Capítulo 7. Espacios vectoriales. 7.1 Definición y ejemplos

Transcripción

1 Capítulo Espacios vectoriales.1 Definición y ejemplos Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (que supondremos conmutativo es un conjunto no vacío junto con 1. una operación interna, +, a la que llamaremos suma, que cumple las siguientes propiedades: 1.a asociativa: u + (v + w (u + v + w, u, v, w E; 1.b conmutativa: u + v v + u, u, v E; 1.c elemento neutro: 0 E tal que u + 0 u, u E; 1.d para todo u E existe otro elemento, que llamaremos opuesto y denotaremos u, en E tal que: u + ( u 0; 2. y una aplicación: K E (λ, u E λu que denominaremos producto por escalares, que cumple: 2.a λ(u + v λu + λv, λ K, u, v E 2.b (λ + µu λu + µu, λ, µ K, u E; 2.c (λµu λ(µu, λ, µ K, u E; 2.d 1u u, u E, siendo 1 el elemento neutro del producto en K. A los elementos de E les llamaremos vectores, y a los de K, escalares. Usaremos la notación u v para la suma u + ( v. De la definición se deduce fácilmente: v E, 0v 0. En efecto: 0v (0 + 0v 0v + 0v 0v

2 Definición y ejemplos λ K, λ0 0. Se sigue directamente de: λ0 λ(0 + 0 λ0 + λ0 λ0 0. λv 0 λ 0 ó v 0. Es claro que si λ 0 entonces λ tiene un inverso, λ 1 K, y así: v 1v (λ 1 λv λ 1 (λv λ ( 1v v, v E. En efecto: v + ( 1v 1v + ( 1v (1 + ( 1v 0v 0 ( 1v v..1.1 Ejemplos Ejemplo El conjunto R 2 con las dos operaciones: (x,y + (z, t (x + z, y + t λ(x,y (λx,λy, es un espacio vectorial sobre R. Los elementos (vectores de R 2 se representan a menudo como puntos en el plano, y la suma así definida coincide con la ley del paralelogramo: y + t t y z x x + z Ejemplo 6 El conjunto K n, formado por las n uplas (x 1,...,x n con coordenadas x i K, con las operaciones: es un espacio vectorial sobre K. (x 1,...,x n + (y 1,...,y n (x 1 + y 1,...,x n + y n λ(x 1,...,x n (λx 1,...,λx n, Ejemplo Cualquier cuerpo K es espacio vectorial sobre sí mismo, si tomamos las operaciones suma y producto por escalares como la suma y el producto en el cuerpo. Los reales R forman un espacio vectorial sobre los racionales Q (así como C sobre R o sobre Q, con las operaciones habituales. Ejemplo 8 El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitas, y con coeficientes en un cuerpo K, es un espacio vectorial sobre K (con las operaciones habituales de n uplas definidas en el ejemplo 6 10

3 Espacios vectoriales Ejemplo 9 El conjunto de las matrices M m n (K con las operaciones suma y producto por escalares definidas en el tema anterior, forma un espacio vectorial sobre K. Ejemplo 0 El conjunto, K[x], de polinomios en una variable, x, con coeficientes en un cuerpo K, con las operaciones suma y producto por escalares habituales, es un espacio vectorial sobre K. Los polinomios en cualquier número de variables, K[x 1,x 2,...,x n ], con las operaciones suma y producto por escalares habituales, también forman un espacio vectorial sobre K. Ejemplo 1 Lo dicho en el ejemplo 0 se puede extender a los conjuntos de funciones con valores en un cuerpo K. Si denotamos por F K (X el conjunto de funciones con valores en el cuerpo K, y definimos las operaciones: suma: producto por escalares: (f + g F K (X definida por (f + g(x f(x + g(x λ f F K (X definida por (λf(x λf(x para cualesquiera f, g F K (X, x K, tenemos una estructura de espacio vectorial sobre K. Lo mismo podemos hacer para el conjunto de funciones continuas, C K (X, con valores en el cuerpo K. En ambos casos la función 0 : X K, definida por 0(x 0 K (el elemento neutro de la suma en K es el elemento neutro de la suma en el espacio vectorial. Quién es el opuesto de una función f?.2 Subespacios vectoriales Sea E un espacio vectorial sobre K. Un subconjunto no vacío F E se dice un subespacio vectorial de E si se verifican las siguientes condiciones: 1. u, v F u + v F; 2. u F, λ K λu F. Nota 1 Obsérvese que si F es un subespacio vectorial de un espacio vectorial, E, sobre K, entonces es un espacio vectorial sobre K. Basta verificar que existen elementos neutro y opuestos para la suma, pues el resto de propiedades las hereda del espacio vectorial E ( por qué?. Ahora bien, siendo F no vacío, existe un elemento, digamos u F. Por otra parte, siendo subespacio vectorial, por la propiedad 2 se tiene que u ( 1u, el opuesto de u, también pertenece a F, y así, u + ( u 0 F, por la propiedad 1. Hemos demostrado así el siguiente resultado Proposición Si E es un espacio vectorial sobre K, y F E es un subespacio vectorial, entonces F es un espacio vectorial sobre K. Ejemplo 2 Dado un sistema homogéneo con matriz de coeficientes A (a i,j M m n (K, el conjunto de soluciones S K n es un subespacio vectorial del espacio vectorial K n sobre K. En particular, S es un espacio vectorial sobre K (cf. ejemplo 8. Puesto que todo sistema homogéneo es compatible, es evidente que S (es no vacío. Por otra parte si (s 1,...,s n S y (t 1,...,t n S es porque: a i,j s j 0 a i,j t j, i 1,...,n. 10

4 Subespacios vectoriales Puesto que n es un número finito, podemos deducir las siguientes igualdades: a i,j (s j + t j a i,j s j + a i,j t j , i 1,...,n, en otras palabras (s 1,...,s n + (t 1,...,t n (s 1 + t 1,...,s n + t n S. También, para cualquier λ K tenemos que: a i,j (λs j λ a i,j s j λ0 0, i 1,...,n, de donde λ(s 1,...,s n (λs 1,...,λs n S. Ejemplo 3 El conjunto de soluciones de un sistema compatible no homogéneo no es un espacio vectorial. Compruébese que no se verifican ninguna de las dos condiciones para ser subespacio vectorial..2.1 Dependencia lineal Un vector u de un espacio vectorial E sobre K se dice que es combinación lineal de los vectores v 1,...,v k E, si existen escalares λ 1,...,λ k K tales que u λ 1 v λ k v k k λ j v j. De las condiciones 1 y 2 de subespacio vectorial resulta que toda combinación lineal de vectores v 1,...,v k F es un vector de F. La combinación con todos los escalares 0 produce el vector 0, aunque en ocasiones podemos conseguir el vector 0 como combinación lineal de otros vectores, sin tener que utilizar esta combinación trivial. Definición.2.1. De un conjunto de vectores {v 1,...,v k } en un espacio vectorial E se dice que son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos que nos da el vector 0 es con todos los escalares 0, es decir, si 0 λ 1 v λ k v k λ 1 λ 2 λ k 0. Decimos que un conjunto de vectores {v 1,...,v k } son linealmente dependientes si no son linealmente independientes, es decir, si existen escalares λ 1,..., λ k K, no todos nulos, con 0 k λ j v j. Ejemplo Decidir si los siguientes son vectores linealmente independientes de R : v 1 (0, 1, 3,, 2, v 2 (1, 2, 1, 1, 2, v 3 (1,, 2,, 0, v (2,, 1, 3, 2, v ( 2, 3,,,. Sean λ 1,..., λ R tales que: λ j v j (0, 0, 0, 0, 0, 106

5 Espacios vectoriales de otra manera, igualando coordenada a coordenada, tales que: λ 2 + λ 3 +2λ 2λ 0 λ 1 +2λ 2 +λ 3 +λ 3λ 0 3λ 1 λ 2 +2λ 3 + λ +λ 0 λ 1 λ 2 +λ 3 +3λ +λ 0 2λ 1 +2λ 2 +2λ λ 0 Se nos plantea así un sistema homogéneo en las variables λ 1, λ 2, λ 3, λ y λ, con matriz de coeficientes: A en la que aparecen como columnas los vectores v 1,..., v. Del carácter de este sistema homogéneo (y por tanto compatible, nos informa el rango de esta matriz: el sistema es compatible determinado rg(a ; en otro caso es indeterminado. Mediante operaciones elementales (por filas se tiene que: A Tenemos así que rg(a <, luego el sistema es compatible indeterminado, y en particular existe alguna solución no trivial. Por ejemplo: de hecho el conjunto de soluciones es: λ 1 0 λ, λ 1, λ 2 1 λ 3 S λ {(λ 1,λ 2,λ 3,λ,λ R : λ 1 0,λ 2 t,λ 3 t,λ t,λ 0} {(0, t, t,t, 0 R : t R}. A la vista de este resultado, deducimos que los vectores dados no son linealmente independientes. 10

6 Base de un espacio vectorial. Dimensión Podemos deducir algo más de este ejemplo. Si quitamos el vector v, y nos preguntamos sobre la dependencia lineal de los vectores: u 1 (0, 1, 3,, 2, u 2 (1, 2, 1, 1, 2, u 3 (1,, 2,, 0, u ( 2, 3,,, ; a la vista del cálculo anterior podemos asegurar que u 1, u 2, u 3 y u son vectores linealmente independientes de R. Los siguientes conceptos clarifican esta situación. Definición.2.2. Dado un subconjunto S de un espacio vectorial E sobre K, denotaremos por < S > al conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de S. Todo subespacio vectorial F E que contenga al conjunto S, deberá contener también al nuevo conjunto < S >; y se sigue fácilmente que el mismo < S > es un subespacio vectorial. Proposición 6 Si S es un subconjunto de un espacio vectorial E, el conjunto < S > es el menor subespacio vectorial de E que contiene a S. Si < S > F, diremos que S genera F, que F está generado por S, o bien que S es un sistema de generadores de F. Ejemplo El espacio vectorial R 2 está generado por los vectores (1, 0 y (0, 1, puesto que todo vector (x,y R 2 se puede escribir de la forma: En general, (x, y x(1, 0 + y(0, 1. K n < (1, 0, 0,...,0, 0, (0, 1, 0,...,0, 0,...,(0, 0, 0,...,0, 1 >. Ejemplo 6 Cualquier polinomio P K[x] de grado k se puede escribir como combinación lineal de los monomios 1, x, x 2,..., x k. Se tiene así que: K[x] < 1,x, x 2,...,x n,... >. En el espacio vectorial K[x] el conjunto de polinomios de grado menor o igual que un n fijo, es un subespacio vectorial sobre K. Coincide con el subespacio vectorial generado por {1,x,...,x n }. Ejemplo El subespacio vectorial de R 2 generado por el vector no nulo v (1, 3 es la recta que pasa por los puntos (0, 0 y (1, 3, cuya ecuación es: y 3x 3x y 0. En efecto, el subespacio vectorial < (1, 3 > es el conjunto: {(λ, 3λ R 2 : λ R} {(x,y R 2 : y 3x, x R}. Ejemplo 8 En general, si v (v 1,...,v n R n es un vector no nulo, el subespacio vectorial < v > es la recta que pasa por el origen y el punto de coordenadas (v 1,...,v n. Se denominan rectas vectoriales a las rectas que pasan por el origen. Siempre podemos dar un sistema homogéneo de n 1 ecuaciones lineales con rango n 1, para determinar una recta vectorial como el conjunto de soluciones del sistema. Por ejemplo, la recta vectorial de R 3 generada por el vector v (1, 0, 3, viene dada como el conjunto de soluciones del sistema homogéneo: { 3x z 0 sabrías indicar por qué? y 0 108

7 Espacios vectoriales.3 Base de un espacio vectorial. Dimensión Definición.3.1. Una base de un espacio vectorial E es un sistema de generadores linealmente independientes. Una diferencia fundamental entre conocer un sistema de generadores o una base para un espacio vectorial queda enunciada en el siguiente resultado: Proposición Un subconjunto B E es una base del espacio vectorial E si y sólo si todo u E se expresa de manera única como combinación lineal de elementos de B. Dem.: (. Dado u E, puesto que B es sistema de generadores de E, u es combinación lineal de elementos de B. Si tenemos dos expresiones de u: u j λ j v j, u j µ k v j (podemos completar con ceros para tener los mismos vectores de B en ambas expresiones, restando ambas tendríamos: 0 (λ j µ j v j. j Puesto que en B tenemos independencia lineal, esta igualdad sólo es posible si cada coeficiente es 0, de otra manera la expresión es única. (. El vector 0 E tendrá una expresión como vectores de B: 0 k λ j v k y estamos suponiendo que es única. Por tanto λ j 0, j, esto es B es un sistema de generadores linealmente independientes. Nota 2 Si S es linealmente independiente, S es una base de < S >. Definición.3.2. Si B {v 1,...,v n } es una base del espacio vectorial E, todo vector u E tendrá una expresión única: u λ j v j. Escribiremos entonces u (λ 1,...,λ n y llamaremos a los escalares λ 1,..., λ n las coordenadas de u en la base B. Ejemplo 9 Dados dos vectores u, v K n linealmente independientes, llamamos plano vectorial al subespacio < u, v > {λ u + µ v : λ, µ K}. Como en el caso de las rectas vectoriales, si tomamos coordenadas x 1,..., x n para representar los vectores de K n, podemos encontrar un sistema lineal homogéneo en las variables x 1,...,x n, que tenga como conjunto de soluciones el plano vectorial < u, v >. Un tal sistema tendrá rango n

8 Base de un espacio vectorial. Dimensión Calculemos, por ejemplo, un sistema lineal homogéneo cuyo conjunto de soluciones sea el subespacio vectorial de R 3 generado por los vectores (3, 1, 2 y (2, 2, 1. Si denotamos por x, y, z a las coordenadas de un vector v R 3, podemos escribir: < (3, 1, 2, (2, 2, 1 > {λ(3, 1, 2 + µ(2, 2, 1 : λ, µ K} {(3λ + 2µ, λ + 2µ, 2λ µλ, µ K} {(x,y, z R 3 : x 3λ + 2µ, y λ + 2µ, z 2λ µ}. Si queremos escribir el sistema homogéneo, debemos eliminar los parámetros λ y µ de esta descripción, y poder escribir toda la información en función de las variables x, y, z. Para ello bastaría con escribir λ y µ en función de estas variables, e igualar las distintas expresiones obtenidas. Se nos plantea así, resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las variables λ, µ: De las dos primeras ecuaciones, obtenemos: ( ( λ µ ( x y de las ecuaciones primera y tercera: ( ( λ µ y de las dos últimas: ( ( λ µ ( x z ( y z ( λ µ ( λ µ ( λ µ 3λ + 2µ x λ + 2µ y 2λ µ z ( 2 1 ( 1 2 ( ( x y ( x z ( y z λ µ 2x 2y x + 3y λ x + 2z 2x 3z µ λ y + 2z µ 2y z. Ahora bien, igualando las distintas expresiones que hemos encontrado para λ y µ se obtiene siempre la misma ecuación: x y z 0. Es directo comprobar que los vectores (3, 1, 2 y (2, 2, 1 son ambos solución de esta ecuación. Se comprueba también que, considerada como sistema de ecuaciones lineales homogéneo, su matriz de coeficientes tiene rango 1 3 2, como afirmábamos más arriba. Ejercicio. Repetir lo anterior para el plano generado por los vectores (1, 1, 2, 2, (3, 2,, 1 R. Los siguientes resultados van encaminados a probar que todo espacio vectorial de dimensión finita, tiene una base con un número finito de generadores. 110

9 Espacios vectoriales Proposición 8 Si E {0} es un espacio vectorial, B {v 1,...,v n } E una base (finita y S un sistema de generadores de E, entonces cardinal(s n. Dem.: Puesto que cada vector v i de la base está en E, si S {w 1,...,w k } genera a E entonces existen escalares λ i,j, para i 1,...,n, j 1,...,k tales que: k v i λ i,j w j. Por otra parte, {v 1,...,v n } es una base de E, y S E, luego existen únicos escalares a j,l para cada j 1,...,k, l 1,...,n de manera que: w j a j,l v l. Finalmente, de los mismos v i, escritos en la base {v 1,...,v n }, conocemos su expresión única: v i 1 v i 0v v i + + 0v n. En particular: k v i a j,l v l o, matricialmente: de donde: l1 ( λ i,j l1 k { 0 si i l λ i,j a j,l 1 si i l, l1 1 0 (λ i,j n k (a j,l k n n n n rg ((λ i,j (a j,l rg ((λ i,j k. Corolario 3 Si el espacio vectorial E tiene una base finita, todas las bases de E tienen el mismo número de vectores. Definición.3.3. La dimensión de un espacio vectorial E {0} sobre K, que denotaremos dim E, es el número de vectores en cualquiera de sus bases, si son finitas. Si no lo son, decimos que E es de dimensión infinita. Decimos del espacio vectorial {0} que tiene dimensión 0. Proposición 9 Si S {v 1,...,v m } es linealmente independiente y u / < S >, entonces S {u} es linealmente independiente. Dem.: Sea Si a 0, entonces existe su inverso a 1 1/a y: au + λ 1 v λ m v m 0. u λ 1 a v λ m a v m < S >, y así a 0. Pero entonces tendríamos: λ 1 v λ m v m 0 de donde λ i 0, i 1,...,m, pues {v 1,...,v m } es linealmente independiente. 111

10 Base de un espacio vectorial. Dimensión Proposición 10 Un conjunto de vectores, {v 1,...,v m }, es linealmente dependiente si y sólo si uno de ellos es combinación lineal de los otros. Dem.: (. Si son linealmente dependientes existen λ j, j 1,...,m, no todos nulos tales que: λ 1 v λ m v m 0. Supongamos que λ 1 0, entonces existe su inverso λ 1 1 1/λ 1 y podremos escribir: (. Si v 1 a 2 v a m v m entonces: v 1 λ 2 λ 1 v λ m λ 1 v m. 1 v 1 + ( a 2 v ( a m v m 0, es decir, {v 1,...,v m } son linealmente dependientes. Proposición 11 Todo espacio vectorial E {0} generado por un número finito de vectores, tiene una base finita. Dem.: Supongamos E < v 1,...,v m >. Si {v 1,...,v m } son linealmente independientes, tenemos ya una base finita. En caso contrario, existe uno que es combinación lineal de los demás (Prop. 10. Supongamos que es v 1, entonces podemos probar que: E < v 1,v 2,...,v m >< v 2,...,v m >. En efecto, si v 1 m a j v j, y u m λ j v j E < v 1,...,v m >, entonces: j2 u λ 1 v 1 + m λ j v j j2 ( m λ 1 a j v j + j2 m λ j v j j2 m (λ 1 a j + λ j v j < v 2,...,v m >. j2 Podemos repetir el proceso tantas veces como sea necesario hasta llegar a un sistema linealmente independiente. Teorema Si E {0} es un espacio vectorial, B {v 1,...,v n } E una base finita, y S un sistema de generadores finito de E, entonces existen n vectores linealmente independientes, w 1...,w n S tales que < w 1,...,w n > E. 112

11 Espacios vectoriales Dem.: Por Proposición 8, cardinal(s n. Sea w 1 S (w 1 0, puesto que w 1 E existen c j, j 1,...,n, escalares únicos, no todos nulos, tales que: w 1 c j v j. Supongamos que c 1 0 (si no es así reordenamos los vectores de la base, entonces se tiene que: a < w 1,v 2,...,v n >< v 1,v 2,...,v n >. Basta observar que b w 1 / < v 2,...,v n >. v 1 1 c 1 w 1 + j2 c j c 1 v j. En caso contrario, existirían escalares, únicos, b j, j 2,...,n con: w 1 b j v j e igualando con la expresión anterior de w 1 en la base {v 1,v 2,...,v n } se tendría: j2 c 1 v 1 + c j v j j2 b j v j 0 c 1 v 1 + (c j b j v j j2 j2 con al menos c 1 0, en contradicción con {v 1,...,v n } linealmente independientes. c < w 1,v 2,...,v n > base de E. Directo de lo anterior aplicando la Proposición 9. Hemos reemplazado así un elemento de la base original, por otro del sistema de generadores, obteniendo de nuevo una base. Supongamos ahora que hemos sustituido ya l vectores de la base {v 1,...,v n } por l vectores del sistema S (que reordenando podemos suponer son los primeros de cada sistema obteniendo una base: {w 1,w 2,...,w l,v l+1,...,v n } del espacio vectorial E. Así las cosas, del vector v l+1 E, sabemos que no es combinación lineal de {w 1,...,w l }. Pero < S > E, luego al expresar v l+1 como combinación lineal de S: v l+1 l λ j w j + m jl+1 λ j w j, no todos los últimos coeficientes pueden ser nulos. Renombrando como w l+1 el primer vector que nos aporta coeficiente no nulo entre estos últimos, tenemos de nuevo que: {w 1,...,w l,w l+1, v l+2,...,v n } es una base de E. El resultado queda así probado al aplicar inducción. 113

12 Expresión matricial para un cambio de base Nota 3 La dimensión de un espacio vectorial E {0} coincide con el número máximo de vectores linealmente independientes, y con el número mínimo de generadores. Corolario Todo conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial E {0} puede completarse hasta obtener una base. Proposición 12 Sea F un subespacio vectorial del espacio vectorial E. Si la dimensión de E es finita, la de F también lo es y: dim F dim E. Además, dim F dim E si y sólo si F E.. Expresión matricial para un cambio de base En un espacio vectorial, como conjunto, cada vector (elemento es único. Por otra parte, dado un espacio vectorial E si B {u 1,u 2,...,u n } es una base, de cada vector, u E, podemos encontrar una expresión única: u λ 1 u 1 + λ 2 u λ n u n o, de otra manera, u (λ 1,λ 2,...,λ n. Esta última representación solo tiene sentido si sabemos qué base estamos considerando. Decimos de (λ 1,...,λ n las coordenadas de u en la base B. Salvo para el vector nulo, es sencillo vislumbrar que para un mismo vector las coordenadas en distintas bases no deberían coincidir 1. Solo el cambiar el orden en los vectores de la base nos empieza a convencer de este hecho. Nos gustaría quedar a salvo de este peligro y una manera es aprender a, dadas las coordenadas de un vector en una base, no temer a que el problema necesite cambiar la base de referencia para facilitar su resolución (en el estudio de los movimientos en el plano y el espacio esto último es crucial. Pasemos a la parte práctica. Hemos de tener en cuenta que la búsqueda de las coordenadas de un vector en una base es un problema que plantea, de manera natural, un sistema de ecuaciones lineal. Sean B {u 1,u 2,...,u n } y B {v 1,v 2,...,v n } dos bases distintas para un mismo espacio vectorial E. Si (x 1,x 2,...,x n son las coordenadas de un vector u en la base B y, para el mismo vector, (y 1,y 2,...,y n son las coordenadas en la base B, se tiene una matriz A (que diremos la matriz de cambio de la base B a B, tal que A x 1 x 2. x n Si miramos esta como una ecuación en que la incógnita es la matriz A, en principio tendríamos que despejar n 2 elementos (las entradas de A. Esto nos exigiría tener otras tantas ecuaciones, es decir, conocer de antemano n 2 datos. Con una buena elección este problema es fácilmente resoluble: basta tomar los datos de una colección de n vectores independientes. Por ejemplo, si conocemos las coordenadas x s e y s de los vectores de una base. 1 Para dos bases distintas siempre habrá un vector con distintas coordenadas en cada una. y 1 y 2. y n 11

13 Espacios vectoriales Puestos a facilitar la resolución, tomemos los vectores de B, cuyas coordenadas y s son muy sencillas v 1 (1, 0, 0,...,0 B, v 2 (0, 1, 0,...,0 B,..., v n (0, 0, 0,...,1 B (el subíndice tras la colección de coordenadas indica qué base estamos considerando. Supongamos ahora que conocemos las coordenadas de estos mismos vectores en la base B (esto es lo habitual, digamos v 1 (v 1,1, v 2,1,...,v n,1, v 2 (v 1,2,v 2,2,...,v n,2,..., v n (v 1,n,v 2,n,...,v n,n (la extraña elección en la notación se entenderá enseguida. Planteando la ecuación matricial con A como incógnita, para cada uno de estos n datos tenemos: A v 1,1 v 2,1. v n, , A v 1,2 v 2,2. v n, ,..., A Todas ellas pueden comprimirse en una única expresión matricial: v 1,1 v 1,2 v 1,n v 2,1 v 2,2 v 2,n A v n,1 v n,2 v n,n v 1,n v 2,n. v n,n de la que (puesto que la matriz del término izquierdo es la identidad deducimos quién es A: v 1,1 v 1,2 v 1,n v 2,1 v 2,2 v 2,n A v n,1 v n,2 v n,n 1 la inversa de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la base B (de llegada en la base B (la original o de partida. Acabemos este elaborado (aunque, finalmente sencillo apartado afirmando que la matriz del cambio inverso, de B a B, es la inversa de la ahora obtenida. Ejemplo 60 Tomemos en R 2 la base canónica B {(1, 0, (0, 1} y la base B {(1, 1, (3, }. El vector u (1, 1 (coordenadas en B se expresa en B como u (y 1,y 2 B y 1 (1, 1 + y 2 (3,, y estas nuevas coordenadas, y 1, y 2, las calculamos con A ( ( multiplicando ( y1 y 2 11 ( ( 1 1 ( 2.

14 Operaciones con subespacios. Operaciones con subespacios Si E es un espacio vectorial y F, G son subespacios vectoriales, como subconjuntos podemos realizar las operaciones intersección y unión. Sobre la intersección se tiene: Proposición 13 F G es un subespacio vectorial de E. Su fácil demostración se deja como ejercicio. En cambio la unión F G no es, en general, un subespacio vectorial. La suma de un vector de F y uno de G puede no pertenecer ni a F ni a G. Ejemplo 61 En R 3 la unión de los subespacios F < (1, 1, 1 > y G < (1, 0, 1 > no contiene al vector (2, 1, 2 (1, 1, 1 + (1, 0, 1. Podemos, no obstante, tomar el subespacio vectorial generado por F G. Llamaremos a éste la suma de F y G, lo denotaremos F + G, y es fácil ver que: F + G {u + v : u F, v G}. Para espacios vectoriales de dimensión finita se tiene una fórmula que relaciona las dimensiones de estos espacios. Teorema (Fórmula de Grassmann Sean F y G dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E de dimensión finita. Entonces, F, G, F G y F + G son de dimensión finita y dim F + dim G dim(f + G + dim(f G. Dem.: Por la Proposición 12, todos los subespacios citados son de dimensión finita. Sea {u 1,...,u k } una base de F G (cf Prop. 11. Puesto que F G es subespacio de F y de G, podemos completar dicha base para obtener: B F {u 1,...,u k,v k+1,...,v n } base de F B G {u 1,...,u k,w k+1,...,v m } base de G. Queremos entonces probar que: dim(f + G m + n k. Puesto que todo vector u F es combinación lineal de los n vectores de B F, y todo vector v G lo es de los m vectores de G, es claro que cualquier vector en F + G será combinación lineal de los m + n k vectores en B F B G {u 1,...,u k,v k+1,...,v n,w k+1,...,w m }. Bastaría pues ver que este sistema de generadores de F + G es linealmente independiente. Consideremos pues una combinación para el vector 0: k λ j u j + jk λ j v j + m jk+1 µ j w j 0.

15 Espacios vectoriales Entonces y en particular: de otra manera: k λ j u j + jk+1 m jk+1 k a j u j λ j v j µ j w j m jk+1 m jk+1 k a j u j µ j w j 0. µ j w j F G Ahora bien, {u 1,...,u k,w k+1,...,w m } es base de G, luego esta última combinación sólo es posible con todos los coeficientes 0. Así µ j 0 para j k + 1,...,m, y la combinación inicial quedaría: k λ j u j + jk+1 λ j v j 0 cuya única solución es λ j 0 para j 1,...,n, al ser {u 1,...,u k,v k+1,...,v n } base de F. En definitiva, el sistema con m + n k vectores B F B G es base de F + G. Si F G {0}, diremos que la suma F +G es directa, lo que denotaremos por F G. La fórmula de Grassmann nos dice que la dimensión de una suma directa es la suma de las dimensiones de los sumandos. Si F y G son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, se tiene la siguiente caracterización: Proposición 1 La suma F + G es directa si y sólo si para todo vector w F + G existen vectores únicos u F y v G tales que w u + v. Dem.: (. Si tenemos dos expresiones u 1 + v 1 w u 2 + v 2 para un mismo vector w F + G con u 1,u 2 F y v 1,v 2 G, entonces: es decir u 1 u 2 y v 1 v 2. u 1 u 2 v 2 v 1 F G {0} (. Si w F G, w w serían dos expresiones para el mismo vector w con el primer sumando en F y el segundo en G. Como hemos supuesto que éstas son únicas, w 0. Dado un espacio vectorial de dimensión finita E con un subespacio vectorial F, podemos buscar el menor subespacio que sumado a F nos dé E. Llamaremos a un subespacio tal subespacio complementario de F, y el siguiente resultado nos prueba su existencia Proposición 1 Para todo espacio vectorial E de dimensión finita, y todo subespacio F, existe otro subespacio G tal que E F G. Dem.: Si {u 1,...,u m } es una base de F y la completamos a una base {u 1,...,u m,u m+1,...,u n } de E, el subespacio G < u m+1,...,u n > verifica lo enunciado. 11

16 Operaciones con subespacios Las operaciones recién definidas entre dos subespacios vectoriales se extienden a un número finito cualquiera de subespacios. Así, si F 1, F 2,..., F n son subespacios vectoriales de un espacio vectorial E sobre K, se definen los siguientes subespacios vectoriales: intersección (finita: F 1 F 2 F n, también denotado: suma (finita: F 1 + F F n. n i1 F i De la suma de subespacios vectoriales diremos que es suma directa, y lo denotaremos F 1 F n, o también: n F i, i1 si la expresión de cada vector de F F n como suma de vectores de cada sumando es única (generalizando la Proposición 1. Ejercicio 1 Demostrar que F F n es suma directa si y sólo para todo i 1,...,n se tiene F i (F F i 1 + F i F n {0}. 118