TEMA 12 (Oposiciones de Matemáticas)

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1 TEMA (psces de Matemátcas) ESPACIS ECTRIALES.. Espacs ectales.. Sbespacs ectales... Iteseccó de Sbespacs... ó de Sbespacs..3. Sma de Sbespacs..4. Sma Decta de Sbespacs. 3. Aplcaces Leales. Espac Ccete. 4. Teemas de Ismía. 5. Bases de Espac ectal. 5.. Cmbaces Leales. 5.. Depedeca e Idepedeca Leal Bases Dmesó Bases Aplcaces leales Dmesó de Sbespacs Espacs Ccete. 6. Sbespacs ectales Cmplemetas. /7

2 TEMA ESPACIS ECTRIALES. A l lag de este tema detaems medate la leta K cep cmtat, (K,, ).. ESPACIS ECTRIALES. DEF Llamams K-espac ectal a la tea mada p ct, a le de cmpscó tea, a le de cmpscó extea : KxE E, ecad las ppedades: ) (, ) es gp cmtat. ) La le de cmpscó extea satsace las ppedades a) Psedascata: ( ) ( ) b) Dstbta: ( ) ( ) c) Elemet dad:, K, L detaems p (,, K). Ls elemets de ecbe el mbe de ectes se sele deta c las letas,,. Ls elemets de K ecbe el mbe de escalaes se epeseta medate letas gegas. La peacó extea se llama pdct p escalaes. Detaems el et de (, ) p el et de (K, ) p. PRP S es K-espac ectal se satsace las sgetes ppedades;, K,. ) ) ( ) ( ) 3) ( ) 4) ( ) 5) ó /7

3 3/7 ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3) ( ) ( ) ( ) ( ) 4) ( ) ( ) ( ) ( ) 5) S K p se K cep ( ) ( ) Eempls: ) Sea el ct K Kx xk. Dems a peacó tea ta extea c cep de peades K, cm sge: : K x K K (,,, ) (,,, ) (,,., ) : K x K K (,, ) (,,. ) Es medat cmpba qe (K,, ) es K-espac ectal. ) Sea K-espac ectal A ct. Dems A {: A E/ es aplcacó} S dems la peacó tea : A x A A ( g) (x) (x) g(x) xa la peacó extea : K x A A () (x) (x) xa etces ( A,, ) es K-espac ectal. 3) (,, ) pede se -espac ectal també -espac ectal, cl las peaces sma pdct habtales. PRP Sea K-espac ectal. Etces eca las lees de smplcacó, qe s:

4 4/7 ),, ) β β β l K, 3) K l K, ) Cm (, ) es gp Cmtat ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) β β β β β β β ( ) β cm es l - β β 3) cm K es cep es l K tal qe ( ) ( ) ( ) ( ). SBESPACIS ECTRIALES. DEF Sea K-espac ectal C sbct ací. Dems qe es Sbespac ectal de s satsace: ) (, ) es sbgp de (, ) ) K Es cla qe (,, ) es K-espac ectal c la sma de el pdct pescalaes estgds a. Td K-espac ectal admte ds sbespacs qe llamaems tales, el { } el pp. Eempl. (,, ) es sbespac ectal de (,, ), sed el cep de peades, p eempl, ó. PRP Sea K-espac ectal, c Ø. S eqaletes: ) es sbespac ectal de. ) K,

5 3),, K ) ) Cm es sbespac, las peaces de sma pdct p escala s ceadas. Leg talmete se eca ). ) 3),, K, ) p hpótess de e aplcad 3) 4) Paa e qe es sbespac. (, ) es sbgp, s tmams - Paa cmpba qe la peacó extea es ceada, tmams K.. Iteseccó de Sbespacs. DEF Sea K-espac ectal { :,, } a amla de sbespacs de. Dems la teseccó de sbespacs cm: { / :,..., } PRP Sea K-espac ectal { :,., } a amla de sbespacs de. Etces, la teseccó,, de sbespacs es sbespac ectal. Ø a qe p se sbespac. Sea,,, K es sbespac. DEF Sea K-espac ectal A sbct ací. Llamams Sbespac Egedad p A al me de ls sbespacs ectales qe ctee a A. Se deta p [A]. Es cla qe el ct [A] es sbespac de qe ctee al ct A, s exste t sbespac de qe també ctee a A, etces [A]. PRP Sea K-espac ectal A sbct ací de. Sea { / es sbespac A I. Etces [A] I 5/7

6 Imedata DEF Sea sbespac ectal de, K-espac ectal, A tal qe [A]. Dems qe el ct A egeda es Sstema de Geeades de... ó de Sbespacs. DEF Sea K-espac ectal { /I} a amla de sbespacs de. Dems la ó de sbespacs cm: { / I, } N pdems ama qe la ó de sbespacs sea e sbespac. Eempl. Sea, sbespacs de c x{} {}x. Etces (, ) (, ). E camb (, ) (, ) (, )..3. Sma de Sbespacs. DEF Sea K-espac ectal { /:,., } a amla de sbespacs de. Dems la sma de sbespacs cm: { / c :,..., } PRP Sea K-espac ectal { /:,, } a amla de sbespacs de. Etces la sma de sbespacs es sbespac de. ams a ealza la demstacó p dccó e el úme de sbespacs,. Paa ) Cm Ø ) 3) Sea, c,, 6/7

7 7/7 ( ) ( ) ( ) ( ) 4) Sea K c ( ) P tat es sbespac. Paa, p hpótess de Idccó, es sbespac ectal Paa Ambs smads s sbespacs ectales, cm la sma de ds sbespacs es t sbespac (cas ) etces es sbespac ectal de. PRP Sea K-espac ectal, sbespacs ectales de. Se eca qe [ ] Sea c [ ] [ ] Sea [ ] [ ] /.4. Sma Decta de Sbespacs. DEF Sea K-espac ectal, ds sbespacs de. Dems qe el sbespac es sma decta de, l epesetaems p, s se eca: ) ) { } PRP Sea K-espac ectal,, sbespacs de. /

8 8/7 Cm, etces e patcla. Sea c Paa e qe esa expesó es úca, ams a spe qe exste ta: Sea c Etces Cm ambs s gales Pe cm la sma es decta se da qe { } 0 0 P tat la expesó es úca. ) Cm c ) Sea Cm Cm Y al se la expesó úca, { } L st de sma decta de ds sbespacs se pede geealza áclmete a ct de sbespacs. DEF Sea K-espac ectal { /:,.,} a amla de sbespacs de. Dems qe el sbespac es sma decta de ls sbespacs { / :,..,}, se epeseta p s se eca ) ) { } PRP Sea K-espac ectal, { /:,., } sbespacs de.

9 9/7 / :,..., Aálga a la ate CRLARI Sea K-espac ectal { / :,., }, sbespacs de. mplca c S Sl hems de tee e ceta qe APLICACINES LINEALES. ESPACI CCIENTE. DEF Sea K-espacs ectales. Dems qe la aplcacó : es hmmsm de espacs ectales ( smplemete leal) s: ) ( ) ( ) ( ), ) ( ) ( ) K BS La cdcó ) s dca qe es hmmsm de gps ete (, ) (, ). PRP Sea K-espacs ectales : a aplcacó leal. S { },..., : / s ectes de { },..., : / escalaes se eca ( ) Imedata. PRP Sea K-espacs ectales : a aplcacó leal. Se satsace las sgetes ppedades. ) ( ) ) ( ) ( ) 3) ( ) ( ) ( ),

10 0/7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) p ( ) ( ) 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),. PRP Sea K-espacs ectales. F: es leal ( ) ( ) ( ) K,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Leg es leal. PRP Sea K-espacs ectales : a aplcacó leal. Se satsace: ) S es sbespac ectal de ( ) es sbespac ectal de. ) S es sbespac ectal de - ( ) es sbespac ectal de. ) Cm, e patcla, es hmmsm de gps, se eca qe ( ) es sbgp de. Sea K ( ) ( ) c Etces ( ) ( ) ( ) Leg ( ) es sbespac ectal de. ) Igalmete, - ( ) es sbgp de. Sea K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 DEF S : es a aplcacó leal ete K-espacs ectales, dems el úcle del, se deta p Ke, al ct de ls tales qe ( ). Y la Image de, Im, cm el ct mad p las mágees de. Ke { / ( ) } Im { c ( ) } ( ) / CRLARI Sea : a aplcacó leal ete K-espacs ectales. Ls cts Ke e Im s sbespacs ectales. Ke - ({ }) { } es sbespac de Im ( ) es sbespac de. PRP S, 3 s K-espacs ectales :, g: 3 aplcaces leales, la aplcacó cmpesta g : 3 es leal. Imedata. PRP S s K-espacs ectales : es a aplcacó leal becta, la aplcacó esa - : es leal. Sabems qe - : es hmmsm de gps, leg sl hems de pba el pdct p escala. S / ( ) Sea K ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) DEF Sea K-espacs ectales : aplcacó leal. ) es mmsm s es ecta. ) F es epmsm s es spaecta. 3) F es smsm s es becta. 4) F es edmsm s 5) F es atmsm s es smltáeamete smsm edmsm. PRP Sea K-espac ectal N sbespac ectal. Exste etces K-espac ectal,, a aplcacó leal θ: tal qe Ke θ N. /7

12 /7 ams a ealza la demstacó e ds pass; pme cstems despés θ. ) Cstccó de. P se N sbespac ectal de (N, ) es sbgp de (N, ) cm es cmtata N es ds mal de. ams a csdea el ct ccete /N, sed ss elemets clases de eqalecas de espect de la elacó R deda p N R, La sma de clases estaía deda p [ ] [ ] [ ] sed (/N, ) gp cmtat Dems la peacó extea [ ] [ ] K esta be deda a qe s [ ] [ ] ( ) N N al se sbespac [ ] [ ] N. La peacó extea qe acabams de de eca las ppedades Psedascatas, dstbtas (de la sma espect del pdct p escalaes ceesa) exsteca de elemet dad. S demstacó es medata la hacems. P tat, el ct (/N,, K ) es K-espac ectal. Tmaems /N. ) Cstccó de θ. Dems θ: /N cm ( ) [ ] θ. Así deda, θ es a aplcacó leal: ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ), θ θ θ ( ) [ ] [ ] ( ) K θ θ Es cla qe Keθ N ( ) [ ] [ ] N N Ke θ θ DEF El espac ectal /N ecbe el mbe de Espac ectal Ccete de p N.

13 DEF La aplcacó θ: /N ecbe el mbe de Peccó Natal del espac ectal sbe /N. BS S N { } θ es ecta { } 4. TEREMAS DE ISMRFÍA. Teema: e Teema de Ismía. Sea K-espacs ectales : aplcacó leal. Etces exste úc smsm de espacs ectales : Im( ) tal qe θ, Ke sed θ: /Ke la peccó atal de e /Ke. Beemete escbms Im( ). Ke Cstams la aplcacó cmpbems qe es smsm úca. Dems : Im( ) c ([ ] ) ( ) [ ] Ke esta be deda. Ke S [ ] [ ] Ke ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ([ ] ) ([ ]) es leal. Sea, K [ ] [ ], Ke ( [ ] [ ]) ([ ]) ( ) ( ) ( ) ([ ] ) ([ ]) es spaecta. Sea Im ( ) / ( ) [ ] tal qe ([ ] ) ( ) Leg : Im( ) dagama θ Ke Ke es smsm, qe además hace cmtat el 3/7

14 ( θ)( ) ( θ( )) ([ ]) ( ) es úc. Spgams qe : Ke Im / θ Etces ( θ)( ) ([ ]) ( ) ([ ]) ( θ)( ) Leg BS Sea K-espac ectal, sbespacs ectales de c. Pdems de a aplcacó ϕ: / / de ma atal c ϕ,. ( ) La decó es cecta pes s ϕ ( ) ϕ( ) Además, ϕ es leal spaecta (epmsm) s úcle es / a qe Keϕ / ϕ / / / { ( ) } { } { } CRLARI º Teema de Ismía. Sea K-espac ectal, sbespacs de c. Dada : ( ) ϕ leal, exste úc smsm : ( ) tal qe ( ) ϕ θ dde θ es la peccó atal de / e ( ) La demstacó es medata aplcad el e teema de sma teed e ceta qe Keϕ /. Teema. 3 e Teema de Ismía. Sea K-espac ectal, sbespacs de. Etces ls espacs s sms. Csdeems la peccó θ: / c θ ( ) [ ], θ 4/7 S l estgms a bteems la aplcacó leal es leal.

15 θ : θ ( ) [ ] ) Cmpbems qe Im( θ ) S [ ] Im( θ ) [ ] θ ( ) [ ] c c ) Cmpbems qe Ke( θ ) S Ke( θ ) Ke θ ( ) [ ] [ ] [ ] ( θ ) [ ] S θ ( ) θ( ) [ ] cm [ ] [ ] Ke ( θ ) Ke( θ ) Leg Ke( θ ) Aplcad el e teema de sma a la aplcacó θ bteems Ke( θ ) Im( θ ) qe eslta se: 5. BASES. DIMENSIÓN. 5.. Cmbaces leales. DEF Sea K-espac ectal { / :,..., } Es cmbacó leal de ls ectes { / :,..., } s exste { / : } del cep K, tales qe cmbacó Leal. ectes de. Dems qe,..., escalaes. Ls ecbe el mbe de cecetes de la PRP El ect l es Cmbacó leal de calqe ct de ectes. Sea {,..., }, ct del K-espac ectal. Basta tma ls cecetes tds ce paa qe. 5/7

16 PRP ) ect calqea es cmbacó leal de s msm. ) ect peteece a ct es Cmbacó leal de dch ct. ) es cmbacó leal de { } ) Sea {,,..., } ct. :,..., Leg,..., es Cmbacó leal de { } PRP S ect es Cmbacó Leal del ct { } es cmbacó leal del ct {,..., m } {..., } m,..., cada de ls, etces es cmbacó leal de Sabems qe cada :,..., m Etces PRP Sea K-espac ectal A sbct ací de. El sbespac egedad p A, [A], es el ct de tds ls ectes qe se pede escb cm cmbacó leal de ls ectes de A.,..., Sea A { } K c :,.., Dems S / ( ) Hems de cmpba qe S [A], paa l cal ha qe eca tes cdces. S es sbespac de. Sea, S m m 6/7

17 ( ) S a qe ( ) K ( ) S a qe K Etces S es sbespac ectal de. A S P a ppscó ate, td ect de ct, se pede escb cm cmbacó leal de dch ct. S es el más peqeñ qe l eca. Sea S sbespac ectal de tal qe A S. S A K S Etces S S S BS El ct A { },..., es sstema de geeades de S. 5.. Depedeca e Idepedeca Leal.,..., DEF Sea K-espac ectal. El ct { } de ectes de dems qe es Lealmete Idepedete s la elacó se eca slamete paa.,... DEF El ct { } Idepedete. BS Es l msm dec qe { } qe ls ectes {,..., } es Lealmete Depedete cad es Lealmete,... es ct Lealmete depedete s lealmete depedetes. BS S ct de ectes es Lealmete depedete, el ect se expesa de ma úca cm cmbacó leal de ls msms. E cas de qe el ect l se expese de ma úca es cad decms qe el ct es lealmete depedete. PRP Sea K-espac ectal. Se eca: ) { } es ct lealmete depedete. 7/7

18 ) { } c es ct lealmete depedete. ) es a cmbacó leal del Lealmete Depedete. ) a cmbacó leal de { } Lealmete Idepedete. es PRP Sea K-espac ectal. Se eca c escala l { } es s 0 a qe { } es ) Td sbct de ct Lealmete depedete es lealmete depedete. ) ct qe ctega sbct lealmete depedete es lealmete depedete. Imedata. CRLARI Sea K-espac ectal. Se eca: ) Td ect de ct lealmete depedete es l. ) S ct ctee al ect es lealmete depedete. Imedata. PRP Sea K-espac ectal. El ct {,..., } s sól s al mes de ells es cmbacó leal del est. es lealmete depedete,..., S { } s L. D.,, K tds ls tal qe Sea c {,..., } K ( ) ( ) ( ) Spgams qe es cmbacó leal del est. 8/7

19 Etces ( ) K / tds ls escalaes s ls { } S tmams - pdems escb,..., s L. D. PRP Sea K-espac ectal. S ect es cmbacó leal de ct {,..., } de ectes lealmete depedetes etces dcha cmbacó leal es úca. Sea ect tal qe c K. Spgams qe,..., K tal qe ( ) Cm {,..., } s L. I. - P tat, la C. L. es úca. PRP S el ct {,..., } es lealmete depedete es sstema geead paa el K-espac ectal, etces exste ect {,., } tal qe el ct {,, -,,, } sge sed sstema geead de. Cm {,..., } es L. D. {,..., } / ams a cmpba qe {,,..., },..., es Sst. Geead de. K :,..., / a qe {,..., } es S. G de. ( ) Etces es C. L. de {,...,,,..., } leg es sstema de geeades de. 9/7

20 PRP Sea K-espac ectal, L { } depedete tal qe L sed { L } depedete. Etces [ L]. Sea a cmbacó leal del ect. Cm L { } es L. D. K c : 0,., l.,..., ct lealmete ct lealmete S 0 Es escala l tedía qe se c,., pe es eta e ctadccó c qe L es L. I. Leg 0 K p tat 5.3. Bases Dmeses. ( ) [ L] DEF Sea ct B { },..., de ectes del K-espac ectal. Dems qe B es a Base de s B es ct Lealmete Idepedete Sstema Geead de.,..., base de, la expesó es úca,...,. BS S es c { } ecbe el mbe de cmpete -ésma del ect e la base { } DEF Dems qe el K-espac ectal es tamete geead s exste {,..., m } ct t sstema geead de. PRP Sea K-espac ectal, S ct t sstema geead de L S sbct lealmete depedete. Etces a base B tal qe L B S. ams a csdea el ct de cts C( G) { G / L G S G es L. I. } Este ct es ací a qe, al mes, A peteece a él. Sea BC(G) ct tal qe Cad (B) Cad (G) GC(G) B es L. I. a qe BC(G) S Cad (B) Cad (S) B S B es S. G. de. 0/7

21 Spgams B S. Sea S B. B { } ate [ B]. es L. D. P a ppscó S B S B B SB B K B B S B B KSB Etces B es S. G. de. S B es L. I. S. G. de B es base de. CRLARI Td K-espac ectal tamete geead l ( { } ) psee a base. Cm es tamete geead, sea S ct t de geeades de. L qe es L. I. Cm { } /. Sea { } [ B] Aplcad la ppscó ate, exste B base tal qe L B S. CRLARI Sea K-espac ectal tamete geead N sbct t lealmete depedete de. Etces exste sbct t N de tal qe N N es base de E. Cm es tamete geead, sea S ct S. G. de. Aplcad la ppscó ate tmad S S N L N etces B base tal qe N B S N Basta tma N B N paa demsta l petedd. BS Pdems dedc qe este cla qe dad ct de ectes lealmete depedetes de K-espac ectal tamete geead, sempe se pede extede ese ct a a base, añadedle ectes adecads. eams aha qe elacó exste ete ds cts qe sea base de msm K-espac ectal. /7

22 TEREMA Teema de la Base. Tdas las bases de msm K-espac ectal tamete geead tee el msm úme de elemets. Sea B B ds bases de. S Cad (B) Cad (B) m hems de cmpba qe m. Sea B { } B {,..., },..., m B p se B { },..., base de. Sea el ct { } cmbacó leal de B. B qe es S. G. a qe B es S. G. L. D. a qe Pdems extae a base B { } Repted el pces, el ct { } Pdems extae a base B {,,..., },,..., p c p < p. B es S. G. L. I., s < p s. s Retead el pces m eces ectams a base B m c m m m. {,...,,,... }, m es S ealzams el msm azamet, pe ted ls papeles de B B llegams, despés de pass, a a base Leg m. B c t m {,...,,,..., } t DEF Llamams dmesó de K-espac ectal tamete geead al úme de ectes de a calqea de ss bases. Se epeseta p dm. CRLARI S es K-espac ectal de dmesó B es ct de ectes lealmete depedetes tal qe Cad (B), etces B es base de. P cla pe, exste B t tal qe B B es base de. Etces Cad (B B) /7

23 Y cm Cad (B) B Ø B es base de. CRLARI S es K-espac ectal de dmesó ta K es ct de ectes lealmete depedetes, etces Cad (L) dm. Spgams qe Cad (L) > dm L L mad p dm ectes L. I. P el cla ate L es base. Sea L L es C. L. de ls ectes de L L {} es L. D. cm L {} L es L. D. l qe es a ctadccó c la hpótess. Leg la spscó es alsa Cad (L) dm Bases Aplcaces Leales.,..., a PRP Sea K-espacs ectales de dmesó ta, B { } base de B {,..., } ct de ectes qe. Etces exste a úca,..., ecádse qe es aplcacó leal : tal qe ( ) smsm s sl s B es base de. Exsteca de. Sabems qe c K Dems ( ) - es leal ectes de K. Sea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3/7

24 - Pdems ama qe ( ) cdad de. Sea g: leal tal qe g( ) Dad g ( ) g( ) ( ) P tat g. eams aha la segda pate. Es ácl cmpba qe; * S qees cmpébal* ) ecta B es L. I. ) spaecta B es S. G. P tat, se dedce qe es becta B es base de. CRLARI Sea K-espacs ectales de dmesó ta. dm dm,..., Sea : smsm B { } P el teema ate B { ( ) ( )} base de.,..., es base de. Es cla qe Cad (B ) Cad (B ) dm dm. Sea B {,..., } B {,..., } bases de espectamete. El teema ate s dce qe la úca aplcacó leal : tal qe ( ) :,..., tee qe se smsm. Etces s sms Dmesó de Sbespacs Espacs Ccete. PRP Sea K-espac ectal, B base de, el sbespac ectal egedad p sbct B de B c B B. Etces el ct B B es base de /. 4/7

25 ,..., Sea B { }, p eempl, B { },..., c s <. s P hpótess [ B ] B B {,..., } Cmpbems qe B B es S. G. de /. s Sea [ ] /. Cm B es base de P tat [ ] [ ] [ ] S a qe [ ] [ ] : S B B es L. I. Sea [ ] [ ],..., pqe S :,..., S S Cm B es base de S S S S P se B base de, e patcla s L. I. 0 :,.., Etces 0 : S,., B B s L. I. P tat B B es base de /. PRP Sea K-espac ectal de dmesó ta sbespac ectal de. Se eca la elacó S S dm dm dm / { } { } dm 0, dm dm { } dm 0, dm dm,..., E cas cta, sea { s } base de se pede extede a {,..., s,..., } base de. P la ppscó ate {,..., } s es base de / 5/7

26 ecádse la galdad dm, dm S dm / S dm dm dm / CRLARI la galdad S s sbespacs de K-espac ectal, se satsace dm ( ) dm ( ) dm dm P el 3 e teema de smía: pdems ama qe dm dm Aplcad la ppscó ate bteems dm ( ) dm dm ( ) dm de l cal se dedce la galdad a cmpba. BS S la sma es decta dm ( ) dm dm 6. ESPACIS ECTRIALES CMPLEMENTARIS. DEF Sea K-espac ectal sbespac ectal de. Dems qe es sbespac ectal cmplemeta de s. PRP Sea K-espac ectal de dmesó ta. Td sbespac de admte cmplemeta. Detems p el cmplemeta de. S { } S { } Spgams qe es sbespac tal. Sea B a base de ( es a dmesó ta al sel ). 6/7

27 7/7 B sbct de B B es base de. eams qe [B] B B ( ) ( ) { } 0 dm dm dm dm

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