u (,,). 1 Solució: Para que los vectores v y w perteezca al subespacio S egedrado por los vectores del cojuto u1, u, u debe ser, respectivamete combiació lieal de los tres vectores. Hay que observar que se verifica u u1 (combiació lieal). v (4,0,) (1,1,1) (1,0,1) (,,) Mauel Hervás Maldoado 11

12 4 0 Sistema icompatibe v S w (,0,) (1,1,1) (1,0,1) (,,) 0 Sistema compatible w S pero al ser idetermiado, existe ifiitas solucioes ; debido a que u u Depedecia e idepedecia lieal. Sea C u1, u,, u p u cojuto de vectores U cojuto de vectores es liealmete idepediete si se verifica a u a u a u 0 a a a p p 1 p todos los coeficietes so ulos. U cojuto de vectores es liealmete depediete si se verifica a1u 1 au apup 0 ai 0 Todos los coeficietes o so ulos y por tato u vector al meos es combiació lieal de los demás. La codició ecesaria y suficiete para que vectores sea paralelos es que sea liealmete depedietes. 11. Rago de u cojuto de vectores es el úmero máximo de vectores liealmete idepedietes. 1. Base y Coordeadas Plao R : Dos vectores, e1 e so ua BASE del plao vectorial e1, e so liealmete idepedietes. Cualquier vector del plao se puede expresar como combiació lieal de estos dos vectores. Mauel Hervás Maldoado 1

13 Siedo los coeficietes de esta combiació lieal ( a1, a ) las COORDENADAS del vector e dicha base. v R v a1e 1 ae E coordeadas cartesiaas se suele utilizar ua base ortoormal, cuyos vectores so uitarios y ortogoales que se deomia base caóica y se represeta i, j siedo sus coordeadas i(1,0), j (0,1). Ejemplo: v i j v,1 siedo su módulo: v 1 5. Para obteer u vector uitario e esta direcció se divide las v 1 coordeadas del vector por su módulo. u i j v 5 5 Espacio R Tres vectores e1, e, e so ua BASE del espacio e1, e, e so liealmete idepedietes. Cualquier vector del espacio se puede expresar como combiació lieal de estos tres vectores. Siedo los coeficietes de esta combiació lieal ( a1, a, a ) las COORDENADAS del vector e dicha base. v R v a1e 1 ae ae E coordeadas cartesiaas se suele utilizar ua base ortoormal, cuyos vectores so uitarios y ortogoales dos a dos que se deomia base caóica y se represeta por i, j, k siedo sus coordeadas i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1). Ejemplo: v i j k v ; 1 9. El vector uitario e esa direcció será v 1 u i j k v Mauel Hervás Maldoado 1

14 Espacio R Ua base B e1, e,, e de es u cojuto de vectores que perteece al espacio vectorial y que verifica a) Los vectores e ; i 1.. so liealmete idepedietes i b) Los vectores e ; i 1.. forma u sistema geerador de E ua base B e e e i 1,,, de u vector. v se expresa: v R v a1e 1 ae ae siedo a1, a,, a las coordeadas del vector e la base B. E u espacio vectorial hay ua ifiidad de bases, auque las coordeadas de u vector e ua cierta base so úicas. 1. Dimesió de u espacio vectorial Es el úmero de vectores de ua base. U espacio vectorial es de dimesió fiita si existe u sistema geerador fiito. 14. Cambio de Base Vamos a realizar el cambio de base e el plao vectorial. B i, j B' u i j ; u i j Sea la base caóica y otra base 1 Dado u vector que e B se expresa: vb' u1 u vb' 1. Hallar sus coordeadas e la base caóica v u1 u i j i j i j v B 1 u1, u i, j La matriz P 1 1 es la matriz de cambio de base B B ' e la que las coordeadas de los vectores de la ueva base B va escritas por columas. Las coordeadas del vector v B e la base B (caóica) se puede calcular de forma matricial P Mauel Hervás Maldoado 14

15 u, u i, j i, j ; P Nuevas Atiguas P Tambié es posible coociedo las coordeadas del vector v i j B i, j obteer sus coordeadas B e la base caóica e la ueva base B' u, u 1, para lo cual basta despejar los vectores i, j e fució de u1, u u1 u i u1 i j u i j u u j por lo que i j u u u1 u u1 u v i j u1 u v B ' 1 Se podría calcular matricialmete las coordeadas del vector v e la base B (ueva) P ; i j u u u u P Atiguas Nuevas 1 P E geeral e : a11 a1 a1 ' x 1 x1 a1 a a x x ' Atiguas a 1 a a Nuevas Matriz de Cambio de Base x Px ' i i1 i E esta matriz de cambio de base las columas so las coordeadas de los vectores de la ueva base. 1 Cambio de coordeadas: x Px ' ; x ' P x i Atiguas i Nuevas i Nuevas i Atiguas Mauel Hervás Maldoado 15

16 15. Norma Sea V u R-ev. Se deomia NORMA sobre V a la aplicació :V tal que x V se le asocia u úmero real o egativo x que cumple las codicioes: 1. x 0 Sólo 0 si x 0. x V x x. x, yv x y x y Al R-ev V; se deomia Espacio vectorial ormado Ejemplos de Norma: Sea x ( x, x ) 1 Se asiga x x x. Norma euclídea. 1 Se asiga x x1 x. x sup x, x. Se asiga 1 0 E el R-espacio vectorial C de las fucioes cotiuas e el 0 itervalo 0,1 se defie la aplicació :C R 1 que a toda fució cotiua f del espacio vectorial se asocia la siguiete itegral : 1 f f f ( x) dx se trata de ua Norma. 1 0 Dos ormas so equivaletes si defie la misma topología: La codició ecesaria y suficiete para que dos ormas y ' sea equivaletes es que exista dos costates k1 y k tales que k x x ' k x x V 1 E u espacio vectorial de dimesió fiita todas las Normas que se defia sobre él so equivaletes. Mauel Hervás Maldoado 16

17 16. PRODUCTO ESCALAR Sea V u K ev aplicació :V V K se deomia PRODUCTO ESCALAR a la que al par de vectores x, y V se hace correspoder u escalar x y K que cumple los axiomas: 1. Positividad: x V x x 0. Sólo 0 si x 0. Simetría (Comutativa): x V x y y x. Homogéea (Asociativo el escalar): k( x y) ( kx) y x ( ky) 4. Distributiva respecto a la suma de vectores: x, yv ; x y z x z y z U K ev V;( ) e el que se ha defiido u producto escalar es u espacio Prehilbertiao. E el caso de ser fiito dicho espacio vectorial se deomia EUCLÍDEO. La orma: :V tal que x V se asocia x ( x x) se deomia Norma asociada al producto escalar. Se utiliza e Física para calcular el módulo de u vector: Producto escalar e R x x x x. 1 E el espacio vectorial R se da la base B e, e, e u u1e 1 ue ue Dados dos vectores v v1e 1 ve ve u v u e u e u e v e v e v e = u1v 1e1 e1 u1v e1 e u1v e1 e + uv1 e e1 uv e e uv e e u v e e u v e e u v e e Que se puede expresar matricialmete ( e1 e1 ) ( e1 e) ( e1 e) v1 u v u1, u, u ( e1 e) ( e e) ( e e) v t ; u v u G v ( e1 e) ( e e) ( e e) v A la matriz de productos escalares de los vectores de la base se deomia Matriz de Gram, siedo ( e e ) g. i j ij ( e1 e1 ) ( e1 e ) ( e1 e) g11 g1 g1 G ( e e ) ( e e ) ( e e ) g g g 1 1 ( e1 e) ( e e) ( e e) g1 g g Mauel Hervás Maldoado 17

18 La matriz de Gram es simétrica ya que ( e e ) ( e e ) g g i j j i ij ji Si la base es ormal (vectores de la base uitarios): ( e1 e1 ) ( e e) ( e e) 1 Si la base es ortogoal: ( e1 e) ( e1 e) ( e e) 0 Si la base es ortoormal (vectores de la base uitarios y ortogoales: ( e1 e1 ) ( e e) ( e e) 1 ; ( e1 e) ( e1 e) ( e e) 0. La matriz de Gram es la UNIDAD y etoces el producto escalar se realiza coordeada a coordeada. v1 ( u v ) u u u v u v u v u v v Otra forma de defiir el producto es calar: ( u v) u v cos ; cos u v El producto escalar será positivo o egativo segú que sea agudo u obtuso. El producto escalar es ulo si los vectores so ortogoales ya que cos 0. Ejemplo Físico: Trabajo de ua fuerza es el producto escalar de la fuerza por el desplazamieto. ( ) cos 17. PROYECCIÓN ORTOGONAL W F d F d B A C B Sea los vectores u AB ; v AC. La proyecció ortogoal de u sobre v es el segmeto AB = u cos. El vector proyecció tiee de módulo u cos y direcció la del vector v. Se suele decir que para proyectar ortogoalmete u vector u sobre otro v se multiplica escalarmete u por el uitario e la direcció v. ( u v) E geeral el vector proyecció ortogoal es u' v v u v Mauel Hervás Maldoado 18

19 18. PRODUCTO VECTORIAL u u1i 1 u j uk Dados dos vectores v v1i v j vk El producto vectorial se expresa i j k u v u u u ; u v u v se se 1 v v v 1 u v u v El producto vectorial de dos vectores es u vector que se obtiee de la forma idicada que tiee direcció perpedicular al plao de los vectores u y v y setido el del sacacorchos que gira de u a v. Es decir el triedro de los vectores u, v y u v es directo. Propiedades u 0 ; v 0 1) u v 0 Proporcioales ) Aticomutativa: ( u v) ( v u). ) Homogéea: k( u v) ( ku ) v u ( kv ) 4) Distributiva respecto a la suma: u ( v w) ( u v) ( u w) 5) No asociativo: u v w u v w ya que el primero está e el plao u y v y el segudo e el plao de v y w. Área del paralelogramo B A B D C u AD ; v AB Altura del paralelogramo = BB u v BB' se ; BB' v se u v v Area del paralelogramo = u v u v se Ejemplo físico: Mometo de ua fuerza co relació a u puto que muestra la capacidad de giro e el puto. m OP F. Mauel Hervás Maldoado 19

20 19. PRODUCTO MIXTO u u1i 1 u j uk Dados tres vectores v v1i v j vk w w1i w j wk El producto mixto es el producto escalar u v w que se expresa u v w u v w u v w u v w Si el triedro formado por los tres vectores es directo como tambié lo es el formado por u, v y u v el producto mixto será u úmero positivo. Además la proyecció de w sobre u v es la altura del paralelepípedo costruido sobre los vectores dados y como u v es el área del paralelogramo de la base, el producto mixto resulta e este caso igual al volume del paralelepípedo costruido sobre los vectores u, v, w como aristas. Si o so 0 iguo de los tres vectores, la aulació del producto mixto es codició ecesaria y suficiete para que el vector w sea coplaario co u, v. U caso particular que coviee resaltar es cuado dos vectores so colieales, es decir uo es combiació lieal del otro. Si uo cualquiera de los vectores se multiplica por u úmero el producto mixto queda multiplicado por dicho úmero Mauel Hervás Maldoado 0

21 0. DISTANCIA Sea E u cojuto cualquiera. Se deomia DISTANCIA d defiida sobre E a toda aplicació d : E E tal que a la pareja de elemetos xy, de E se le asocia u úmero real o egativo que verifica las codicioes x, y, z E 1. d( x, y) 0 x y Axioma de Separació. d( x, y) d( y, x) Axioma de Simetría. d( x, y) d( x, z) d( z, y) Desigualdad Triagular Ejemplos: E R: d f ( x, y) x y Distacia fudametal E R : d1( x, y) x1 y1 x y x ( x, x ) (, ) ( ) ( ) euclídea y (, ) d x y x1 y1 x y y1 y d ( x, y) sup x 1 y1, x y Todo cojuto (E,d) dotado de ua distacia es u Espacio métrico. El cojuto (R,d f ) es la Recta Real. Todo esto se geeraliza para R. E el espacio Euclídeo R (co producto escalar) se verifica 1. Norma o Logitud de u: u ( u u) u u u 1. Distacia etre u y v: d( u, v) u v ( u v) ( u v) d( u, v) ( u1 v1) ( u v) ( u v). Dos vectores so ortogoales si ( uv) 0 4. Si tres vectores so coplaarios el producto mixto es 0. Mauel Hervás Maldoado 1

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