ESPACIOS VECTORIALES

Transcripción

1 1. Introducción: 1.1 Grupo Abeliano 1. Cuerpo. Estructura de espacio vectorial 3. Propiedades 4. Subespacio vectorial 5. Combinación lineal de vectores 5.1 Propiedades 6. Dependencia e independencia lineal 6.1 Propiedades ESPACIOS VECTORIALES 7. Base y dimensión de un espacio vectorial 7.1 Propiedades 8. Cambio de base 9. Ejercicios

2 1. Introducción: 1.1. Grupo Abeliano: Se dice que un conjunto tiene estructura de grupo abeliano si en él se ha definido una ley de composición (*) que posee las siguientes propiedades: Interna: a, b A a * b A Asociativa: a, b, c A a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c) Neutralidad: a A, e A / a * e = e * a = a Simetría: a A, a A / a * a = a *a = e Conmutatividad: a, b A a * b = b * a 1.. Cuerpo: Se dice que un conjunto tiene estructura de cuerpo, si en él se han definido dos leyes de composición (* y #). La primera dota al conjunto de estructura de grupo, la segunda ley tiene las siguientes propiedades: Interna Asociativa Neutralidad Simetría: Excepto para el elemento neutro de la primera Distributiva respecto a la primera: a#(b*c)=(a#b)*(a#c) Conmutativa Todo esto confiere al conjunto estructura de Cuerpo conmutativo o Abeliano. Estructura de espacio vectorial: Se dice que un conjunto E es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, y se indica: (E,+,.K), si sobre E hay definidas dos operaciones: Una interna, generalmente la suma, que lo dota de estructura de grupo abeliano. Otra ley externa, definida como sigue: a i E y α i K se verifica : α.a = αa E, que posee las siguientes propiedades: 1. La ley externa es distributiva respecto a la interna: α.(a + b) = αa + αb. La ley interna es distributiva respecto a la externa: ( α + β ).a = αa + βa 3. La ley asociativa mixta: ( α. β ).a = α.( β.a) 4. La ley externa es neutra respecto al elemento neutro de la segunda operación del cuerpo K: 1.a = a Normalmente el cuerpo K es uno de los cuerpo Q, R, C. Trabajaremos en adelante, a menos que se indique lo contrario, sobre el cuerpo R de los números reales. Generalmente a los elementos de E se les llama vectores y a los de K escalares. Igualmente a los vectores los representaremos por letras latinas minúsculas y por letras griegas a los escalares.

3 Ejemplo: El conjunto de R x R x R= R 3 formado por todas las ternas posibles de números reales (a,b,c) con las operaciones: (a, b, c) + (a,b,c ) = (a + a,b + b,c + c ) α.(a, b, c) = ( αa, αb, αc) es un espacio vectorial sobre R. 3. Propiedades: En un espacio vectorial E sobre el cuerpo R, si 0 es el aditivo E y el 0 el de R, se verifican las siguientes propiedades : = i. α. 0 0 α R ii. iii. iv. 0. a = 0 a E (-1) a = a a E : vector opuesto α R y a E, siα. a = 0 α = 0 ó a = 0 (Se deduce de i e ii) (Ver apéndice A) elemento neutro del grupo 4. Subespacio Vectorial: Dado un espacio vectorial E sobre R, se llama subespacio vectorial de E a todo subconjunto no vacío V de E tal que cumpla: I. x, y V x + y V II. α R y x V α.x V Es inmediato comprobar que todo subespacio vectorial es, en particular, un espacio vectorial. Ejemplo: 3 El conjunto V = {(x, y,z) R / x = y = 0, z cualquiera} es un subespacio vectorial de R 3 pues no es vacío, ya que (0,0,1) a V y además cumple: x = (0,0, z) V Si x + y = (0,0, z + t) V α.x = (0,0, α.z) V y = (0,0, t) V (Ver apéndice B) Una condición equivalente a la definición de subespacio viene dada por la siguiente: La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto no vacío V de un espacio vectorial E sobre R sea un subespacio vectorial es que cualesquiera que sean x, y pertenecientes a V y cualesquiera α, β de R se cumpla: αx + βy V (III)

4 En efecto: a. Condición necesaria: Admitimos que V es un subespacio vectorial, hemos de demostrar (III): Si V es un subespacio vectorial: α R, x V αx V por (II) β R, y V αy V por (II) De donde por (I): αx + βy V q.e.d. b. Condición suficiente: Admitimos (III), hemos de llegar a que V es un subespacio vectorial: Si en (III) hacemos: α = β = 1 x + y V por (I) Si β = 0, α R, queda : αx V por (II) Ejemplo: Si E es un subespacio vectorial sobre R y V E, el conjunto: V = {x E/ x = λa, λ R} es un subespacio vectorial pues si: x, y V, α, β R se tiene : αx + βy V ya que : x V x = λa de donde : αx + βy = α( λa) + β ( λ a) = y V y = λ a, λ R ( α. λ)a + ( β. λ )a = y como : αλ + βλ R αx + βy V ( α. λ + β. λ )a q.e.d. 5. Combinación lineal de vectores: Sea E un espacio vectorial sobre R y sean v 1, v,..., v p un conjunto de elementos de E. Si para un vector x E es: x = λ v v 1 v1 + λ λp p se dice que x es combinación lineal de los vectores v 1, v,..., v p. Ejemplo: El vector (14,10,) de R 3, es combinación lineal de los vectores (4,,0) y (1,,1), pues se verifica: (14,10,) = 3(4,,0) + (1,,1) 5.1. Propiedad: Si v 1, v,..., v p es un conjunto de vectores de un espacio vectorial E, el conjunto V de todas las combinaciones lineales de los v i es un subespacio vectorial de E. El subespacio V de las combinaciones lineales de un conjunto de vectores v i se dice que es el espacio engendrado por dichos vectores y de estos se dice que son generadores de V. (Ver apéndice C)

5 6. Dependencia e independencia lineal: Se dice que un conjunto de vectores v 1, v,..., v p de un espacio vectorial E sobre R es linealmente independiente si la igualdad: r λ v + λ v λ v = 0 λ R (IV) 1 1 p p i implica: λ1 = λ = λ3 =... = λ p = 0 Pero si es posible que se verifique (IV) sin que todos los vectores vi son linealmente dependientes. λ i sean nulos, se dice que los Ejemplos: o En R los vectores v 1 = (1,3) y v = (-4,) son linealmente independientes: λ (1,3) (-4,) 1 + λ = (0,0) o Los vectores v 1 = (1,1,1), v =(,,) y v 3 =(,0,0) son linealmente dependientes 6.1. Propiedades: o Si en un conjunto de vectores v i existe un subconjunto de vectores linealmente dependientes, entonces el conjunto total es linealmente dependiente o o o o o La condición necesaria y suficiente para que un conjunto de vectores sea linealmente dependiente es que por lo menos uno de ellos sea combinación lineal de los restantes. De un conjunto de vectores linealmente independientes se dice que forman un sistema libre. Todo conjunto de vectores linealmente dependientes constituyen un sistema ligado. En cualquier e.v. E todo sistema de vectores que contenga al vector nulo es ligado. En efecto, si el conjunto es S={0,u,u 3,...,u p }, hay un vector que es c.l. de los demás, porque se cumple: 0=0 u +0 u u p Transformaciones elementales: Sea S={0,u,u 3,...,u p } un conjunto de vectores de un e.v. E. Se dice que en S se ha hecho una transformación elemental si se ha hecho alguna de las siguientes cosas: a. Cambiar el orden de los vectores b. Multiplicar algún vector por un escalar distinto de cero c. Sumar algún vector una c.l. de los demás. Sean dos sistemas de vectores S y S. Supongamos que S se ha obtenido aplicando en S alguna transformación elemental. Entonces: a. Si S es ligado, S también los es. b. Si S es libre, S también lo es. c. S y S generan el mismo subespacio.

6 7. Base y dimensión de un espacio vectorial: Sea E un e.v. sobre el cuerpo k. Se llama base de E a todo sistema de generadores linealmente independientes. La importancia de este concepto radica en que cualquier base de un e.v. E permite expresar numéricamente cada vector de E. Esto se debe al siguiente teorema: Sea B={u 1,u,...,u n } una base de un e.v. E. Entonces cada vector de E es c.l. de los vectores de B de una sola manera, es decir, para todo x E existen escalares únicos λ 1, λ,..., λ n tales que: x = λ 1u1 + λu λnun (V) Los únicos escalares que cumplen la condición (V) se llaman componentes del vector x respecto de la base B. Ejemplo: En el espacio R 3 el conjunto de vectores u 1 =(1,0,0), u =(0,1,0) y u 3 =(0,0,1) constituyen una base. En efecto: a. Son l.i.: λ (1,0,0) + λ (0,1,0) + λ (0,0,1) = (0,0,0) 1 λ1 = λ = λ3 = 0 (Ver apéndice D) b. Todo vector de R 3 es combinación lineal de los vectores u 1, u, u 3, puesto que dado un vector v=(a,b,c) R 3 se puede escribir: (a,b,c) = (a,0,0) + (0,b,0) + (0,0,c) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) Es decir: V = au 1 + bu + cu Propiedades: i. En cualquier e.v. existen bases. 3 ii. iii. iv. Teorema de la base: En un espacio vectorial de dimensión finita, todas las bases tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de un e.v. al número de vectores que tiene una base cualquiera del mismo. Por definición, consideramos: dim{0}=0 Si E es un e.v. de dimensión n se verifica: a. Cualquier conjunto con mas de n vectores es ligado. b. No existen en E sistemas generadores con menos de n vectores. c. Cualesquiera n vectores que sean l.i. forman una base de E. d. Di H es un subespacio de E, se cumple: Dim H dim E e. Si dim H = dim E H = E f. Una base de R n es la llamada base canónica si es de la forma: e 1 = (1,0,...,0) e = (0,1,...,0)... e n = (0,0,...,1)

7 8. Cambio de base: Sean B={u 1,u,...,u n } y B 1 ={v 1,v,...,v n } dos bases del espacio vectorial (E n, +,, K). Sea u un vector arbitrario de E. Nos proponemos encontrar una relación entre las coordenadas de u respecto de ambas bases. Para ello se necesitan conocer las componentes de los vectores de una base respecto de la otra. Sean éstas: u 1 = a 11 v 1 + a 1 v a 1n v n u = a 1 v 1 + a v a n v n... (VI) u n = a n1 v 1 + a n v a nn v n El vector u respecto de la base B se expresa de forma única: u= x 1 u 1 + x u x n u n Y respecto de B1: u = x 1 v 1 + x v x n v n Según (IV): u = x 1 (a 11 v 1 + a 1 v a 1n v n ) + x (a 1 v 1 + a v a n v n ) x n (a n1 v 1 + a n v a nn v n ) = (x 1 a 11 + x a x n a n1 )v 1 + (x 1 a 1 + x a x n a n )v (x 1 a 1n + x a n x n a nn )v n Luego: x 1 = x 1 a 11 + x a x n a n1 x = x 1 a 1 + x a x n a n... x n = x 1 a 1n + x a n x n a nn que son las relaciones que permiten relacionar las componentes de un mismo vector respecto de las bases B y B 1 (Ver apéndice E)

8 9. Ejercicios: 1) En el conjunto M = {m, n,p} se define la ley de composición * definida por la tabla: * m n p m p m n n m n P p n p m Determinar la estructura de M según la ley * ) En el conjunto M = {1,, 3, 4, 5, 6} con la operación &, definida por la tabla: & Determinar la estructura del conjunto M 3) En el conjunto A = {0,1,,3,4,5,6}, se definen dos operaciones * y según las tablas: * ) En el conjunto Z de los números enteros se define la operación, según: a * b = a + b + 1. Determinar la estructura de Z, según la operación *. 5) Comprobar si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales sobre los cuerpos que se indican: 3 a. E = { a + b + c 3 a, b, c Q sobrer b. E = {( a, b, c) / a, b, c Q, a + b = 3c} sobreq 6) Se considera el conjunto de números reales de la forma: a + b + c 3, siendo a,b,c números racionales. Se pide comprobar que con las operaciones definidas sobre el conjunto R de los números reales, este conjunto es un espacio vectorial sobre Q 7) R(x) es el e.v. de los polinomios en una indeterminada de coeficientes reales. Se consideran los siguientes subconjuntos: a. R 3 (x) = {p(x) R(x) / grad p(x) 3 ó p(x) = 0} b. R + 0 = {p(x) R(x) / p(x) sin coeficientes negativos

9 Probar que solo uno de estos subconjuntos es e.v. real para las operaciones que dotan a R(x) de estructura de e.v. 8) Las funciones: f 1 (x) = sen x; f (x) = cos x; f 3 (x) = sen x; f 4 (x) = cos ( x + π ) 3 son elementos de D (R,R) (conjunto de las funciones derivables de R en R). Dígase: a. Son linealmente independientes?. En caso negativo, Cuántas lo son?. b. Sea H el e.v. de D (R,R) generado por estas cuatro funciones. Indíquese una base de H, así como su dimensión. Cuál es la forma general de los elementos de H?. Dígase si f(x) = sen ( x π 4) es un elemento de H, indicando, en caso afirmativo, sus componentes en la base mencionada. 9) Sea R 3 (x) el subespacio de R(x) mencionado en el ejercicio 7. a. Indíquese una base sencilla del mismo así como su dimensión. b. Pruébese que los polinomios 1; (x + 1); (x + 1) ; (x +1) 3, son independientes. Dedúzcase que constituyen una base de R 3 (x). c. Hállense las componentes del polinomio p(x) = 1 + x + 3x 3 en la base anterior. 10) En R 6 se dan los vectores: u 1 (0,1,-1,,0,1); u (0,1,-1,,1,5); u 3 (1,4,0,3,6,-1); u 4 (,0,3,-,1,1). Averígüese si tales vectores forman un sistema libre. 11) Dado el espacio vectorial R 4, constituido por los elementos de la forma (a,b,c,d), siendo a,b,c y d números reales, sobre R. Indicar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de R 4. a. V = {(x,y,z,t) R 4 / x = y = z = t; x Z} b. V 1 = {(x,y,z,t) R 4 / x = z; y = t; x, y Z} c. V = {(x,y,z,t) R 4 / y = x; t = x + z} d. V 3 = {(x,y,z,t) R 4 / y + 3z = 0} e. V 4 = {(x,y,z,t) R 4 / 3x + y = 0} f. V 5 = {(x,y,z,t) R 4 / 3y = 1} 1) Cuál es el subespacio de R 4 engendrado por los vectores: a = (1,-1,0,0); b = {1,1,0,1); c = (,0,1,1). 13) Se dan tres vectores del espacio vectorial R 4 sobre R: a = (0,1,,3); b = (-1,1,,-); c = (-,-1,1,) los cuales generan un subespacio de R 4. Caracterizar los vectores de dicho subespacio. 14) Determinar λ y ρ de manera que el vector (λ,ρ,-37,-3) pertenezca al subespacio de R 4 engendrado por los vectores (1,,-5,3) y (,-1,4,7) 15) En R 3, buscar si el vector a = (3,3,3) pertenece al subespacio engendrado por los vectores v = (1,-1,) y w = (,1,3) y en caso afirmativo, hallar los escalares x e y tales que: a = x v + y w 16) Sean los vectores a = (1,0,,4); b = (0,1,9,); c = (-4,,10,-1). Calcular los escalares α y β tales que c = α a + β b

10 17) Sean: M = {(x,y,z) R 3 / x + y + z = 0} N = {(x,y,z) R 3 / x + y + z = 1} Uno de estos dos subconjuntos de R 3 es subespacio vectorial y el otro no lo es. Compruébese esto último y hállese una base y la dimensión de aquél de los dos que es un subespacio. 18) Dado el espacio vectorial de R 3 en R, determinar cuáles de los siguientes sistemas de vectores son linealmente independientes: a. (0,0,0); (1,1,1) b. (1,-,3); (3,-6,9) c. (1,-,3); (3,,1) d. (0,1,-); (1,-1,1); (1,,1) e. (0,,-4); (1,-,1); (1,-4,3) f. (1,-1,-1); (,3,1); (-1,4,), (3,10,8) 19) Averiguar qué valores reales de a hacen linealmente dependientes a los vectores de R 3 : v = (1,1,a); w = (,1,a); u = (0,1,1). 0) Demostrar que los vectores a = (x,y); b = (z,t) de R son linealmente dependientes si y sólo si se verifica que: x t + y z = 0. 1) Demostrar que los vectores (1,0,0), (0,,0), (0,0,-1) forman una base de R 3. ) Sea E un subespacio vectorial sobre R. Sea {u,w} una base de E. Se pide: a. Demostrar que los vectores: z = u + w y t = u w; constituyen una base de E. b. Descomponer el vector v = 3u + 5w en la base formado por los vectores z y t 3) Dado el espacio vectorial (C,+,.R), demostrar que: { a + bi, c + di} es una base si: a.d bc es distinto de cero. 4) Calcular el valor de a y b para que el vector v = (a,-,1,b), se pueda expresar como combinación lineal de los vectores u 1 (1,,3,4); u (-1,0,-,3). 5) Determinar a y b para que el vector v(a,1,b,-5), pertenezca al subespacio vectorial engendrado por los vectores: u 1 (,1,0,4); u (-1,1,-1,1). 6) Siendo u 1 (1,0,1); u (1,1,0); u 3 (0,1,1), demostrar que dichos vectores son linealmente independientes y expresar el vector u(1,,3), como combinación lineal de dichos vectores. 7) Sea {u 1,u,u 3 } un sistema de vectores de (R 3, +,.R), tales que: u 1 = (1,,3); u = (,1,0); u 3 = (-1,-1,0). Demostrar que forman una base de R 3 y calcular las componentes del vector (1,-1,0) respecto a dicha base.

11 8) Sea el espacio vectorial (V 3, +,.R), demostrar que si los vectores {u 1,u,u 3 } forman una base, también es una base la formada por los vectores {v 1,v,v 3 } donde: v 1 = u 1 + u v = u 1 u v 3 = u 3 9) a. Demostrar que el subconjunto de Q 4 formado por todas las cuatreñas (x,y,z,t) que satisfacen las relaciones: x + y + z + t = 0 x y + z t = 0 forman un subespacio vectorial de (Q 4, +,.Q). b. Probar que el sistema formado por los vectores: u 1 = (,1,-,-1); u = (1,0,-1,0) forman una base para dicho subespacio. c. Hallar las componentes de u = (4,1,-4,-1) respecto a dicha base. 30) a. Hallar las componentes del vector u = u 1 + u + u 3 respecto de la base {v 1,v,v 3 } siendo: u 1 = v + v 3 u = v 1 + v 3 u 3 = v 1 + v b. Hallar las componentes de v = v 1 v + v 3 respecto de la base {u 1,u,u 3 }. 31) Comprobar que el conjunto: V = {(a,b,0), a y b R} es un subespacio vectorial de (R 3, +,.R) y dar una base del mismo. 3) Determinar λ para que los vectores (,4,6), (1,,3) y (5,λ,15) estén en el mismo plano. 33) a. Comprobar que las matrices: forman una base del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos. 5 3 b. Calcular las componentes de la matriz respecto a esta base ) Calcular las ecuaciones paramétricas e implícitas del subespacio vectorial de (R 3, +,.R) generado por los vectores: v 1 (1,,3); v (,1,0); v 3 (3,3,3) 35) Encontrar una base para el subespacio vectorial de (R 3, +,.R) definido por la ecuación: x y + z = 0. Calcular las componentes del vector v(1,3,1) con respecto a esta base. 36) Escribir las ecuaciones paramétricas e implícitas del subespacio vectorial de (R 4, +,.R) generado por los vectores: v 1 (1,0,1,1); v (1,3,0,0).

12 37) Comprobar que los polinomios: 1, x, 1 - x, x 3 ; forman una base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a tres. 38) Hallar las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial de (R 4, +,.R) que tiene por ecuaciones implícitas: x + y z + t = 0 x y + z = 0

13 A. Página 3, ejemplo primero: I. Suma: 1. Interna, por definición APÉNDICE:. Asociativa: [(a,b,c) + (d,e,f)] + (g,h,i) = (a+b,b+e,c+f) + (g,h,i) = [(a+d)+g,(b+e)+h,(c+h)+i] = [a+(d+g),b+(e+h),c+(f+i)] = (a,b,c)+[(d,e,f)+(g,h,i)] 3. Neutralidad: E.N.: (0,0,0) (a,b,c)+(0,0,0) = (0,0,0)+(a,b,c) = (a,b,c) 4. Simetría: E.S.: (-a,-b,-c) (a,b,c)+(-a,-b,-c) = (0,0,0) 5. Conmutativa: (a,b,c)+(d,e,f) = (d,e,f) + (a,b,c): por ser números reales Por todo ello, la suma dota al conjunto R 3 de estructura de grupo abeliano. II.Producto: Interna, asociativa, neutralidad, simetría, conmutativa. Distributiva respecto a la suma. Por todo ello, R 3, posee estructura de cuerpo abeliano. III. Ley externa: α(a,b,c) = (αa,αb,αc) 1. Distributiva respecto de la interna (suma): α[(a,b,c)+(d,e,f)] = α(a+d,b+e,c+f) = α(a+d), α(b+e), α(c+f) = (αa+αd, αb+αe, αc+αf) = (αa, αb, αc)+( αd, αe, αf) = α(a,b,c)+ α(d,e,f).. Ley interna distributiva respecto de la externa: (α+β)(a,b,c) = (α+β)a, (α+β)b, (α+β)c = (αa+βa, αb+βb, αc+βc) = (αa,αb,αc)+(βa,βb,βc) = (α(a,b,c)+β(a,b,c)) 3. Ley asociativa mixta: αβ(a,b,c) = [(αβ)a, (αβ)b, (αβ)c] = [α(βa), α(βb), α(βc)] = α(βa,βb,βc) = α[β(a,b,c)] 4. La ley externa es neutra respecto el E.N. de la segunda operación de R: 1 (a,b,c) = (1 a,1 b,1 c) = (a,b,c)

14 B. Mas ejemplos de subespacios: El conjunto R(x) de los polinomios x con coeficientes reales, es un e.v. sobre R, para la suma y el producto de polinomios por números reales. Si n es un número natural, el conjunto R n (x) formado por el cero y los polinomios de grado n es un subespacio de R(x) Sea A R y F(A,R) el conjunto de las funciones reales de dominio A: F(A,R) es un e.v. sobre R para las operaciones: (f+g)(x) = f(x)+g(x) r f(x) = (rf)(x) x A El conjunto C(A,R), de las funciones continuas en A. Es un subespacio vectorial de F(A,R). El conjunto D(A,R) de las funciones derivables en A, es un subespacio de F(A,R) C. Página 5: sistemas generadores. El conjunto de vectores {1,i} {C, +,.R} forman un sistema de generadores, ya que para todo número complejo: a+bi, se verifica que: a+bi = a 1+bi También es un sistema de generadores el conjunto: {i,1+i,1-i}, puesto que: a+bi = αi + β(1+i) + γ(1-i) de donde: a = β + γ / α = α a + b α a b + α b = α+β-γ / β = γ = Luego: a + b α a b + α a + bi = α i + (1 + i) + (1 i) D. Página 6: Base {1-I,1+I} forman una base para (C,+,.R): a. Son linealmente independientes: λ 1 (1-i) + λ (1+i) = 0 + 0i (λ 1 +λ ) + (λ 1 +λ )I = 0 + 0i de donde: λ1 + λ = 0 λ1 = λ = 0 λ1 + λ = 0

15 b. Constituyen un sistema de generadores: a+bi C a+bi = λ 1 (1-i) + λ (1+i) a b λ1 + λ = a λ1 = a+bi = (λ 1 +λ ) + (-λ 1 +λ )i a + b λ1 + λ = b λ = No constituye una base el conjunto de vectores: {1,1+i,1-i} ya que no son linealmente independientes. E. Página 7, Cambio de base: Hallar las componentes del vector u = u 1 +u +u 3 respecto de la nueva base {v 1, v,v 3 } sabiendo que: u 1 = v +v 3 u = v 1 +v 3 (I) u 3 = v 1 +v u = u 1 +u +u 3 = (v +v 3 )+(v 1 +v 3 )+(v 1 +v )= v 1 +v +v 3 Hallar las componentes del vector v= v 1 -v +v 3 respecto de la base: {u 1,u,u 3 }. De (I) expresamos v 1, v y v 3 en función de u 1, u y u 3