CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero

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1 Fundamento Científico del Currículum de Matemáticas en Enseñanza Secundaria CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero

2 ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN... 1 PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES... 2 COMBINACIONES LINEALES... 3 BASE B EN UN ESPACIO VECTORIAL... 4 DEFINICIÓN Un espacio vectorial es un conjunto cuyos elementos llamamos vectores y que cumplen las siguientes condiciones: Se pueden sumar: v +w V Se pueden multiplicar por un número: α R Ů α v V Estas operaciones cumplen las propiedades de: Con respecto a la suma: Asociativa : v + (u +w ) = (v + u) + w ; w v, u V Conmutativa. (v + u ) = (u + v) ; v, u V Existe el elemento neutro : Ů 0 V / u + 0= u Elemento simétrico: todo vector tiene su opuesto v V Ů (-v) V / v + (-v) = 0 Con respecto al Producto: 1* v = v, v V siendo 1 elemento neutro Distributiva respecto a la suma de vectores: α (v +w) = α v + α w ; v, u V, α R Distributiva respecto a la suma de escalares: (α + β) v = α v + β v ; v V, α, β R Asociativa mixta: α (β v ) = (α β )v ; v V, α, β R Cristina Mª Méndez Suero 1/4

3 (V, + *, R) es un espacio vectorial, donde a la ley de composición interna la llamamos suma, a la ley de composición externa la llamamos producto por escalares, los elementos de V son vectores, y los de R escalares. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES Fácilmente, utilizando estas propiedades podemos demostrar. I. 0* v = 0, v V Dem: 1 * v = v = v + 0 (1 + 0) v = 1 * v + 0* v = v + 0 De donde se deduce que: 0 = 0 * v II. α * 0 = 0, α R Dem: α ( v + 0) = α * v + α * 0 α * v = α * v + 0 De donde se deduce que: α * 0 = 0 III. Si α * v = 0 α = 0, o v = 0 IV. (-α) * v = α * (- v) = - (α * v); v V, α R EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES. 1. R 2 ; R 3... son espacio vectorial: R 2 = { (x,y) \ x,y R }, definiendo las operaciones o (x,y) + (x, y )= (x+x, y+y ) o α (x,y) = (αx, αy) o queda definido el espacio vectorial, y fácilmente se comprueba que se cumplen el resto de las propiedades enunciadas. En general en R n si definimos las siguientes operaciones (suma y producto) (x 1, x 2, x n ) + (y 1, y 2, y n ) = (x 1 +y 1, x 2 +y 2, x n +y n ) α (x 1, x 2, x n ) = (αx 1, α x 2, α x n ) Con estas operaciones R n es un espacio vectorial. 2. Polinomios. El conjunto de polinomios con coeficientes de R es espacio vectorial, considerando las operaciones usuales de suma de polinomios y el producto de un escalar por un polinomio. Polinomios P n ={ polinomios de grado n } es un espacio vectorial. Cristina Mª Méndez Suero 2/4

4 3. Matrices M n*m ={ matrices de n filas y m columnas }, con la suma usual de matrices y el producto por número reales, es un espacio vectorial. COMBINACIONES LINEALES Dado un conjunto de vectores, todo vector de la forma: α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v α n v n se dice que es una combinación lineal de v 1, v 2, v 3 v n Se dice que un conjunto de vectores es un conjunto libre o que son linealmente independientes si: α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v α n v n = 0 Si esta condición no se cumpliera, decimos que los vectores forman un sistema ligado o que son linealmente dependientes. Según esto se deduce que: - Si tenemos 2 vectores linealmente dependientes, al añadir cualquier vector al conjunto el sistema seguirá siendo linealmente dependiente. Si alguno de los vectores del conjunto S n ={ v 1, v 2, v 3, v n } es el vector nulo, S es necesariamente un conjunto linealmente dependiente. Propiedades - { v, w } forman un sistema ligado si y sólo si uno de ellos es proporcional al otro. - { v 1, v 2, v 3, v n } es un conjunto ligado sí y sólo si uno de ellos se escribe como combinación lineal de los demás - Si un vector es combinación lineal de una familia de vectores linealmente independiente entonces dicha combinación lineal es única. - Todo vector no nulo de un espacio vectorial es un conjunto linealmente independiente - Todo sistema de vectores H que contenga al 0 es ligado - Si H es un sistema libre, todo subconjunto S H es también un sistema libre - Si H es un sistema que contiene a S H, sistema de vectores ligado, entonces H es ligado. Cristina Mª Méndez Suero 3/4

5 Sistema de generadores Un conjunto G = { v 1, v 2, v 3, v n } de vectores de V es un sistema de generadores de V cuando cualquier vector de V se puede expresar como combinación lineal de los vectores de G. BASE B EN UN ESPACIO VECTORIAL Se dice que { v1, v2, v3, vn } es una Base de V si cumple : 1. Todo vector de V es combinación lineal de vectores de B, es decir es un sistema generador de V 2. B es un sistema libre, es decir, es un sistema linealmente independiente. Ejemplo: En R 2, la base más fácil es { (1, 0 ), (0,1) } llamada Base canónica En general, en R n, la Base canónica sería { (1, 0,0, 0 ), (0,1,0 0) (0,0,0 n) } La Dimensión del espacio V es el número de vectores que tiene una base. Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. Cristina Mª Méndez Suero 4/4

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