2.1. Estructura algebraica de espacio vectorial

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1 Tema 2 Espacios vectoriales de dimensión finita 21 Estructura algebraica de espacio vectorial Los vectores libres en el plano son el sustento geométrico del concepto de espacio vectorial Se trata de segmentos orientados sobre los que definimos las operaciones de suma mediante la regla del paralelogramo y producto por un escalar dilatando o contrayendo el vector según la magnitud del escalar λ En lo que sigue estaremos interesados fundamentalmente en las propiedades de dichas operaciones La idea abstracta de espacio vectorial generaliza el concepto de vector a objetos matemáticos muy diversos, siempre y cuando entre ellos estén definidas dos operaciones, a las que llamaremos también suma y producto por un escalar y que pueden tener definiciones muy diversas que satisfagan las mismas propiedades que en el caso de vectores libres Definición 21 Sea un conjunto V a cuyos elementos llamaremos vectores y el cuerpo R de los números reales cuyos elementos llamaremos escalares Se suponen definidas dos operaciones en V

2 42 Espacios vectoriales de dimensión finita Suma de vectores + Producto por un escalar u, v V + u + v V ley de composición interna tal que λ R, u V λu V ley de composición externa tal que S1 u + v + w = u + v + w u, v, w V P1 λu + v = λu + λv λ R, u, v V S2 u + v = v + u u, v V P2 λ + µv = λv + µv λ, µ R, v V S3 V v + = v v V P3 λµv = λµv λ, µ R, v R S4 v V v v + v = P4 1 v = v v V Se dice que el conjunto V con las dos operaciones definidas arriba lo que representaremos como V, +,, satisfaciendo las ocho propiedades anteriores es un espacio vectorial sobre R Ejemplos de espacios vectoriales Los siguientes son los espacios vectoriales con los que vamos a trabajar durante el curso Para todos ellos, es un fácil ejercicio comprobar que se satisfacen las propiedades de espacio vectorial i V = R n Es el espacio vectorial con el que hemos trabajado en el tema 1 Obsérvese que las propiedades de la definición 21 coinciden con las ya enunciadas en la sección 11 Como veremos más adelante, este espacio vectorial es de particular importancia ii V = M m n R = {A = a i,j, a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n} Espacio vectorial de las matrices de tamaño m n con coeficientes reales Las operaciones suma y producto por un escalar se definen, para A = a ij, B = b ij, λ R como A + B = a ij + b ij λa = λa ij 21 El elemento neutro es la matriz O cuyos elementos son todos nulos y el opuesto de A es A = a ij iii V = P n R = {a + a 1 x + + a n x n px, a i R, i =, 1,, n} Apuntes de Álgebra Lineal A Rodríguez

3 21 Estructura algebraica de espacio vectorial 43 Es el espacio vectorial de los polinomios de grado n Las operaciones suma y producto por un escalar están definidas de la forma habitual, si px = a + a 1 x + + a n x n, qx = b + b 1 x + + b n x n, λ R, entonces p + qx = a + b + a 1 + b 1 x + + a n + b n x n λpx = λa + λa 1 x + + λa n x n 22 El elemento neutro será = + x + + x n y el elemento opuesto de px será px = a a 1 x a n x n iv V = P R Espacio vectorial de los polinomios de cualquier orden v V = CR = {f : R R, f continua} Espacio vectorial de las funciones continuas de variable real Las operaciones suma y producto por un escalar, para f, g V, λ R se definen como f + gx = fx + gx λfx = λfx 23 El elemento neutro es la función nula x = x y el opuesto de f es f con fx = fx x Otros espacios de funciones relacionados son V = Ca, b = {f : [a, b] R, f continua}, funciones continuas definidas en el intervalo [a, b], ó V = C n a, b = {f : [a, b] R, f de clase n}, funciones de clase n con n derivadas continuas en el intervalo a, b Veremos ahora algunas consecuencias de las propiedades que también llamaremos axiomas de espacio vectorial que, aunque puedan parecer evidentes, no lo son ya que las operaciones suma y producto por un escalar pueden estar definidas de muy diversas formas

4 44 Espacios vectoriales de dimensión finita Consecuencias de los axiomas de espacio vectorial C1 El elemento neutro de un espacio vectorial V es único C2 el elemento opuesto v de todo vector v V es único C3 v = v V C4 v V, 1v es su opuesto C5 λ = λ R Demostración C1 Supongamos que existen dos elementos neutros distintos 1 y 2 Entonces 1 elemento neutro = 1 2 elemento neutro = 2 } S2 1 = 2 C2 Supongamos que v tiene dos elementos opuestos distintos v 1 y v 2 Entonces v 2 + v + v 1 = v 2 + = v 2 24 Ahora bien, por otro lado v 2 + v + v 1 S1 = v 2 + v + v 1 = + v 1 = v 1 25 De las ecuaciones 24 y 25 se deduce inmediatamente que v 1 = v 2 C3 v P4 = 1 v = + 1v P2 = v + 1 v P4 = v + v v = C4 v + 1v P4 = 1 v + 1v P2 = 1 + 1v = v C3 = C5 λ = λ + P1 = λ + λ λ = 211 Dependencia e independencia lineal en un espacio vectorial Generalizaremos ahora los conceptos de dependencia e independencia lineal vistos en el tema 1 Todas las definiciones y observaciones vistas en dicho tema para vectores Apuntes de Álgebra Lineal A Rodríguez

5 21 Estructura algebraica de espacio vectorial 45 de R n siguen siendo válidas ahora para vectores de un espacio vectorial V cualquiera En particular, extenderemos la definición de independencia lineal 13 a la Definición 22 El conjunto de vectores S = {v 1, v 2,, v p } V es linealmente independiente si λ 1 v 1 + λ 2 v λ p v p = λ 1 = λ 2 = = λ p = 26 donde ahora el en la ecuación 26 representa el elemento neutro del espacio vectorial V De este modo, el estudio del rango de conjuntos de vectores dependerá del espacio vectorial en que se encuentren, como veremos en el siguiente ejemplo Ejemplo 21 Estudiar si los siguientes conjuntos de vectores son dependientes o independientes a S = {1 x, 2 + x 2, 2x + x 2 } P 2 R b S = {1, cos x, sen x} CR c S = {cos 2x, cos 2 x, sen 2 x} CR Solución a Realizaremos una combinación lineal de los vectores de S y la igualaremos al elemento neutro de P 2 R, es decir, el polinomio + x + x 2 λ 1 1 x + λ x 2 + λ 3 2x + x 2 = =λ 1 + 2λ 2 + λ 1 + 2λ 3 x + λ 2 + λ 3 x 2 = + x + x 2 27 Como dos polinomios coinciden si son iguales coeficiente a coeficiente, entonces 27 se satisface si y sólo si λ 1 + 2λ 2 = λ 1 + 2λ 3 = λ 2 + λ 3 = 28

6 46 Espacios vectoriales de dimensión finita que es un sistema compatible indeterminado de soluciones λ 1, λ 2, λ 3 = α2, 1, 1, α R, por lo que S es linealmente dependiente De la solución se desprende que 21 x+2x+x 2 = 2+x 2, por lo que si sustraemos de S el segundo polinomio obtenemos un conjunto S = {1 x, 2x + x 2 } que es linealmente independiente b Ahora tendremos que combinar linealmente las funciones de S e igualar al elemento neutro de CR función que toma el valor para todo x λ λ 2 cos x + λ 3 sen x = x 29 Pues bien, si la ecuación 29 ha de satisfacerse x, tendrá que hacerlo, en particular para x =, x = π/2 y x = π Introduciendo dichos valores de x en 29 obtenemos el sistema λ 1 + λ 2 = λ 1 + λ 3 = λ 1 λ 2 = x = x = π/2 x = π 21 cuya única solución es la trivial λ 1 = λ 2 = λ 3 =, por lo que S es linealmente independiente c Sin más que recurrir a la relación trigonométrica cos 2 x sen 2 x = cos 2x 211 es claro que S es linealmente dependiente Sustrayendo el primer vector obtenemos el conjunto S = {cos 2 x, sen 2 x} linealmente independiente 22 Espacios vectoriales de dimensión finita Bases Preguntémonos ahora cuántos vectores puede contener un conjunto linealmente independiente en un cierto espacio vectorial V Existirá un número máximo o tendremos conjuntos independientes arbitrariamente grandes? Eso dependerá del espacio Apuntes de Álgebra Lineal A Rodríguez

7 22 Espacios vectoriales de dimensión finita Bases 47 vectorial en cuestión De momento, nos restringiremos a aquellos espacios vectoriales en los que los conjuntos independientes sólo pueden contener un número finito de vectores Definición 23 Sea V, +, un espacio vectorial sobre R Se dice que V es un espacio vectorial de dimensión finita si satisface, además de las 8 propiedades dadas en 21, la siguiente propiedad a la que llamaremos axioma de dimensión finita 9 Existen n vectores linealmente independientes en V y todo conjunto de n + 1 vectores es linealmente dependiente En tal caso, diremos que la dimensión del espacio vectorial es n dim V = n 212 y llamaremos base de V a cualquier conjunto B = {v 1, v 2,, v n } de n vectores linealmente independientes de V Si un espacio vectorial no cumple la propiedad 9, diremos que es de dimensión infinita La dimensión de un espacio vectorial de dimensión finita es por tanto el máximo número de vectores linealmente independientes que podemos encontrar en V y coincide por definición con el número de elementos que contenga una base de V Veamos el ejemplo más sencillo de espacio vectorial de dimensión finita Ejemplo 22 Probar que R n dim R n = n es un espacio vectorial de dimensión finita y que Solución Hemos de probar que R n satisface el axioma de dimensión finita Para ello hemos de encontrar primero un conjunto linealmente independiente con n vectores Sea el conjunto B c = {e 1, e 2,, e n } R n, con e i =,,, i 1,, 213

8 48 Espacios vectoriales de dimensión finita formado por vectores cuyas componentes son todas nulas menos la componente i ésima cuyo valor es la unidad Veamos que se trata de un conjunto independiente En efecto λ 1 e 1 + λ 2 e λ n e n = λ 1, λ 2,, λ n = λ 1 = λ 2 = = λ n = 214 Veamos ahora que cualquier conjunto con un número superior de vectores es necesariamente linealmente dependiente En efecto, sea S = {v 1, v 2,, v n, v n+1 } R n un conjunto de n + 1 vectores en R n Podemos denotar sus componentes como v i = a i1, a i2, a in para i = 1,, n + 1 Si disponemos los n + 1 vectores en las filas de una matriz a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = 215 a n1 a n2 a nn a n+1,1 a n+1,2 a n+1,n n+1 n es claro que, según el teorema del rango, RgA n, por lo que RgS es, a lo sumo, n, por lo que no puede existir ningún conjunto con n+1 vectores linealmente independientes en R n Como, además, B c dado en 213 contiene n vectores independientes, podemos concluir que R n es de dimensión finita e igual a n Por definición B c será una base a la que llamaremos base canónica de R n Veamos ahora que las bases juegan un papel fundamental en los espacios vectoriales de dimensión finita Teorema 21 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con dim V = n y sea B = {v 1, v 2,, v n } una base de V Entonces, todo vector v V se puede representar de manera única como una combinación lineal de los vectores de B v = x 1 v 1 + x 2 v x n v n 216 A los coeficientes x 1, x 2,, x n de la combinación lineal 216 les llamaremos coordenadas de v en la base B Apuntes de Álgebra Lineal A Rodríguez

9 22 Espacios vectoriales de dimensión finita Bases 49 Demostración Consideremos el conjunto S = B {v} = {v 1, v 2,, v n, v} que, al contener n + 1 vectores en un espacio de dimensión n ha de ser linealmente dependiente Por dicho motivo, existirá una relación lineal entre sus vectores α 1 v 1 + α 2 v α n v n + βv = 217 en la que no todos los coeficientes serán nulos Es más, ha de ser necesariamente β ya que, en caso contrario, al ser v = la ecuación 217 se convierte en α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 218 de donde, al ser B un conjunto linealmente independiente tenemos λ 1 = = λ n =, por lo que la relación 217 se convierte en la trivial, en contra de lo supuesto Por tanto, al ser β podemos despejar v en 217 para obtener v = α 1 β v 1 α 2 β v 2 α n β v n 219 donde, si hacemos α i /β x i, i = 1,, n, obtenemos la relación 216 v = x 1 v 1 + x 2 v x n v n 22 Sólo falta probar entonces, que 22 es única Para ello supongamos que existe otra forma de representar v como combinación lineal de los vectores de B v = x 1 v 1 + x 2 v x n v n 221 Si ahora restamos 22 y 221 obtenemos x 1 x 1 v 1 + x 2 x 2 v x n x n v n = 222 Pero como B es linealmente independiente, entonces x 1 x 1 = x 2 x 2 = = x n x n =, por lo que x 1 = x 1, x 2 = x 2,, x n = x n y las dos representaciones 22 y 221 coinciden Si volvemos al ejemplo 22, la base canónica de R n nos permite escribir trivialmente

10 5 Espacios vectoriales de dimensión finita cualquier vector como combinación lineal de sus vectores, en efecto, es inmediato que x 1, x 2,, x n = x 1 e 1 + x 2 e x n e n 223 por lo que en la base canónica de R n las componentes de un vector coinciden con sus coordenadas Esta situación se complicará en otras bases El teorema 21 afirma entonces que en los espacios vectoriales de dimensión finita todo vector v se puede poner en correspondencia con un único vector de R n, compuesto por las coordenadas x 1, x 2,, x n de v en una cierta base B de V Esto hace que los espacios vectoriales de dimensión finita sean más manejables que los de dimensión infinita Ahora bien, cómo distinguir entre unos y otros? Comprobar que se cumple el axioma 9 de dimensión finita no es, en general, una tarea fácil Veremos ahora una forma alternativa Teorema 22 Sea V un espacio vectorial y sea B = {v 1, v 2,, v n } V tal que 1 B es linealmente independiente 2 Todo vector v V se puede expresar como combinación lineal de los vectores de B Entonces V es de dimensión finita con dim V = n y B es una base de V Demostración Demostraremos primero que V es de dimensión finita Consideremos un conjunto de m vectores S = {u 1, u 2,, u m } con m > n Veamos que ha de ser linealmente dependiente Para ello, planteemos la relación lineal λ 1 u 1 + λ 2 u λ j u j + + λ m u m = 224 Ahora bien, por hipótesis los vectores de S pueden expresarse como combinación lineal de los de B, es decir, existen coeficientes a ij tales que u j = a 1j v 1 + a 2j v a ij v i + + a nj v n, j = 1,, m 225 Apuntes de Álgebra Lineal A Rodríguez

11 22 Espacios vectoriales de dimensión finita Bases 51 Si introducimos las relaciones 225 en 224 obtenemos λ 1 a 11 v 1 + a 21 v a i1 v i + + a n1 v n + +λ 2 a 12 v 1 + a 22 v a i2 v i + + a n2 v n + +λ j a 1j v 1 + a 2j v a ij v i + + a nj v n λ m a 1m v 1 + a 2m v a im v i + + a nm v n = Si ahora reorganizamos 226 sacando factor común a los vectores de B obtenemos λ 1 a 11 + λ 2 a λ j a 1j + + λ m a 1m v 1 + +λ 1 a 21 + λ 2 a λ j a 2j + + λ m a 2m v 2 + +λ 1 a i1 + λ 2 a i2 + + λ j a ij + + λ m a im v i λ 1 a n1 + λ 2 a n2 + + λ j a nj + + λ m a nm v n = Ahora bien, como por hipótesis B es linealmente independiente, la relación 226 se satisfará si y sólo si λ 1 a 11 + λ 2 a λ j a 1j + + λ m a 1m = λ 1 a 21 + λ 2 a λ i a 2j + + λ m a 2m = λ 1 a i1 + λ 2 a i2 + + λ i a ij + + λ m a im = 228 λ 1 a n1 + λ 2 a n2 + + λ i a nj + + λ m a nm = que es un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones y m > n incógnitas que necesariamente ha de tener grados de libertad y por tanto soluciones distintas de la trivial En consecuencia S, es decir, cualquier conjunto con un número superior a n de vectores

12 52 Espacios vectoriales de dimensión finita es linealmente dependiente por lo que V es de dimensión n Por definición, entonces, B será una base de V Tenemos por tanto un método para identificar los espacios vectoriales de dimensión finita Como indica el teorema 22, consiste simplemente en encontrar una base de dicho espacio Apliquémoslo a algunos espacios conocidos Ejemplos de espacios vectoriales de dimensión finita Como ya hemos visto en el ejemplo 22, R n es de dimensión finita con dim R n = n Apliquemos ahora el teorema 22 para encontrar más espacios de dimenisón finita i V = M m n R Consideremos el conjunto j B c = {E ij, i = m,, j = 1,, n}, con E ij = 1 i integrado por m n matrices cuyos elementos son todos nulos salvo el elemento situado en la fila i y columna j que toma el valor 1 Es fácil ver que B c es linealmente independiente formando una combinación lineal de sus matrices e igualándolo a la matriz nula λ 11 λ 1j λ 1n m n λ ij E ij = λ i1 λ ij λ in = i=1 j=1 λ m1 λ mj λ mn de donde se desprende que ha de ser λ ij = para i = 1,, m, j = 1,, n Por otro lado, cualquier matriz A = a ij V se puede expresar como combinación Apuntes de Álgebra Lineal A Rodríguez

13 22 Espacios vectoriales de dimensión finita Bases 53 lineal de las matrices de B c con unos coeficientes que coinciden precisamente con los elementos de matriz a 11 a 1j a 1n m n a ij E ij = a i1 a ij a in = A a m1 a mj a mn i=1 j=1 por lo que se satisfacen las condiciones del teorema 22, V es dimensión finita con dim M m n R = m n 229 B c es una base, a la que llamaremos base canónica de V y a 11, a 12,, a 1n, a 21, a 22,, a 2n,, a m1, a m2, a mn R m n 23 son las coordenadas de la matriz A = a ij en B c ii V = P n R Consideremos ahora el conjunto de n + 1 polinomios B c = {1, x, x 2,, x n } 231 Probemos que es linealmente independiente igualando al polinomio nulo una combinación lineal de sus elementos λ 1 + λ 1 x + λ 2 x λ n x n = 1 + x + x x n Como para que dos polinomios coincidan han de ser iguales entre sí todos sus coeficientes, entonces λ = λ 1 = = λ n = Por otro lado, todo polinomio p V puede escribirse como una combinación lineal de los vectores de B c, en efecto n px = a i x i = a 1 + a 1 x + + a n x n 232 i= por lo que nuevamente se satisfacen las condiciones del teorema 22, V es de

14 54 Espacios vectoriales de dimensión finita dimensión finita con B c es una base que llamaremos canónica de V y dim P n R = n a, a 1,, a n R n son las coordenadas del polinomio px = a + a 1 x + + a n x n en B c Ahora bien, no todos los espacios vectoriales son de dimensión finita Existen espacios vectoriales donde podemos encontrar conjuntos ilimitados de vectores linealmente independientes, como veremos en el siguiente ejemplo Ejemplo 23 Comprobaremos que el conjunto de 2n + 1 funciones S = {1, cos x, cos 2x,, cos nx, sen x, sen 2x,, sen nx} CR 235 es linealmente independiente Para ello, como es habitual tomaremos una combinación lineal de sus elementos igualada a la función nula a 1+a 1 cos x + a 2 cos 2x + + a n cos nx +b 1 sen x + b 2 sen 2x + + b n sen nx = x 236 Multipliquemos ahora la expresión 236 por cos x e integremos en el intervalo [, 2π] a cos x+a 1 cos x cos x + a 2 cos x cos 2x + + a n cos x cos nx +b 1 sen x cos x + b 2 sen 2x cos x + + b n sen nx cos x dx = cos x dx Es claro que la integral de la derecha es trivialmente nula, mientras que la integral de la izquierda, por linealidad puede descomponerse en una suma de integrales a cos x dx+a 1 cos x cos x dx + a 2 cos x cos 2x dx + + a n cos x cos nx dx +b 1 sen x cos x dx + b 2 sen 2x cos x dx + + b n sen nx cos x dx = Apuntes de Álgebra Lineal A Rodríguez

15 23 Isomorfismo entre espacios vectoriales 55 Si ahora tenemos en cuenta que cos kx sen lx dx = k, l; cos kx cos lx dx = {, si k l sen kx sen lx dx = π, si k = l todas las integrales en la suma de arriba se anulan salvo la segunda, con lo que obtenemos πa 1 = a 1 = Es claro que, de haber multiplicado 236 por cos 2x, cos 3x,, cos nx, tras integrar habríamos obtenido respectivamente a 2 =, a 3 =,, a n = Si posteriormente multiplicamos por las funciones sen x, sen 2x,, sen nx, obtenemos b 1 = b 2 = = b n =, con lo que 236 queda reducida finalmente a a 1 = Ahora bien, al ser S linealmente independiente y ser n arbitrario podemos obtener conjuntos de funciones linealmente independientes con tantas funciones como queramos, por lo que el espacio vectorial V = CR es de dimensión infinita Análogo razonamiento puede hacerse para otros espacios vectoriales de funciones como V = Ca, b ó V = C n a, b Puede comprobarse asimismo que el espacio vectorial V = P R de los polinomios de cualquier orden es también de dimensión infinita ya que, como hemos probado anteriormente, el conjunto S = {1, x,, x n } es linealmente independiente, pero ahora n es arbitrario 23 Isomorfismo entre espacios vectoriales Probaremos ahora que todos los espacios vectoriales de la misma dimensión finita son, en un cierto sentido, el mismo En efecto, sea V un espacio vectorial con dim V = n y sea B = {v 1, v 2,, v n } una base ordenada esto es, si alteramos el orden de los vectores la consideramos una base distinta de V Como hemos visto, cualquier vector v V puede representarse en función de sus coordenadas en B de la forma v = x 1 v 1 + x 2 v x n v n 237 Pues bien, la relación 237 nos permite establecer una correspondencia biunívoca v V x 1, x 2,, x n B R n 238

16 56 Espacios vectoriales de dimensión finita entre vectores de V y vectores de R n, donde a cada vector de V se le hace corresponder un único vector de R n cuyas componentes son las coordenadas de v en B y viceversa Dicha correspondencia se conoce con el nombre de isomorfismo concepto que estudiaremos en profundidad en el tema 5 ya que es lineal, esto es, preserva la suma y el producto por un escalar En efecto, si v = x 1 v 1 + x 2 v x n v n, w = y 1 v 1 + y 2 v y n v n y λ R, entonces v + w = x 1 + y 1 v 1 + x 2 + y 2 v x n + y n v n λv = λx 1 v 1 + λx 2 v λx n v n por lo que el isomorfismo les hará corresponder v + w x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n B = x 1, x 2,, x n B + y 1, y 2,, y n B λv λx 1, λx 2,, λx n B = λx 1, x 2,, x n B Es decir, a la suma de dos vectores le hace corresponder la suma de los vectores de coordenadas y al producto de un vector por un escalar le hace corresponder el vector de coordenadas multiplicado por el escalar Se dice que dos espacios vectoriales son isomorfos si entre ellos se puede establecer un isomorfismo Hemos probado entonces el siguiente resultado Teorema 23 Todos espacio vectorial de dimensión n es isomorfo a R n Esta circunstancia nos permite trabajar con R n en lugar de con espacios vectoriales más complicados siempre y cuando éstos sean de dimensión n Por ejemplo, el resultado anterior nos asegura que M m n R es isomorfo a R m n, y P n R es isomorfo a R n+1 24 Cambios de base Ahora bien, el isomorfismo anterior tiene el inconveniente de que es dependiente de la base B de V elegida En efecto, sean B = {v 1, v 2,, v n } y B = {v 1, v 2,, v n } Apuntes de Álgebra Lineal A Rodríguez

17 24 Cambios de base 57 dos bases distintas de V Para cada vector v V existirán unas únicas coordenadas en cada base, es decir podemos expresarlo simultaneamente de las dos formas siguientes v = x 1 v 1 + x 2 v x n v n = x 1v 1 + x 2v x nv n 239 El problema radica ahora en determinar la relación entre las coordenadas x 1, x 2,, x n B de v en B y las coordenadas x 1, x 2,, x n B de v en B Veamos cómo hacerlo En primer lugar, por ser B una base de V todos los vectores del espacio, y en particular los vectores de B, se podrán expresar como combinación lineal de los vectores de B Es decir, existirán unas únicas coordenadas p ij tales que podemos escribir v 1 = p 11v 1 + p 21 v p i1 v i + + p n1 v n v 2 = p 12v 1 + p 22 v p i2 v i + + p n2 v n 24 v j = p 1j v 1 + p 2j v p ij v i + + p nj v n v n = p 1nv 1 + p 2n v p in v i + + p nn v n Si introducimos las relaciones 24 en 239 obtenemos

18 58 Espacios vectoriales de dimensión finita n v = x i v i =x 1 v 1 + x 2 v x n v n = x i i=1 i=1 j=1 n n p ji v j =x 1 p 11v 1 + p 21 v p i1 v i + + p n1 v n + +x 2p 12 v 1 + p 22 v p i2 v i + + p n2 v n + +x j p 1jv 1 + p 2j v p ij v i + + p nj v n + +x np 1n v 1 + p 2n v p in v i + + p nn v n Ahora bien, si en la expresión anterior sacamos factor común a los vectores de B o, lo que es lo mismo, intercambiamos el orden de los sumatorios obtenemos n n v = x i p ji v j = j=1 i=1 =x 1p 11 + x 2p x jp 1j + + x np 1n v 1 + +x 1 p 21 + x 2 p x j p 2j + + x n p 2nv 2 + +x 1p i1 + x 2p i2 + + x jp ij + + x np in v i + +x 1 p n1 + x 2 p n2 + + x j p nj + + x n p nnv n = n x j v j j=1 bases Es decir, hemos encontrado la siguiente relación entre las coordenadas en ambas Apuntes de Álgebra Lineal A Rodríguez

19 24 Cambios de base 59 x 1 = x 1 p 11 + x 2 p x j p 1j + + x n p 1n x 2 = x 1 p 21 + x 2 p x j p 2j + + x n p 2n x i = x 1p i1 + x 2p i2 + + x jp ij + + x np in x n = x 1 p n1 + x 2 p n2 + + x j p nj + + x n p nn 241 que son las llamadas ecuaciones de cambio de base También pueden reescribirse matricialmente como coord coord coord coord coord de v de v 1 de v 2 de v n de v en B en B en B en B en B x 1 x 2 x i x n = p 11 p 12 p 1n p 21 p 22 p 2n p i1 p i2 p n1 p n2 p nn p in x 1 x 2 x i x n o bien, si llamamos P = p ij, X x 1 x 2 x n T, X x 1 x 2 x n T, finalmente resulta X = P X 242 donde hemos introducido la matriz P llamada matriz de cambio de base de B a B Por comparación con 24 se observa que las columnas de la matriz P de cambio de base de B a B contienen las coordenadas de los vectores de la base B expresados en la base B Cuál sería la matriz Q de cambio de base de B a B? Para calcularla necesitaríamos conocer las coordenadas de los vectores de B expresados en B es decir, la relación inversa a 24 y disponerlas en columnas Eso daría lugar a la ecuación X = QX 243

20 6 Espacios vectoriales de dimensión finita Ahora bien, comparando 242 y 243 obtenemos X = P X = P QX X P Q = I Q = P de donde se deduce que toda matriz de cambio de base es invertible y su inversa es la matriz que realiza el cambio en sentido contrario Ejemplo 24 Sea V = M 2 R el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 de coeficientes reales a Demostrar que { } B = 3 4, 4 1, 1 2, es una base de V b Hallar las coordenadas de la matriz A = en dicha base Solución a Para ser una base de V, B ha de ser linealmente independiente y contener tantos vectores como la dimensión del espacio Como dim M 2 R = 2 2 = 4 y B tiene 4 matrices sólo nos queda probar que es linealmente independiente Para ello formaremos una combinación lineal de sus vectores igualada a la matriz nula λ λ λ λ Una vez hecha la combinación lineal 246 se reduce a = 246 λ1 + 2λ 2 + 3λ 3 + 4λ 4 2λ 1 + 3λ 2 + 4λ 3 + λ 4 3λ 1 + 4λ 2 + λ 3 + 2λ 4 4λ 1 + λ 2 + 2λ 3 + 3λ 4 = 247 Como dos matrices son iguales si coinciden elemento a elemento, entonces ha de Apuntes de Álgebra Lineal A Rodríguez

21 24 Cambios de base 61 ser λ 1 + 2λ 2 + 3λ 3 + 4λ 4 = 2λ 1 + 3λ 2 + 4λ 3 + λ 4 = 248 3λ 1 + 4λ 2 + λ 3 + 2λ 4 = 4λ 1 + λ 2 + 2λ 3 + 3λ 4 = Sistema cuya única solución es la trivial, luego B es independiente b Conocemos las coordenadas de la matriz A en la base canónica de M 2 R { } 1 1 B c =,,, ya que trivialmente coinciden con los elementos de matriz 1 1 A = es decir, A 1, 1, 1, 1 Bc Cuáles serán sus coordenadas en la base B? Para ello tendremos que plantear la combinación A = = a b c d que nos lleva al sistema de ecuaciones a + 2b + 3c + 4d = 1 2a + 3b + 4c + d = 1 3a + 4b + c + 2d = 1 4a + b + 2c + 3d = cuya única solución a = b = c = d = 1/1 nos da las coordenadas de A en B : A 1/1, 1/1, 1/1, 1/1 B Alternativamente, podríamos haber planteado las

22 62 Espacios vectoriales de dimensión finita ecuaciones de cambio de base entre B y B, que son de la forma a b c = d } {{ 3 } P a b c d 253 donde la matriz P de cambio de base en 253 que coincide con la matriz asociada de los sistemas 248 y 253 contiene en sus columnas las coordenadas de los vectores de B en B c que, de nuevo trivialmente coinciden con sus elementos de matriz ya que B c es la base canónica Si en 253 hacemos a = b = c = d = 1 obtenemos de nuevo el sistema 252 cuya solución nos da las coordenadas de A en B Apuntes de Álgebra Lineal A Rodríguez

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