Espacios vectoriales

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Espacios vectoriales"

Transcripción

1 Espacios vectoriales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Algebra Lineal 1

2 En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación por escalares con un tipo especial de matrices, las de orden nx1. Abusando del lenguaje y la notación establecimos la correspondencia: x x x n (x 1, x,...., x n ) Algebra Lineal

3 n Es decir, aceptamos que Mnx 1( R) R, con el fin de aprovechar la familiaridad que se tiene con los espacios R y R. En este capítulo estudiaremos conjuntos que n poseen propiedades algebraicas similares a R. A dichos conjuntos se les dará el nombre de espacios vectoriales y a sus elementos el nombre de vectores. κ En lo que sigue designará al cuerpo de los números reales o al cuerpo C de los números complejos. R Algebra Lineal

4 Espacios y subespacios vectoriales Un espacio vectorial sobre el cuerpo es un conjunto de objetos V con dos operaciones: (1) + : V x V V ; (u, v) u + v que es asociativa, conmutativa, posee elemento neutro (cero) y cada elemento posee un inverso. () p: x V V ; ( α, v) que satisface lo siguiente: i) ii) iii) κ iv) α( βv) ( α + β)v ( αβ)v ; αv + βv; α, β κ; α, β κ; v α v α(u + v) αu + αv; α κ; u, v V 1 v v; v V, con 1 elemento unidad de κ Algebra Lineal 4 κ V v V

5 La operación (1) es interna en V; se llama suma o adición. La operación () es externa y se llama multiplicación por escalar o ponderación. Los elementos de V se llaman vectores y los de escalares. Si κ R, se dice que V es un espacio vectorial real. Si κ C, el espacio vectorial V se dice complejo. En cualquier espacio vectorial V sobre se tiene que: a) b) c) d) 0 v α v α 0 (-1) v 0, 0, 0 v, v V α κ ( α v 0 V v κ 0) κ Algebra Lineal 5

6 Ejemplos de espacios vectoriales (1) Para n número natural, sea (n veces), es decir, R n R (x 1 n,..., x R R.... R {(x1,..., xn ) / x i R, i 1,..., n } con las operaciones siguientes: n ) + (a α (x,..., a,..., x ) (x ) ( α x es un espacio vectorial real. 1 1 n n 1 n + a 1 1,..., x,..., α x n n + a n ) ), α R En consecuencia, R es un espacio vectorial sobre sí mismo. Algebra Lineal 6

7 El espacio vectorial real R Algebra Lineal 7

8 El espacio vectorial real R Algebra Lineal 8

9 Suma en R Ponderación en R Algebra Lineal 9

10 R () No sólo es un espacio vectorial sobre. Si IK es un cuerpo, IK es un espacio vectorial sobre si mismo. En este caso, la ponderación coincide con la multiplicación del cuerpo IK. En consecuencia, C (números complejos) es un espacio vectorial complejo. Pero C también es un espacio vectorial real si se considera la ponderación: α (a + bi ) αa + αbi, α R () Para m, n IN, el conjunto M mxn ( R ) de las matrices reales de orden mxn, con las operaciones suma y multiplicación habituales de las matrices, es un espacio vectorial real. (4) El conjunto R[x] de los polinomios en x con coeficientes reales, con las operaciones suma y ponderación usuales, es un espacio vectorial sobre. Algebra Lineal 10 R R

11 (5) Para n número natural, denotemos por [x] P n {p(x) R[x] / p(x) grado n } P n [x], con las operaciones suma y multiplicación por escalares reales, es un espacio vectorial real. (6) Si A R, el conjunto F(A, R) { f :A R / función }, con la suma y ponderación usuales de las funciones, es un espacio vectorial sobre. R de Cuál es el elemento cero de los siguientes espacios vectoriales reales? n R, M mxn ( R ), Pn [x] y F(A, R) Algebra Lineal 11

12 Los siguientes conjuntos, con las operaciones suma y ponderación habituales de los respectivos espacios, no son espacios vectoriales reales. A { (x, y) R / y x } B C D { a + 5x { A M n P [x] / a R } ( R ) / det(a) 0 { f F( R, R ) / f creciente } en R } Ejercicio: Demuestre que los conjuntos A, B, C y D mencionados anteriormente, no son espacios vectoriales reales. Algebra Lineal 1

13 Cuando un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre el cuerpo κ, con las operaciones de V restringidas a sus elementos, resulta ser un espacio vectorial sobre κ, entonces se dice que W es un subespacio vectorial (o subespacio lineal o simplemente subespacio) de V. Por lo tanto, W es un subespacio de V O equivalentemente, 0 V W W 0 V W no es subespacio de V Algebra Lineal 1

14 El siguiente teorema caracteriza a los subespacios de V. Teorema: Sea V un espacio vectorial sobre y W un subconjunto no vacío de V. W es un subespacio de V si y sólo si i) u, v W u + v W ii) α κ, u W αu W κ Del teorema anterior sigue que, si V es un espacio vectorial sobre κ, entonces V y { 0 } son subespacios vectoriales de V. Algebra Lineal 14

15 Ejemplo: El conjunto D { (x, y) R / y x } no es un subespacio de R pues, por ejemplo, u (, 4) D, v (, 9) D y u + v (5, 1) D. Ejemplo: El conjunto W {(x, y, un subespacio de R ; en efecto, Algebra Lineal 15 z) R / x - z 0 } W { (x, y, x) / x, y R } y se tiene que, i) 0 (0, 0, 0) W y W ii) (x, y, x) + (a, b, a) (x + a, y + b, (x + a)) W iii) α( x, y, x) ( αx, αy, αx) W En virtud del teorema enunciado anteriormente, W es un subespacio de R. es

16 Ejemplo: El conjunto U { A M n ( R ) / A es simétrica} es un subespacio de M n ( R ) ; efectivamente, i) O n U; puesto que la matriz nula es simétrica. Luego U i) A, B U (A t A B t B ) (A + B) t A t + B t A + B A + B U ii) ( α R A U) ( α A) t α A t α A α A U Por lo tanto, W es un subespacio de M n ( R ). Algebra Lineal 16

17 Ejercicio: Muestre ejemplos de conjuntos que sean subespacios de R y conjuntos que no sean subespacios de R. Ejercicio: Demuestre que los siguientes conjuntos son subespacios del respectivo espacio. S S S S 1 4 { (x, { a a c + y) bx b d R + c x M / y { (x, y, z, t) R P 4 ( R) / x [x] / 4x } + / y a a t b - c d } y c - z + t - b 0 0 } Algebra Lineal 17

18 Algebra Lineal 18 Teorema: Sea V un espacio vectorial sobre y sean U y W subespacios de V. Entonces es un subespacio de V. κ U W Efectivamente, como 0 V pertenece a U y también a W, Además si u, v son vectores de, W. U 0 V W U W U u W u U u W u U u, y W U u α α α α κ W U v u W v u U v u W v U v V u U u Finalmente, si

19 Es posible demostrar que la intersección de cualquier colección de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V. También es fácil mostrar que la unión de dos subespacios de un espacio vectorial V no es un subespacio de V. Por ejemplo, considere los subespacios de R : U { (x, y) / y x } W { (x, y) / y x } Entonces U U W no es un subespacio de R. Por qué? Algebra Lineal 19

20 Combinaciones lineales - generadores Sea V es un espacio vectorial sobre y S {v 1,..., v n } un conjunto de vectores de V. Una combinación lineal de vectores de S (o de v1,..., v n ) es un vector de la forma v α1 v αnvn, donde α...., α. 1, n κ Por ejemplo, el vector v (-1, -, 7) del espacio R es combinación lineal de los vectores s ( 1, -4, ) y t (-, 5, -1) puesto que v s + t. κ Algebra Lineal 0

21 El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de S resulta ser un subespacio vectorial de V; se llama espacio generado por S (o espacio generado por v1,..., v n ) y se denota <S> o < v,..., v } >. { 1 n Ejemplo: Determinemos el subespacio generado por los vectores v (1, 0, ) y v (0, -1, 1) de : < { v 1, 1 R v } > { αv 1 { ( α, - β, α + β) / α, β R } { (x, y, + βv z) R / α, β R } { α(1, 0, ) + β(0, -1, 1) / α, β R } / z x - y } Algebra Lineal 1

22 Ejemplo: Sea S { - 5x + x, 1- x + x } P [x] El vector p(x) - 4x 5x pertenece a < S >? La pregunta equivale a existen α( - 5x + x ) + β(1- x + x α, β R ) tales que - 4x - 5x? Esta igualdad nos conduce a α + β 5α β 4 α + β 5 Sistema que resulta incompatible y, en consecuencia, p <S> Algebra Lineal

23 V o F Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones, relativas a un espacio vectorial V, son verdaderas o falsas: A) B) C) D) 0 < S >, S V k 1,..., n, vk < {v1,..., v S T < S > < T > < S > < T > S T n } > Si V es un espacio vectorial y S es un subconjunto de V, puede ocurrir que < S > V; en este caso se dice que S genera a V o que V está generado por S. Algebra Lineal

24 Ejemplo: Consideremos los vectores de R, e 1 (1, 0, 0), e (0, 1, 0) y e (0, 0, 1). Entonces { e1, e, e } genera al espacio R ; en efecto, < { e 1, e, e } > {a(1,0, 0) + b(0,1, 0) + c(0, 0,1) / a,b,c R} {(a,b,c) / a,b,c R} R Puntos en el espacio R Algebra Lineal 4

25 R está generado por e 1 1 R 0 1 está generado por e (1, 0), e 1 (0, 1) 1 1 P [x] está generado por {1, x, x } puesto que a + bx + cx a 1+ b x + c x Cuáles son los generadores naturales de M ( )? R Algebra Lineal 5

26 4 Dependencia lineal En R, consideremos los vectores u (1, 0, -1, 0), v (0, 1, 0, -1) y w (1, -1, -1, 1). Entonces, < {u, v, w} > {( α + γ, β γ, - α γ, - β + γ ) / α, β, γ R } {(a, b, c, d) / a + c 0 y b + d 0 } Por otra parte, < {u, v} > {( α, β, - α, - β) / α, β R } {(a, b, c, d) / a + c 0 y b + d 0] Es decir, < {u, v, w} > < {u, v} >. Este hecho no es casual, se deriva de la dependencia lineal que existe entre u, v, w que, en este caso, significa w u v. Algebra Lineal 6

27 S { v 1 Sea V espacio vectorial sobre y,..., v } un conjunto de vectores de V. n Se dice que S es linealmente dependiente (l.d.) si existen escalares α 1,..., αn no todos nulos tales que α v α v n n κ Si S no es l.d., se dice que S es linealmente independiente (l.i.). Por lo tanto S es l. i. si α v α v 0 α 0, i 1,...,n 1 1 n n i Por ejemplo, los vectores e1, e, e de R son l. i. demuéstrelo! Algebra Lineal 7

28 Algebra Lineal E, E, E, E 4 1 Sea e i el vector de que tiene todas sus componentes iguales a cero, excepto la i-ésima que es uno. Entonces el conjunto de vectores {e 1,...,e n }, además de generar a, es un conjunto l. i. n R n R El conjunto {1, x, x } de generadores de P [x] es un conjunto l. i. Los vectores generan al espacio M ( ) y son l. i. R Ejercicio: Demuestre las afirmaciones hechas antes.

29 Ejercicio: Determine si los siguientes conjuntos son l. i. S { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) } R S S S 1 4 { (1, { , x - ), - x, 1 (-1,, 0, x 1), + x 0, (-1,, , ) x } } 4 4 R P M [x] ( R ) Ejercicio: Sean V espacio vectorial sobre, u y v vectores de V. a) Bajo que condiciones { v } es l. i.? b) Bajo que condiciones { u, v } es l.d.? κ Algebra Lineal 9

30 Ejercicio: Sea V espacio vectorial sobre. Demuestre que: a) 0 S S l. d b) c) ( S T ( S T T S l.i.) l.d.) S l.i. T l.d. Ejercicio: Suponga que { v 1, v, v } es un conjunto linealmente independiente de vectores de un espacio vectorial V. Demuestre que {v 1 + v v, v + v, v 1 v } es también un conjunto linealmente independiente de V. κ Algebra Lineal 0

31 Base - dimensión Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo. Una base de V es un conjunto B de vectores de V que es linealmente independiente y generador de V. Por ejemplo, para cada n IN el conjunto B { e 1,...., e n } n n de vectores de R, es una base de R ; se llama base n canónica (o usual) de R. Los conjuntos B { 1, x, x } B,,, son las bases canónicas de [x] y M ( ) respectivamente. P R Algebra Lineal 1 κ

32 Todo espacio vectorial tiene una base? Si un espacio vectorial posee un conjunto finito de generadores S, S {0}, entonces S contiene a una base de V. Para demostrar este hecho consideremos S {v 1,..., v m }. (*) Si S es l.i., entonces S es base de V. Si S no es l.i., alguno de los vectores de S, llamemos v i depende linealmente de los demás y el conjunto S (1) S {v i } sigue generando a V. Y volvemos a (*) pero ahora con S (1). Repitiendo este proceso llegamos a obtener una base de V que, al menos, tendrá un solo vector no nulo. Algebra Lineal

33 Cada espacio vectorial tiene una única base? No, por ejemplo, sea B el conjunto de vectores de B {(-, 1, 0), (1,, ), (1, 1, 1)} R i) Demostremos que B es linealmente independiente. Sean α, β, γ R tales que α(,1, 0) + β(1,, ) + γ(1,1,1) (0, 0, 0) α + β + γ α + β + γ β + γ Luego B es l. i Sistema que tiene solución única α 0, β 0, γ 0 Algebra Lineal

34 ii) Demostremos que B genera a R. Sea ( a, b, c) R y α, β, γ R tales que α(,1, 0) + β(1,, ) + γ(1,1, 1) (a, b, c) α + β + α + β + β + γ b γ c Sistema que tiene solución única En consecuencia, γ a α a b + c β a + b - c γ a - 4b + 7c (-a-b+c)(-, 1, 0) + (a+b-c)(1,, ) + (-a-4b+7c)(1, 1, 1) (a, b, c) Luego B genera a R y B es una base de R. Algebra Lineal 4

35 Ejercicio: Determine si los conjuntos S 1, S base del espacio P [x]. S 1 { + x + x, + x, -1 + x + x } S {1 + x, -1 + x, + x } son Ejercicio: Suponga que { v 1, v, v } es una base de un espacio vectorial V. Demuestre que {v 1 + v v, v + v, v 1 + 4v + 6v } también es una base de V. Algebra Lineal 5

36 Un espacio vectorial V sobre puede tener múltiples bases, pero se puede demostrar que todas ellas, cuando son finitas, tienen el mismo número de elementos (la misma cardinalidad). Este hecho nos permite entregar el siguiente concepto: κ Si V es un espacio vectorial sobre que tiene una base B con n vectores, entonces se dice que V es un espacio de dimensión finita y el número entero n se llama dimensión de V. κ Si V tiene dimensión n, anotaremos dim K V n dim V n, si no hay lugar a confusión. o Algebra Lineal 6

37 En consecuencia, dim R 1, dim dim P [x], dim M ( R) 4, R n n dim P n dim M [x] mn n + 1 ( R) mn Cuál es la dimensión del espacio {0} El espacio V {0} no posee base, sin embargo se le asigna la dimensión cero: dim {0} 0 Algebra Lineal 7

38 Ejemplo: Determinemos la dimensión del subespacio de P [x], W { a + bx + cx / a b + 4c 0} Se tiene que W {a + bx + cx { a + (a + 4c)x + cx { a(1 + x) + c(4x + x < { 1 + x, 4x + x / b a + 4c } } > / a, c R } ) / a, c R } Siendo B { 1 + x, 4x + x } un conjunto generador de W y linealmente independiente, puesto que B tiene dos vectores y uno no es múltiplo escalar del otro, B es una base de W; luego dim W. Algebra Lineal 8

39 Observaciones: 1) La dimensión del espacio vectorial real C de los números complejos es. Pero si consideramos a C como espacio vectorial sobre si mismo, entonces C es un espacio de dimensión 1. Justifique esta afirmación. ) Existen espacios vectoriales que no poseen una base finita. Dichos espacios se dicen de dimensión infinita; por ejemplo, el espacio vectorial real C([a, b]; R ), de todas las funciones reales continuas en [a, b] tiene dimensión infinita. Muestre otro ejemplo de un espacio vectorial de dimensión infinita. Algebra Lineal 9

40 Sea V un espacio vectorial sobre de dimensión finita n. La demostración de los siguientes teoremas queda de ejercicio. 1. Si S {v 1,...., v m } V, con m > n, entonces S es l.d.. Si B {v 1,...., v n } V es l. i., entonces B es base de V.. Si B {v 1,...., v n } V es generador de V, entonces B es base de V. 4. Si W es un subespacio de V, entonces dimw n 5. Si W es un subespacio de V tal que dim W n, entonces V W. κ Algebra Lineal 40

41 En un espacio vectorial V de dimensión finita, un conjunto linealmente independiente de vectores de V puede completarse hasta formar una base de V. Teorema (Completación de base) Sea V espacio vectorial sobre κ de dimensión finita n. Si { v1,..., vk } V, con k < n, es un conjunto linealmente independiente, entonces existen vectores vk+ 1,..., vn V tales que { v1,..., vk, vk+ 1,..., vn} es base de V. Ejercicio: Demuestre el teorema precedente. Algebra Lineal 41

42 Ejercicio: Considere el subespacio de M (R), a b W / a - b + c - 4d 0 a + b - d 0 c d a) Determine una base S para W. b) Encuentre una base B de M (R) que contenga a la base S de W. Ejercicio: Determine todos los valores del número k de modo que el conjunto B { (1, 1, -1), (, k, k), (4, k, 0)} sea una base de R. Algebra Lineal 4

43 El siguiente teorema nos proporciona otra caracterización para las bases de un espacio vectorial de dimensión finita. Teorema: Sea V espacio vectorial sobre y sea B {v 1,...., v n } conjunto de vectores de V. B es base de V todo vector v de V se escribe de una única manera como combinación lineal de los vectores de B. Ejercicio: Demuestre el teorema precedente. κ Algebra Lineal 4

44 El teorema precedente asegura que para cada v V existen únicos escalares α1,..., αn κ tales que v α v α 1 1 n v n Estos escalares reciben el nombre de coordenadas del vector v con respecto a la base (ordenada) B y se denotan v] ( α,....., α ) [ B 1 n Observe que [v] B es un vector de. Por esta razón, muchas veces es llamado vector coordenado. κ n Algebra Lineal 44

45 Ejemplo: Las coordenadas del vector v (6, -5) con respecto a la base canónica E {(1, 0), (0, 1)} de R son [ v] E (6, Cuáles son las coordenadas de v (6, -5) con respecto a la base ordenada B {(5, - ), (, -1)}? α, Debemos resolver para la ecuación - β R 5) α( 5, - ) + β(, -1) (6, es decir, 5α + β 6 - α β - 5-5) R De aquí, [ v] B (4, - 7) Algebra Lineal 45

46 Ejemplo: Sea v R tal que [ v] B (1, - 1, ), donde B es la base ordenada B {(1, -1, ), (1, 0, -), (, 1, -1)}. Cuál es el vector v? Determinemos [ v ] C, donde C es la base C {(1, 0, 1), (1, 1, ), (1, 1, 4)}. El vector es v 1(1, -1, ) -1(1, 0, -) + (, 1, -1) (6, 1, ) Determinemos α, β, α + β + 4γ Obtenemos [ v ] C (5,, -) γ R tales que α( 1, 0,1) + β(1,1, ) + γ(1,1, 4) (6,1, ) Esto requiere resolver el sistema compatible α + β + γ 6 β + γ 1 Algebra Lineal 46

47 Ejemplo: Consideremos la base ordenada de P [x] B {1 + x, 1+ x, + x } Determinemos las coordenadas del vector p (x) 4 + 5x - x con respecto a la base B, esto es, encontremos tales que α, β, γ R α( 1+ x ) + β(1 + x) + γ( + x ) 4 + 5x x Reordenando e igualando polinomios obtenemos el sistema: α + β + γ 4 β 5 α + γ - cuya solución nos conduce a [ p(x)] B (, 5, - ) Algebra Lineal 47

48 Sea V espacio vectorial sobre y B una base ordenada de V. Entonces, κ (1) () [v [ α + v] u] B B α [v] [v] B B +, [u ] v B, V, v, u α V κ Ejercicio: Sea B { v 1, v, v } una base ordenada de R. Determine los vectores de B si se sabe que (-1, 1, 1), (1, -1, ) y (, -1, 1) son las respectivas coordenadas, según la base B, de los vectores e 1, e, e de la base canónica de R. Algebra Lineal 48

49 Suma y Suma directa Sea V un espacio vectorial sobre y sean U, W dos subespacios de V. Ya mencionamos que la unión de U y W no es, necesariamente, un subespacio de V. Definiremos U + W, la suma de U y W; esta resultará ser un subespacio de V que contendrá a ambos subespacios. κ La suma de U y W es: U+ W { v V / v u+ w, u U, w W } Algebra Lineal 49

50 Se tiene que: i) 0 V 0 + 0, con 0 U y 0 W ii) Si v 1 u 1 + w 1 y v u + w son vectores de U + W, entonces v 1 + v (u 1 + u ) + (w 1 + w ) U + W. iii) Si α κ, entonces αv1 αu1 + αw1 U + W Por lo tanto U + W es un subespacio de V. Además se puede establecer que: (1) () () U U + W Si U S y W dim(u+ W) dimu y W U + W T, + entonces dim W - U + W dim(u W) S T Algebra Lineal 50

51 Puede suceder que dim(u + W) dim V, es decir, V U + W. Por ejemplo, R U+ W donde U {(1, 0), (0, 1)} y W {(, 1)} En efecto, es claro que U+ W R Por otra parte, si ( x, y) R, entonces (x, y) (0, y - x ) + (x, x ) U + W Si V U + W, los vectores de V no necesariamente se escriben de manera única como una suma de un vector de U y un vector de W. En el ejemplo anterior, (, ) (0, 1) + (, 1) (, ) -6(1, 0) + (, 1) Algebra Lineal 51

52 Observe que: V U+ W v V, u U, w W: v u + w Sea V un espacio vectorial sobre y sean U, W dos subespacios de V. Se dice que V es la suma directa de U y W, en cuyo caso se anota V U W si κ v V,!u U,! w W: v u + w Ejercicio: Sean U < {(0, 1)} > y W < {(, 1)} > subespacios de R. Demuestre que R directa de U y W. es suma Algebra Lineal 5

53 Una caracterización útil de la suma directa la entrega el siguiente teorema: Teorema: Sea V un espacio vectorial sobre y sean U, W dos subespacios de V. V U W (V U+ W U W {0}) Ejercicio: Demuestre el teorema precedente. Consecuencia del teorema anterior es la siguiente: Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y V U W, entonces dim V dim U + dim W. κ Algebra Lineal 5

54 Ejercicio: Considere los subespacios de R U 1 { (x, y, z) : x + y + z 0 } U < { (1, 1, 1) } > Demuestre que R es suma directa de U 1 y U. Ejercicio: Sean S 1 y S los subespacios de M ( R) S 1 { A M ( R) / A diagonal a b S M( R) / d 0 c d Es M (R) suma directa de S 1 y S? } Algebra Lineal 54

55 Dado un subespacio U de V, existe un suplementario de U? Es decir, existe un subespacio W de V tal que V U W. Teorema: Sea V un espacio vectorial sobre de dimensión finita n y sea U subespacio de V. Entonces existe W subespacio de V tal que V U W. En efecto, si U V, basta tomar W {0}. Supongamos que dim U k < n y sea { v 1,..., v k } una base de U. Por el teorema completación de base, existen v k+1,..., v n vectores de V tales que { v 1,...., v n } es base de V. Sea W { v k+1,..., v n } ; entonces V U W. κ Algebra Lineal 55

56 El suplementario de un subespacio U no es único. En R cualquier par de rectas no colineales que pasen por el origen, están asociadas a subespacios suplementarios. Ejercicio: Considere el subespacio de 4 R, U {(x, y, z, t) : x - y + z 4 t 0 y x + y + z 0} 4 4 Determine W subespacio de R tal que R U W. Algebra Lineal 56

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios

Más detalles

Tema 2: Espacios Vectoriales

Tema 2: Espacios Vectoriales Tema 2: Espacios Vectoriales José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 2: Espacios Vectoriales Lección 2. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Bases. Lección 3. Coordenadas respecto de una base. Ecuaciones.

Más detalles

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Sea (K, +,.) un cuerpo con característica 0. Podemos pensar K = Q, R o C. Si V es un conjunto cualquiera en el que

Más detalles

Tema 3: Espacios vectoriales

Tema 3: Espacios vectoriales Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.

Más detalles

Introducción a los espacios vectoriales

Introducción a los espacios vectoriales 1 / 64 Introducción a los espacios vectoriales Pablo Olaso Redondo Informática Universidad Francisco de Vitoria November 19, 2015 2 / 64 Espacios vectoriales 1 Las 10 propiedades de un espacio vectorial

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero

CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero Fundamento Científico del Currículum de Matemáticas en Enseñanza Secundaria CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN... 1 PROPIEDADES DE

Más detalles

Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21 Algebra Lineal Gustavo Rodríguez Gómez INAOE Verano 2011 Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano 2011 1 / 21 Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES MATEMÁTICA I - - Capítulo 8 ------------------------------------------------------------------------------------ ESPACIOS VECTORIALES.. Espacios Vectoriales y Subespacios... Definición. Un espacio vectorial

Más detalles

Algebra lineal y conjuntos convexos

Algebra lineal y conjuntos convexos Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar

Más detalles

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES Formas reducidas y escalonada de una matriz SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ) Encuentre una sucesión de matrices elementales E, E,..., E k tal que

Más detalles

un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:

un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades: CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1- Definición y propiedades. 2.1.1-Definición: espacio vectorial. Sea un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es necesario preocuparse

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

Espacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21

Espacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Espacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si unos vectores son independientes.

Más detalles

Espacios Vectoriales www.math.com.mx

Espacios Vectoriales www.math.com.mx Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1:

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1: 6 Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio : Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

MMAF: Espacios normados y espacios de Banach

MMAF: Espacios normados y espacios de Banach MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Licenciatura en Estadística R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Curso 2011/2012 Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto de elementos sobre el

Más detalles

MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales. 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios

MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales. 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Curso 2007-2008. 1 MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios Dados dos conjuntos V y K se llama ley de composición externa

Más detalles

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: 1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con

Más detalles

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura: 4 Subespacios 29 b) x 5 [25;5], 5 [;24], z 5 [4;4] Use a 5 2, a 5 / a 5 2 / 2 c) Su propia elección de x,, z /o a 2 a) Elija algunos valores para n m genere tres matrices aleatorias de n m, llamadas X,

Más detalles

Descomposición en forma canónica de Jordan (Segunda versión)

Descomposición en forma canónica de Jordan (Segunda versión) Descomposición en forma canónica de Jordan (Segunda versión) Francisco J. Bravo S. 1 de septiembre de 211 En esta guía se presentan los resultados necesarios para poder construir la forma de Jordan sin

Más detalles

Espacios vectoriales reales.

Espacios vectoriales reales. Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre

Más detalles

Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal.

Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal. Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato email: jrico@salamancaugtomx

Más detalles

Problemas de Espacios Vectoriales

Problemas de Espacios Vectoriales Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial

Más detalles

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc. Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas están elaboradas pensando simplemente en facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y en consecuencia se caracterizan por

Más detalles

Espacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios

Espacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios , Valores y Vectores Propios José Juan Rincón Pasaye, División de Estudios de Postgrado FIE-UMSNH Curso Propedéutico de Matemáticas para la Maestría en Ciencias opciones: Sistemas de Control y Sistemas

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

Espacios Vectoriales. Tema Introducción. 1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas

Espacios Vectoriales. Tema Introducción. 1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas se han escrito con el ánimo de facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y no como un libro de texto o manual de Álgebra

Más detalles

Conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3

Conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3 Conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3 Objetivos. Definir el conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3. Requisitos. Conjunto de los números reales R, propiedades de las operaciones aritméticas en

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Ev En todo el curso K es un cuerpo Podeis pensar que K = Q, K = R o K = C Un conjunto no vacio E es un K-espacio vectorial (o abreviadamente, un K-ev) cuando existan dos operaciones,

Más detalles

Estructuras Algebraicas

Estructuras Algebraicas Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos

Más detalles

Espacios Vectoriales Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1

Espacios Vectoriales Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Espacios Vectoriales 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Espacios Vectoriales... 4 1.1 Definición de espacio vectorial... 4 1.2 Definición de subespacio vectorial...

Más detalles

LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS

LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS Sea una estructura formada por un conjunto A, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley interna, comúnmente denotada por " * ", que

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes

Más detalles

Base y Dimensión de un Espacio Vectorial

Base y Dimensión de un Espacio Vectorial Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un

Más detalles

Ejercicios del Tema 2: Estructuras algebraicas básicas

Ejercicios del Tema 2: Estructuras algebraicas básicas Ejercicios del Tema 2: Estructuras algebraicas básicas En los ejercicios 1, 2, 8 y 9 se utilizará que si G = {g 1,...,g n } es un conjunto finito y * una operación interna definida en G, podemos utilizar

Más detalles

TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA.

TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. 8..- El plano. Definimos el plano euclideo como el conjunto de puntos ( x, y) R. Así, cada punto del plano posee dos coordenadas. Para representar puntos del plano utilizaremos

Más detalles

1 ÁLGEBRA DE MATRICES

1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa

Más detalles

Álgebra Lineal V: Subespacios Vectoriales.

Álgebra Lineal V: Subespacios Vectoriales. Álgebra Lineal V: Subespacios Vectoriales. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: jrico@salamanca.ugto.mx

Más detalles

Capítulo 7. Espacios vectoriales. 7.1 Definición y ejemplos

Capítulo 7. Espacios vectoriales. 7.1 Definición y ejemplos Capítulo Espacios vectoriales.1 Definición y ejemplos Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (que supondremos conmutativo es un conjunto no vacío junto con 1. una operación interna, +, a la que llamaremos

Más detalles

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Espacios vectoriales Clase 5 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia En esta sección estudiaremos uno de los conceptos

Más detalles

Tema 11.- Autovalores y Autovectores.

Tema 11.- Autovalores y Autovectores. Álgebra 004-005 Ingenieros Industriales Departamento de Matemática Aplicada II Universidad de Sevilla Tema - Autovalores y Autovectores Definición, propiedades e interpretación geométrica La ecuación característica

Más detalles

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Eduardo P. Serrano Este Apunte de Clase está dirigido a los alumnos de la materia Elementos de Cálculo Numérico para Biólogos. Tiene por objeto exponer algunos conceptos básicos

Más detalles

Apuntes de Álgebra. Publicación Valentín Barros Puertas

Apuntes de Álgebra. Publicación Valentín Barros Puertas Apuntes de Álgebra Publicación 0.0.1 Valentín Barros Puertas 16 de January de 2015 Índice general 1. Tema 1 2 1.1. Cuerpo.................................................. 2 1.2. Matriz..................................................

Más detalles

ALN. Repaso matrices. In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República

ALN. Repaso matrices. In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República ALN Repaso matrices In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República Definiciones básicas - Vectores Definiciones básicas - Vectores Construcciones Producto interno: ( x, y n i x y i i ' α Producto

Más detalles

IN Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0

IN Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0 IN3701 - Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0 Acá va una pequeña guía con problemas resueltos de Geometría en Programación Lineal con problemas básicamente extraídos del

Más detalles

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales. 12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión

Más detalles

Guía. Álgebra II. Examen parcial III. Transformaciones lineales. Teoremas los más importantes cuyas demostraciones se pueden incluir en el examen

Guía. Álgebra II. Examen parcial III. Transformaciones lineales. Teoremas los más importantes cuyas demostraciones se pueden incluir en el examen Guía. Álgebra II. Examen parcial III. Transformaciones lineales. Teoremas los más importantes cuyas demostraciones se pueden incluir en el examen 1. Teorema de la representación matricial de una transformación

Más detalles

PAIEP. Complemento Ortogonal

PAIEP. Complemento Ortogonal Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Complemento Ortogonal Veamos ahora una aplicación de los vectores ortogonales a la caracterización de subespacios

Más detalles

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales Tema 0 Matrices y determinantes Sistemas de ecuaciones lineales 01 Introducción Definición 011 Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo

Más detalles

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Z = N {0} N Enteros Las operaciones + y. son cerradas en Z, es decir la suma de dos números enteros es un número entero y el producto

Más detalles

Tema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS

Tema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS 1 Tema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS 1.1 Los Números Naturales. Los números naturales aparecen por la necesidad que tiene el hombre (primitivo) tanto de contar como de ordenar

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una

Más detalles

Algebra Lineal y Geometría.

Algebra Lineal y Geometría. Algebra Lineal y Geometría. Unidad n 6: Subespacios Vectoriales. Algebra Lineal y Geometría Esp. Liliana Eva Mata 1 Contenidos. Subespacios Vectoriales. Operaciones con Subespacios: Intersección, unión,

Más detalles

Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física

Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física Resumen del curso 2014 para Lic. en Física (2 o año), Depto. de Física, UNLP. Prof.: R. Rossignoli 0. Repaso de estructuras algebraicas básicas Un sistema algebraico

Más detalles

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE.

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE. ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Polinomio Sea K (Q,

Más detalles

Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados.

Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 215/216 Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. 1.1. Grupo abeliano libre. Bases. Definición 1.1. El grupo Z n con

Más detalles

APUNTE N o 3 ESPACIOS VECTORIALES

APUNTE N o 3 ESPACIOS VECTORIALES INGENIERÍA VESPERTINA EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL APUNTE N o 3 ESPACIOS VECTORIALES MATEMÁTICA II PROFESOR RICARDO SANTANDER BAEZA 003 Ricardo Santander Baeza Universidad de Santiago de Chile Apunte 3

Más detalles

Espacios Vectoriales. Espacio vectorial

Espacios Vectoriales. Espacio vectorial Espacios Vectoriales Espacio vectorial En Matemática, los conjuntos tienen un particular interés debido a la naturaleza o a la aplicación que se les da. Estas dos características están presentes en un

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES 1. Introducción: 1.1 Grupo Abeliano 1. Cuerpo. Estructura de espacio vectorial 3. Propiedades 4. Subespacio vectorial 5. Combinación lineal de vectores 5.1 Propiedades 6. Dependencia e independencia lineal

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Leandro Marín Octubre 2010 Índice Definición y Ejemplos Paramétricas vs. Impĺıcitas Bases y Coordenadas Para definir un espacio vectorial tenemos que empezar determinando un cuerpo sobre el que esté definido

Más detalles

Clase 8 Matrices Álgebra Lineal

Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas

Más detalles

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO I LOGICA Y CONJUNTOS.

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO I LOGICA Y CONJUNTOS. ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 Primer Semestre CAPITULO I LOGICA Y CONJUNTOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Concepción 1 La lógica es

Más detalles

SESIÓN 4: ESPACIOS VECTORIALES

SESIÓN 4: ESPACIOS VECTORIALES SESIÓN 4: ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial sobre un campo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será

Más detalles

Espacios vectoriales. Capítulo Espacios vectoriales y subespacios Preliminares

Espacios vectoriales. Capítulo Espacios vectoriales y subespacios Preliminares Capítulo 1 Espacios vectoriales En diversos conjuntos conocidos, por ejemplo los de vectores en el plano o en el espacio (R 2 y R 3 ), o también el de los polinomios (R[X]), sabemos sumar sus elementos

Más detalles

Cálculo en varias variables para Ciencias Químicas y Ambiental

Cálculo en varias variables para Ciencias Químicas y Ambiental Cálculo en varias variables para Ciencias Químicas y Ambiental Andrés Durán Poblete Concepción, Enero de 008 PROLOGO Este texto es para ser usado como apoyo por los alumnos de Ciencias Químicas e Ingeniería

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

Rectas y Planos en el Espacio

Rectas y Planos en el Espacio Rectas y Planos en el Espacio Rectas y Planos en el Espacio Verónica Briceño V. septiembre 2012 Verónica Briceño V. () Rectas y Planos en el Espacio septiembre 2012 1 / 20 En esta Presentación... En esta

Más detalles

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Subespacios Vectoriales

Subespacios Vectoriales Subespacios Vectoriales Prof. Apuntes del Postgrado en Ingeniería 31 Mayo 2008 Subespacio Definición de Subespacio y Ejemplos. Definición Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V(K). Si

Más detalles

Tema III. Espacios vectoriales

Tema III. Espacios vectoriales Tema III. Espacios vectoriales 1. Espacios vectoriales 2. Dependencia e independencia lineal 3. Sistemas generadores. Bases 4. Cambio de base 5. Subespacios vectoriales. Ecuaciones. 6. Interpretación geométrica

Más detalles

Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES

Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Espacio vectorial Definición 1.1 Un espacio vectorial es una terna (V, +, ), donde V es un conjunto no vacío y +, son dos

Más detalles

Definición de la matriz inversa

Definición de la matriz inversa Definición de la matriz inversa Objetivos Aprender la definición de la matriz inversa Requisitos Multiplicación de matrices, habilidades básicas de resolver sistemas de ecuaciones Ejemplo El número real

Más detalles

elemento neutro y elemento unidad: inversa aditiva (opuesto): para todo λ K 0, existe un único µ K tal que λµ = 1;

elemento neutro y elemento unidad: inversa aditiva (opuesto): para todo λ K 0, existe un único µ K tal que λµ = 1; 3. Espacios Vectoriales 3.1. Definición de espacio vectorial Un cuerpo es una estructura algebraica (K, +, ) formada por un conjunto K no vacio y dos operaciones internas + y que verifican las siguientes

Más detalles

ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA , Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS.

ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA , Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS. ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA 520135, 522115 Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Polinomio Sea K

Más detalles

Temario de Matemáticas

Temario de Matemáticas Temario de Matemáticas BLOQUE I: ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA 1 o Grado en Biología Alma Luisa Albujer Brotons Índice general 1. Matrices 1 1.1. Conceptos básicos y ejemplos...............................

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

Práctica 1. Espacios vectoriales

Práctica 1. Espacios vectoriales Práctica 1. Espacios vectoriales 1. Demuestre que R n (C n ) es un espacio vectorial sobre R (C) con la suma y el producto por un escalar usuales. Es C n un R-espacio vectorial con la suma y el producto

Más detalles

3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE

3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE 3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método

Más detalles

b) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A

b) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A APENDICE Relaciones y Operaciones Compatibles 1 Definición: a) Sea A un conjunto y una relación entre elementos de A. Decimos que es una relación de equivalencia si es: i Reflexiva: a A, a a. ii Simétrica:

Más detalles

Definición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar.

Definición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar. UNIDAD 03: MATRICES Y DETERMINANTES. 3.1 Conceptos de Matrices. 3.1.1 Definición de matriz. Definición: Se lama matriz de orden m x n a un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones y n columnas.

Más detalles

(L. S. I. P. I.) Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO. Espacios Vectoriales

(L. S. I. P. I.) Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO. Espacios Vectoriales ÁLGEBRA II (L.S.I P.I.) Guía de Trabajos Prácticos Nº ÁLGEBRA II (L. S. I. P. I.) Guíía de Trabajjos Prácttiicos Nºº Espacios Vectoriales.- Dados los vectores u v w r = s = verifique gráficamente: u v

Más detalles

Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales. Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química Matemáticas I - Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales

Más detalles

TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO

TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO Dados dos puntos y, se define el vector como el segmento orientado caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo

Más detalles

Tema 1: Espacios vectoriales

Tema 1: Espacios vectoriales PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Parte I: Álgebra Primero de Ingeniería Química FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha Tema 1: Espacios vectoriales 1 Determina

Más detalles

1. ESPACIOS VECTORIALES

1. ESPACIOS VECTORIALES 1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,

Más detalles

Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I?

Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I? MATRICES Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I? La multiplicación de matrices cuadradas, tiene la propiedad conmutativa?

Más detalles

Vectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos

Vectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I Virginia Mazzone Contenidos Vectores y Matrices Bases y Ortonormailizaciòn Norma de Vectores Ecuaciones Lineales Algenraicas Ejercicios Vectores y Matrices Los

Más detalles

Conjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu

Conjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu Susana Puddu 1. Repaso sobre la teoría de conjuntos. Denotaremos por IN al conjunto de los números naturales y por ZZ al de los enteros. Dados dos conjuntos A y B decimos que A está contenido en B o también

Más detalles

UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método de igualación. Método de reducción. Método de sustitución Método de eliminación Gaussiana.

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro

Sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro Vamos a hacer uso del Teorema de Rouché-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer grado. En particular, dedicaremos este artículo a resolver sistemas de ecuaciones lineales que

Más detalles

Ecuaciones de la recta en el espacio

Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2011 2012) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí.

Más detalles

Álgebra Lineal y Geometría. Tema 3

Álgebra Lineal y Geometría. Tema 3 Álgebra Lineal y Geometría Tema 3 Departamento de Álgebra, Universidad de Sevilla El contenido de estas notas ha sido diseñado y redactado por el profesorado de la asignatura. Se permite su reproducción,

Más detalles

MATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES

MATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES MATEMÁTICASII Curso académico 2015-2016 BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES 1.1 VECTORES DEL ESPACIO. VECTORES LIBRES DEL ESPACIO Sean y dos puntos del espacio. Llamaremos vector (fijo) a un segmento orientado

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES. VARIEDADES LINEALES, APLICACIONES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES. TEOREMAS DE ISOMORFIA.

ESPACIOS VECTORIALES. VARIEDADES LINEALES, APLICACIONES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES. TEOREMAS DE ISOMORFIA. ESPACIOS VECTORIALES. VARIEDADES LINEALES, APLICACIONES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES. TEOREMAS DE ISOMORFIA. Índice de contenido 1. Espacio vectorial....2 Estructura de espacio vectorial...2 Subespacios

Más detalles

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz

Más detalles

Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017

Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Grupo: Matrícula: Nombre: Tipo:-1 1. Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: y Si Calcule: 1.

Más detalles