520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

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1 520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1

2 Definición de Cuerpo Sea K un conjunto y sean + : K K K, : K K K operaciones binarias internas. Se dice que (K, +, ) es un cuerpo si: a) + es asociativa: x + (y + z) = (x + y) + z x, y, z K. b) + es conmutativa: x + y = y + x x, y K. c) Existe un elemento neutro 0 K para +: x + 0 = x x K. d) x K existe un inverso aditivo x K tal que: x + ( x) = 0. 2

3 Definición de Cuerpo (...cont) e) es asociativa: x (y z) = (x y) z x, y, z K. f) Existe un elemento neutro multiplicativo 1 K tal que: x 1 = 1 x = x x K. g) x K, x 0, existe un inverso multiplicativo x 1 K tal que: x x 1 = x 1 x = 1. h) es distributiva con respecto a +: x (y + z) = x y + x z y (x + y) z = x z + y z x, y, z K. Definición Se dice que (K, +, ) es un cuerpo conmutativo si además de a) - h) se satisface: i) x y = y x x, y K. 3

4 Ejemplos Los números racionales (Q), reales (R) y complejos (C) son cuerpos conmutativos con la suma y producto que se indican: K x y x + y x y Q a b c d ad+bc bd R x y x + y xy C a + b i c + d i (a + c) + (b + d) i (ac bd) + (ad + bc) i ac bd K 0 1 x x x 1 (x 0) ( a) b Q 0 1 = = 1 a b 1 R 0 1 x x C i i a + b i ( a) + ( b) i a a 2 +b 2 + b a (a 0) x (x 0) ( ) b a 2 +b 2 a 2 + b 2 0 i 4

5 Definición de Espacio Vectorial Sean V un conjunto, K un cuerpo, y consideremos dos operaciones binarias: Suma (interna) + : V V V, (x, y) x + y Producto por escalar (externa) : K V V, (α, x) α x Se dice que (V, +, ) es un espacio vectorial sobre K, o bien un K-espacio vectorial, si: 1) + es asociativa y conmutativa. 2) Existe un elemento neutro θ V (vector nulo) para +: x + θ = x x V. 3) x V existe un inverso aditivo x V tal que: x + ( x) = θ. 4) Para todo α, β K y para todo x V : α (β x) = (α β) x. 5

6 Definición de Espacio Vectorial (... cont) 5) Para todo α K y para todo x, y V : α (x + y) = α x + α y. 6) Para todo α, β K y para todo x V : (α + β) x = α x + β x. 7) Para todo x V : 1 x = x (1 es la unidad de K). Observaciones Los elementos de V se llaman vectores. Todo espacio vectorial V es no vacío (θ V ). V := {θ} es el espacio vectorial trivial. V se dice un espacio vectorial real si K = R. complejo si K = C. 6

7 Notación. Dados x, y V, se define la diferencia: x y := x+( y). LEMA (Ley de Cancelación). x, y, z V ; x + y = x + z = y = z. TEOREMA. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entonces: P 1 ) el elemento neutro θ para la suma es único. P 1 ) para cada x V existe un único inverso aditivo x V. P 2 ) para todo α K: α θ = θ. P 3 ) para todo x V : 0 x = θ. P 4 ) para todo α K y para todo x V : ( α) x = (α x). P 5 ) α K, x V : (α x = θ ) ( α = 0 x = θ ). 7

8 EJEMPLO 1 (Ejemplos Simples). Sea K un cuerpo. Entonces K es espacio vectorial sobre sí mismo. Casos particulares: R es espacio vectorial real; C es espacio vectorial complejo. K n es un espacio vectorial sobre K. Casos particulares: R 2, R 3, R n (n N) son espacios vectoriales sobre R; C 2 es espacio vectorial sobre C; Q 2 es un espacio vectorial sobre Q. C también es espacio vectorial sobre R. Notar las diferencias en las definiciones de + y. 8

9 EJEMPLO 2 (Espacio de Soluciones de un Sistema Homogéneo). Sean K un cuerpo, m, n N, A := (a ij ) M m n (K) y definamos V := { (x 1,..., x n ) K n tal que (x 1,..., x n ) es solución de (1) } a 11 x a 1n x n = 0 (1) a m1 x a mn x n = 0 + : V V V : K V V (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) α (x 1,..., x n ) := (α x 1,..., αx n ) Entonces (V, +, ) es un espacio vectorial sobre K. 9

10 EJEMPLO 3 (Espacio de Polinomios). Sean K un cuerpo, n N y definamos V n := { p P(K) : grado de p n } + : V n V n V n p, q V n, p(x) = a 0 +a 1 x+ +a n x n, q(x) = b 0 +b 1 x+ +b n x n (p + q)(x) := (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 ) x + + (a n + b n ) x n x K : K V n V n α K, p V n, (α p)(x) := (α a 0 )+(α a 1 ) x+ +(α a n ) x n x K Entonces (V n, +, ) es un espacio vectorial sobre K. 10

11 EJEMPLO 4 (Espacio de Matrices). Sean m, n N, K un cuerpo, y definamos V := M m n (K) + : V V V A := (a ij ), B := (b ij ) V, A + B := (a ij + b ij ) : K V V α K, A := (a ij ) V, α A := (α a ij ) Entonces (V, +, ) es un espacio vectorial sobre K. 11

12 Subespacios Vectoriales Sea V un K-espacio vectorial y S V. Se dice que S es un Subespacio vectorial de V, si S es un espacio vectorial sobre K con las mismas operaciones binarias definidas en V. Observación V y {θ} se dicen subespacios triviales de V. Caracterización de Subespacios Sea V un K-espacio vectorial y S V. Entonces S es un subespacio de V si y sólo si: (i) S (ii) ( x, y S) : x + y S (S es cerrado con respecto a la suma) (iii) ( λ K) ( x S) : λ x S (S es cerrado con respecto a la multiplicación por escalar) 12

13 Ejemplos 1. El conjunto de soluciones en K n de un sistema homogéneo de n incógnitas, con coeficientes en K, es un subespacio vectorial de K n sobre K. 2. Sean a, b, c tres números reales. Entonces U = {(x, y, z) R 3 : ax + by + cz = 0} W = {(x, y, z) R 3 : x = az, y = bz} son subespacios de R {A M 2 2 (R) : A = A t } es un subespacio de M 2 2 (R) 4. {A M 2 2 (R) : A = A t } es un subespacio de M 2 2 (R). 5. {A M 2 2 (C) : A = Ā t } es un subespacio de M 2 2 (C), sobre el cuerpo K = R. 6. Sea n N, n 2. Entonces, K n 1 {0} es un subespacio vectorial de K n sobre K. 13

14 Ejemplos (...cont) 7. El conjunto S = {at 2 + bt + c P 2 (R) : a 0 } no es subespacio vectorial de P 2 (R), pues t 2 S, 1 R y ( 1)t 2 S, es decir, S no es cerrado para la multiplicación por escalar. 8. El conjunto T = {A M 2 2 (R) : det(a) = 0 } no es subespacio vectorial de M 2 2 (R). Basta tomar A = , B = Observar que A + B = I 2 / T, es decir, T no es cerrado para la suma.. 14

15 Subespacios Vectoriales Notables Sean V un K-espacio vectorial y U, W dos subespacios de V. Entonces los siguientes subconjuntos U W = { v V : v U v W } U + W = { v V : v = u + w, u U w W } son subespacios vectoriales de V, con las mismas operaciones binarias. Suma directa (interna) Sea V un K-espacio vectorial y U, W V dos subespacios de V. Se dice que U + W es suma directa si U W = {θ}, y se escribe U W. Equivalentemente: todo vector de U W se descompone, de manera única, como la suma de un vector de U con uno de W. 15

16 Observación Sean V un K-espacio vectorial y U, W dos subespacios de V. Entonces, en general: U W no es subespacio vectorial de V. Contra ejemplo Considerar las rectas que pasan por el origen: U = { (x, y) R 2 : y = 2x } W = { (x, y) R 2 : x = 2y } y sean u = (1, 2) U y v = (2, 1) W. Entonces u U W y v U W, pero u + v = (3, 3) / U W. Proposición U W subespacio vectorial de V U W W U 16

17 Ejemplos Si U y W son como en el contra ejemplo, entonces U + W = { (x, y) R 2 : (x, y) = s(1, 2) + t(2, 1) ; s, t R } Notar que U + W = R 2. Sean U = { p P 3 (R) : p(0) = 0, p (0) = 0 } Entonces W = { p P 3 (R) : p(x) = p( x) x R }. U W = { p P 3 (R) : ( b R) ( x R) : p(x) = b x 2 }. 17

18 Ejemplos... (cont) Descomposición de M n (R). Sean U = { A M n (R) : A = A } t y W = { A M n (R) : A = A } t. Entonces: U W = {θ} y U + W = M n (R), U W = M n (R). Descomposición de U. Sean D = { A = (a ij ) M n (R) : a ij = 0 si i j } Ũ = { A = (a ij ) M n (R) : a ii = 0 a ij = a ji i j}. Entonces: D Ũ = {θ} y D + Ũ = U, U = D Ũ. 18

19 Combinación Lineal Sea {x 1, x 2,...,x n } un subconjunto de un K-espacio vectorial V. Se dice que el vector x V es combinación lineal (c.l.) de estos n vectores si existen escalares α 1,...,α n K tales que: x = α 1 x 1 + α 2 x α n x n = n α i x i i=1 Observación El vector nulo es combinación lineal (c.l.) de cualquier conjunto de vectores de V. Sistema de Generadores Sea A un subconjunto de un K-espacio vectorial V. Se dice que A es un sistema de generadores de V si todo vector de V se puede escribir como c.l. de un número finito de vectores de A. 19

20 Ejemplos (i) Sean V = R 2 y v, d V. Entonces v es c.l de d si y sólo si v pertenece a la recta: L := { x V : x = t d, t R } (ii) Sean V = R 3 y v, a, b V. Entonces v es c.l. de los vectores a y b si y sólo si v pertenece al plano: Π := { x V : x = t a + s b, t, s R } (iii) Sean V := P(R) y A := {1, x, x 2, x 3,..., x n,...}. Entonces A es un sistema de generadores de V. 20

21 Ejemplos... (cont) (iv) Sean V = R 3 y a = (1, 0, 1), b = ( 1, 1, 0), c = (0, 0, 1), d = (1, 2, 3). Entonces: (1, 2, 0) = 1 a 2 b + 1 c + 0 d = 2 a + 0 b + 1 c 1 d (v) Sean V = P 2 (R) y p 1 (x) = (x 1) 2, p 2 (x) = 1 2 x + 1, p 3(x) = 5. Entonces: x 2 2x + 3 = 1 p 1 (x) + 0 p 2 (x) p 3(x) Observar que esta c.l es única. 21

22 Ejemplos... (cont) (vi) Sean V = M 2 (R) y los vectores A 1 = , A 2 = , A 3 = Entonces A = se puede expresar como c.l. de los vectores A 1, A 2 y A 3 de infinitas maneras. B = 2 10 no es c.l. de A 1, A 2 y A

23 Subespacio generado Sea A := {v 1, v 2,...,v r } un subconjunto de un K-espacio vectorial V, y sea S el conjunto de todas las combinaciones lineales de los r vectores de A, esto es: { } r S = v V : v = α i v i, α i K, i = 1,...,r. Proposición i=1 S es un subespacio vectorial de V, el cual se llama subespacio generado por el conjunto A. Observaciones A es un sistema de generadores de S. S es el subespacio más pequeño que contiene a A. Usualmente se denota: S = A = {v 1, v 2,...,v r } 23

24 Ejemplos 1. Sean V = R 3 y los vectores a = (0, 1, 2), b = ( 1, 3, 1) y c = (2, 11 2, 3). Entonces, S = { a, b, c} es un plano que pasa por el origen. 2. Sea V = M 2 (R) y los vectores (matrices) E 1 = , E 2 = E 3 = Entonces S = {E 1, E 2, E 3 } = {A V : A = A t } 3. Sea V = P 3 (R) y los vectores (monomios) p 1 (x) = x y p 2 (x) = x 3. Entonces: S = {p 1, p 2 } = {p V : p( x) = p(x) } 24

25 Dependencia e independencia lineal de vectores Sea A = {v 1, v 2,...,v r } un subconjunto de un K-espacio vectorial V. Se dice que A es linealmente dependiente (l.d.) si existen escalares no todos nulos α 1, α 2,...,α r K tales que: α 1 v 1 + α 2 v α r v r = θ Si A no es l.d., se dice que es linealmente independiente (l.i). Equivalentemente: α 1 v 1 + α 2 v α r v r = θ α 1 = α 2 = = α r = 0 Observación El hecho que A sea l.d. no implica que cada v i es c.l. de los demás. Contraejemplo: Sean V = R 3, a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0) y c = (0, 2, 0). Es inmediato que A = { a, b, c} es l.d., y sin embargo a { b, c}. Observar que sí existe al menos un vector de A que es c.l. de los otros. 25

26 Observación...(cont) Si A es un conjunto l.i. en V, entonces todo subconjunto de A es l.i. Si θ A entonces A es l.d. en V. Si A = { x }, con x θ, entonces A es l.i. El conjunto vacío es l.i. en V. Ejemplos Sean V = R 3 y los siguiente subconjuntos de V : A 1 = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } A 2 = { (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1) } A 3 = { (1, 1, 0), (0, 1, 1), ( 1, 0, 1) } A 1 y A 2 son l.i., A 3 es l.d en V. 26

27 Ejemplos...(cont) Sean V = P 2 (R) y los siguientes conjuntos de V : A 1 = { 3x 2 2x, x 2 + 1, 3x + 2, x 2 1 } A 2 = { 3x 2 2x, x 2 + 1, 3x + 2 } A 3 = { 1, x, x 2 } A 1 es l.d., A 2 y A 3 son l.i. en V. Sean V = C(R) y las funciones reales definidas por f(x) = x, g(x) = max{0, x}, x R h(x) = max{0, x}. x R El conjunto A = { f, g, h } es l.d. en V. Observar que f = 1 g + 1 h 27

28 Lema de Dependencia Lineal Sea V un K espacio vectorial. Si {v 1, v 2,..., v m } es linealmente dependiente en V y v 1 θ, entonces existe j {2, 3,..., m} tal que v j {v 1, v 2,..., v j 2, v j 1 } {v 1,..., v j 1, v j+1,...v m } = {v 1, v 2,..., v m } 28

29 Teorema Sea A un subconjunto finito de un K-espacio vectorial V. Las siguientes proposiciones son equivalentes: (a) A es l.i. (b) Toda c.l. de los vectores de A, cuyo resultado sea el vector nulo, es la trivial. (c) Ningún vector de A es c.l. de los demás. Análogamente, son equivalentes: (ã) A es l.d. ( b) Existe una c.l. de los vectores de A con escalares no todos nulos, cuyo resultado es el vector nulo. ( c) Algún vector de A es c.l. de los restantes. 29

30 Definición Se dice que un K- espacio vectorial es finito dimensional si posee un sistema de generadores de cardinalidad finita. Teorema En un espacio finito dimensional, la cardinalidad de todo conjunto linealmente independiente (l.i.) es menor o igual a la cardinalidad de cualquier sistema de generadores. Proposición Todo subespacio de un espacio finito dimensional es finito dimensional. 30

31 Definición: Base vectorial Sea V un K-espacio vectorial. El subconjunto ordenado de V dado por B = {v 1, v 2,..., v n } es una Base de V si: (i) B es l.i. (ii) V = B Proposición Sea V un K-espacio vectorial. Un subconjunto {v 1, v 2,..., v n } es una base de V si y sólo si cada vector v V puede escribirse de manera única como la c.l.: v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α n v n, donde α 1,...,α n K. Proposición Dos bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad. 31

32 Dimensión de un espacio vectorial Se llama dimensión de un K -espacio vectorial V a la cardinalidad de una base de V, se denota dim (V ). Proposición En un K-espacio vectorial V de dimensión n, todo subconjunto l.i. de cardinalidad n es una base de V. Observación Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n: 1. Todo subconjunto de cardinalidad mayor que n es l.d. 2. Si W es subespacio de V, entonces dim (W) n. 3. Si W es subespacio de V y dim (W) = n, entonces V = W. 32

33 Teorema de Grassmann Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, y sean U, W subespacios de V. Entonces: dim(u + W) = dim(u) + dim(w) dim(u W) Proposición (Suma directa de varios Subespacios) Sea V un K-espacio vectorial, y sean U 1, U 2,...U n subespacios de V. Entonces V = U 1 U2 Un (1) V = U U n (2) La escritura de θ es única en la suma U U n. ( θ = θ + + θ }{{} n ) 33

34 Proposición Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, y sean U 1, U 2,...U n subespacios de V, tal que: V = U U n dim(v ) = dim(u 1 ) + + dim(u n ) Entonces V = U 1 U2 Un Proposición Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, y sea U un subespacio de V. Entonces existe un subespacio W de V tal que V = U W 34

35 Coordenadas Dada una base β = {v 1,...,v n } de un K-espacio vectorial V, la escritura única de cada v V como c.l. de los vectores de β, esto es v = α 1 v α n v n, establece la identificación, vía la base β: v V [v] β = [α 1,...,α n ] K n En tal caso, se dice que [v] β es el vector coordenada de v en la base β. 35

36 Ejemplo En el espacio vectorial M 2 (R) considere los siguientes subespacios vectoriales de dimensión dos: S = 1 1, T = 1 0, Caracterice T. Encuentre una base para S + T. Es S T? 36

37 Solución T = a c b d M 2 (R) : α, β R, a c b d = α β De aquí se obtiene el sistema, con incógnitas α y β, que matricialmente lleva a: 1 1 a 0 3 b 0 2 c 1 1 d f 4 f a 0 3 b 0 2 c 0 0 d a f f a 0 3 b 0 0 c 2 3 b 0 0 d a 37

38 Luego la caracterización de T queda: T = a b M 2 (R) : d a = 0 c 2 c d 3 b = 0. Por otro lado, S + T = , , , Veamos si el conjunto l.i. a b c d =

39 a + b + c + d a + 2d a b + 3d a + b + c + d = a + b + c + d = 0 a b + 3d = 0 a + 2d = 0 a + b + c + d = /

40 Así c = 0, b = d, a = 2d, por lo cual el rango de la matriz es 3 y como d es la variable dependiente, la base queda , , Notemos que de lo anterior dim(s + T) = 3 y por teorema dim(s T) = dim(s + T) + dim(s) + dim(t) = 1. Finalmente, S T {θ} y la suma no es directa. 40