MMAF: Espacios normados y espacios de Banach

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1 MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Licenciatura en Estadística R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Curso 2011/2012

2 Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto de elementos sobre el cual están definidas las operaciones suma + de dos elementos x, y de V y multiplicación de un escalar (número real) α por un elemento de V. V es un espacio vectorial si 1 x, y V, el vector suma, w = x + y V y se cumple que: 1 x + y = y + x 2 (x + y) + z = x + (y + z) 3 Existe un elemento nulo de V, tal que x + 0 = 0 + x = x 4 Cualquiera sea el vector x de V, existe el elemento ( x) opuesto a x, tal que x + ( x) = ( x) + x = 0. 2 x V, el vector w = α x V y se cumple que: 1 α (x + y) = α x + α y 2 (α + β) x = α x + β x 3 α (β x) = (αβ) x 4 1 x = x

3 Ejemplos de espacios vectoriales 1 El conjunto de los vectores de R n cuando la suma de dos vectores y la multiplicación por un escalar es la estándard. 2 El conjunto R m n de las matrices m n cuando la suma de dos matrices y la multiplicación por un escalar es la estándard. 3 El conjunto P n de los polinomios de grado a lo sumo n P n = {p n (t) = a 0 +a 1 t+ +a n t n, a 0,..., a n números reales.}, donde definimos p(t) = a 0 + a 1 t + + a n t n, q(x) = b 0 + b 1 t + + b n t n, (p + q)(t) p(t) + q(t) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )t + + (a n + b n )t n, (α p)(t) α p(t) = (αa 0 ) + (αa 1 )t + + (αa n )t n. Además, p n = 0, si y sólo si a 0 = a 1 = = a n = 0. 4 El conjunto C [a,b] de las funciones continuas en [a, b]

4 Subespacios vectoriales Definición Sea V un espacio vectorial. Diremos que un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si H es a su vez un espacio vectorial respecto a las mismas operaciones suma + y multiplicación que V. Ejemplos. 1 Dado un espacio vectorial V, son subespacios vectoriales triviales los subespacios H = {0} (conjunto que tiene como único elemento, el nulo) y H = V (el mismo espacio vectorial). 2 Para V = C [a,b], H = P n es un subespacio vectorial, para cualquier n = 0, 1, 2,... entero. 3 Para V = P n, H = P k es un subespacio vectorial para todo k < n.

5 Subespacios vectoriales Teorema Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y sólo si se cumple que Para todos x e y, vectores de H y α, β R el vector w = αx + βy también es un vector de H.

6 Subespacios vectoriales Teorema Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y sólo si se cumple que Para todos x e y, vectores de H y α, β R el vector w = αx + βy también es un vector de H. Al vector v = x 1 v 1 + x 2 v x p v p, x 1,..., x p R, se le denomina combinación lineal de los vectores v 1, v 2,..., v p. Sea span (v 1, v 2,..., v p ) el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v 1, v 2,..., v p V

7 Subespacios vectoriales Teorema Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y sólo si se cumple que Para todos x e y, vectores de H y α, β R el vector w = αx + βy también es un vector de H. Al vector v = x 1 v 1 + x 2 v x p v p, x 1,..., x p R, se le denomina combinación lineal de los vectores v 1, v 2,..., v p. Sea span (v 1, v 2,..., v p ) el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v 1, v 2,..., v p V Teorema span (v 1, v 2,..., v p ) es un subespacio vectorial de V. Dicho subespacio vectorial comúnmente se denomina subespacio generado por los vectores v 1, v 2,..., v p.

8 Conjuntos linealmente independientes Definición Un conjunto de vectores v 1, v 2,..., v p de un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente si la ecuación vectorial x 1 v 1 + x 2 v x p v p = 0, x 1, x 2,, x p R tiene como única solución la trivial x 1 = = x p = 0.

9 Conjuntos linealmente independientes Definición Un conjunto de vectores v 1, v 2,..., v p de un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente si la ecuación vectorial x 1 v 1 + x 2 v x p v p = 0, x 1, x 2,, x p R tiene como única solución la trivial x 1 = = x p = 0. Definición Un conjunto de vectores v 1, v 2,..., v p se denomina linealmente dependiente si existen x 1, x 2,, x p R no todos iguales a cero tales que se verifique la ecuación vectorial x 1 v 1 + x 2 v x p v p = 0.

10 Importancias de los vectores li: Bases Definición Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V. El conjunto de vectores B = {b 1, b 2,..., b p } de V es una base de H si i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = span (b 1, b 2,..., b p ), o sea, B genera a todo H. En particular si H coincide con V, entonces B es una base de todo el espacio vectorial V.

11 Importancias de los vectores li: Bases Definición Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V. El conjunto de vectores B = {b 1, b 2,..., b p } de V es una base de H si i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = span (b 1, b 2,..., b p ), o sea, B genera a todo H. En particular si H coincide con V, entonces B es una base de todo el espacio vectorial V. Ejemplo 1: Las n columnas a 1,..., a n de una matriz invertible n n, son li y además R n = span (a 1,..., a n ). Por tanto B = a 1,..., a n es una base de R n. Si A = I n, es la matriz identidad n n, las columnas e 1, e 2,..., e n de la misma son la base canónica de R n.

12 Importancias de los vectores li: Bases Definición Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V. El conjunto de vectores B = {b 1, b 2,..., b p } de V es una base de H si i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = span (b 1, b 2,..., b p ), o sea, B genera a todo H. En particular si H coincide con V, entonces B es una base de todo el espacio vectorial V. Ejemplo 1: Las n columnas a 1,..., a n de una matriz invertible n n, son li y además R n = span (a 1,..., a n ). Por tanto B = a 1,..., a n es una base de R n. Si A = I n, es la matriz identidad n n, las columnas e 1, e 2,..., e n de la misma son la base canónica de R n. Ejemplo 2: El conjunto de vectores S = {1, t, t 2,..., t n } P n es li, además span (1, t, t 2,..., t n ) = P n. Luego S es una base de P n (canónica).

13 Bases y dimensión del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b 1, b 2,..., b n }, entonces cualquier conjunto con más de n vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b 1,..., b n }, entonces cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V.

14 Bases y dimensión del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b 1, b 2,..., b n }, entonces cualquier conjunto con más de n vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b 1,..., b n }, entonces cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V. El menor número de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intrínseca de dicho espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial.

15 Bases y dimensión del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b 1, b 2,..., b n }, entonces cualquier conjunto con más de n vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b 1,..., b n }, entonces cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V. El menor número de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intrínseca de dicho espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial. Un espacio vectorial V es de dimensión finita n si V está generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n.

16 Bases y dimensión del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b 1, b 2,..., b n }, entonces cualquier conjunto con más de n vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b 1,..., b n }, entonces cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V. El menor número de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intrínseca de dicho espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial. Un espacio vectorial V es de dimensión finita n si V está generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. El espacio nulo {0} tiene dimensión 0.

17 Bases y dimensión del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b 1, b 2,..., b n }, entonces cualquier conjunto con más de n vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b 1,..., b n }, entonces cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V. El menor número de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intrínseca de dicho espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial. Un espacio vectorial V es de dimensión finita n si V está generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. El espacio nulo {0} tiene dimensión 0. Si V no puede ser generado por una base finita, entonces V es de dimensión infinita: dim V =.

18 Bases y dimensión del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b 1, b 2,..., b n }, entonces cualquier conjunto con más de n vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b 1,..., b n }, entonces cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V. El menor número de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intrínseca de dicho espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial. Un espacio vectorial V es de dimensión finita n si V está generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. El espacio nulo {0} tiene dimensión 0. Si V no puede ser generado por una base finita, entonces V es de dimensión infinita: dim V =. Ejemplos: dim R n = n, dim P n = n + 1, dim C [a,b] =.

19 Espacios normados y de Banach Definición Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x X existe un número real denominado norma, y que denotaremos por x, que cumple con las condiciones 1 x X, x 0 y si x = 0 entonces x = 0. 2 x X y λ R, λx = λ x. 3 x, y X, se tiene la des. triang. x + y x + y.

20 Espacios normados y de Banach Definición Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x X existe un número real denominado norma, y que denotaremos por x, que cumple con las condiciones 1 x X, x 0 y si x = 0 entonces x = 0. 2 x X y λ R, λx = λ x. 3 x, y X, se tiene la des. triang. x + y x + y. Si en un espacio normado X definimos la func. ρ(x, y) = x y, esta satisface los axiomas de la definición de espacio métrico, i.e., todo espacio normado es un espacio métrico. La ρ anterior se denomina métrica inducida por la norma.

21 Espacios normados y de Banach Definición Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x X existe un número real denominado norma, y que denotaremos por x, que cumple con las condiciones 1 x X, x 0 y si x = 0 entonces x = 0. 2 x X y λ R, λx = λ x. 3 x, y X, se tiene la des. triang. x + y x + y. Si en un espacio normado X definimos la func. ρ(x, y) = x y, esta satisface los axiomas de la definición de espacio métrico, i.e., todo espacio normado es un espacio métrico. La ρ anterior se denomina métrica inducida por la norma. Definición Un espacio normado completo (en la métrica inducida por la norma) se denomina espacio de Banach.

22 Ejemplos Ejemplo X = R n (C n ), con la norma x = n k=1 x k 2, es un espacio de Banach.

23 Ejemplos Ejemplo X = R n (C n ), con la norma x = n k=1 x k 2, es un espacio de Banach. Ejercicio Qué ocurre con X = R n (C n ) si usamos las normas x = ( n k=1 x k p ) 1/p, p 1? Y con la norma x = max k=1,...,n x k?

24 Ejemplos Ejemplo X = R n (C n ), con la norma x = n k=1 x k 2, es un espacio de Banach. Ejercicio Qué ocurre con X = R n (C n ) si usamos las normas x = ( n k=1 x k p ) 1/p, p 1? Y con la norma x = max k=1,...,n x k? Ejemplo ( ) b 1/p, Sea X = C [a,b] y definamos la norma f = a f (x) p p 1. Este espacio es un espacio normado pero no de Banach ( por qué?).

25 Ejemplos Ejemplo Sea X = C [a,b]. Definamos la norma f = max x [a,b] f (x). Este espacio es un espacio de Banach.

26 Ejemplos Ejemplo Sea X = C [a,b]. Definamos la norma f = max x [a,b] f (x). Este espacio es un espacio de Banach. Ejemplo Sea ahora X el espacio de todas las sucesiones x = (x 1, x 2,..., x n,...) reales t.q. k=1 x k p < + con la norma x = ( k=1 x k p ) 1/p, p 1. Dicho espacio lo denotaremos por l p y es un espacio de Banach.

27 Ejemplos Ejemplo Sea X = C [a,b]. Definamos la norma f = max x [a,b] f (x). Este espacio es un espacio de Banach. Ejemplo Sea ahora X el espacio de todas las sucesiones x = (x 1, x 2,..., x n,...) reales t.q. k=1 x k p < + con la norma x = ( k=1 x k p ) 1/p, p 1. Dicho espacio lo denotaremos por l p y es un espacio de Banach. Ejercicio Decide si el espacio X de todas las sucesiones reales x = (x 1, x 2,..., x n,...) acotadas con la métrica x = sup k N x k, es un espacio de Banach.

28 Todo espacio métrico es normado? Sea X el espacio de todas las sucesiones reales x = (x 1, x 2,..., x n,...) con la métrica ρ(x, y) = j=1 1 x j y j 2 j 1 + x j y j. Esta métrica no puede ser inducida por ninguna norma ya que de ella nunca podremos obtener la propiedad x X y λ R, λx = λ x, de la norma.

29 Todo espacio métrico es normado? Sea X el espacio de todas las sucesiones reales x = (x 1, x 2,..., x n,...) con la métrica ρ(x, y) = j=1 1 x j y j 2 j 1 + x j y j. Esta métrica no puede ser inducida por ninguna norma ya que de ella nunca podremos obtener la propiedad x X y λ R, λx = λ x, de la norma. Lema Sea X un espacio normado. Entonces, la métrica ρ inducida por la norma satisface las condiciones 1 ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y), 2 ρ(λx, λy) = λ ρ(x, y).

30 Espacios normados vs Espacios métricos En los espacios normados podemos definir la conv. de sucesiones, suc. de Cauchy, etc. Basta considerarlos como espacios métricos con la métrica ρ inducida por la norma: ρ(x, y) = x y. Algunas definiciones son algo más sutiles:

31 Espacios normados vs Espacios métricos En los espacios normados podemos definir la conv. de sucesiones, suc. de Cauchy, etc. Basta considerarlos como espacios métricos con la métrica ρ inducida por la norma: ρ(x, y) = x y. Algunas definiciones son algo más sutiles: Definición Sea X un espacio normado y sea M un subespacio vectorial de X. Si M es un espacio normado con la norma de X restringida a M se dice que M es un subespacio de X. Si M es cerrado en X entonces se dice que es un subespacio cerrado.

32 Espacios normados vs Espacios métricos En los espacios normados podemos definir la conv. de sucesiones, suc. de Cauchy, etc. Basta considerarlos como espacios métricos con la métrica ρ inducida por la norma: ρ(x, y) = x y. Algunas definiciones son algo más sutiles: Definición Sea X un espacio normado y sea M un subespacio vectorial de X. Si M es un espacio normado con la norma de X restringida a M se dice que M es un subespacio de X. Si M es cerrado en X entonces se dice que es un subespacio cerrado. Definición (En los espacios normados podemos definir las series:) Sea una suc. (x n ) n de un espacio normado X definiremos la n sucesión (s n ) n de sumas parciales por s n = x k, n N. Si k=1 s n s X (en norma), diremos que la serie es converge en X y s es su suma. La serie converge absolutamente si n k=1 x k < +.

33 Series en espacios normados Teorema Sea X un espacio de Banach (normado y completo). Entonces toda serie absolutamente convergente es convergente.

34 Series en espacios normados Teorema Sea X un espacio de Banach (normado y completo). Entonces toda serie absolutamente convergente es convergente. El teorema anterior no es cierto si X no es completo. Ejercicio Prueba que si X es un espacio normado, entonces toda serie absolutamente convergente es convergente si y sólo si X es completo.

35 Series en espacios normados Teorema Sea X un espacio de Banach (normado y completo). Entonces toda serie absolutamente convergente es convergente. El teorema anterior no es cierto si X no es completo. Ejercicio Prueba que si X es un espacio normado, entonces toda serie absolutamente convergente es convergente si y sólo si X es completo. Teorema ( Todo espacio normado se puede completar!) Sea (X,. ) un espacio normado. Entonces existe un espacio de Banach X y una isometría A de X en W X, tal que W es denso en X. Además, X es único excepto isometrías.

36 Base de Schauder Definición Sea X un espacio normado y sea M un subespacio vectorial de X. Si M es un espacio normado con la norma de X restringida a M se dice que M es un subespacio de X. Si M es cerrado en X entonces se dice que es un subespacio cerrado. Definición Sea X un espacio normado. Sea (e n ) n una sucesión de elementos de X tal que, para todo x X, existe una única sucesión de escalares (α n ) n tales que x (α 1 e α n e n n 0. Dicha sucesión se denomina base de Schauder.

37 Base de Schauder y separabilidad Ejemplo Sea X el espacio l p de las sucesiones y sea (e n ) n la sucesión e k = δ i,k, i.e., la sucesión de vectores de l p con 1 en la posición k y 0 en el resto. Probemos que dicha sucesión es una base de Schauder. En efecto, para todo x l p tenemos x = (x 1, x 2, x 3,..., x n,... ). Sea s n = n k=1 x ke k. Como x l p, entonces lim s n s = lim n n ( k=n+1 x k p ) 1/p n 0.

38 Base de Schauder y separabilidad Ejemplo Sea X el espacio l p de las sucesiones y sea (e n ) n la sucesión e k = δ i,k, i.e., la sucesión de vectores de l p con 1 en la posición k y 0 en el resto. Probemos que dicha sucesión es una base de Schauder. En efecto, para todo x l p tenemos x = (x 1, x 2, x 3,..., x n,... ). Sea s n = n k=1 x ke k. Como x l p, entonces Ejercicio lim s n s = lim n n ( k=n+1 x k p ) 1/p n 0. Prueba que si un espacio normado X tiene una base de Schauder, entonces es separable.

39 Espacios normados de dimensión finita Lema (Lema técnico) Sean n vectores cualesquiera x 1,..., x n linealmente independientes de un espacio normado X. Entonces, existe un número real c > 0 tal que cuales quiera sean los escalares α 1,..., α n, α 1 x α n x n c( α α n ). Demostración: Sea s = α α n. Si s = 0 el lema es trivial así que asumiremos s > 0. Dividiendo por s 2 se sigue que 2 es equivalente a probar que si x 1,..., x n son linealmente independientes, entonces existe un número real c > 0 tal que cuales quiera sean los los escalares β 1,..., β n, con n k=1 β k = 1 β 1 x β n x n c. La prueba será por reducción al absurdo.

40 Prueba del Lema técnico Entonces ha de existir ( por qué?) una sucesión (y m ) m X tal que y m = β (m) 1 x β (m) n x n, n k=1 β (m) k = 1, y y m m 0. De la condición n numéricas (β (m) k k=1 β(m) k = 1 se sigue que las n sucesiones ) m, k = 1,..., n, son acotadas. Sea la sucesión (β (m) 1 ) m acotada, entonces por el T de B-W de ella se puede extraer una subsucesión convergente β (m j ) j 1 β 1. Escojamos de cada una de las sucesiones restantes (β (m) k ) m, k = 2,..., n, las subsucesiones definidas por los índices m j. Entonces (β (m j ) 2 ) j es acotada y por B-W y podemos extraer una subsucesión convergente β (j l ) l 2 β 2. Además, si escogemos los índices j l definidos, la subsucesión (β (j l ) 1 ) j l β 1 ( por qué?).

41 Prueba del Lema técnico Continuando este proceso n veces una subsucesión de índices l i t.q. β (l i ) i k β k, k = 1, 2,..., n. Además, dicha sucesión de índices define una subsucesión (y li ) i de (y m ) m t.q. y li = n k=1 β (l i ) k x k, β (l i ) i k β k lim i y li = n β k x k := y, k=1 n β k = 1. k=1 De lo anterior se sigue que no todos los β k = 0 al mismo tiempo. Como los vectores x 1,..., x n son li y 0 ( por qué?). La norma es una aplicación continua lim y l i = y lim y li = y, i i pero como y m m 0, entonces lim i y li = 0, luego y = 0 de donde se sigue que y = 0 lo cual es una contradicción.

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