FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA U.N.R.

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA U.N.R. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL Código L PLAN DE ESTUDIOS: 2002 CARRERA: Licenciatura en Matemática DEPARTAMENTO: Matemática PROFESOR: Gabriela Ovando AÑO DEFINITIVO DE EXAMEN PROGRAMA SEMESTRAL Táchese lo que no corresponda. OBSERVACIONES: PRESUPUESTO HORARIO SEMANAL PROMEDIO TEORÍA: 3 1 PRÁCTICA: 3 2 LABORATORIO: 3 TOTAL ASIGNADO: DEDICACIÓN DEL ALUMNO FUERA DE CLASE: 6 5 PRESUPUESTO TOTAL: PROGRAMA BASADO EN SEMANAS ÚTILES : 15 7 OBJETIVOS: (qué debe saber el alumno al concluir el curso) HORAS TOTALES ASIGNADAS: 90 7x4 HORAS TOTALES PRESUPUESTAS: 180 7x6 Adquirir capacidades mínimas para el estudio algebraico de ciertos objetos matemáticos, a través del proceso de síntesis que brinda el álgebra y su herramienta en la representación matricial. UBICACIÓN EN LA CARRERA Y CARACTERÍSTICAS GENERALES: Primer cuatrimestre de segundo año. Materia básica en matemática, explica teoría del álgebra lineal para su posterior aplicación en otras áreas. MATERIAS RELACIONADAS: Previas: Algebra, Geometría analítica Simultáneas recomendadas: Cálculo II Posteriores: Estructuras Algebraicas I Firma Profesor Fecha Aprob. Escuela Fecha Aprobado en reunión de Consejo Académico de fecha:...

2 CONTENIDO TEMÁTICO Ordenar temas utilizando codificación decimal 1. ALGEBRA LINEAL 1.1 Ecuaciones Lineales Sistemas homogéneos y no homogéneos. Definición y ejemplos Determinantes. Propiedades Resolución de sistemas lineales. Regla de Cramer y método de eliminación Espacios vectoriales Espacios vectoriales: definición y ejemplos. Combinación lineal Subespacios. Intersección de subespacios. Subespacio generado. Suma de conjuntos Conjuntos linealmente dependientes e independientes. Suma directa de subespacios. Complementos Base. Coordenadas. Dimensión. Bases de subespacios. Bases ordenadas. Representación de un vector en una base ordenada predeterminada. Cambio de bases Producto interno. Definición y ejemplos. Desigualdad triangular y de Schwarz. Teorema de Pitágoras. Ortogonalidad. Proyección. Proceso de ortonormalización de Gram Schmidt. Complementos ortogonales y sistemas de ecuaciones Transformaciones Lineales Transformaciones lineales: definición y ejemplos. Unicidad de una transformación lineal prefijando bases Núcleo e imagen de una transformación lineal. Relación entre nulidad, rango y dimensión. Monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo Algebra de las transformaciones lineales, con la suma y composición. Transformaciones lineales invertibles Matrices y transformaciones lineales: isomorfismo. Representación matricial en diferentes bases. Ejemplos. Aplicación Espacios duales Funcionales lineales. Definición y ejemplos Bases duales. Existencia y unicidad. Coordenadas como funcionales lineales Anulador de un conjunto. Ecuación de dimensiones de un subespacio y su anulador Sistemas de ecuaciones y anuladores Transpuesta de una transformación lineal. Representación matricial. Núcleo e imagen Autovalores y autovectores Autovalores y autovectores: definición. Espacio propio. Polinomio caraterístico. Polinomio característico de matrices semejantes Transformaciones diagonalizables. Representación matricial. Caracterización de tales transformaciones en función de su polinomio característico y la suma directa de los subespacios propios Forma de Jordan Subespacios invariantes. Restricción de operadores. Representación matricial. Polinomio característico del operador restringido Transformaciones nilpotentes. Definición y ejemplos. Indice de un operador nilpotente. Subespacios cíclicos. Forma canónica de un operador nilpotente Multiplicidad algebraica y geométrica de un autovalor.

3 Existencia y unicidad de la descomposición de un espacio vectorial en suma directa de subespacios invariantes donde las restricciones del operador resultan nilpotente e invertible respectivamente Definición de bloque de Jordan. Parte diagonal y nilpotente de una transformación. Forma de Jordan de una matriz Funcionales y Producto interno Funcionales lineales: definición y ejemplos. Espacio dual. Base dual de una dada Anulador de un subespacio. Relación entre dimensiones de un subespacio y su anulador Transpuesta de una transformación lineal. Espacio nulo de la transpuesta. Representación matricial de la transpuesta. Relación entre rango fila y rango columna de una matriz Producto interno: definición y ejemplos. Forma cuadrática. Matriz de un producto interno en una base predeterminada. Propiedades del producto interno: desigualdades de Cauchy-Schwartz, desigualdad triangular Ortogonalidad. Vectores ortonormales. Proceso de ortogonalización de Gram- Schmidt Distancia de un vector a un conjunto. Existencia de vectores que minimizan distancia. Cálculo. 1.8 Formas bilineales Definición y ejemplos. El conjunto de fomas bilineales sobre un espacio vectorial Matriz de una forma bilineal. Cambio de representaciones y cambios de bases. Estructura de espacio vectorial del conjunto de formas bilineales. Isomorfismo con el espacio de matrices Rango de una forma bilineal. Cálculo. Formas bilineales no degeneradas Formas bilineales simétricas. Definición y ejemplos. Forma cuadrática e identidad de polarización. Subespacio ortogonal respecto de una forma bilineal simétrica Matriz de una forma bilineal simétrica. Existencia de bases en que la representación matricial es diagonal Indice de una forma bilineal simétrica no degenerada Conjunto de matrices ortogonales respecto de una forma bilineal simétrica no degenerada.

4 TRABAJOS PRÁCTICOS a) Enumeración: Práctico 1: Sistemas de ecuaciones lineales. Práctico 2: Espacios vectoriales. Subespacios. Combinaciones lineales. Práctico 3: Subespacio generado. Dependencia e independencia lineal. Producto interno. Ortogonalización. Práctico 4: Transformaciones lineales. Núcleo e imagen. Práctico 5: Matriz de una transformación lineal. Práctico 6: Espacio Dual. Práctico 7: Autovalores y autovectores. Diagonalizacion. Práctico 8: Forma de Jordan. Práctico 9: Formas bilineales. b) Guías de trabajos prácticos publicadas: (con su código de publicación)

5 BIBLIOGRAFÍA a) Adecuada al programa. Ordenada por temas y con su codificación de biblioteca, incluidas las publicaciones de la Cátedra con su código de publicación. Gentile, E.R.: Notas de álgebra (espacios vectoriales), Centro de estudiantes, facultad de ciencias exactas y naturales, UBA, Halmos, P. R.: Espacios vectoriales finito dimensionales CECSA, Hoffman K., Kunze, R.: Linear algebra Prentice Hall, 2da Ed., 1971 Algebra lineal Prentice Hall, Larrotonda, A.R.: Algebra lineal y geometría, EUDEBA, 2da Ed Lang, S.: Algebra lineal, Fondo educativo interamericano, Strang, G.: Algebra lineal y sus aplicaciones, Addison-Wesley Iberoamericana. b) Complementaria para profundización o extensión de temas.

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