Álgebra Lineal Ma1010

Transcripción

1 Álgebra Lineal Ma1010 Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas ITESM Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 1/80

2 En esta lectura se introduce el concepto de espacio vectorial. Este concepto generaliza los vectores n y las matrices m n. El concepto es abstracto y por tanto tiene alguna dificultad natural; se le pide al estudiante un esfuerzo extra para pensar las cosas desde un punto de vista general. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 2/80

3 Ejemplo Considere el sistema homogéneo: x+2y +w +2t = 0 2x+4y z +w +5t = 0 x+2y +z +2w +t = 0 z +w t = 0 Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 3/80

4 Ejemplo Considere el sistema homogéneo: x+2y +w +2t = 0 2x+4y z +w +5t = 0 x+2y +z +2w +t = 0 z +w t = 0 Si utilizamos el orden x y z w t la matriz aumentada reducida queda: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 3/80

5 Ejemplo Considere el sistema homogéneo: x+2y +w +2t = 0 2x+4y z +w +5t = 0 x+2y +z +2w +t = 0 z +w t = 0 Si utilizamos el orden x y z w t la matriz aumentada reducida queda: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 3/80

6 De donde la fórmula para las soluciones son: x y z = y 0 +w 1 +t 1 w t Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 4/80

7 De donde la fórmula para las soluciones son: x y z = y 0 +w 1 +t 1 w t Si utilizamos el orden x y w z t la matriz aumentada reducida queda: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 4/80

8 De donde la fórmula para las soluciones son: x y z = y 0 +w 1 +t 1 w t Si utilizamos el orden x y w z t la matriz aumentada reducida queda: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 4/80

9 De donde la fórmula para las soluciones son: x y z = y 0 +z 1 +t 0 w t Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 5/80

10 De donde la fórmula para las soluciones son: x y z = y 0 +z 1 +t 0 w t Si utilizamos el orden x y t z w la matriz aumentada reducida queda: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 5/80

11 De donde la fórmula para las soluciones son: x y z = y 0 +z 1 +t 0 w t Si utilizamos el orden x y t z w la matriz aumentada reducida queda: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 5/80

12 De donde la fórmula para las soluciones son: x y z = y 0 +z 1 +w 0 w t Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 6/80

13 De donde la fórmula para las soluciones son: x y z = y 0 +z 1 +w 0 w t Si utilizamos el orden y x z w t la matriz aumentada reducida queda: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 6/80

14 De donde la fórmula para las soluciones son: x y z = y 0 +z 1 +w 0 w t Si utilizamos el orden y x z w t la matriz aumentada reducida queda: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 6/80

15 De donde la fórmula para las soluciones son: x y 1/2 1/2 1 z = x 0 +w 1 +t 1 w t Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 7/80

16 De donde la fórmula para las soluciones son: x y 1/2 1/2 1 z = x 0 +w 1 +t 1 w t Todas las soluciones previas aparentant ser diferentes, sin embargo, todas representan el mismo conjunto solución. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 7/80

17 De donde la fórmula para las soluciones son: x y 1/2 1/2 1 z = x 0 +w 1 +t 1 w t Todas las soluciones previas aparentant ser diferentes, sin embargo, todas representan el mismo conjunto solución. Necesitamos una teoría que nos dé confianza en los resultados obtenidos; Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 7/80

18 De donde la fórmula para las soluciones son: x y 1/2 1/2 1 z = x 0 +w 1 +t 1 w t Todas las soluciones previas aparentant ser diferentes, sin embargo, todas representan el mismo conjunto solución. Necesitamos una teoría que nos dé confianza en los resultados obtenidos; qué nos indique las cosas que permanecen y las cosas que pueden cambiar en las múltiples respuestas válidas en que podemos obtener. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 7/80

19 Además de los conjuntos solución en, existen otras áreas de la ingeniería que requieren un apoyo matemático: las matrices tienen su importancia y uso en ingeniería industrial y en control; las series trigonométricas en procesamiento de señales; los conjuntos de polinomios y las series de potencias para los IFIs, etc.. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 8/80

20 Además de los conjuntos solución en, existen otras áreas de la ingeniería que requieren un apoyo matemático: las matrices tienen su importancia y uso en ingeniería industrial y en control; las series trigonométricas en procesamiento de señales; los conjuntos de polinomios y las series de potencias para los IFIs, etc.. Cómo desarrollar una teoría comodín que se pueda aplicar a diferentes contextos sin ningún cambio importante? Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 8/80

21 Si se hace una encuesta entre los matemáticos sobre que palabras describen a las matemáticas se notará que la mayoría responde al menos dos palabras claves: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 9/80

22 Si se hace una encuesta entre los matemáticos sobre que palabras describen a las matemáticas se notará que la mayoría responde al menos dos palabras claves: abstracción y generalización. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 9/80

23 Si se hace una encuesta entre los matemáticos sobre que palabras describen a las matemáticas se notará que la mayoría responde al menos dos palabras claves: abstracción y generalización. La abstracción tiene que ver con representar cantidades por medio de símbolos Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 9/80

24 Si se hace una encuesta entre los matemáticos sobre que palabras describen a las matemáticas se notará que la mayoría responde al menos dos palabras claves: abstracción y generalización. La abstracción tiene que ver con representar cantidades por medio de símbolos,y la generalización tiene que ver con la construcción de estructuras o teorías que engloban ciertas cosas o hechos conocidos. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 9/80

25 Si se hace una encuesta entre los matemáticos sobre que palabras describen a las matemáticas se notará que la mayoría responde al menos dos palabras claves: abstracción y generalización. La abstracción tiene que ver con representar cantidades por medio de símbolos,y la generalización tiene que ver con la construcción de estructuras o teorías que engloban ciertas cosas o hechos conocidos. La que nos interesa más para abrir este tema es el aspecto de la generalización. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 9/80

26 Si se hace una encuesta entre los matemáticos sobre que palabras describen a las matemáticas se notará que la mayoría responde al menos dos palabras claves: abstracción y generalización. La abstracción tiene que ver con representar cantidades por medio de símbolos,y la generalización tiene que ver con la construcción de estructuras o teorías que engloban ciertas cosas o hechos conocidos. La que nos interesa más para abrir este tema es el aspecto de la generalización. La generalización también tiene que ver con la economia del trabajo realizado para investigar, y con determinar cuáles son los elementos mínimos responsables de que ciertos resultados ocurran. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 9/80

27 ara entender como ocurre la generalización en nuestra materia recordemos algunos conceptos hemos visto en diferentes cursos de matemáticas: 1. vectores en el espacio n dimensional ( ), 2. matrices con entradas reales (M n m ), 3. polinomios reales, 4. series de pontencias, 5. series trigonométricas, y 6. soluciones a ecuaciones diferenciales lineales homogéneas entre otros elementos. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 10/80

28 El objetivo que se persigue en el presente tema consiste en introducir aquella estructura abstracta que engloba las anteriores construcciones, Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 11/80

29 El objetivo que se persigue en el presente tema consiste en introducir aquella estructura abstracta que engloba las anteriores construcciones, y qué resultados se pueden obtener en lo general sin importar a cual de las estructuras específicas se haga referencia. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 11/80

30 El concepto de operación Antes que el concepto de espacio vectorial está el concepto de operación. Veamos algunos ejemplos de operaciones para ir entendiendo que las operaciones de suma o de multiplicación por escalares podrían ser diferentes de las que conocemos. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 12/80

31 El concepto de operación Antes que el concepto de espacio vectorial está el concepto de operación. Veamos algunos ejemplos de operaciones para ir entendiendo que las operaciones de suma o de multiplicación por escalares podrían ser diferentes de las que conocemos. Lo que es importante recordar es el uso de los paréntesis Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 12/80

32 El concepto de operación Antes que el concepto de espacio vectorial está el concepto de operación. Veamos algunos ejemplos de operaciones para ir entendiendo que las operaciones de suma o de multiplicación por escalares podrían ser diferentes de las que conocemos. Lo que es importante recordar es el uso de los paréntesis : sirven para indicar un orden en las operaciones. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 12/80

33 Ejemplo Suponga que V = R 2 y que se define la operación: (x,y) (z,w) = (5x+z,2w +2y) Si a = ( 2, 3),b = ( 1,3),c = ( 1, 1) Calcule: 1. a b 2. b a 3. (a b) c 4. a (b c) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 13/80

34 Ejemplo Suponga que V = R 2 y que se define la operación: (x,y) (z,w) = (5x+z,2w +2y) Si a = ( 2, 3),b = ( 1,3),c = ( 1, 1) Calcule: 1. a b = (5 (x = 2)+(z = 1),2 (w = 3)+2 (y = 3)) = ( 11,0) 2. b a = (5 ( 1)+( 2),2 ( 3)+2 ( 1)) = ( 7,0) 3. (a b) c = ( 11, 0) ( 1, 1) = (5 ( 11)+( 1),2 ( 1)+2 (0)) = ( 56, 2) 4. a (b c) = ( 2, 3) ( 6,4) = ( 16,2) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 13/80

35 Ejemplo Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: (x,y) (z,w) = (2x,3w +y) y t (x,y) = (2tx,3ty) Si a = (1,0),c 1 = 1,c 2 = 4 Calcule: 1. (c 1 +c 2 ) a 2. (c 1 a) (c 2 a) 3. (c 1 c 2 ) a 4. c 1 (c 2 a) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 14/80

36 Ejemplo Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: (x,y) (z,w) = (2x,3w +y) y t (x,y) = (2tx,3ty) Si a = (1,0),c 1 = 1,c 2 = 4 Calcule: 1. (c 1 +c 2 ) a = 3 (1,0) = (2( 3)(1),3( 3)(0)) = ( 6,0) 2. (c 1 a) (c 2 a) = (2,0) ( 8,0) = (4,0) 3. (c 1 c 2 ) a = 4 (1,0) = ( 8,0) 4. c 1 (c 2 a) = 1 ( 8,0) = ( 16,0) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 14/80

37 Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 15/80

38 Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 15/80

39 Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada mulitplicación de un escalar por un vector. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 15/80

40 Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada mulitplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representará como u v. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 15/80

41 Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada mulitplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representará como u v. La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c u. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 15/80

42 Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada mulitplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representará como u v. La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 15/80

43 (A1) ara cualquiera dos vectores u y v en V u v V Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 16/80

44 (A1) ara cualquiera dos vectores u y v en V u v V Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 16/80

45 (A1) ara cualquiera dos vectores u y v en V u v V Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma: La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 16/80

46 (A2) ara cualquiera dos vectores u y v en V u v = v u Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 17/80

47 (A2) ara cualquiera dos vectores u y v en V u v = v u Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 17/80

48 (A2) ara cualquiera dos vectores u y v en V u v = v u Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma: El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 17/80

49 (A3) ara cualquiera tres vectores u, v y w en V u (v w) = (u v) w Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 18/80

50 (A3) ara cualquiera tres vectores u, v y w en V u (v w) = (u v) w Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 18/80

51 (A3) ara cualquiera tres vectores u, v y w en V u (v w) = (u v) w Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma: En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 18/80

52 (A4) Existe un único vector en V que se simbolizará por 0 y que se llamará el vector cero tal que para cualquier vector u V se cumple u 0 = 0 u = u Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 19/80

53 (A4) Existe un único vector en V que se simbolizará por 0 y que se llamará el vector cero tal que para cualquier vector u V se cumple u 0 = 0 u = u Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 19/80

54 (A4) Existe un único vector en V que se simbolizará por 0 y que se llamará el vector cero tal que para cualquier vector u V se cumple u 0 = 0 u = u Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro: Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 19/80

55 (A5) ara cualquier vector u V existe un único vector también en V y simbolizado por u que cumple u ( u) = ( u) u = 0 Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 20/80

56 (A5) ara cualquier vector u V existe un único vector también en V y simbolizado por u que cumple u ( u) = ( u) u = 0 Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 20/80

57 (A5) ara cualquier vector u V existe un único vector también en V y simbolizado por u que cumple u ( u) = ( u) u = 0 Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos: Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con él da el neutro aditivo. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 20/80

58 (M1) ara cualquier vector u V y para cualquier escalar c R se cumple c u V Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 21/80

59 (M1) ara cualquier vector u V y para cualquier escalar c R se cumple c u V Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 21/80

60 (M1) ara cualquier vector u V y para cualquier escalar c R se cumple c u V Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares: El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 21/80

61 (M2) ara cualquiera dos vectores u y v en V, y para cualquier escalar c en R se cumple c (u v) = (c u) (c v) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 22/80

62 (M2) ara cualquiera dos vectores u y v en V, y para cualquier escalar c en R se cumple c (u v) = (c u) (c v) Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores): Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 22/80

63 (M2) ara cualquiera dos vectores u y v en V, y para cualquier escalar c en R se cumple c (u v) = (c u) (c v) Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores): En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y después sumar los resultados. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 22/80

64 (M3) ara cualquier vector u V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple (a+b) u = (a u) (b u) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 23/80

65 (M3) ara cualquier vector u V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple (a+b) u = (a u) (b u) Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma escalares. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 23/80

66 (M4) ara cualquier vector u V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple a (b u) = (ab) u Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 24/80

67 (M4) ara cualquier vector u V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple a (b u) = (ab) u Esta propiedad se conoce como la ley asociativa del producto entre escalares y el producto de escalar con vector. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 24/80

68 (M4) ara cualquier vector u V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple a (b u) = (ab) u Esta propiedad se conoce como la ley asociativa del producto entre escalares y el producto de escalar con vector. Lo llamaremos simplemente como la propiedad asociativa del producto. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 24/80

69 (M5) ara cualquier vector u V se cumple 1 u = u Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 25/80

70 Cuando se elabora una argumentación en algún cálculo o demostración uno debe hacer referencia a los axiomas. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 26/80

71 Cuando se elabora una argumentación en algún cálculo o demostración uno debe hacer referencia a los axiomas. or ellos es que es conveniente y elegante llamarlos por su descripción. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 26/80

72 Cuando se elabora una argumentación en algún cálculo o demostración uno debe hacer referencia a los axiomas. or ellos es que es conveniente y elegante llamarlos por su descripción. Se le pide al alumno que entienda la lógica de cada uno de ellos y memorice sus descripciones. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 26/80

73 Ejemplo Indique cual opción enuncia la propiedad distributiva de la suma de escalares sobre el producto. 1.- (c+k) x = (c x) (k x) 2.- x 0 = 0 x = x 3.- x y = y x 4.- c x es vector 5.- x ( x) = ( x) x = x y es vector Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 27/80

74 Ejemplo Indique cual opción enuncia la propiedad distributiva de la suma de escalares sobre el producto. 1.- (c+k) x = (c x) (k x) Respuesta 2.- x 0 = 0 x = x 3.- x y = y x Conmutatividad 4.- c x es vector Cerradura 5.- x ( x) = ( x) x = x y es vector Cerradura Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 27/80

75 Ejemplo Indique cual opción describe la propiedad: x 0 = 0 x = x 1.- Cerradura del producto por escalares. 2.- Existencia del neutro de la suma. 3.- Distributividad del producto sobre la suma de vectores. 4.- Distributividad de la suma de escalares sobre el producto. 5.- Asociatividad del producto por escalares. 6.- Existencia del inverso aditivo Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 28/80

76 Ejemplo Indique cual opción describe la propiedad: x 0 = 0 x = x 1.- Cerradura del producto por escalares. 2.- Existencia del neutro de la suma. Respuesta 3.- Distributividad del producto sobre la suma de vectores. 4.- Distributividad de la suma de escalares sobre el producto. 5.- Asociatividad del producto por escalares. 6.- Existencia del inverso aditivo Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 28/80

77 Ejemplo Apesar que nuestro interés no es hacer demostraciones matemáticas si es conveniente entender cómo se construyen. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 29/80

78 Ejemplo Apesar que nuestro interés no es hacer demostraciones matemáticas si es conveniente entender cómo se construyen. El siguiente argumento prueba que el vector cero es único. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 29/80

79 Ejemplo Apesar que nuestro interés no es hacer demostraciones matemáticas si es conveniente entender cómo se construyen. El siguiente argumento prueba que el vector cero es único. Es decir, que si hay otro vector que cumple la propiedad que define al neutro debe ser el mismo neutro. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 29/80

80 Ejemplo Apesar que nuestro interés no es hacer demostraciones matemáticas si es conveniente entender cómo se construyen. El siguiente argumento prueba que el vector cero es único. Es decir, que si hay otro vector que cumple la propiedad que define al neutro debe ser el mismo neutro. Justifique los pasos. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 29/80

81 Suponga que x+y = x Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 30/80

82 Suponga que x+y = x Entonces por (a) existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 30/80

83 Suponga que x+y = x Entonces por (a) existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x)+(x+y) = ( x)+x Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 30/80

84 Suponga que x+y = x Entonces por (a) existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x)+(x+y) = ( x)+x or la propiedad (b) se deduce entonces Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 30/80

85 Suponga que x+y = x Entonces por (a) existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x)+(x+y) = ( x)+x or la propiedad (b) se deduce entonces (( x)+x)+y = ( x)+x Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 30/80

86 Suponga que x+y = x Entonces por (a) existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x)+(x+y) = ( x)+x or la propiedad (b) se deduce entonces (( x)+x)+y = ( x)+x or la propiedad (c) se tiene entonces Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 30/80

87 Suponga que x+y = x Entonces por (a) existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x)+(x+y) = ( x)+x or la propiedad (b) se deduce entonces (( x)+x)+y = ( x)+x or la propiedad (c) se tiene entonces 0+y = 0 Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 30/80

88 Suponga que x+y = x Entonces por (a) existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x)+(x+y) = ( x)+x or la propiedad (b) se deduce entonces (( x)+x)+y = ( x)+x or la propiedad (c) se tiene entonces 0+y = 0 Finalmente, por la propiedad (d) se tiene Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 30/80

89 Suponga que x+y = x Entonces por (a) existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x)+(x+y) = ( x)+x or la propiedad (b) se deduce entonces (( x)+x)+y = ( x)+x or la propiedad (c) se tiene entonces 0+y = 0 Finalmente, por la propiedad (d) se tiene y = 0. 1: la propiedad del inverso aditivo, 2: asociativa, 3: del neutro Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 30/80

90 Suponga que x+y = x Entonces por (a) existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x)+(x+y) = ( x)+x or la propiedad (b) se deduce entonces (( x)+x)+y = ( x)+x or la propiedad (c) se tiene entonces 0+y = 0 Finalmente, por la propiedad (d) se tiene y = 0. 1: la propiedad del inverso aditivo, 2: asociativa, 3: del neutro Respuesta: la correspondencia es (a)=1,(b)=2,(c)=1,(d)=3 Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 30/80

91 Teoremas sobre espacios vectoriales generales sobre espacios generales: Sea V es un espacio vectorial, y sean u V y c R, entonces: 1. 0u = 0 (El escalar 0 por cualquier vector da el vector cero) 2. c0 = 0 (Cualquier escalar por el vector cero da el vector cero) 3. cu = 0 implica c = 0 ó u = 0 (Cuando el producto de un escalar por un vector da el vector cero, o el escalar es cero o el vector es el vector cero) 4. ( c) u = (cu) (Multiplicar por un escalar negativo implica obtener el inverso aditivo del producto del escalar sin el signo por el vector) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 31/80

92 Veamos algunos de los espacios vectoriales que utilizaremos. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 32/80

93 Ejemplo EV 1 Sea V = R + con las operaciones: x y = x y y c x = x c, veamos que V con tal operaciones cumple los axiomas de espacio vectorial: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 33/80

94 Ejemplo EV 1 Sea V = R + con las operaciones: x y = x y y c x = x c, veamos que V con tal operaciones cumple los axiomas de espacio vectorial: Axioma A1: x y V Efectivamente, pues si x,y V entonces x,y > 0 y por tanto x y = x y > 0, probando que x y V. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 33/80

95 Ejemplo EV 1 Sea V = R + con las operaciones: x y = x y y c x = x c, veamos que V con tal operaciones cumple los axiomas de espacio vectorial: Axioma A1: x y V Efectivamente, pues si x,y V entonces x,y > 0 y por tanto x y = x y > 0, probando que x y V. Axioma A2: x y = y x Efectivamente, pues x y = x y = y x = y x. Esto se tiene por la propiedad conmutativa del producto de números reales. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 33/80

96 Ejemplo EV 1 Sea V = R + con las operaciones: x y = x y y c x = x c, veamos que V con tal operaciones cumple los axiomas de espacio vectorial: Axioma A1: x y V Efectivamente, pues si x,y V entonces x,y > 0 y por tanto x y = x y > 0, probando que x y V. Axioma A2: x y = y x Efectivamente, pues x y = x y = y x = y x. Esto se tiene por la propiedad conmutativa del producto de números reales. Axioma A3: x (y z) = (x y) z Efectivamente, pues x (y z) = x (y z) = x (y z) = (x y) z = (x y) z = (x y) z. Esto se tiene por la propiedad asociativa del producto de números reales. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 33/80

97 Axioma A4: Existe en V un neutro para Efectivamente, el número 1 de V = R cumple la propiedad requerida pues 1 x = 1 x = x = x 1 = x 1. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 34/80

98 Axioma A4: Existe en V un neutro para Efectivamente, el número 1 de V = R cumple la propiedad requerida pues 1 x = 1 x = x = x 1 = x 1. Axioma A5: Todo elemento de V posee un inverso aditivo en V Efectivamente, si x V es número, 1/x también está en V = R (ues si x > 0, también se cumple 1/x > 0) y cumple la propiedad requerida pues x 1/x = x 1/x = 1 = 1/x x = 1/x x. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 34/80

99 Axioma A4: Existe en V un neutro para Efectivamente, el número 1 de V = R cumple la propiedad requerida pues 1 x = 1 x = x = x 1 = x 1. Axioma A5: Todo elemento de V posee un inverso aditivo en V Efectivamente, si x V es número, 1/x también está en V = R (ues si x > 0, también se cumple 1/x > 0) y cumple la propiedad requerida pues x 1/x = x 1/x = 1 = 1/x x = 1/x x. Axioma M1: c x V Efectivamente, pues si x V entonces x > 0 y c x = x c > 0 para cualquier número c. (Recuerde que para x > 0, x c = e cln(x) > 0) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 34/80

100 Axioma M2: c (x y) = (c x) (c y) Efectivamente, c (x y) = c (x y) = (x y) c = x c y c = (x c ) (y c ) = (c x) (c y). Y esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 35/80

101 Axioma M2: c (x y) = (c x) (c y) Efectivamente, c (x y) = c (x y) = (x y) c = x c y c = (x c ) (y c ) = (c x) (c y). Y esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M3: (c 1 +c 2 ) x = (c 1 x) (c 2 x) Efectivamente, (c 1 +c 2 ) x = x c 1+c 2 = x c1 x c 2 = (x c 1 ) (x c 2 ) = (c 1 x) (c 2 x). Esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 35/80

102 Axioma M2: c (x y) = (c x) (c y) Efectivamente, c (x y) = c (x y) = (x y) c = x c y c = (x c ) (y c ) = (c x) (c y). Y esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M3: (c 1 +c 2 ) x = (c 1 x) (c 2 x) Efectivamente, (c 1 +c 2 ) x = x c 1+c 2 = x c1 x c 2 = (x c 1 ) (x c 2 ) = (c 1 x) (c 2 x). Esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M4: (c 1 c 2 ) x = c 1 (c 2 x) Efectivamente, (c 1 c 2 ) x = x c 1 c 2 = (x c 2 ) c 1 = c 1 (x c 2 ) = c 1 (c 2 x). Esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 35/80

103 Axioma M2: c (x y) = (c x) (c y) Efectivamente, c (x y) = c (x y) = (x y) c = x c y c = (x c ) (y c ) = (c x) (c y). Y esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M3: (c 1 +c 2 ) x = (c 1 x) (c 2 x) Efectivamente, (c 1 +c 2 ) x = x c 1+c 2 = x c1 x c 2 = (x c 1 ) (x c 2 ) = (c 1 x) (c 2 x). Esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M4: (c 1 c 2 ) x = c 1 (c 2 x) Efectivamente, (c 1 c 2 ) x = x c 1 c 2 = (x c 2 ) c 1 = c 1 (x c 2 ) = c 1 (c 2 x). Esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M5: 1 x = x Efectivamente, 1 x = x 1 = x. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 35/80

104 Habiéndose cumplido los 10 axiomas, concluimos que V con las operaciones x y = x y y c x = x c sí es un espacio vectorial Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 36/80

105 Ejemplo EV 2: El conjunto de todas las n-adas con componentes reales : operaciones: La suma: La suma de dos vectores con n componentes es un vector también con n componentes cuya componente i-ésima es la suma de las componentes i-ésimas de los vectores que se están sumando: (x i )+(y i ) = (x i +y i ) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 37/80

106 El producto por escalares: El producto de un escalar por un vector de n componentes se también un vector de n componetes cuya componente i-ésima es el producto del escalar por la i ésima componente del vector que se multiplica: c (x i ) = (c x i ) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 38/80

107 Axiomas A1 y M1: x+y y c x De la misma definición de la suma y producto por escalares. Axioma A2 : x+y = y+x Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componente i se tiene x i +y i = y i +x i Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 39/80

108 Axiomas A1 y M1: x+y y c x De la misma definición de la suma y producto por escalares. Axioma A2 : x+y = y+x Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componente i se tiene x i +y i = y i +x i Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 39/80

109 Axiomas A1 y M1: x+y y c x De la misma definición de la suma y producto por escalares. Axioma A2 : x+y = y+x Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componente i se tiene x i +y i = y i +x i Axioma A3: x+(y+z) = (x+y)+z Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componente i se tiene x i +(y i +z i ) = (x i +y i )+z i Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 39/80

110 Axioma A4: Existe el vector neutro bajo la adición: Este vector es el vector con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0+x = x+0 = x pues al comparar las i-ésimas componentes se cumple: 0+x i = x i +0 = x i Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 40/80

111 Axioma A4: Existe el vector neutro bajo la adición: Este vector es el vector con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0+x = x+0 = x pues al comparar las i-ésimas componentes se cumple: 0+x i = x i +0 = x i Axioma A5: Cada vector de tiene su inverso aditivo: ara cada vector x = (x i ) el vector x = ( x i ) cumple x+( x) = ( x)+x = 0 pues al comparar las i-ésimas componentes se cumple: x i +x i = 0 = x i + x i Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 40/80

112 Axioma M2: c(x+y) = cx+cy: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene c(x i +y i ) = cx i +cy i Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 41/80

113 Axioma M2: c(x+y) = cx+cy: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene c(x i +y i ) = cx i +cy i Axioma M3: (c 1 +c 2 )x = c 1 x+c 2 x: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene (c 1 +c 2 )x i = c 1 x i +c 2 x i Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 41/80

114 Axioma M2: c(x+y) = cx+cy: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene c(x i +y i ) = cx i +cy i Axioma M3: (c 1 +c 2 )x = c 1 x+c 2 x: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene (c 1 +c 2 )x i = c 1 x i +c 2 x i Axioma M4: (c 1 c 2 )x = c 1 (c 2 x): Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene (c 1 c 2 )x i = c 1 (c 2 x i ) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 41/80

115 Axioma M2: c(x+y) = cx+cy: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene c(x i +y i ) = cx i +cy i Axioma M3: (c 1 +c 2 )x = c 1 x+c 2 x: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene (c 1 +c 2 )x i = c 1 x i +c 2 x i Axioma M4: (c 1 c 2 )x = c 1 (c 2 x): Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene (c 1 c 2 )x i = c 1 (c 2 x i ) Axioma M5: 1 (x i ) = (1 x i ) = (x i ) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 41/80

116 Habiéndose cumplido los 10 axiomas, concluimos que con las operaciones (x i )+(y i ) = (x i +y i ) y c(x i ) = (cx i ) sí es un espacio vectorial Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 42/80

117 Ejemplo EV 3: El conjunto de todas las matrices m n con componentes reales : operaciones: La suma: La suma de dos matrices m n es una matriz también m n cuyo elemento (i,j) es la suma de los elementos (i,j) de las matrices que se están sumando: (a ij )+(b ij ) = (a ij +b ij ) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 43/80

118 El producto por escalares: El producto de un escalar por una matriz m n es también una matriz m n cuyo elemento (i,j) es el producto del escalar por el elemento (i,j) de la matriz que se multiplica: c (a ij ) = (c a ij ) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 44/80

119 Axiomas A1 y M1: A+B y c A : De la misma definición de la suma de matrices y producto por escalares. Axioma A2 ; A+B = B+A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene a ij +b ij = b ij +a ij Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 45/80

120 Axiomas A1 y M1: A+B y c A : De la misma definición de la suma de matrices y producto por escalares. Axioma A2 ; A+B = B+A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene a ij +b ij = b ij +a ij Axioma A3: A+(B+C) = (A+B)+C: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i,j) se tiene a ij +(b ij +c ij ) = (a ij +b ij )+c ij Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 45/80

121 Axioma A4, Existe una matriz neutra bajo la adición: Esta matriz es la matriz con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0+A = A+0 = A, pues al comparar los elementos (i, j) componentes se cumple: 0+a ij = a ij +0 = a ij Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 46/80

122 Axioma A4, Existe una matriz neutra bajo la adición: Esta matriz es la matriz con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0+A = A+0 = A, pues al comparar los elementos (i, j) componentes se cumple: 0+a ij = a ij +0 = a ij Axioma A5: Cada matriz de tiene su invero aditivo: ara cada matriz A = (a ij ), la matriz A = ( a ij ) cumple A+( A) = ( A)+A = 0, pues al comparar los elementos (i, j) se cumple: a ij +a ij = 0 = a ij + a ij Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 46/80

123 Axioma M2: c(a+b) = ca+cb: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene c(a ij +b ij ) = ca ij +cb ij Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 47/80

124 Axioma M2: c(a+b) = ca+cb: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene c(a ij +b ij ) = ca ij +cb ij Axioma M3: (c 1 +c 2 )A = c 1 A+c 2 A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene (c 1 +c 2 )a ij = c 1 a ij +c 2 a ij Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 47/80

125 Axioma M2: c(a+b) = ca+cb: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene c(a ij +b ij ) = ca ij +cb ij Axioma M3: (c 1 +c 2 )A = c 1 A+c 2 A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene (c 1 +c 2 )a ij = c 1 a ij +c 2 a ij Axioma M4: (c 1 c 2 )A = c 1 (c 2 A): Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene (c 1 c 2 )a ij = c 1 (c 2 a ij ) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 47/80

126 Axioma M2: c(a+b) = ca+cb: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene c(a ij +b ij ) = ca ij +cb ij Axioma M3: (c 1 +c 2 )A = c 1 A+c 2 A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene (c 1 +c 2 )a ij = c 1 a ij +c 2 a ij Axioma M4: (c 1 c 2 )A = c 1 (c 2 A): Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene (c 1 c 2 )a ij = c 1 (c 2 a ij ) Axioma M5: 1 (a ij ) = (1 a ij ) = (a ij ) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 47/80

127 Habiéndose cumplido los 10 axiomas, concluimos que con las operaciones (a ij )+(b ij ) = (a ij +b ij ) y c(b ij ) = (ca ij ) sí es un espacio vectorial Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 48/80

128 Ejemplo EV 4: De todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x con las operaciones: : Cuando son dos polinomios, esta operación se lleva a cabo sumando los coeficientes de las mismas potencias de x de los polinomios. a 0 +a 1 x+ +a m x m + b 0 +b 1 x+ +b m x m = (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )x+ +(a m +b m )x m Alguno de los polinomios se completa hasta el grado mayor de los dos con coeficientes cero Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 49/80

129 Multiplicación: La multiplicación por escalar es la multiplicación de todo el polinomio por una constante: c(a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a m x m ) = ca 0 +ca 1 x+ +ca m x m Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 50/80

130 En lo siguiente supondremos que cada polinomio se escribe en la forma p(x) = p 0 +p 1 x+p 2 x 2 + Es decir, que usaremos el nombre del polinomio para nombrar a sus coeficientes y usaremos subíndices para indicar la potencia de x a la cual acompañan. Axiomas A1 y M1: p(x)+q(x) y c p(x) : De la misma definición de la suma de polinomios y producto por escalares. Axioma A2 ; p(x)+q(x) = q(x)+q(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: p i +q i = p i +q i Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 51/80

131 En lo siguiente supondremos que cada polinomio se escribe en la forma p(x) = p 0 +p 1 x+p 2 x 2 + Es decir, que usaremos el nombre del polinomio para nombrar a sus coeficientes y usaremos subíndices para indicar la potencia de x a la cual acompañan. Axiomas A1 y M1: p(x)+q(x) y c p(x) : De la misma definición de la suma de polinomios y producto por escalares. Axioma A2 ; p(x)+q(x) = q(x)+q(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: p i +q i = p i +q i Espacios Axioma Vectoriales A3: Álgebra Lineal - p. 51/80

132 Axioma A4, Existe un polinomio neutro bajo la adición: Este polinomio es el polinomio con todos sus coeficientes cero: 0 = 0 = 0+0x y cumple 0+p(x) = p(x)+0 = p(x), pues al comparar los coeficientes de x i se tiene: 0+p i = p i +0 = p i Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 52/80

133 Axioma A4, Existe un polinomio neutro bajo la adición: Este polinomio es el polinomio con todos sus coeficientes cero: 0 = 0 = 0+0x y cumple 0+p(x) = p(x)+0 = p(x), pues al comparar los coeficientes de x i se tiene: 0+p i = p i +0 = p i Axioma A5: Cada polinomio de tiene su invero aditivo: ara cada plinomio p(x) = p 0 +p 1 x+, el polinomio p(x) = ( p 0 )+( p 1 )x+( p 2 )x 2 + cumple p(x)+( p(x)) = ( p(x))+p(x) = 0, pues al comparar los coeficientes de x i se tiene: ( p i )+p i = 0 Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 52/80

134 Axioma M2: c(p(x)+q(x)) = cp(x)+cq(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: c(p i +q i ) = cp i +cq i Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 53/80

135 Axioma M2: c(p(x)+q(x)) = cp(x)+cq(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: c(p i +q i ) = cp i +cq i Axioma M3: (c 1 +c 2 )p(x) = c 1 p(x)+c 2 p(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: (c 1 +c 2 )p i = c 1 p i +c 2 p i Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 53/80

136 Axioma M2: c(p(x)+q(x)) = cp(x)+cq(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: c(p i +q i ) = cp i +cq i Axioma M3: (c 1 +c 2 )p(x) = c 1 p(x)+c 2 p(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: (c 1 +c 2 )p i = c 1 p i +c 2 p i Axioma M4: (c 1 c 2 )p(x) = c 1 (c 2 p(x)): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: (c 1 c 2 )p i = c 1 (c 2 p i ) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 53/80

137 Axioma M2: c(p(x)+q(x)) = cp(x)+cq(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: c(p i +q i ) = cp i +cq i Axioma M3: (c 1 +c 2 )p(x) = c 1 p(x)+c 2 p(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: (c 1 +c 2 )p i = c 1 p i +c 2 p i Axioma M4: (c 1 c 2 )p(x) = c 1 (c 2 p(x)): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: (c 1 c 2 )p i = c 1 (c 2 p i ) Axioma M5: 1 p(x) = p(x) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 53/80

138 Habiéndose cumplido los 10 axiomas, concluimos que con las operaciones suma de polinomios y producto de un escalar por un polinomio conocidas sí es un espacio vectorial Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 54/80

139 Ejemplo EV 5: Todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x de grado menor o igual que n (n es entero mayor o igual que cero): Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 55/80

140 Ejemplo EV 5: Todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x de grado menor o igual que n (n es entero mayor o igual que cero): 1 operaciones:sea x la variable independiente de los polinomios. a) : Misma que en. b) Multiplicación por escalares: Misma que en. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 55/80

141 Ejemplo EV 5: Todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x de grado menor o igual que n (n es entero mayor o igual que cero): 1 operaciones:sea x la variable independiente de los polinomios. a) : Misma que en. b) Multiplicación por escalares: Misma que en. 2 el cero: El polinomio 0, es áquel cuya totalidad de coeficientes es cero. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 55/80

142 Ejemplo EV 5: Todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x de grado menor o igual que n (n es entero mayor o igual que cero): 1 operaciones:sea x la variable independiente de los polinomios. a) : Misma que en. b) Multiplicación por escalares: Misma que en. 2 el cero: El polinomio 0, es áquel cuya totalidad de coeficientes es cero. 3 inversos aditivos: El inverso de p de un polinomio p tiene por coeficientes los opuestos de los coeficientes de p Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 55/80

143 Ejemplo EV 6: El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 56/80

144 Ejemplo EV 6: El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R: 1 operaciones: Sean f y g dos funciones de valor real con dominio R y sea c cualquier escalar. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 56/80

145 Ejemplo EV 6: El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R: 1 operaciones: Sean f y g dos funciones de valor real con dominio R y sea c cualquier escalar. a) : Se define la suma de f + g de f y g como la función cuyos valores están expresados por: (f +g)(x) = f(x)+g(x) para toda x R Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 56/80

146 Ejemplo EV 6: El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R: 1 operaciones: Sean f y g dos funciones de valor real con dominio R y sea c cualquier escalar. a) : Se define la suma de f + g de f y g como la función cuyos valores están expresados por: (f +g)(x) = f(x)+g(x) para toda x R b) producto por escalares: Igualmente, el producto por escalar cf se define como sigue: (cf)(x) = cf(x) para toda x A Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 56/80

147 Ejemplo EV 6: El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R: 1 operaciones: Sean f y g dos funciones de valor real con dominio R y sea c cualquier escalar. a) : Se define la suma de f + g de f y g como la función cuyos valores están expresados por: (f +g)(x) = f(x)+g(x) para toda x R b) producto por escalares: Igualmente, el producto por escalar cf se define como sigue: (cf)(x) = cf(x) para toda x A 2 el cero: La función cero, 0 es aquella cuyos valores son todos ceros: 0(x)= 0 para toda x R. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 56/80

148 3 inversos aditivos: La inversa de f de f es la función (-1)f. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 57/80

149 3 inversos aditivos: La inversa de f de f es la función (-1)f. 4 axiomas: La comprobación de los axiomas se deja como ejercicio. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 57/80

150 Ejemplo EV 7: F(A) De manera más general que en el ejemplo de espacio vectorial 6, si A es un conjunto cualquiera definimos el conjunto F(A) de todas las funciones de valor real que tienen como dominio A; entonces F(A) es un espacio vectorial. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 58/80

151 Ejemplo EV 8: F(A,V) De manera más general que en el ejemplo de espacio vectorial 7, si A es un conjunto cualquiera y V es un espacio vectorial (con una operación suma y producto por escalares ) definimos el conjunto F(A,V) de todas las funciones que tienen como dominio X y como codominio V. Definimos en F(A,V) la suma de la siguiente manera: f g : A V a f(a) g(a) y definimos el producto por escalares de la siguiente manera: c f : A V a c f(a) Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 59/80

152 Vectorial Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 60/80

153 Vectorial Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Sin embargo, hay situaciones en las que la prueba se reduce considerablemente: Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 60/80

154 Vectorial Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Sin embargo, hay situaciones en las que la prueba se reduce considerablemente: Cuando el conjunto está contenido en un conjunto mayor que ya es un espacio vectorial. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 60/80

155 Vectorial Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Sin embargo, hay situaciones en las que la prueba se reduce considerablemente: Cuando el conjunto está contenido en un conjunto mayor que ya es un espacio vectorial. En este caso, como todas las propiedades de los axiomas hacen referencia a elementos del conjunto y por tanto a elementos al conjunto mayor que ya es espacio vectorial y por consiguiente se verifican. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 60/80

156 Vectorial Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Sin embargo, hay situaciones en las que la prueba se reduce considerablemente: Cuando el conjunto está contenido en un conjunto mayor que ya es un espacio vectorial. En este caso, como todas las propiedades de los axiomas hacen referencia a elementos del conjunto y por tanto a elementos al conjunto mayor que ya es espacio vectorial y por consiguiente se verifican. Salvo posiblemente los axiomas A1 y M1 que hacen referencia a la cerradura. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 60/80

157 Sea V = (V,+, ) un espacio vectorial. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 61/80

158 Sea V = (V,+, ) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U V ) que no es vacío se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 61/80

159 Sea V = (V,+, ) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U V ) que no es vacío se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalares que están definidas en V Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 61/80

160 Sea V = (V,+, ) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U V ) que no es vacío se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalares que están definidas en V, pero restringidas a vectores de U Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 61/80

161 Sea V = (V,+, ) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U V ) que no es vacío se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalares que están definidas en V, pero restringidas a vectores de U, es un espacio vectorial. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 61/80

162 Sea V = (V,+, ) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U V ) que no es vacío se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalares que están definidas en V, pero restringidas a vectores de U, es un espacio vectorial. Apesar que en la definción de subespacio está implicita la verificación de los axiomas, el siguiente resultado da la clave para la verificación de que un conjunto se subespacio. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 61/80