INTEGRALES VECTORIALES DE RIEMANN Y MCSHANE TESINA DE LICENCIATURA

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1 INTEGRALES VECTORIALES DE RIEMANN Y MCSHANE José Rodríguez Ruiz TESINA DE LICENCIATURA Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Septiembre de 2002

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3 D. José Luis Grcí Hernández, director del Deprtmento de Mtemátics de l Universidd de Murci, CERTIFICA que l presente memori con título Integrles vectoriles de Riemnn y McShne h sido relizd por el licencido en Mtemátics José Rodríguez Ruiz y constituye su tesin. Y pr que sí conste, en cumplimiento de l legislción vigente, firmo l presente en Murci, 6 de septiembre de V o B o José Luis Grcí Hernández

4 D. Gbriel Ver Botí CERTIFICA que l presente memori con título Integrles vectoriles de Riemnn y McShne h sido relizd bjo su dirección por el licencido en Mtemátics José Rodríguez Ruiz y constituye su tesin. Y pr que sí conste, en cumplimiento de l legislción vigente, firmo l presente en Murci, 6 de septiembre de V o B o Gbriel Ver Botí

5 Pr Glori, con todo mi mor

6 Agrdecimientos Como suele ser hbitul, prte del ppel que el sufrido lector tiene entre sus mnos está destindo mostrr l grtitud del utor hci quells persons que, de un modo u otro, hn colbordo pr que este trbjo ve, l fin, l luz. En primer lugr, quiero mostrr mi más sincero grdecimiento Gbriel Ver, mi director, por proporcionrme l oportunidd de relizr est tre y, pese l letoriedd de mis visits, ser siempre un firme punto de poyo, bien l hor de despejr duds, bien l hor de ofrecer un perspectiv globl de un cierto sunto. Quisier tmbién reconocer l yud prestd por Bernrdo Cscles, sí como su constnte empuje y motivción, que sin dud me hn mrcdo profundmente. Asimismo, l colborción de Mtís Rj h contribuido l enriquecimiento de l Sección 5.2 de est memori. Sirvn ests línes como homenje tod mi fmili, mis pdres, hermnos, tíos, buelos... que siempre están hí y me hn yuddo permnentemente en l más difícil de tods ls crrers: l vid. Aunque en su Espcios Métricos Boolenos h dejdo bien clro que no es prtidrio de semejntes muestrs de fecto, no quiero psr por lto l ocsión de mnifestr mi grtitud hci Antonio Avilés. Ls lrgs conversciones sobre Mtemátics, de ls que sin dud he slido beneficido, y, sobre todo, su grn mistd, justificn plenmente su inclusión en l presente list en l que no puede fltr Mri Ángeles, un buen mig que me ofreció su ordendor pr tecler, entre otrs coss, est memori. Y, sobre todo, doy ls grcis Glori. Por su mor, por su comprensión, por estr mi ldo en los dís grises y soledos, por su poyo, por su pcienci, por su confinz y, en definitiv, por todo. A est mrvillos chic v dedicdo este modesto trbjo.

7 Índice Generl Introducción vii I Integrl de Riemnn 1 1 Definición y propieddes elementles 3 2 Condiciones suficientes de integrbilidd Vrición débilmente cotd Integrbilidd Drboux L propiedd de Lebesgue Espcios de Bnch con l propiedd de Lebesgue L propiedd débil de Lebesgue Otros espcios sin l propiedd LP Forms débiles de l integrl 39 5 Continuidd débil e integrbilidd Crcterizción de l propiedd de Schur Espcios de Bnch con l propiedd [H] Integrbilidd y propiedd de Bourgin 57 7 Límites de sums de Riemnn 61 II Integrl de McShne 67 8 Introducción l integrl de McShne Propieddes elementles El lem de Henstock Integrbilidd de funciones simples Relción con l integrl de Riemnn v

8 vi 9 L integrl de funciones esclres Integrbilidd bsolut El teorem de l convergenci monóton Medibilidd de ls funciones integrbles L equivlenci Lebesgue-McShne Relción con otrs integrles Integrbilidd Pettis Pso l límite bjo l integrl de McShne Relción con l integrl de Bochner III Apéndices 117 A Complementos 119 A.1 Medid e integrción Lebesgue A.2 Medids vectoriles A.3 Series incondicionlmente convergentes A.4 Medibilidd, integrl de Bochner y Pettis A.4.1 Medibilidd e integrción Bochner A.4.2 Integrl de Pettis A.5 L propiedd de Bourgin A.6 Espcios de Bnch A.7 Misceláne

9 Introducción Desde sus orígenes, l Teorí de l Integrción h constituido un de ls rms más destcds de l Mtemátic y sus plicciones en otros cmpos son múltiples y de enorme importnci. Nuestro trbjo se enmrc dentro de lo que se conoce como Integrción Vectoril, que podemos definir brevemente como el estudio de técnics de integrción de funciones f : Ω X, donde Ω es un espcio de medid y X un espcio vectoril topológico, en generl un espcio de Bnch. Desde los trbjos iniciles de G. Birkhoff, S. Bochner, N. Dunford y B.J. Pettis en los ños 30 (vése [30]), un grn número de mtemáticos h puesto tod su energí en el desrrollo de técnics de integrción vectoril como medio pr estudir propieddes topológics y geométrics de los espcios de Bnch. Hst hor ls integrles más nlizds y de myor impcto en l teorí de espcios de Bnch hn sido ls de Bochner (un generlizción nturl de l de Lebesgue) y Pettis. Nuestro trbjo vers sobre otros dos tipos de integrl vectoril: ls integrles de Riemnn y McShne de funciones f : [, b] X, donde X es un espcio de Bnch. L Integrl de Riemnn Vectoril es l extensión nturl de l conocid integrl que se enseñ los estudintes de primer curso de licencitur. A ell dedicmos l primer prte de est memori, cuyo contenido resumimos continución. En el Cpítulo 1 definimos l integrl de Riemnn y extendemos l cso generl lguns propieddes elementles. Pronto se pone de mnifiesto que el cso vectoril present cierts diferencis con el esclr. Así, existen funciones f : [, b] X integrbles Riemnn cuy norm f : [, b] R no es integrble Riemnn y que, demás, no son medibles Bochner. En prticulr, se observ que l integrl de Bochner no es un extensión de l de Riemnn, l contrrio de lo que ocurre pr funciones reles con l integrl de Lebesgue. En el Cpítulo 2 nlizmos dos condiciones suficientes pr que un función se integrble Riemnn: que teng vrición débilmente cotd o que se integrble Drboux. Adptmos l cso vectoril l conocid crcterizción de Lebesgue sobre integrbilidd Drboux y deducimos que un función cotd continu en csi todo punto es integrble Riemnn. Sin embrgo, el recíproco no es cierto en generl y el Cpítulo 3 está dedicdo estudir l clse de los espcios de Bnch pr los que tod función integrble Riemnn es continu vii

10 viii INTRODUCCIÓN en csi todo punto. Los únicos espcios conocidos con est propiedd son los de dimensión finit, l 1 y el espcio de Tsirelson. Proporcionmos ejemplos que desmienten l conjetur pr el resto de espcios de sucesiones clásicos, C[0, 1] y los espcios uniformemente convexos, demás de nlizr el problem pr l topologí débil. En el Cpítulo 4 probmos que l integrl de Pettis extiende l de Riemnn y hcemos un breve estudio de cierts forms débiles de l integrl. El Cpítulo 5 está dedicdo en su totlidd crcterizr, medinte integrción Riemnn, un pr de propieddes de los espcios de Bnch reltivs l convergenci en norm de sucesiones convergentes respecto de cierts topologís vectoriles más gruess. Por ejemplo, y como plicción del principl resultdo de l Sección 5.1, obtenemos que: un espcio de Bnch X es de Schur si y sólo si tod función débilmente continu f : [0, 1] X es integrble Riemnn; un espcio de Bnch X es de dimensión finit si y sólo si tod función ω -continu f : [0, 1] X es integrble Riemnn. En el Cpítulo 6 demostrmos que tod función integrble Riemnn tiene l llmd propiedd de Bourgin cundo X es rel. Como consecuenci de este resultdo, que creemos originl, obtenemos un mejor de l firmción l integrl de Pettis extiende l de Riemnn y un prueb de l compcidd de Z f = {x f : x B X } en. 1. Finlizmos el bloque dedicdo l integrl de Riemnn con un breve resumen (Cpítulo 7) de lo que ctulmente se conoce sobre los conjuntos de límites de sums de Riemnn de un función cotd f : [0, 1] X. Repsmos sin demostrciones l histori de los dos principles problems: l existenci de límites y l convexidd del conjunto de los mismos. L segund prte de est memori está dedicd l estudio de l Integrl de McShne Vectoril, unque el cso esclr ocup un lugr importnte en nuestro desrrollo. A finles de los cincuent, mientrs trbjb en problems de ecuciones diferenciles, J. Kurzweil definió y utilizó ([41]) l integrl que luego se llmrí de Henstock (o integrl de Riemnn generlizd) pr funciones f : [, b] R. L nomencltur ctulmente empled es consecuenci del estudio detlldo que R. Henstock hizo de l construcción de Kurzweil en [27] y [28] (probndo, por ejemplo, el teorem de l convergenci monóton). L integrl de Henstock (que coincide con l de Perron-Denjoy) es un extensión de l de Lebesgue, pero, en generl, pr un función f integrble Henstock su vlor bsoluto f no tiene por qué serlo (esto segur l existenci de funciones que no son integrbles Lebesgue pero sí en el sentido de Henstock). Amplindo l clse de prticiones utilizd por Kurzweil, E.J. McShne obtuvo (en [43], dentro de un contexto mucho más generl que el que nosotros vmos considerr) un integrl que coincide con l de Lebesgue. Aunque el

11 ix cso esclr está sobrdmente estudido (hy trtdos como [44] donde se desrroll tod un teorí de integrción McShne de funciones R n R l postre equivlente l de Lebesgue ), no es fácil encontrr un prueb utocontenid de l equivlenci entre ls construcciones de McShne y Lebesgue pr funciones de [, b] en K. Por ello hemos optdo por incluir todo un cpítulo (concretmente el 9) dedicdo justificr dich equivlenci, que desempeñ un ppel fundmentl en el resto de l memori. A continución resumimos el contenido de los otros dos cpítulos de este bloque. En el Cpítulo 8 introducimos l integrl de McShne vectoril, demostrmos el lem de Henstock (de especil importnci en l teorí), probmos que tod función medible simple es integrble McShne y un hecho destcble: l igul que en el cso esclr, l integrl de McShne extiende l de Riemnn. Esto muestr l diferenci que existe en el cso vectoril entre ls integrles de McShne y Bochner (que, como indicmos nteriormente, es l extensión nturl de l de Lebesgue). En generl, l integrl de McShne es un extensión de l de Bochner y mbs integrles coinciden si y sólo si el espcio es de dimensión finit. Estos resultdos son prte del contenido del Cpítulo 10, que está dedicdo comentr ls relciones existentes entre ls integrles de McShne, Bochner y Pettis. En l Sección 10.1 mostrmos que l integrbilidd Pettis extiende l de McShne. El recíproco es cierto si exigimos medibilidd Bochner l función (Sección 10.3). Pr demostrrlo nos poymos en un difícil teorem de pso l límite bjo l integrl Sección 10.2, que nos permite deducir demás los teorems de Vitli y de l convergenci domind pr l integrl de McShne. Cerrmos el prtdo dedicdo est integrl dndo un crcterizción de los espcios de Bnch de dimensión finit en términos de un form fuerte del lem de Henstock. Hemos confecciondo un Apéndice que contiene un serie de definiciones y resultdos complementrios utilizdos en el resto de l memori, desglosdo en un serie de prtdos. L myorí son sobrdmente conocidos y nos limitmos dr el enuncido y un referenci bibliográfic. Sin embrgo, se incluye l demostrción de otros menos difundidos o pr los que no hemos podido dr un referenci concret. En lo que respect ls numeross referencis empleds, destcmos [21], [57] y [51] pr l prte dedicd l integrl de Riemnn, y [44], [22], [20] y [19] en lo que se refiere l integrl de McShne. No obstnte, lo lrgo de l memori indicmos con precisión l fuente de cd resultdo y proporcionmos l inicio de cd sección o cpítulo ls referencis elementles reltivs l mismo. El presente trbjo no es un mer recopilción del mteril de los rtículos citdos nteriormente o el resto de los que precen en l bibliogrfí. Hemos mplido y, en lgunos csos, corregido lguns de ls demostrciones originles (ejemplos destcdos son A.4.15, y ). Ciertos resultdos hn sido obtenidos de mner independiente (es decir, hemos conseguido un prueb de ellos sin disponer de los rtículos donde precen

12 x INTRODUCCIÓN demostrdos), por ejemplo , 3.2, 8.2.2, iii), 8.4.1, iii), y En otros csos hemos conseguido demostrciones lterntivs más elementles o trnsprentes, como pueden ser 3.2.5, 6.0.4, ó Incluimos tmbién mejors y generlizciones de resultdos previos, como pueden ser 2.1.4, iii), iv), y Además, creemos que es un resultdo originl que prece publicdo quí por primer vez.

13 Notciones y convenios Aunque l notción es estándr (l de textos como [17]), creemos conveniente hcer un serie de observciones l respecto. En tod l memori K denot indistintmente el cuerpo R (de los números reles) ó C (de los números complejos). Pr nosotros un espcio de medid es un tern (Ω, Σ, µ), donde Ω es un conjunto, Σ es un σ-álgebr en Ω y µ : Σ [0, ] un medid contblemente ditiv tl que µ( ) = 0. Denotmos por L 1 (µ) l conjunto de ls funciones de Ω en K integrbles Lebesgue. El subconjunto de ls reles se represent medinte L 1 R (µ). El espcio de Bnch cociente obtenido identificndo funciones integrbles que coinciden en csi todo punto se denot por L 1 (µ). Mntenemos l mism notción pr un función integrble y su clse de equivlenci en L 1 (µ). Si E Σ, definimos Σ E = {A E : A Σ} y µ E = µ ΣE. Si A, B Σ son medibles, decimos que A está contenido esencilmente en B si µ(a \ B) = 0. L medid (resp. exterior) de Lebesgue se represent medinte m (resp. m ) y l σ-álgebr de Lebesgue de [, b] medinte Σ. Un subconjunto medible E [, b] es conulo si m([, b] \ E) = 0. Si E Ω, su función crcterístic viene dd por χ E : Ω R, χ E (x) = 0 si x E y χ E (x) = 1 si x E. Si V es un espcio vectoril y f : Ω V es un plicción, definimos χ E f como l función que vle 0 fuer de E y coincide con f en E. En tod l memori X represent un espcio de Bnch rbitrrio sobre K (es decir, puede ser tnto rel como complejo). Ls excepciones est regl se indicn convenientemente. El dul topológico se represent medinte X, B X es el conjunto de elementos de X de norm menor o igul que 1 y S X el formdo por los de norm 1. L topologí débil de X (resp. débil estrell de X ) l denotmos por ω ó σ(x, X ) (resp. ω ó σ(x, X)). Si no se dice lo contrrio l topologí del espcio X que considermos es l inducid por l norm (por ejemplo, si escribimos lim n x n = x nos referimos l topologí normd). Un inmersión de espcios de Bnch es un plicción linel T : X Y que es un homeomorfismo entre X y T (X). Obtenemos un renormmiento de un espcio de Bnch cundo cmbimos l norm originl por otr equivlente (es decir, que induce l mism topologí). Pr cd n N definimos e n = (δ i,n ) i N {0, 1} N, donde δ i,n represent l delt de Dirc: δ i,n = 0 si i n, δ n,n = 1. Un topologí vectoril τ en un espcio vectoril V es un topologí (no necesrimente Husdorff) que hce continus ls operciones de sum y producto por esclres del espcio V. El pr (V, τ) se dice espcio vectoril topológico. El interior de un subconjunto A de un espcio topológico se denot medinte int(a), su dherenci o clusur medinte A. En tod l memori [, b] es un intervlo cerrdo y cotdo de R. Slvo que se dig lo contrrio todos los intervlos son no degenerdos (es decir, no unipuntules). xi

14 xii

15 Prte I Integrl de Riemnn 1

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17 Cpítulo 1 Definición y propieddes elementles donde Se llm prtición de Riemnn de [, b] un colección P = {([ i, b i ], s i ) : i = 1,..., n} {[ i, b i ]},...,n es un conjunto de subintervlos de [, b] (los subintervlos de P) que no se solpn (es decir, l intersección de dos distintos es como mucho un punto) cuy unión es [, b]. El conjunto de extremos de estos intervlos se llm conjunto de puntos de P y lo denotremos medinte e(p). s i [ i, b i ] pr cd i = 1,..., n. Se llmrán puntos intermedios de l prtición y su conjunto lo denotremos por t(p). Normlmente escribiremos t(p) = {s 1,..., s n } (unque hy repeticiones). L norm de l prtición se define como P = mx {b i i : i = 1,..., n}. Se P otr prtición de Riemnn del intervlo [, b]. Diremos que P es más fin que P si e(p) e(p ). Se hor f : [, b] X un función. L sum de Riemnn de f socid l prtición P se define como f(p) = (b i i )f(s i ). En otrs ocsiones escribiremos brevidmente f(p) = n m(h i)f(s i ) pr H i = [ i, b i ] y m(h i ) = b i i. 3

18 4 CAPÍTULO 1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES ELEMENTALES Denotremos el conjunto de ls prticiones de Riemnn del intervlo [, b] medinte Π[, b]. De quí en delnte, slvo que se dig lo contrrio, cundo hblemos de un prtición de Riemnn nos estremos refiriendo un prtición de Riemnn del intervlo [, b]. Definición Se f : [, b] X un función. Diremos que es integrble Riemnn en [, b] con integrl z X si stisfce ls siguientes condiciones equivlentes: i) Pr cd ɛ > 0 existe δ > 0 tl que, pr tod prtición de Riemnn P de norm menor que δ, f(p) z < ɛ. ii) Pr cd ɛ > 0 existe un prtición de Riemnn P ɛ tl que, pr tod P Π[, b] más fin que P ɛ, f(p) z < ɛ. Demostrmos l equivlenci como en [21, Teorem 3]. Proposición Pr un función f : [, b] X ls dos condiciones nteriores son equivlentes e implicn que f es cotd. Demostrción. i) ii) Se ɛ > 0. Existe δ > 0 tl que f(p) z < ɛ pr cd P Π[, b] de norm menor que δ. Fijmos P 0 Π[, b] de norm menor que δ. Si P es un prtición de Riemnn más fin que P 0 es clro que P P 0 < δ y sí f(p) z < ɛ. Antes de probr l otr punt de flech firmmos que si f stisfce ii), entonces está cotd. En efecto: tomemos un prtición de Riemnn P 0 = {([ i, b i ], s i ) : i = 1,..., n} tl que f(p) z < 1 pr cd P Π[, b] más fin que P 0. Pr ver que f es cotd bst comprobr que lo está en cd uno de los subintervlos de P 0. Fijmos 1 i n. Pr cd t [ i, b i ] definimos l prtición P t Π[, b] como quell que tiene como subintervlos los de P 0 y puntos intermedios s j [ j, b j ] pr cd j i y t [ i, b i ]. Evidentemente, P t es más fin que P 0 y por tnto f(p t ) z < 1. Además f(p 0 ) z < 1 y, entonces, f(p t ) f(p 0 ) < 2. Pero lo que implic f(p t ) f(p 0 ) = (b i i )(f(t) f(s i )), f(t) f(s i ) < 2 b i i. Est desiguldd es válid pr todo t [ i, b i ] y sí f es cotd en dicho subintervlo.

19 5 ii) i) Por l observción nterior existe M > 0 tl que f(t) < M pr todo t [, b]. Ddo ɛ > 0, se P 0 Π[, b] tl que f(p) z < ɛ 2 pr cd P Π[, b] más fin que P 0. Afirmmos que pr cd P Π[, b] P < δ := ɛ 4M(n + 1) f(p) z < ɛ, donde n es el número de subintervlos de P 0. En efecto, se P Π[, b] tl que P < δ. Escribimos P 0 = {([ i, b i ], s i ) : i = 1,..., n} P = {([c i, d i ], t i ) : i = 1,..., m}. Definimos el conjunto Y de los pres (i, j) {1,..., n} {1,..., m} tles que [ i, b i ] [c j, d j ] =: I i,j no es ni vcío ni un punto. Construimos l siguiente prtición uxilir P 1 Π[, b] donde pr cd (i, j) Y P 1 = {(I i,j, r i,j ) : (i, j) Y }, Si I i,j = [c j, d j ], entonces r i,j := t j. En cso contrrio tommos r i,j I i,j rbitrrio. Observmos que f(p) f(p 1 ) = = m (d j c j )f(t j ) m(i i,j )f(r i,j ) j=1 (i,j) Y m m(i i,j ) (f(t j ) f(r i,j )) j=1 1 i n m (i,j) Y j=1 1 i n (i,j) Y I i,j [c j,d j] 2M m j=1 1 i n (i,j) Y I i,j [c j,d j] m(i i,j ) f(t j ) f(r i,j ) m(i i,j ) 2M j J(d j c j ), (1.1) donde J es el conjunto de los j {1,..., m} pr los que existe un 1 i n tl que (i, j) Y y [c j, d j ] I i,j (es decir, (c j, d j ) e(p 0 ) ). Como e(p 0 ) tiene n + 1 elementos, es clro que J n + 1.

20 6 CAPÍTULO 1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES ELEMENTALES De l desiguldd nterior se desprende que f(p) f(p 1 ) < 2M(n + 1) P < ɛ 2 por l elección de δ. Por construcción P 1 es más fin que P 0 y sí f(p) z f(p 1 ) z + f(p) f(p 1 ) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Si f es integrble Riemnn, l unicidd del vector z que prece en l definición es obvi. Lo llmremos integrl de f en [, b] y lo denotremos medinte b f ó (R) b f. Otr notción que conviene fijr es: b f := b f. Es evidente que Π[, b] puede ser preordendo de dos forms: 1. P 1 P si y sólo si P P. 2. P 2 P si y sólo si e(p) e(p ). Proposición (Π[, b], 1 ) y (Π[, b], 2 ) son conjuntos dirigidos. Dd un función f : [, b] X podemos definir dos redes S 1 f : (Π[, b], 1 ) X y S 2 f : (Π[, b], 2 ) X medinte Sf 1(P) = S2 f (P) = f(p). Son equivlentes: i) f es integrble Riemnn en [, b]. ii) L red S 1 f iii) L red S 2 f es convergente. es convergente. En tl cso l integrl y los límites de ls redes coinciden. Demostrción. Es elementl. Vemos por ejemplo que (Π[, b], 2 ) es dirigido. En efecto, sen P, P Π[, b], que representmos P = {([ i, b i ], s i ) : i = 1,..., n}, P = {([c i, d i ], t i ) : i = 1,..., m}. Definimos, como en l prueb precedente, el conjunto Y de los pres (i, j) {1,..., n} {1,..., m} tles que [ i, b i ] [c j, d j ] =: I i,j no es ni vcío ni un punto. Definimos hor P Π[, b] medinte P 1 = {(I i,j, r i,j ) : (i, j) Y } pr ciertos r i,j I i,j rbitrrios. Es clro que P P y P P.

21 7 L completitud del espcio X nos permite dr el siguiente criterio de Cuchy [21, Teorem 5]. L condición iv) (prentemente más débil) nos será de grn utilidd en lo sucesivo. Proposición Pr un función f : [, b] X son equivlentes: i) f es integrble Riemnn en [, b]. ii) Pr cd ɛ > 0 existe δ > 0 tl que si P 1, P 2 Π[, b] tienen norm menor que δ, entonces f(p 1 ) f(p 2 ) < ɛ. iii) Pr cd ɛ > 0 existe P ɛ Π[, b] tl que si P 1, P 2 Π[, b] son más fins que P ɛ, entonces f(p 1 ) f(p 2 ) < ɛ. iv) Pr cd ɛ > 0 existe P ɛ Π[, b] tl que si P 1, P 2 Π[, b] stisfcen e(p 1 ) = e(p 2 ) = e(p ɛ ), entonces f(p 1 ) f(p 2 ) < ɛ. Demostrción. i) ii) y i) iii) son consecuenci de l condición de Cuchy pr redes y l proposición iii) iv) es evidente. iv) iii) Se ɛ > 0 fijo. Por hipótesis existe P ɛ Π[, b] tl que pr cd pr P 1, P 2 Π[, b] con los mismos puntos que P ɛ tenemos f(p 1 ) f(p 2 ) < ɛ 2. Escribimos P ɛ = {([ i, b i ], s i ) : i = 1,..., n} y definimos l prtición uxilir P 0 = {([ i, b i ], i ) : i = 1,..., n}. Vmos demostrr continución que pr cd P Π[, b] más fin que P ɛ se cumple f(p) f(p 0 ) < ɛ 2 (con est firmción l prueb termin). En efecto, tommos P = {([c j, d j ], t j ) : i = 1,..., m} más fin que P ɛ. Existe un prtición de {1,..., m}, digmos J 1,..., J n, tl que pr cd 1 i n [ i, b i ] = j J i [c j, d j ]. Por lo tnto f(p 0 ) f(p) = = = = m (b i i )f( i ) (d j c j )f(t j ) j=1 (b i i )f( i ) j Ji(d j c j )f(t j ) (d j c j )(f( i ) f(t j )) j J i d j c j (b i i )(f( i ) f(t j )). b i i j J i (1.2)

22 8 CAPÍTULO 1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES ELEMENTALES Es decir, f(p 0 ) f(p) n co(r i), siendo Por otr prte firmmos R i = {(b i i )(f(s) f(t)) : t, s [ i, b i ]}, co(r i ) co( R i ). (1.3) En efecto: es inmedito (rzonndo por inducción en n) que nos podemos reducir l cso n = 2. Sen x co(r 1 ) e y co(r 2 ). Existen f 1,..., f r, g 1,..., g s [0, 1] tles que r k=1 f k = 1, s l=1 g l = 1, x = k f kx k e y = l g ly l pr ciertos x 1,..., x r R 1 e y 1,..., y s R 2. Es inmedito comprobr que x + y = k,l (f k g l )(x k + y l ) y, demás, 1 = ( k f k) ( l g l) = k,l f kg l, lo que prueb l firmción. Volviendo iv) iii), tenemos entonces que f(p 0 ) f(p) co ( n R i). Pr concluir vmos ver que ( n ) x co R i x < ɛ 2 En efecto, por l convexidd de ls bols en X bst probr que si x n R i entonces x < ɛ 2. Evidentemente R i = {f(p 1 ) f(p 2 ) : P 1, P 2 Π[, b] tles que e(p 1 ) = e(p 2 ) = e(p ɛ )} está formdo por elementos de norm menor que ɛ 2 por l elección de P ɛ. Esto complet l prueb. A continución extendemos l cso vectoril uns sencills propieddes sobrdmente conocids de l integrl de Riemnn de funciones reles, tl y como sugiere R.A. Gordon en [21, Teorems 7-8]. Observción Se x X fijo. Se f : [, b] X l función constnte con imgen {x}. Entonces f(p) = (b )x pr cd P Π[, b] y, por tnto, f es integrble Riemnn y b f = (b )x. Empleremos l notción b x := b f. Proposición Sen f : [, b] X integrble Riemnn y [c, d] [, b]. Entonces f [c,d] es integrble Riemnn en [c, d]. Not Denotremos de igul modo un función f y culquier restricción suy.

23 9 Demostrción. Es simple consecuenci del criterio de Cuchy Si ɛ > 0, tommos δ > 0 tl que f(p 1 ) f(p 2 ) < ɛ pr todo pr de prticiones de Riemnn de [, b] de norm menor que δ. Dds hor P, P Π[c, d] tles que P, P < δ, podemos encontrr P 1, P 2 Π[, b] de norm menor que δ tles que f(p 1 ) f(p 2 ) = f(p) f(p ). L construcción es obvi: sen P l y P r prticiones de Riemnn de norm menor que δ de los subintervlos [, c] y [d, b] respectivmente (si lguno es degenerdo no lo considermos en el rzonmiento). Entonces los subintervlos de P 1 (resp. P 2 ) serán los de P (resp. P ) más los de P l y P r ; los puntos intermedios socidos P 1 (resp. P 2 ) serán los de P (resp. P ) junto con los de P r y P l. Proposición Sen f : [, b] X un función y < c < b. Entonces f es integrble Riemnn en [, b] si y sólo si f [,c] y f [c,b] son integrbles Riemnn en [, c] y [c, b] respectivmente. En tl cso b f = c Demostrción. Un implicción es consecuenci del resultdo precedente. Pr ver el recíproco fijmos ɛ > 0 y un pr de prticiones P 1 Π[, c], P 2 Π[c, b] tles que si P Π[, c] (resp. P Π[c, b]) es más fin que P 1 (resp. P 2 ), entonces c f(p) f < ɛ 2 y respectivmente f(p) b c f + b c f. f < ɛ 2. Se hor P 0 Π[, b] definid ensmblndo P 1 y P 2 (es decir, sus subintervlos son los de P 1 más los de P 2, y sus puntos intermedios los de P 1 más los de P 2 socidos los subintervlos correspondientes ). Si hor P Π[, b] es más fin que P 0 result que e(p 1 ) e(p 2 ) e(p), c e(p) y podemos construir prtir de P dos prticiones P 1 Π[, c] y P 2 Π[c, b] del modo siguiente: P 1 tiene como subintervlos los de P contenidos en [, c], y como puntos intermedios los que tiene P socidos los nteriores intervlos. P 2 tiene como subintervlos los de P contenidos en [c, b], y como puntos intermedios los que tiene P socidos quéllos. Es clro que P 1 P 1 y P 2 P 2. Por tnto c b ( f(p) f f = f(p 1) c c ) ( f + f(p 2) b c f) < ɛ. Esto prueb l otr implicción y l ditividd respecto del intervlo de integrción.

24 10 CAPÍTULO 1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES ELEMENTALES Proposición El conjunto R([, b], X) de ls funciones de [, b] en X integrbles Riemnn es un espcio vectoril y l integrl es un form linel sobre él. Demostrción. Trbjmos con ls notciones de l proposición Si f, g R([, b], X) y v, w K, entonces l función h = vf + wg : [, b] X stisfce pr cd P Π[, b] S 1 h(p) = vs 1 f (P) + ws 1 g(p). Por hipótesis existen los límites (en norm) b f = lim S 1 f y b g = lim S 1 g. L continuidd de l sum y el producto por esclres en X implic que existe el límite de l red Sh 1 y vle v b f + w b g. Proposición Se f : [, b] X un función integrble Riemnn. Se M un cot superior de f en [, b]. Entonces b f M(b ). Si demás f : [, b] R es integrble Riemnn, b b f f. Demostrción. Se P Π[, b] rbitrri. Si entonces f(p) = (b i i )f(s i ) P = {([ i, b i ], s i ) : i = 1,..., n}, n (b i i ) f (s i ) = f (P) M(b ). Est desiguldd (válid pr tod prtición de Riemnn del intervlo) y l proposición finlizn l prueb. Hst hor todo lo que hemos visto gurd un clro prlelismo con ls propieddes de l integrl de Riemnn de funciones reles. A continución mostrmos que un de ells no se preserv en el cso generl: l integrbilidd bsolut. El siguiente ejemplo [21, Ejemplo 14] reúne diverss ptologís de l integrl de Riemnn vectoril que serán nlizds con detlle en los Cpítulos 2 (sección 2.2) y 3.

25 11 Ejemplo (B.J. Pettis, 1938). Se B[, b] el espcio de Bnch de ls funciones reles cotds definids en [, b] (con l norm del supremo). Si E [, b] no es medible Lebesgue, considermos l función f : [, b] B[, b] definid por f(t) = χ {t} si t E, f(t) = 0 en cso contrrio. Entonces f es integrble Riemnn, mientrs que f no es medible Lebesgue (y, por tnto, no puede ser integrble Riemnn). Demostrción. Vemos en primer lugr l integrbilidd. Sen P, P Π[, b] con los mismos subintervlos {[ i, b i ]} 1 i n y puntos intermedios (s i ) 1 i n y (t i ) 1 i n, respectivmente. Supongmos que b i i = d pr todo 1 i n. Un punto x [, b] puede coincidir como mucho con dos de los (s i ) y con dos de los (t i ). Por tnto f(p) f(p ) = (b i i )(f(s i ) f(t i )) = d (χ {si} E χ {ti} E) 2d. Est desiguldd, junto con el criterio iv) de l proposición 1.0.4, proporcion l integrbilidd Riemnn de f. Por otro ldo, l elección de E grntiz que f = χ E no es medible Lebesgue. Presentmos continución un versión preliminr del teorem fundmentl del cálculo pr l integrl de Riemnn [21, Teorem 8]. Recuérdese que un función f : [, b] X se dice lipschitzin (con constnte de Lipschitz L > 0) cundo f(t) f(s) L t s pr cd t, s [, b]. En tl cso f es continu. Proposición Se f : [, b] X integrble Riemnn. Definimos su función integrl indefinid medinte F (t) := t f pr < t b, F () = 0. Entonces: F es lipschitzin en [, b]. Si f es continu en un punto t [, b], entonces existe F (t) = f(t). Demostrción. Vemos en primer lugr l lipschitzinidd de F. Se M un cot superior de f en [, b]. Pr culquier pr t < s en [, b] ls proposiciones y nos muestrn que s F (s) F (t) = f M(s t). t

26 12 CAPÍTULO 1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES ELEMENTALES Vmos probr l segund firmción del enuncido. Supongmos que t [, b] es un punto de continuidd de f. Pr cd h R tl que t+h [, b] tenemos l siguiente iguldd F (t + h) F (t) f(t) = 1 h h ( t+h f t f t+h t f(t) ) = 1 h t+h t (f f(t)), por l linelidd de l integrl y l ditividd con respecto l intervlo de integrción. Fijemos hor ɛ > 0. L continuidd de f en t nos dice que existe un δ > 0 tl que pr cd h R que verifique h < δ y t + h [, b] entonces f(t + h) f(t) < ɛ. Pr un tl h obtenemos que F (t + h) F (t) f(t) h 1 h ( h ɛ) = ɛ en virtud de l proposición Esto finliz l prueb. L composición de un función integrble Riemnn con un elemento del dul es integrble Riemnn [21, Teorem 7]. Est es l principl consecuenci de l siguiente Proposición Se f : [, b] X un función integrble Riemnn. Se T : X Y un operdor continuo entre espcios de Bnch. Entonces l composición T f es integrble Riemnn en [, b] y ( b ) b T f = T f. En prticulr, pr cd x X l función x f : [, b] K es integrble Riemnn con integrl b x f = x ( b f ). Demostrción. Si T = 0 el resultdo es trivil. Supongmos entonces que T > 0 y fijemos ɛ > 0 rbitrrio. Se δ > 0 tl que f(p) b f < ɛ T pr cd P Π[, b] de norm menor que δ. Dd un prtición culquier P Π[, b] tenemos (T f)(p) = T (f(p)) y, si demás tiene norm menor que δ, ( b b (T f)(p) T f) T f(p) f < ɛ. Como un pequeñ plicción demostrmos el siguiente resultdo prtir del teorem fundmentl del cálculo pr l integrl de Riemnn de funciones reles, simplificndo l prueb de [21, Teorem 16], que se poy en l integrl de Bochner.

27 13 Proposición (Grves, 1927). Si f : [, b] X es derivble en todo punto y f : [, b] X es integrble Riemnn en [, b], entonces pr cd t [, b]. f(t) f() = t f Demostrción. Si x X, l función x f es derivble en todo [, b] con derivd (x f) (t) = x (f (t)). L integrbilidd Riemnn de f implic que l derivd (x f) es integrble Riemnn (proposición ) y podemos concluir que pr todo t [, b] t ( t ) x (f(t) f()) = x f(t) x f() = x (f ) = x f. Aplicndo el teorem de Hhn-Bnch tenemos el resultdo desedo. Es sencillo dptr nuestro contexto l prueb del cso rel del teorem de cmbio de vrible pr l integrl de Riemnn. Proposición (Cmbio de vrible). Se f : [, b] X integrble Riemnn. Se φ : [c, d] [, b] estrictmente creciente de clse C 1 tl que φ(c) = y φ(d) = b. L función g : [c, d] X definid por es integrble Riemnn en [c, d] y g(s) = φ (s)f(φ(s)) d c g = Demostrción. Sen M y K cots superiores de f y φ en [, b]. Si P Π[c, d] b f. P = {([c i, d i ], s i ) : i = 1,..., n}, entonces l monotoní de φ nos permite construir un prtición P φ = {([φ(c i ), φ(d i )], φ(s i )) : i = 1,..., n} Π[, b]. El teorem de los vlores intermedios de Lgrnge implic que P φ K P y f(p φ ) = = (φ(d i ) φ(c i ))f(φ(s i )) φ (t i )(d i c i )f(φ(s i )) = g(p) (d i c i )(φ (s i ) φ (t i ))f(φ(s i ))

28 14 CAPÍTULO 1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES ELEMENTALES pr ciertos t i [c i, d i ]. Por tnto b g(p) f f(p φ) b f + M n (d i c i ) φ (s i ) φ (t i ). Es clro que el resultdo se sigue de l integrbilidd de f, l desiguldd P φ K P y l continuidd uniforme de φ en [c, d]

29 Cpítulo 2 Condiciones suficientes de integrbilidd En este cpítulo vmos nlizr un pr de condiciones que grntizn l integrbilidd Riemnn de un función f : [, b] X. L referenci básic que hemos seguido es [21]. Recordemos que un función f : [, b] K se dice de vrición cotd si existe un constnte K > 0 tl que pr cd colección finit de subintervlos de [, b] que no se solpen, {[ i, b i ]} 1 i n, f(b i ) f( i ) K. En el cso X = R los siguientes hechos son sobrdmente conocidos: Ls funciones de vrición cotd son integrbles Riemnn [2, 7.28]. Un función es integrble Riemnn si y sólo si es cotd y continu en csi todo punto (teorem de Lebesgue, [48, 5.27]). Al considerr el cso vectoril l primer firmción sigue siendo válid y, de hecho, l hipótesis se puede debilitr (vése l proposición 2.1.3). Extender el segundo resultdo no es, en generl, posible, unque sigue siendo cierto el si (corolrio 2.2.8). El estudio de l vlidez, pr un espcio de Bnch X, del teorem de crcterizción de Lebesgue ocuprá un prte sustncil de est memori, en concreto todo el Cpítulo Vrición débilmente cotd Volvmos por un momento l ejemplo Un vistzo permite precir que f tiene un propiedd especil que nos permite obtener, prtir del criterio de Cuchy iv) (1.0.4), su integrbilidd Riemnn: l existenci de un constnte 15

30 16 CAPÍTULO 2. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD K > 0 (que sólo depende de f; en el citdo ejemplo tommos K = 2) tl que pr cd fmili finit de subintervlos de [, b] que no se solpen, digmos {[ i, b i ]} 1 i n, (f(b i ) f( i )) K. Definición Un función f : [, b] X que pose l nterior propiedd se llmrá de vrición débilmente cotd (brevidmente VDA). A continución justificmos est terminologí. Lem Pr un función f : [, b] X son equivlentes: i) f es de VDA. ii) Pr cd x X l función x f es de vrición cotd. Demostrción. i) ii) Fijemos x X y un fmili de subintervlos como en l definición precedente. Por A.7.1 existe un constnte C > 0 (universl, que podemos tomr π) y un subconjunto S {1,..., n} tl que x f(b i ) x f( i ) C x f(b i ) x f( i ) i S ( = C x (f(b i ) f( i ))) i S C x (f(b i ) f( i )) C x K, siendo K un constnte que stisfg ls condiciones de l definición de función de VDA. Esto prueb que x f es de vrición cotd. ii) i) Sólo necesitmos comprobr que el conjunto A de ls sums de l form i (f(d i) f(c i )), donde {[c i, d i ]} i es un colección finit de subintervlos de [, b] que no se solpn, es cotdo. Por el principio de l cotción uniforme A está cotdo si y sólo si x (A) es cotdo pr cd x X. Pr verlo fijmos x X. Por hipótesis x f es de vrición cotd. Se K > 0 (dependiente de x ) un constnte que stisfg l condición de l definición de función de vrición cotd menciond nteriormente. Tenemos ( x (f(d i ) f(c i ))) x f(d i ) x f(c i ) K i i pr cd colección finit de subintervlos que no se solpen. Por lo tnto x (A) es cotdo (pr cd x X ) y f es de VDA. Repitiendo el rgumento ddo en el ejemplo que originó est discusión vmos probr (siguiendo [21, Teorem 9]) l siguiente i S

31 2.1. VARIACIÓN DÉBILMENTE ACOTADA 17 Proposición (Alexiewicz-Orlicz). Se f : [, b] X un función de VDA. Entonces es integrble Riemnn en [, b]. Demostrción. Emplemos el criterio de Cuchy Sen ɛ > 0 rbitrrio y K > 0 un cot superior de l norm de los elementos del conjunto de ls sums i (f(d i) f(c i )), donde {[c i, d i ]} i es un colección finit de subintervlos que no se solpn. Fijmos n N tl que := b n < ɛ K y un prtición P 0 Π[, b] P 0 = {([ i, b i ], s i ) : i = 1,..., n} de modo que b i i = pr todo 1 i n. Entonces, si P 1, P 2 Π[, b] son de l form result que P 1 = {([ i, b i ], r i ) : i = 1,..., n}, P 2 = {([ i, b i ], t i ) : i = 1,..., n} f(p 1 ) f(p 2 ) = (b i i )(f(r i ) f(s i )) = (f(r i ) f(s i )) < ɛ Aplicndo tenemos l integrbilidd Riemnn de f. El recíproco no es cierto, como mostrmos en el siguiente ejemplo (que generliz uno de R. Rejouni [21, Ejemplo 11]). Ejemplo Sen 1 < p < y Q = [0, 1] Q = {r n : n N}. Definimos f : [0, 1] l p como f(r n ) = e n pr cd n, f(t) = 0 pr t Q. Entonces existe 1 f = 0 pero f no es de VDA. 0 Demostrción. Se 1 < q < tl que 1 p + 1 q = 1. Fijmos ɛ > 0 rbitrrio. Se P = {([ i, b i ], s i ) : i = 1,..., n} Π[0, 1] de norm menor que δ = ɛq 2. Se J el conjunto de índices correspondientes los puntos intermedios de l prtición que son rcionles, y pr cd j J se r nj el correspondiente punto intermedio. Existe un prtición J 1,..., J N de J de mner que n i = n j pr i, j J k y n i n j si i J r, j J s y r s. Observmos que J k 2 pr todo k (un punto intermedio no puede estr socido más de dos subintervlos de P) y N n. Pr cd k definimos N(k) = n i si i J k. Entonces N (b j j )e nj = (b j j ) e N(k). j J j J k k=1

32 18 CAPÍTULO 2. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD Como p > 1, tenemos (c + d) p 2 p 1 (c p + d p ) pr cd c, d 0. Así, f(p) = (b i i )f(s i ) s i Q = (b j j )e nj j J N = (b j j ) e N(k) k=1 j J k 1 p N = p (b j j ) j J k k=1 1 N 2 p 1 p (b j j ) p k=1 j J k N 2 1 q ( (b j j ) P p 1 ) k=1 j J k 1 N (2 P ) 1 q ( p (b j j )) j J k k=1 = (2 P ) 1 q < ɛ. Esto prueb l integrbilidd Riemnn de f en [0, 1], con integrl 0. Psmos hor ver que no es de VDA. Pr ello tommos n N rbitrrio y considermos l fmili de subintervlos (que no se solpn) {[q k, y k ] : 0 k n 1}, donde cd q k, y k ( ) + k b b n, + (k + 1) n, qk = r nk es rcionl e y k es irrcionl. Entonces (f(q i ) f(y i )) = e ni = n 1 p. Hciendo crecer n rbitrrimente se observ que f no es de VDA. 2.2 Integrbilidd Drboux Como nuncimos con nterioridd, vmos demostrr que un función f : [, b] X cotd y continu en csi todo punto es integrble Riemnn. Pr ello dptmos l cso vectoril el concepto clásico de integrbilidd Drboux, que en el cso de funciones esclres coincide con el de integrbilidd en sentido Riemnn. Dich coincidenci pr un espcio de Bnch X es, como 1 p

33 2.2. INTEGRABILIDAD DARBOUX 19 veremos más delnte, equivlente l vlidez del clásico teorem de Lebesgue pr funciones integrbles Riemnn. Antes de nd recordmos un serie de conceptos. Definición Sen (T, τ) un espcio topológico y (X, d) un espcio métrico. Considermos un función f : T X. i) Si S T, llmremos oscilción de f en S w(f, S) = sup d(f(s), f(s )). s,s S ii) Si t T, se define l oscilción de F en T como w(f, t) = inf w(f, U), U ɛ(t) donde ɛ(t) denot l fmili de entornos de t en (T, τ). Admitimos que puedn tomr como vlor +. Resumimos continución un serie de propieddes elementles. Proposición En ls nteriores condiciones i) Si S S T, entonces w(f, S) w(f, S ). ii) Si B es un bse de entornos de t en (T, τ), se tiene w(f, t) = inf w(f, U). U B iii) Si T = [, b] con l topologí ordinri y t (, b), entonces w(f, t) = lim δ 0 + w(f, [t δ, t + δ]). iv) f es continu en un punto t T si y sólo si w(f, t) = 0. v) Pr cd > 0 el conjunto {t T : w(f, t) < } es bierto. vi) Denotmos por Cont(f, τ) el conjunto de puntos de continuidd de f. Entonces Cont(f, τ) es un G δ en T (intersección numerble de biertos) y, por tnto, medible Borel. Demostrción. Es inmedit. Como ejemplo hcemos ls dos últims. iv) Si t T cumple w(f, t) < entonces podemos encontrr U τ entorno de t tl que w(f, U) <. Pero pr cd s U τ, U es un entorno de s y sí w(f, s) w(f, U) <, es decir, U {t T : w(f, t) < }. v) De iii) deducimos que [, b] \ Cont(f, τ) = n=1{t T : w(f, t) 1 n }, unión numerble de cerrdos por iv).

34 20 CAPÍTULO 2. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD Definición Llmremos prtición de Drboux del intervlo [, b] un colección finit P de subintervlos que no se solpen y cuy unión se todo [, b]. Su norm será el máximo de ls longitudes de los subintervlos que l componen. El conjunto de puntos de l prtición será el formdo por los extremos de los intervlos, y lo denotremos medinte e(p). Finlmente, si P es otr prtición de Drboux de [, b], diremos que es más fin que P si e(p) e(p ). El conjunto de ls prticiones de Drboux de [, b] se represent por dπ[, b]. Definición Se P = {[ i, b i ] : 1 i n} dπ[, b]. Drboux de f socid P es L sum de d(f, P) = w(f, [ i, b i ])(b i i ) [0, ]. Diremos que f es integrble Drboux en [, b] si cumple lgun (en tl cso mbs) de ls siguientes condiciones: i) Pr cd ɛ > 0 existe un δ > 0 tl que si P dπ[, b] tiene norm menor que δ, entonces d(f, P) < ɛ. ii) Pr cd ɛ > 0 existe un P 0 dπ[, b] tl que pr tod prtición de Drboux P más fin que P 0 se cumple d(f, P) < ɛ. Proposición Ls nteriores condiciones son equivlentes. Demostrción. i) ii) es consecuenci de que si un prtición de Drboux es más fin que otr, entonces su norm es menor o igul. ii) i) En primer lugr observmos que f es cotd. Esto es clro: ddo ɛ = 1 podemos encontrr un prtición P = {[ i, b i ] : 1 i n} dπ[, b] tl que n (b i i )w(f, [ i, b i ]) < 1. Por tnto w(f, [ i, b i ]) < 1 b i i pr cd 1 i n, y, en prticulr, f está cotd en [ i, b i ]. Se M un cot superior de f en [, b]. Fijmos ɛ > 0 y P 0 dπ[, b] tl que d(f, P) < ɛ pr cd P dπ[, b] más fin que P 0. Escribimos ɛ 8M(N+1). e(p 0 ) = { = t 0 < t 1 < < t N = b}. Se 0 < δ < Dd P dπ[, b] de norm menor que δ vmos demostrr que d(f, P) < 2ɛ. En efecto, si J 1,..., J m son los subintervlos de P definimos A como el conjunto de pres (i, j) {1,..., N} {1,..., m} tles que I i,j = [t i 1, t i ] [c j, d j ] es no vcío ni unipuntul. L prtición de Drboux

35 2.2. INTEGRABILIDAD DARBOUX 21 P = {I i,j } (i,j) A es más fin que P 0 y, por tnto, d(f, P ) < ɛ. Por otro ldo d(f, P) = = m w(f, J j )m(j j ) j=1 (i,j) A w(f, J j )m(i i,j ) = d(f, P ) + (w(f, J j ) w(f, I i,j ))m(i i,j ) (i,j) A < ɛ + (w(f, J j ) w(f, I i,j ))m(i i,j ). (i,j) A Fijmos por un momento (i, j) A. Tenemos dos posibiliddes J j I i,j. En tl cso w(f, J j ) w(f, I i,j ) 0. J j I i,j. Entonces J j [t i 1, t i ] y, como P tiene norm menor que δ, result que J j [t i 1 δ, t i 1 + δ] ó J j [t i δ, t i + δ]. Si B es el conjunto de pres (i, j) A que cumplen est últim condición, (i,j) A N (w(f, J j ) w(f, I i,j ))m(i i,j ) i=0 (i,j) B J j [t i δ,t i+δ] (i,j) B (w(f, J j ) w(f, I i,j ))m(i i,j ) = (w(f, J j ) w(f, I i,j ))m(i i,j ) (N + 1)4M(2δ) < ɛ. Por tnto d(f, P) < ɛ, como se querí demostrr. Proposición Si f : [, b] X es integrble Drboux, entonces es integrble Riemnn. Demostrción. Fijmos ɛ > 0 y un prtición P ɛ = {[ i, b i ] : 1 i n} dπ[, b] tl que d(f, P ɛ ) < ɛ. Sen P 1, P 2 Π[, b] con subintervlos los de P ɛ y puntos intermedios s i, t i [ i, b i ] respectivmente. Es clro que f(p 1 ) f(p 2 ) (b i i ) f(s i ) f(t i ) d(f, P ɛ ) < ɛ y l integrbilidd Riemnn de f se sigue de Podemos imitr l prueb del cso rel pr dr l siguiente crcterizción de l integrbilidd Drboux [21, Teorem 18]: Teorem (Lebesgue). Un función f : [, b] X es integrble Drboux si y sólo si es cotd y continu en csi todo punto.

36 22 CAPÍTULO 2. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD Demostrción. Sólo si. Y hemos visto nteriormente que f es cotd si es integrble Drboux. Ddo que f es continu en un punto t [, b] si y sólo si w(f, t) = 0, el conjunto de sus puntos de discontinuidd es l unión E = E i, siendo E n = {t [, b] : w(f, t) 1 n }. E es medible Lebesgue (unión numerble de cerrdos, que son medibles) y pr ver que tiene medid cero sólo hy que comprobr que m(e n ) = 0 pr cd n N. Fijemos n N y se ɛ > 0 rbitrrio. Tomemos P = {[ i, b i ] : 1 i p} dπ[, b] tl que d(f, P) < ɛ n. Se I = {1 i p : E n ( i, b i ) }. Pr cd i I podemos fijr un t i ( i, b i ) E n ; [ i, b i ] es un entorno de t i en [, b] 1 y sí n w(f, t i) w(f, [ i, b i ]). Como E n está esencilmente contenido en i I ( i, b i ) result ɛ n > d(f, P) i I w(f, [ i, b i ])m([ i, b i ]) 1 n y sí m(e n ) < ɛ (pr cd ɛ > 0). Por tnto m(e n ) = 0. m([ i, b i ]) 1 n m(e n) Si. Se M un cot superior de f en [, b]. Fijmos b > ɛ > 0 y n N tl que 1 n < ɛ. Por hipótesis m(e n ) = 0 y existe un sucesión de intervlos biertos disjuntos dos dos {(c k, d k )} k N tles que su unión contiene E n y k=1 (d k c k ) < ɛ. Pero E n es cerrdo en el compcto [, b] y, por tnto, compcto. Así, podemos suponer que l sucesión nterior es finit: {(c i, d i )} 1 i p. Asumiendo que todos estos intervlos intersecn E n, tenemos pr cd i que I i = [, b] [c i, d i ] es un intervlo no degenerdo y pr i j l intersección I i I j es lo más un punto. Se A = p I i [, b]. Clrmente [, b] A por ser m(a) < ɛ < b y, sí, B = [, b] \ A es un unión disjunt de intervlos biertos y semibiertos (estos últimos precen en cso de que A ó b A). Se J uno culquier de ellos con dherenci [r, s] = J. Es clro que E n [r, s] = y, por lo tnto, pr cd t [r, s] existe un intervlo cerrdo J t [, b] entorno de t en l topologí reltiv de [, b] tl que w(f, J t ) < 1 n. L compcidd de [r, s] implic l existenci de t 1,..., t n [r, s] tles que [r, s] n J t i. Se P J l prtición de Drboux de [r, s] con puntos r, s y los extremos de cd J tk que estén contenidos en (r, s). Cd subintervlo G de est prtición está contenido en lgún J tk = [u k, v k ] y, por lo tnto, stisfce w(f, G) < 1 n. Resumiendo, tenemos descompuesto B = [, b] \ A en un unión disjunt de intervlos cuys dherencis dmiten prticiones de Drboux P J tles que w(f, G) < 1 n pr cd G P J. Además, A es un unión finit de intervlos cuys longitudes sumn menos que ɛ. Agrupndo estos intervlos con los de ls prticiones socids B podemos obtener un prtición de Drboux P 0 de [, b]. Denotremos por P 0 l colección de subintervlos de P que intersecn E n y por P 0 l colección de los restntes. Acbmos de ver que P 0 = {I 1,..., I p } y w(f, G) < 1 n i I pr todo G P 0.

37 2.2. INTEGRABILIDAD DARBOUX 23 Si P dπ[, b] es más fin que P 0 definimos P = {I P : I J pr lgún J P 0} P = {I P : I J pr lgún J P 0 }. L oscilción de f en cd intervlo de P es evidentemente menor que 1 n. Además P = P P (P es más fin que P 0 ) y, por tnto, d(f, P) = m(i)w(f, I) + m(i)w(f, I) I P I P 2M m(i) + 1 m(i) n I P I P p 2M m(i i ) + b n < (2M + (b ))ɛ. Esto prueb l integrbilidd Drboux de f en [, b]. Corolrio Culquier función f : [, b] X cotd y continu en csi todo punto es integrble Riemnn en [, b]. En prticulr, tod función continu es integrble Riemnn. Not Se puede dptr fácilmente l prueb del cso esclr pr dr un demostrción más elementl de l últim firmción, bsd simplemente en l continuidd uniforme. Not Es esencil que l continuidd se respecto l topologí de l norm en X, no se puede obtener l mism conclusión pr funciones continus respecto l topologí débil de X o ω (cso de ser X el dul de un espcio normdo). L integrbilidd Riemnn de ls funciones débilmente continus crcteriz cierts propieddes topológics de los espcios de Bnch, como nlizremos en el Cpítulo 5. A continución dmos un pr de ejemplos que muestrn que, en generl, l integrbilidd Drboux es más fuerte que l de Riemnn. El primero y es conocido, mientrs que el segundo h sido extrído de [21, Ejemplo 10]. Ejemplo Se f : [, b] B[, b] l función definid en el ejemplo Y vimos que f es integrble Riemnn en [, b]. Sin embrgo, no es integrble Drboux. Demostrción. En cso contrrio, por el teorem precedente, f : [, b] R serí cotd y continu en csi todo punto, es decir, integrble Riemnn, en contr de lo probdo en el citdo ejemplo. Ejemplo (Rejouni). Existe un función f : [0, 1] c 0 integrble Riemnn sin puntos de continuidd.

38 24 CAPÍTULO 2. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD Demostrción. Se Q = Q [0, 1] = {r 1, r 2,... } y definimos f : [0, 1] c 0 por f(r n ) = e n (pr todo n N) y f(t) = 0 pr cd t [0, 1] irrcionl. Pr ver que f no es continu en ningún punto bst notr que su norm f = χ Q crece de puntos de continuidd. Afirmmos que f es de VDA (y, en virtud de 2.1.3, integrble Riemnn en [0, 1]). En efecto, se {[c i, d i ]} 1 i n un fmili finit de subintervlos de [0, 1] que no se solpen. Nótese que entonces c i c j (resp. d i d j ) pr i j y, sí, n f(c i) {0, 1} N n (resp. f(d i) {0, 1} N ). Por tnto n (f(d i) f(c i )) { 1, 0, 1} N y Esto prueb l firmción. (f(d i ) f(c i )) 1. En prticulr, pr todo espcio de Bnch X que conteng un copi isomorf de c 0 existe un función de VDA f : [, b] X que no es integrble Drboux (vése 3.1.1). Curiosmente el recíproco es cierto (fue demostrdo por Rejouni en [50]) y proporcion otr crcterizción de los espcios de Bnch que no contienen c 0, sí como un mejor de en tles espcios. Lem Se f : [, b] X un función que no es continu en csi todo punto. Entonces existen α > 0 y un sucesión de subintervlos de [, b] disjuntos dos dos {[r n, s n ]} n N de mner que f(s n ) f(r n ) > α pr cd n N. Demostrción. Por hipótesis [, b] \ Cont(f) = n=1{t [, b] : w(f, t) 1 n } tiene medid positiv, luego existe β > 0 tl que K = {t (, b) : w(f, t) β} tiene medid η = m(k) > 0. Fijmos α = β 2. A continución construimos por recurrenci un sucesión de subintervlos biertos de [, b] disjuntos dos dos, digmos I 1, I 2,..., tles que I i K pr cd i N. n m(i i) < η pr todo n N. Fijmos t 1 K rbitrrio. Podemos tomr I 1 = (t 1 δ, t 1 + δ) siendo 0 < δ < η 4 suficientemente pequeño de mner que I 1 [, b]. Pr probr el pso inductivo supongmos ddos I 1,..., I n [, b] intervlos biertos disjuntos dos dos tles que I i K pr 1 i n y n m(i i) < η. Est desiguldd implic que K n I i y, por tnto, existe t n+1 K tl que t n+1 n I i. Bst tomr hor δ > 0 suficientemente pequeño de mner que I n+1 = (t n+1 δ, t n+1 + δ) [, b], no corte ninguno de los I i y 2δ < η m(i i ).

39 2.2. INTEGRABILIDAD DARBOUX 25 Como pr cd n N existe t n I n verificndo w(f, t n ) β > α (e I n es bierto), podemos tomr r n < s n contenidos en I n tles que f(s n ) f(r n ) > α. L sucesión {[r n, s n ]} n N nos sirve. Proposición Pr un espcio de Bnch X son equivlentes: i) X no contiene copis isomorfs de c 0. ii) Tod función f : [, b] X de VDA es integrble Drboux. Demostrción. Sólo nos qued demostrr i) ii). Supongmos por reducción l bsurdo que existe un función f : [, b] X de VDA que no es integrble Drboux. Es fácil ver, prtir de l definición de VDA, que f es cotd. Por el teorem de Lebesgue l función f no puede ser continu en csi todo punto y el lem nterior grntiz l existenci un α > 0 y un sucesión de subintervlos de [, b] disjuntos dos dos {[r n, s n ]} n N tles que pr cd n N. En prticulr l serie f(s n ) f(r n ) > α (f(s n ) f(r n )) n=1 no puede ser convergente en X. Sin embrgo, pr cd x X x (f(s n ) f(r n )) = x f(s n ) x f(r n ) < n=1 n=1 porque x f es un función de vrición cotd (lem 2.1.2). Esto contrdice el teorem de Bessg-Pelczynski de crcterizción de los espcios de Bnch que no contienen c 0 (teorem A.3.5).