ESPACIOS VECTORIALES

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1 01 de Junio de 2011 ESPACIOS VECTORIALES (Clase 02) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela 1

2 Puntos a tratar 1. Combinación lineal 2. Subespacio vectorial 3. Ejemplos de subespacios 4. Intersección de subespacios 2

3 Combinación lineal Sea V un espacio vectorial real: es combinación lineal de cuando tales que:

4 Puntos a tratar 1. Combinación lineal 2. Subespacio vectorial 3. Ejemplos de subespacios 4. Intersección de subespacios 4

5 Algunos subconjuntos de un espacio vectorial V son a su vez espacios con las operaciones definidas en V. Estos subconjuntos se denominan subespacios. SUBESPACIO VECTORIAL. Subespacio vectorial es un subespacio vectorial de V, si es espacio vectorial con las operaciones definidas en V. Subespacios impropios Subespacios propios: cualquier subespacio vectorial de V distinto de y V. Antes de dar ejemplos de subespacios, es conveniente dar dos resultados que hacen relativamente sencillo determinar si un subconjunto S de V es subespacio vectorial de V.

6 Subespacio vectorial Un subconjunto S no vacío de V es s.v. de V si y sólo si cumple: Un subconjunto S no vacío de V es s.v. de V si y sólo si cumple:

7 Subespacio vectorial En la práctica, para demostrar que S NO es s. v. de V o o Basta con comprobar una de estas tres cosas

8 Puntos a tratar 1. Combinación lineal 2. Subespacio vectorial 3. Ejemplos de subespacios 4. Intersección de subespacios 8

9 Ejemplos de subespacios EJEMPLO 1. El conjunto de los números enteros no tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones habituales de suma y producto por un escalar real. El conjunto de todos los números enteros con las operaciones normales de suma y producto por un escalar no tiene estructura de espacio vectorial, ya que el producto no es una operación cerrada = 0.5 escalar entero no entero

10 Ejemplos de subespacios EJEMPLO 2. El conjunto de los polinomios de grado exactamente 2 no tiene estructura de espacio vectorial. El conjunto de los polinomios de grado exactamente 2 no tiene estructura de espacio vectorial, ya que la suma no es una operación cerrada. p(x) = x 2 q(x) = -x 2 +x+1 son polinomios de grado 2, pero su suma es un polinomio de primer grado p(x) + q(x) = x+1

11 Puntos a tratar 1. Combinación lineal 2. Subespacio vectorial 3. Ejemplos de subespacios 4. Intersección de subespacios 11

12 Intersección de subespacios Si S, T son subespacios de V, entonces: 1. S T es subespacio vectorial de V. 2. S T es el mayor de todos los subespacios de V incluidos en S y T. La unión de subespacios de V no es necesariamente un subespacio vectorial de V.

13 Pensamiento de hoy Las simplificaciones excesivas, progresivamente corregidas en el adelanto subsiguiente, representan el recurso más poderoso, si no es el único, hacia el dominio conceptual de lanaturaleza. Ludwig Von Bertalanffy 13

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