Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES

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1 Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique al menos uno de los axiomas que no se cumplen: a) V = M 2x2 con las operaciones usuales entre matrices: suma y producto por un escalar real. b) V=G el conjunto de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales. Con las operaciones usuales de suma entre polinomios y multiplicación por un escalar real. c) V =R 2 con las operaciones: ( x, y ) + ( x, y ) = ( y + y, x + x ) y k.( x, y) = ( ky; kx ) con kr d) V= R + {0} y las operaciones: x + y = x.y y k. x = x k con kr Ejercicio 2: Demuestre que en un conjunto V que tiene estructura de espacio vectorial real, se cumple: e) λ. 0 = 0, para todo λ de R, siendo 0 el elemento neutro de la adición usual en V. f) u + v = u + w, entonces v = w para todo u, v y w en V g) El elemento neutro respecto de la adición en V, es único. Ejercicio 3: Sea V un espacio vectorial real en el cual se han definido la suma y el producto por un escalar real usual y sea S un subconjunto del mismo. Determine utilizando la condición necesaria y suficiente, si S es un subespacio vectorial de V. a) V =M 2x2 y S = {AM 2x2 y A es inversible} b) V = M 3x3 y S = { A M 3x3 / A es matriz antisimétrica } c) V =R 2 y S el conjunto de los puntos de la recta x=y d) V = R 3 y S={ (x,y,z) R 3, z=0} e) V = R 2 y S = { (x,y) R 2, y=1)} f) V=P 2 (Siendo P n el conjuntos de polinomios de grado n) y S = P 1 g) V = R 3 y S el conjunto de los vectores del plano de ecuación vectorial (x,y,z)= α(1,0,1) + β(0,1,-1); α,β R h) V = R 3, S el conjunto de vectores de la recta de ecuación vectorial (x,y,z)= λ(1,1,3); λ R i) Sea F(R) el espacio vectorial de las funciones reales y S el conjunto de las funciones reales derivables

2 Ejercicio 4: Pruebe que el conjunto solución del sistema homogéneo AX= 0, A Mmxn, es un subespacio vectorial de R n. Ejercicio 5 : Halle en caso de existir: a) Una combinación lineal de los vectores u y v que exprese a w,siendo u = (1, 2, 3); v = ( 1, 3, 2) y w = (3, 7, 8) b) Una combinación lineal de h en función de f y g, siendo f, g, y h funciones reales 1 continuas, f ( x ) 2 x 3, g( x ) x y h( x ) x 3 01 c) Una combinación lineal de vectores fila de A 2x3 = que exprese al vector 222 v=(3,4,3) 01 d) Una combinación lineal de los vectores columna de A 2x3 = que exprese el 222 vector nulo de R 2 Ejercicio 6 : Dados los vectores u = ( 2, -3 ) ; v = ( 1, 0 ) ; w = ( -3, -1 ) a) Represente gráficamente en IR², b) Encuentre los escalares a y b que verifican que w = a u + b v. c) Grafique los vectores a u y b v y súmelos gráficamente. d) Determine la dependencia lineal de los vectores u, v, w. Ejercicio 7: Determine si los siguientes conjuntos de vectores generan el espacio vectorial V, en caso contrario, encuentre el subespacio generado por ellos. a) V =IR 3 i. { ( 2, 2, 3 ) ; ( - 1, - 2, 1 ) ; ( 0, - 2, 5 ) } ii. { ( 1, 2, - 1 ) ; ( 6, 3, 0 ) ; ( 4, - 1, 2 ), ( 2, - 5, 4 ) } iii. { ( - 1, - 2, 1 ) ; ( 0, - 2, 5 ) } b) V = M 2x2 1 i.,, ii.,,, 2 1 c) V = P 2

3 i. { x² + x ; x - 1 ; 1 + x² } ii. { 4 + x + x² ; 1 - x + 2 x² ; x² + 2 ; x + 2 } Ejercicio 8: Halle el conjunto generador de los siguientes espacios vectoriales con las operaciones usuales en cada caso y escalares reales, siendo V: a) V el plano de ecuación 2x+3y-z = 0 en R 3, b) V la recta de ecuación (x,y,z)=λ(2,3,2) en R 3 c) V el conjunto de matrices triangulares superior de orden tres Ejercicio 9: Sea el espacio vectorial R 2 I) H={(-1, 2)} II) H={(-1, 1); (0,1)} y H un conjunto de vectores: Sobre cada conjunto: a) Halle el conjunto S de los vectores de todas las combinaciones lineales de los vectores de H b) Grafique S en un sistema de ejes cartesianos. c) Considere un elemento cualquiera de S y grafíquelo expresado como combinación lineal de los vectores de H d) Verifique que el conjunto S es un subespacio vectorial de R 2 Ejercicio 10 : Complete si es posible, el conjunto de vectores H 0 ;... tal que el espacio S 1 generado por los vectores del conjunto H responda, en cada caso, a las características dadas: x t a) S es la recta de ecuaciones paramétricas y 0 z t b) S es el plano de ecuación c) S=R 3 d) S={0} ; t R

4 e) S es un plano con vector normal n=(0,1,0) y que contiene al origen. f) S es el conjunto generado por las columnas de una matriz A de orden 3, tal que el sistema AX = 0 tiene solución única y H es el conjunto de las columnas de A. Ejercicio 11: Determine si los siguientes vectores son linealmente independientes. En caso de no serlo, exprese uno de ellos como combinación lineal de los otros. a) {( 0, 2, - 1 ) ; ( 1, 0, 4 ); ( 1, 2, 0)} en R 3 b) {( 3, 2 ) ; ( - 1, 4); ( 4, - 2)} en R 2 c) {( 3, 2, - 1 ); ( 1, - 5, 4 ); ( 5, 9, - 6 )} en R 3 d) {(0, 0, 4); (0, 2, 0); ( 0, 1, -2)} en R 3 e) { 1 x² ; 1+x ; x² x ; x²+x } en P 2 Ejercicio 12: Dados los vectores ( 0, 0, k ) ; ( k, 1, 1 ) y ( 4, k, 0 ) en R 3, determine para qué valores de k los vectores son linealmente independientes y para cuáles son linealmente dependientes. Qué interpretación geométrica puede hacer de los vectores si son linealmente independientes?, y de los vectores si son linealmente dependientes? Ejercicio 13: Explique por qué los siguientes conjuntos de vectores no son base de los espacios vectoriales que se indican (resuelva por simple inspección) a) { ( 1, 0 ) ; ( 0, 3 ) ; ( 1, 1 ) } para R 2 b) { ( - 1, - 2 ) ; ( 1, 2 ) } para R 2 c) { ( 1, 1, 1 ) ; ( 1, 2, 3 ) para R 3 d) { 3 + x + x² ; 3 + x ; x 2 } para P 2 Ejercicio 14: Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son base del espacio vectorial P 3? a) {1; x² ; 1 + x ; x³ + x² } b) {1; x + x² ; x³ } Ejercicio 15: Determine una base y la dimensión del subespacio W del espacio vectorial V dado en cada caso. a) V = P 2; W es el subespacio de P 2 generado por: { x ; x 2 } b) V = R 4 ; W = {( x, y, z, t ) / x = z t ; y = z + t } c) V = R 3 ; W es el plano de ecuación x + y + z = 0 d) V = M 2x2 ; W = { AM 2x2 / A es matriz antisimétrica } Ejercicio 16:

5 Para V =R 3x2 y W = R 3. De un ejemplo de: a) Un subconjunto de vectores de V, que lo genere pero que no sea base b) Un subconjunto de vectores de V linealmente independientes pero que no sea base. c) Una base no canónica de V d) Un subespacio de V de dimensión 1 e) Un subespacio de V de dimensión 2 f) Un subespacio de V de dimensión 3. g) Un subconjunto de vectores de W, que lo genere pero que no sea base h) Un subconjunto de vectores de W linealmente independientes pero que no sea base. i) Una base no canónica de W j) Un subespacio de W de dimensión 1 k) Un subespacio de W de dimensión 2 l) Un subespacio de W de dimensión 3. Ejercicio 17: Sea el vector u = (- 1; 1), represéntelo en R 2, teniendo en cuenta la base canónica, dibuje en el mismo plano la base B = {(2, 1) ; (1, 2)} y determine las coordenadas del vector u en esta nueva base. Ejercicio 18: Encuentre el vector de coordenadas del vector v en la base B del espacio vectorial indicado: a) v = ( 3, - 1); B = { ( 1, 0 ) ; ( -2, 4 ) } de R 2 b) v = ( 3, - 2, 1); B = { ( 1, 2, 3 ) ; ( 1, 2, 0 ) ; ( 1, 0, 0 ) } de R 3 Ejercicio 19 : a) Sean B = {(1, 0, -1) ; (-1, 1, 0) ; (1, 1, 1)} una base ordenada de IR³ y sea u B =(6, 3,2) un vector de R³. Encuentre las coordenadas del vector u en la base canónica b) Halle las coordenadas de los vectores u C = (2,- 5) de R² en la base B={ (-1, 0) ; (3,2) } c) Halle las coordenadas del vector u C =(-3,2,5) de R³ en la base B = { (1,2,3) ; (1,1,0) ; (0,1,2 )} Ejercicio 20 : Argumente o refute cada una de las siguientes afirmaciones indicando si son verdaderas o falsas justificando cada una de sus respuestas: a) G = {(1, 0, -1) (1, 1, 1)} genera a R². b) El conjunto {(0,0)} en R 2 es un conjunto linealmente dependiente. c) El conjunto M = {A M 2x2 / det(a) = 0} es un subespacio vectorial de M 2x2. d) Si u y v son vectores linealmente independiente de R³, el conjunto { u, v, u x v } es una base de R³.

6 e) e) El conjunto M = {A M 2x2 / A es matriz diagonal} es un subespacio vectorial de M 2x2. f) S = {(1, 0, -1) (1, 1, 1)} es un subespacio de R 3 de dimensión 2. g) El conjunto solución del sistema homogéneo AX= B, A Mmxn, es un subespacio vectorial de R n.