E-Book ISBN Fecha de catalogación: 04/04/2014. INTRODUCCION

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1 E-Book ISBN Fecha de catalogacón: 04/04/014. INTRODUCCION Esta sere ddáctca fue preparada en el año 1999, en oportundad de dctarse por prmera vez la asgnatura Elementos de Matemátca y Estadístca del prmer año de la carrera Técnco en Vveros y Plantacones, del plan de estudos Para nuestro equpo Cátedra, a cargo del dctado de los temas de Estadístca, fue un desafío, enseñar en tan poco tempo (poco menos de 30 horas de clase) y para alumnos que no poseían conocmentos báscos de dferencacón e ntegracón, nocones de estmacones por ntervalo, por supuesto que pasando por un dctado prevo y sntétco de probabldades y dstrbucones de probabldades. Tambén se ncluyeron los cláscos temas de la Estadístca Descrptva: tablas, gráfcos y meddas de poscón y dspersón. Los resultados obtendos pueden calfcarse como postvos: el esfuerzo de nuestra Cátedra se vó recompensado por el buen rendmento de los alumnos, los que sn duda estuveron ncentvados por el régmen promoconal que tene la asgnatura. En el deseo de compartr con nuestros estudantes esta Sere ddáctca, edtamos estas págnas, las que además ncluyen las guías de Trabajos Práctcos utlzadas. Cátedra de Estadístca Forestal

2 INDICE 1.-VARIABLES,TABLAS ESTADÍSTICAS Y GRÁFICOS 1.1.Estadístca:conceptos báscos Poblacón y Muestra Varables:Concepto y tpos Seres de datos: Seres smples Tablas y Gráfcos Organzacón de datos categórcos o cualtatvos Gráfco de superfces Varables cuanttatvas contnuas Gráfco de barras agrupadas Cartogramas Cartogramas de señalzacón Cartogramas de densdad Recomendacones para la construccón correcta de un Gráfco Clasfcacón de los gráfcos MEDIDAS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN.1.Meddas de Poscón y Dspersón Meddas de Tendenca Central Meda Artmétca Propedades de la Meda Artmétca Medana Modo Meda Cuadrátca Cuartles,Decles y Percentles Meddas de Varabldad o Dspersón Rango,Desvío Medo,Desvacón estándar Coefcente de Varacón Uso de la calculadora centífca para el cálculo de Meddas de Poscón y Dspersón PROBABILIDADES 3.1.Probabldades y dstrbucones de probabldades Probabldad y Estadístca Expermentos aleatoros. Espaco muestral. Eventos Defncón clásca de probabldad Defncón de probabldad frecuencal Teorema de la suma de probabldades Prncpo del producto de probabldades. 38

3 3.8.Varable aleatora Dstrbucones de probabldades de varable aleatora dscontnua Dstrbucones de probabldades de varable aleatora contnua Característcas de la Dstrbucón Normal, La Dstrbucón Normal estándar Tablas de la Dstrbucón Normal de una y dos colas TEORÍA ELEMENTAL DE MUESTREO 4.1.Poblacón,Muestra,Parámetros y Estmadores Muestreo al azar smple Estmacón de la meda poblaconal (µ ) por punto Dstrbucón de medas muestrales Estmacón de µ por ntervalo sendo σ conocdo Cálculo del tamaño de la muestra n para cometer un error determnado Error de estmacón relatvo o porcentual Estmacón de µ por ntervalo sendo σ desconocdo.. 46 La dstrbucón t de Student Estmacón de proporcones por ntervalo Muestreo al azar estratfcado GUIA DE EJERCITACIÓN BIBLIOGRAFIA ANEXO

4 CAPITULO I Varables, tablas estadístcas y gráfcos. Estadístca. Conceptos báscos La Estadístca es una dscplna pertenecente a la Matemátca Aplcada que se dedca al estudo cuanttatvo de fenómenos colectvos. Proporcona los métodos para: La recoleccón de datos Su ordenamento, resumen y presentacón, Su análss e nterpretacón y Posteror enuncado de conclusones. Los cuatro pasos que se han enumerado consttuyen las etapas del trabajo estadístco. En la cuarta, o sea en el enuncado de conclusones, deben dferencarse dos stuacones: 1. S las conclusones se referen sola y exclusvamente a los datos de los que se dspone, se dce que la Estadístca es Descrptva.. S por el contraro, las conclusones van más allá de los datos y se referen a un conjunto mayor, del cual se extrajeron los datos para el análss, se dce que la Estadístca es Inferencal Las estadístcas (en plural) se obtenen como resultado del trabajo estadístco y están consttudas por porcentajes, promedos, tablas, gráfcos y otros elementos que descrben un fenómeno y ayudan a su comprensón (Ej.: estadístcas demográfcas, estadístcas forestales, estadístcas del fútbol, estadístcas de accdentes de tránsto, estadístcas unverstaras, etc.). Poblacón y muestra Poblacón es el conjunto de todos los ndvduos cuyo conocmento nteresa. La muestra es un subconjunto de la poblacón objeto de estudo. La Estadístca Inferencal trabaja exclusvamente sobre la base de muestras y extenden sus conclusones a la Poblacón. Varables. Concepto y tpos. Las varables son el objeto de estudo de la estadístca. Se defne a una varable como una característca capaz de asumr dstntos valores o caldades. Cuando se desea estudar alguna característca de la poblacón se puede proceder de dos maneras: a) Se mde u observa esa característca en cada uno de los 4

5 ndvduos de la poblacón, es decr se realza un censo, el que es dfícl de llevar a cabo por que nsume mucho tempo y por lo tanto mucha erogacón. b) Se mde u observa esa característca en un subconjunto de la poblacón o muestra y luego se nferen o extenden los resultados obtendos a la poblacón medante herramentas que brnda la Estadístca Inferencal. Ya se explcó que la característca objeto de estudo, que varía de un ndvduo a otro, es decr que puede tomar dferentes valores o cualdades se denomna varable. A los valores que toma esa característca se los obtene por medcones, conteos u observacones que se efectúan en cada uno de los ndvduos que componen la muestra. Consdérense los sguentes ejemplos: Ejemplo 1: Supóngase que nteresa conocer la salud de los plantnes en un vvero, entonces la varable a observar en cada planta será el estado santaro, el que podrá asumr dos valores: sano o enfermo. Ejemplo : S nteresa saber el número de semllas que germnan en cajas de Petr donde se ponen a germnar 6 semllas, se deberán contar en cada caja el nº de semllas germnadas y sus valores pueden ser: 0, 1,, 3, 4, 5, 6. Ejemplo 3: S el objetvo de un estudo fuera la altura alcanzada por plantas de un año de Prosops, se debe medr con una vara a la varable altura la que, expresada en metros podrá tener valores entre 0 y 0.5 m. En los tres ejemplos anterores, el nombre de la varable y la forma de obtener sus valores está resaltado en negrta. En el prmer ejemplo, los valores que puede asumr la varable son caldades, por lo que se dce que la varable es cualtatva. Por el contraro, en los otros dos ejemplos los valores de las varables pueden expresarse medante números, por lo que las dos últmas varables son cuanttatvas. En el caso de número de semllas germnadas, la varable toma sólo determnados valores en el ntervalo que va de cero a ses por lo que se la denomna varable cuanttatva dscreta o dscontnua; cuando la varable toma los nfntos valores dentro del ntervalo se dce que la varable es cuanttatva contnua Seres de datos. Seres smples El conjunto de valores de una varable consttuye una sere de datos. Se presentan a contnuacón seres de datos referdas a los tres ejemplos que se deron para lustrar tpos de varables: Ejemplo 1: Un vversta examna 1 plantnes y anota su estado santaro (S=Sano, E=Enfermo). Generalmente las varables se representan con x, de éste modo las 1 observacones son: 5

6 x : S, S, E, E, E, S, S, E, S, S, S, S. El subíndce varía de 1 a 1. Así x 1 = S; x = S; x 3 = E;... x 1 =S. Ejemplo : Un técnco examna 30 cajas de Petr en las que se colocaron para germnar ses semllas y cuenta el nº de semllas germnadas en cada una de ellas. Los valores de las 30 observacones son los sguentes: x : 4, 1, 6,, 4,, 4,, 4, 6, 3, 5, 3,, 5, 4, 0, 5, 4,, 4, 5, 3, 5, 3, 5,4, 3, 6,. El subíndce va desde 1 a 30 y entonces x 1 = 4; x = 1; x 3 = 6;..; x 30 =. Ejemplo 3: Un vversta mde la altura alcanzada por 5 plantas de Prosops de un año de edad, obtenendo los sguentes valores: x (cm): 38, 14, 44, 11, 9, 1, 39, 8, 41, 4, 35, 4, 36, 1, 0, 31, 4, 5, 10, 1, 11, 36, 37, 0, 6. Ahora va desde 1 a 5, entonces x 1 = 38; x = 14; x 3 = 44;...; x 5 =6. Los datos en bruto, tal cual fueron obtendos, sn agrupar consttuyen una sere smple. Tablas y gráfcos Organzacón de datos categórcos o cualtatvos. Cuando la masa de datos obtendos es muy grande y éstos están desordenados, no dan nformacón alguna. Convene por lo tanto ordenarlos y tabularlos, hacendo uso de tablas estadístcas, que deben confecconarse de tal modo que los datos resulten fácles de ser leídos e nterpretados. Con los datos del ejemplo 1 se puede construr una tabla de frecuencas. Una tabla de frecuencas para varables cualtatva, es una tabla que asoca cada categoría de la varable con el número de veces que se repte la categoría. Tabla 1. Estado santaro de 1 plantnes de un vvero Categorías:x (Estado santaro) Frecuencas: f (nº de plantas) Porcentajes: % 1 Sano 8 67 Enfermo 4 33 Total Fuente: Datos fctcos El nº de veces que se repte cada categoría de la varable se 6

7 denomna frecuenca absoluta y se la smbolza con f. La suma de las frecuencas absolutas, es gual al nº total de observacones, en éste caso 1 ( f =1). Nótese que ahora se refere a las categorías, x 1 = Sano, f 1 = 8; x = Enfermo, f = 4. La tabla de frecuencas, es la más senclla de las tablas y es una tabla de smple entrada pues los ndvduos se clasfcan según una únca varable, estado santaro en el ejemplo. Los datos organzados en tabla de smple entrada para varable cualtatva, pueden presentarse medante gráfcos, que tene la fnaldad de que la nformacón entre por los ojos. El gráfco que puede usarse en éste caso es el gráfco de barras. = 1 f Sano Enfermo Estado Santaro Fuente: Datos fctcos Gráfco 1a. 1 plantnes de un vvero según estado santaro. Para su construccón se utlza el sstema de coordenadas ortogonales. Sobre el eje horzontal se colocan las dstntas categorías de la varable en estudo (estado santaro) y sobre el eje vertcal con una escala adecuada, se representan las frecuencas. Se dbujan barras de ancho constante, una para cada valor de la varable, con una altura que representa el valor de la frecuenca que corresponde a cada categoría. Es convenente que la separacón entre las barras sea menor que el ancho de las msmas. El ancho de las barras debe elegrse tenendo en cuenta el espaco dsponble, el número de categorías de la varable a representar y la altura que les corresponde, con el objeto de obtener un gráfco proporconado. Las barras pueden dbujarse en sentdo vertcal u horzontal. En algunos casos en lugar de rectángulos se dbuja una línea, razón por la cuál se denomnan gráfco de líneas. 7

8 Estado santaro Enf ermo Sano f (nº de plantas) Fuente: datos fctcos Gráfco 1b. 1 plantnes de un vvero según estado santaro En algunos trabajos es necesaro calcular frecuencas relatvas. La frecuenca relatva de una categoría es la proporcón de veces que ocurre dcha categoría. Se obtene dvdendo la frecuenca absoluta de cada categoría entre la suma de las frecuencas de todas las categorías. La suma en éste caso es f 1 + f = = 1, y se expresa lteralmente medante el sgno que se denomna sumatora, así = f = f 1 + f = = 1 = 1 a la frecuenca relatva de la clase ésma se la smbolza con fr y se la calcula de la sguente manera: f fr = f La suma de las frecuencas relatvas es sempre gual a 1. S se multplca las frecuencas relatvas por 100,se obtenen porcentajes. En éste ejemplo sería: Tabla.Estado santaro de 1 plantnes de un vvero x f fr Porcentajes: (Es.santaro) % 1 Sano 8 8/1= Enfermo 4 4/1= Total Fuente: Datos fctcos Se pueden representar los datos de la tabla medante un gráfco de barras, sólo que en el eje vertcal van los porcentajes. 8

9 % Sano Estado santaro Enfermo Fuente: Datos fctcos Gráfco. Plantnes de un vvero (en %) según estado santaro. Otro gráfco adecuado para representar seres de frecuencas de varable cualtatva es el gráfco de sectores crculares, llamado gráfco de tortas o pe charts. Éste no utlza el sstema de coordenadas cartesanas para su representacón. Se elge un rado y se construye un círculo que representará el total de frecuencas. Tabla 3. Plantas producdas en el año 1999 en el vvero del INSIMA Especes f (nº de plantas producdas) Grevllea 000 Jacarandá 000 Algarrobo 3500 Casuarnas 100 Total 8700 Fuente: INSIMA Con un círculo de 3 cm de rado(el valor del rado se elge según el espaco que se dsponga para el gráfco) se representa el total de plantas producdas (8700) al que, en consecuenca, le corresponde un ángulo de 360. Medante regla de tres se calculan los grados correspondentes a los sectores que representarán las dstntas categorías de la varable espece. S el total de 8700 se representa con 360º las grevlleas que son 000 se representarán con x = = 8. 76º 8700 De la msma manera se calcula para cada una de las 9

10 especes restantes. Los valores son: 8.76º para jacarandá, º para algarrobo y 49.65º para Casuarnas. La suma de dcha columna debe ser gual a 360º. Casuarnas GrevlleasG A Algarrobos s Jacarandás Fuente: INSIMA Gráfco 3: Plantas producdas en el año 1999 en el vvero del INSIMA, según especes S se desea representar la cantdad de plantnes producdos durante dos años, por ejemplo, en vez del gráfco de barras smples, se puede usar el gráfco de superfces. Éste gráfco srve para representar magntudes por medo de superfces, de tal manera que la proporcón entre las superfces sea la msma que la que exste entre las magntudes que ellas representan. Se tene la sguente tabla y se quere representar la produccón de los dos años 1998 y 1999 medante círculos. Tabla 4. Plantas producdas en el vvero del INSIMA en los dos últmos años Año Nº de plantas Fuente: Vvero INSIMA Para respetar el prncpo de proporconaldad básco en el gráfco de superfces se debe cumplr la sguente relacón: = S 8700 S 99 Donde S 98 y S 99 corresponden a las áreas de las fguras que representan a 5000 y 8700 plantas respectvamente. Las fguras geométrcas usadas son trángulos, rectángulos, cuadrados o círculos. S se utlza el círculo para representar las superfces los pasos a segur son: 1- Se elge un valor del rado (depende del espaco dsponble 10

11 para realzar el gráfco), que corresponde al mayor total a representar. Por ejemplo se elge un rado de 3 cm para dbujar el círculo cuya superfce representará la produccón de 1999 o sea 8700 plantas. - Para poder dbujar proporconalmente un círculo que corresponda al año 1998, es decr cuya superfce represente 5000 plantas se procede como sgue. Se calcula la superfce que corresponde al año S = π r = = cm 99 La superfce correspondente al año 1998, para que se mantenga la proporconaldad, es 5000 S 98 = = cm Ahora, se debe calcular el rado del círculo cuya superfce es cm Se sabe que S98 = = π r r= = 7. cm π O sea que la superfce de un círculo de rado.7cm representará la produccón de plantas de 1998 y cumplrá con el prncpo de proporconaldad: = cm..7 cm Fuente: Vvero INSIMA Gráfco 4. Produccón de plantas en el INSIMA durante 1998 y Se pueden combnar los gráfcos de superfces y sectores tal 11

12 como se muestra más adelante ( Tabla 1 y Gráfco 1). Varables cuanttatvas Para el caso de varables cuanttatvas dscretas, la tabla de frecuencas se construye de la sguente manera: se ubca el valor mayor y el menor valor de la varable (en el ejemplo del n de semllas germnadas en un grupo de ses semllas, el menor valor es cero y el valor mayor 6), se colocan todos los valores correspondentes en la prmera columna de la tabla, y luego se ve cuántas veces están repetdos dchos valores. La tabla resultante es: Tabla 5. Cajas de Petr clasfcadas según el número de semllas germnadas. X Fuente datos fctcos La dferenca que exste entre cada clase es constante e gual a 1. La tabla de frecuencas para varables cuanttatvas dscretas se representa medante un gráfco de barras smples o, cuando el ancho de las barras es una línea recbe el nombre de barras lneales o gráfco de bastones. En la abscsa van los valores de la varable y se levanta para cada uno de ellos una línea de altura gual a la frecuenca. Gráfco 5: Cajas de Petr según el número de semllas germnadas. f 8 6 Frecuencas núm ero de sem llas Para el caso de varables cuanttatvas contnuas como los 1

13 datos del ejemplo 3 (altura de plantas de Prosops de 1 año) que fueron obtendos por medcón, se recomenda construr ntervalos de clase, cuya ampltud depende de la cantdad de ntervalos que se deseen construr y la cantdad de datos que posee la sere smple. Es recomendable que los ntervalos de clases sean guales, es decr que la ampltud de los msmos (a) sea constante. La técnca a emplear para el agrupamento de una sere smple de varable cuanttatva contnua es senclla. Se transcrbe la sere. X (cm): 38, 14, 44, 11, 9, 1, 39, 8, 41, 4, 35, 4, 36, 1, 0, 31, 4, 5, 10, 1, 11, 36, 37, 0, Se ubca el valor mayor que toma la varable (44 cm) y el valor menor (4 cm).. - Se obtene la dferenca, la que se denomna Rango o ampltud de varacón y se desgna con la letra R. R = xmax xmn = 44 4 = El número de ntervalos se puede calcular con la sguente fórmula: log(n + 1) n de ntervalos = log() dónde n: n de valores de la sere o tamaño de la muestra log: logartmo decmal log(5 + 1) n dent erv. = = nt ervalos log() Cuando en la varable que se estuda exsten ntervalos predetermnados, como en el caso de los dámetros de los árboles, el número de clases o ntervalos dependerá de la ampltud que se usa habtualmente El rango se dvde entre el nº de clases o ntervalos de clases 5 para éste ejemplo, (se recomenda que no sea menor que 5, n mayor de 15) obtenéndose una dea aproxmada de la longtud o ampltud del ntervalo de clase. Rango a = n de ervalos = 40 º nt 5 = 8 Éste valor de ampltud es orentatvo, por lo que se decde tomar una ampltud de ntervalo 10 cm para facltar el agrupamento. 5.- Se delmtan las clases buscando preferentemente valores enteros para sus límtes. Se debe elegr el límte nferor del 1 er ntervalo de tal manera que contenga al menor valor de la sere (4 cm). La eleccón recae en el 0. El límte superor del 1 er ntervalo, se obtene sumando al L del 1 er ntervalo la ampltud. 13

14 L del 1 er ntervalo = 0 Ls del 1 er ntervalo = L + a= = 10 El límte nferor del do ntervalo debe concdr con el límte superor del prmer ntervalo. L del do ntervalo = 10 Ls del do ntervalo L + a= = 0 El límte nferor del 3 er ntervalo debe concdr con el límte superor del do ntervalo, y así sucesvamente, hasta que el límte superor del últmo ntervalo, contenga el valor observado más alto de la varable. 6.- Una vez formadas las clases se procede al conteo, que consste en determnar el nº de observacones (frecuencas) de cada clase. Una manera senclla de hacerlo es leyendo la sere smple y ubcando medante marcas cada valor de la varable en su clase correspondente. De ésta manera cuando se termne de pasar lsta a la sere smple, el agrupamento ha sdo efectuado. Tabla 6. Plantas de Prosops de 1 año de edad, según su altura. Intervalo de clase (altura en cm) x (marca de clase) f fr 0 a a a a a Total Fuente: Datos fctcos Un problema que se puede presentar es el sguente: s un valor de la varable concde con uno de los límtes del ntervalo, por ejemplo la altura 0 cm dónde se lo ubca? en el segundo o en el tercer ntervalo de clase? La respuesta es: puede ubcarlo en cualquera de los ntervalos, pero s se elge un crtero se lo debe respetar hasta el fnal del agrupamento. En éste ejemplo al nº 0 se lo ubca en el 3 er ntervalo, de la msma manera, cuando aparezca por ejemplo un valor 40, debe ser anotado como pertenecente al ntervalo en el que el nº 40 se encuentra como límte nferor. 6.- Se agrega una tercera columna, ttulada marca de clase o punto medo de clase que se desgna con x que contene los valores correspondentes a los puntos medos de cada uno de los ntervalos y se calcula así. L1 + Ls x 1 = = = 5 L Ls x = = = 15 Al efectuar el agrupamento, se perde detalle de la nformacón ya que, por ejemplo, de los valores que resultaron ubcados en la prmera clase, sólo se sabe ahora que se 14

15 encuentran entre 0 y 10. Por eso, en caso de ser necesaro asgnar un valor a cada uno de ellos, como al calcular la meda artmétca a partr de la tabla de frecuencas, se opta por pensar que todos tenen gual valor, que es el correspondente al punto medo de clase. Un gráfco adecuado para representar una sere de frecuencas de varable cuanttatva contnua es el hstograma (gráfco nº 6). Su construccón es fácl. Se utlza el sstema de coordenadas cartesanas ortogonales. En el eje de las ordenadas (vertcal) se marcan las frecuencas (f ) y en el de las abscsas (horzontal), la varable según la cual se efectuó la clasfcacón (altura). Consste en rectángulos adyacentes (uno por cada clase) con bases materalzadas por la ampltud de clases (10 cm). La altura está dada por la frecuenca correspondente a la clase. Cuando las clases son guales, el área del hstograma es proporconal a la frecuenca total. Nº de plantas altura (cm) Fuente: Datos fctcos Gráfco 6.Plantas de Prosops de un año de edad según su altura. Pero, muchas veces y por dversas razones, las seres presentan ampltud de clase varable. Como puede observarse en la sguente tabla: Tabla 7.Dstrbucón de edades de una poblacón Edades Nº de personas 0 a a a a a a a a a a Fuente Datos fctcos 15

16 f / a Edad Fuente datos fctcos Gráfco 7a.Dstrbucón de la poblacón según edades Nº de pers Edad Fuente: Datos fctcos Gráfco 7b.Dstrbucón de la poblacón según edades Comparando ambas representacones gráfcas, se nota claramente que la nformacón aparece falseada en el gráfco 7b, pues en ella se ve que hay más personas comprenddas entre 60 y 100 años cuando los datos no expresan lo msmo. 16

17 Para que la representacón gráfca sea correcta y las frecuencas de las dstntas clases comparables, es necesaro expresar las frecuencas tenendo en cuenta la ampltud de clase a la cual pertenecen, para ello se dvde la frecuenca entre la ampltud de la clase. Otro gráfco adecuado para representar la sere de frecuencas de varable cuanttatva contnua es el polígono de frecuencas (gráfco 8). Se emplea para su realzacón el sstema de coordenadas cartesanas ortogonales. Se coloca la varable clasfcadora en el eje horzontal y las frecuencas en el vertcal. La construccón es senclla, se marcan tantos puntos como pares de valores (x,f) o sea marcas de clase, frecuencas haya en la tabla. En la tabla Nº 6 vemos que hay 5 pares de valores; el prmer par tene abscsa 5 y ordenada y así sucesvamente hasta marcar el qunto par. Luego se unen los puntos medante trazos rectos. Algunos autores, en su afán de mantener la proporconaldad entre la superfce y la frecuenca aconsejan cerrar el polígono de frecuencas unendo el prmer punto con la marca de clase nmedata anteror y el últmo punto con la nmedata superor; en éstos dos casos la unón de los puntos se realza con trazos cortados. La prncpal ventaja de los polígonos de frecuencas consste en que ellos permten dbujar en el msmo sstema de eje dos o más polígonos correspondentes a seres dferentes que tengan smlar poscón sobre el eje de las x, así se puede compararlos, lo cual resulta engorroso efectuar con los hstogramas a causa de la superposcón de las superfces de de los rectángulos. 10 nº de plantas alt (cm) Fuente: Datos fctcos Gráfco 8.Plantas de Prosops de un año de edad según su altura. Con los ejemplos anterores se ha representado gráfcamente y ordenado datos relatvos a una varable de la poblacón, tal como la altura, o el estado santaro de las plantas de un vvero. Se vó que, cuando el número de valores obtendos en una dstrbucón es pequeño, a la hora de presentarlos basta, smplemente, con enumerarlos ordenadamente, como en el sguente ejemplo que corresponde a la nota obtenda por dez alumnos en el parcal de estadístca. X : 3, 3, 4, 5, 5, 7, 8, 9,

18 Cuando el número de datos es grande, para ordenarlos se debe usar el agrupamento en una tabla de frecuencas. Tabla 8. Alumnos clasfcados según la nota obtenda en los parcales de Estadístca. x f Fuente: Datos fctcos Pero cada membro de una poblacón presenta dversos aspectos que pueden ser de nterés para el técnco, y él puede necestar clasfcar a los ndvduos de dcha poblacón de acuerdo a dos varables, por ejemplo le nteresa medr el dámetro a la base y la altura de las plántulas del vvero. Tene para cada ndvduo meddo dos valores de varable. Cuando el número de ndvduos meddos es pequeño, se enumeran todos los pares de observacones, s alguno de ellos aparece dos veces, se lo repte y la presentacón suele hacerse de modo que una de las dos varables esté ordenada. Tabla 9. 1 Plantas de un vvero clasfcadas según el dámetro a la base y altura Dab Alt Datos fctcos Para representar estos datos que corresponden a dos varables cuanttatvas contnuas se utlzan los gráfcos de dspersón o scatter plot, que se construye de la sguente manera: se coloca una de las varables en las abscsas o eje horzontal, por ejemplo el dámetro y la otra varable, la altura, en el eje vertcal, con sus escalas correspondentes, luego se marcan tantos puntos como pares de valores (x, y ) se tengan. Se presenta otro ejemplo en la tabla 9a. Tabla 9a. Dámetros y volúmenes de los árboles de una parcela de 576 m stuada en una plantacón de paraísos de 8 años en el Dpto. Copo (Sgo. del Estero). Dap(cm) Vol(m 3 ) Dap (cm) Vol(m 3 ) Dap (cm) Vol(m 3 ) Fuente. Cátedra de Estadístca Ftal. 18

19 0. V ol (m3) Dap(cm) Fuente. Cátedra de Estadístca Ftal. Gráfco 9. Relacón dámetro (en cm) volumen (m3 ) de árboles de una parcela de 576 m ubcada en la plantacón de paraíso de 9 años de edad en el Dpto. Copo (Sgo. del Estero) Éste gráfco srve para mostrar la relacón entre las dos varables y se usa cuando para el msmo valor de x se tene dferentes valores de y. S esto no ocurre puede utlzarse el gráfco lneal, que se construye de gual manera que el anteror, con la únca dferenca que se unen los puntos. Éste gráfco, se suele emplear, especalmente, en los casos donde la varable que se representa en el eje horzontal es el tempo. De éste modo se puede ver la evolucón de la otra varable en el período consderado. Pueden representar smultáneamente en el msmo gráfco dos o más varables, como se observará al representar gráfcamente los datos de tabla Nº 10 Tabla Nº 10. Temperatura del suelo y del are (ºC) regstradas en el Zanjón en el mes de abrl de Suelo Are Día T( C) Tmeda C) Tmax( C) Tmn( C)

20 Fuente: Boletín FAAI T (ºC) Abrl Tº suelo Tº Me Gráfco Nº 10. Evolucón de las temperaturas del Suelo (ºC) y la meda del are en El Zanjón en Abrl de Fuente: Boletín de Fac. AAI Cuando los pares de valores son muy numerosos las tablas se presentan de la sguente manera (tabla 11), en éste caso se dce que las tablas son de doble entrada por que los datos fueron agrupados según dos varables. Tabla 11. Produccón de plantas en un vvero según espece tpo de envase y 0

21 ESPECIE TIPO DE ENVASE TUBETES BOLSITAS MACETAS TOTAL Eucalyptus Pnus Grevlleas Algarrobo Total Fuente: Datos fctcos El valor de la celda se completa con la nformacón que brnda la fla y la columna correspondente. Por ejemplo el 3000 de la prmera celda sgnfca que en ése vvero se produjeron 3000 plantas de Eucalyptus en tubetes. Las partes de una tabla son: La matrz, formada por la prmera fla, lleva los encabezamentos de las columnas y / o la prmera columna que ttula a las flas, El cuerpo consttudo por celdas. La nformacón proporconada por los valores de las celdas se completa con la sumnstrada por los encabezamentos de las flas y columnas, en las celdas se encuentra la frecuenca, es decr la cantdad de elementos o ndvduos que poseen las dos característcas. El gráfco que se utlza srve para representar éste tpo de tablas es el gráfco de barras compuestas (gráfco 11a) y el gráfco de barras agrupadas (gráfco 11b). En la tabla 11 las varables clasfcadoras son espece (varable cualtatva) y tpo de envase (varable cualtatva). La construccón del gráfco de barras compuestas es senclla. Se comenza dbujando las barras como s fueran smples es decr con las alturas correspondentes a los totales y luego se yuxtaponen los valores parcales hasta alcanzar el de su suma. En el ejemplo, para Eucalyptus, se procede de la sguente manera: se marca una barra de altura 5000, en ella se ndca la prmera subdvsón que puede ser tubetes con el valor Para bolstas se aconseja proceder a la suma de tubetes + bolstas= = Se marca la segunda dvsón correspondente a bolstas: la porcón comprendda entre 3000 y 4500, lo que resta de la barra corresponde a produccón en macetas. 1

22 Gráfco de barras agrupadas Nº de Plant Macetas Bolstas T ubet es Euca. Pnu Gre v A lgarro Especes Fuente: Datos fctcos Gráfco 11a. Produccón de plantas de un vvero, según espece y tpo de envase Srven para representar fenómenos smlares a los que orgnan barras compuestas. La dferenca con éstas estrba en que, para cada valor de la varable ndependente x en éste ejemplo especes, se dbujan grupo de barras. El número de barras en cada grupo es el del número de categorías de la segunda varable. Nº de plantas Tubete Bolstas Terra Eucalyptus Pnus Grevlleas Espece Algarrobo Fuente:datos fctcos Gráfco 11b. Produccón de plantas de un vvero, según espece y tpo de envase.

23 Otro gráfco que se puede utlzar es el gráfco de superfces combnado con el de sectores crculares. Las superfces se utlzan para representar los totales de produccón y se dscrmna las dstntas especes medante sectores. Tabla1. Produccón de plantas en el INSIMA en los años 1998 y 1999, dscrmnada por especes Espece Nº de plantas producdas en 1998 Nº de plantas producdas en 1999 Grevllea Jacarandá Algarrobo Casuarnas Total Fuente: INSIMA 1998 Casuarnas Grevllea 1999 Casuarnas Grevllea Algarrobo Jacarandá Algarrobo Jacarandá Gráfco 1. Produccón de plantas en el vvero del INSIMA durante 1998 y 1999, según especes. Otros tpo de gráfcos que se observan en trabajos centífcos y revstas son los llamados gráfcos en espral (gráfco 13). Se lo llama tambén gráfco de coordenadas polares. Srven para representar la relacón entre dos varables cuanttatvas, especalmente cuando la ndependente es cronológca y a ntervalos guales. Tambén suele utlzarse cuando x ndca dreccón, por ejemplo procedenca de los ventos. El valor de x está dado por el ángulo y el de y por la dstanca desde el orgen, sobre la línea que marca éste ángulo. Son gráfcos muy efectvos para mostrar fenómenos 3

24 nflaconaros, confgurando en estos casos, una verdadera espral que es la que da orgen a su nombre. Tabla Nº13.Precptacones medas mensuales en Sgo. del Estero en el período Me s Ene Feb. Mar. Abr. May Ju n. Jul. Ag o. Set. Oct. Nov. Dc. Pp mm Fuente: Ing. Pedro Boletta Ene Dc Nov 50 Oct 0 Feb. Mar Abr Sep Ago Jul May Jun Fuente:Ing. Pedro Boletta CátedraClmatología Forestal Gráfco 1. Precptacón en valores medos ( en mm) para Santago del Estero, correspondente al período Otro tpo de gráfcos son los gráfcos de fguras o pctogramas. Son los más ndcados para publcacones de dvulgacón popular, por su fácl e nmedata nterpretacón. Conssten en dbujos esquemátcos y relaconados con el fenómeno a representar. Cada fgura es equvalente a una cantdad determnada, preferentemente entera, de undades de la varable dependente y el número de undades no su tamaño, es proporconal a la magntud a representar. Cartogramas: Se emplean cuando es mportante señalar la dstrbucón geográfca de un determnado acontecmento, razón por la cual se construyen sobre planos o mapas. Cartogramas de señalzacón: Srven para ndcar la dstrbucón de una varable cualtatva sobre una base geográfca. Medante fguras, colores o dferentes rayados se señala que hay en lugares determnados. Cartogramas de densdad: además de ndcar que hay y dónde, de ellos se puede obtener la nformacón de cuánto hay. Medante dferente rayado o colores y tambén utlzando barras o 4

25 gráfcos de superfces sobre la base geográfca, se puede expresar la cuantía del fenómeno como así tambén su ubcacón. Suelen utlzarse pctogramas, gráfcos de líneas, en general cualquera de los descrptos, sobre el mapa o plano. Resumendo los datos se ordenan, clasfcan y presentan en formas de tablas. Las tablas pueden de ser de smple entrada(cuando los ndvduos se clasfcan según una varable), de doble entrada(cuando los ndvduos se clasfcan según dos característcas)y de trple o más entradas (cuando se clasfcan los datos según tres varables o más varables).las tablas se complcan a medda que se agregan más varables, por lo tanto es preferble varas tablas sencllas a una complcada. Toda tabla debe llevar título, el cuál debe responder a las preguntas Según?, Qué?, Cuándo? y Dónde?. No se debe olvdar la fuente de datos que ndca de donde provene la nformacón. Se debe nclur los totales En caso de expresar los datos en porcentajes, deben ndcarse los totales de los cuales provenen. Con respecto a los gráfcos, éstos consttuyen una de las formas más útles de presentacón de datos estadístcos. Su mportanca resde en las múltples formas que pueden adoptar, lo que permte su aplcacón a una ampla gama de fnaldades: ddáctcas, de nvestgacón, etc. Srven para mostrar la relacón entre una o más varables. La varedad de tpo de representacones gráfcas exge una cautelosa eleccón de acuerdo a su fnaldad. La seleccón de la presentacón gráfca debe, por lo tanto tener los sguentes aspectos: Tpo de análss estadístco;característcas y número de los fenómenos o varables a representar y públco al que va drgdo. Recomendacones para la construccón correcta de un gráfco. Una vez elegdo el tpo de gráfco adecuado, es convenente no descudar las sguentes consderacones: *Decdr cuál de las varables es la ndependente x y cuál la dependente y. *La representacón gráfca debe ser senclla, smple y explcarse por sí msma. *Título se coloca encabezando el gráfco y debe responder a las preguntas; qué, según, cuándo, dónde?. *Fuente de datos. Se coloca al pe del gráfco. *Escalas se elge de tal modo que no alteren la objetvdad de la representacón, hecho éste muy utlzado para fnes publctaros donde es común ver escalas construdas con el propósto de alterar el fenómeno exagerando ventajas y enmascarando la realdad, o lo que es peor aún elmnando la graduacón de los ejes, evtando de ésta forma todo patrón de comparacón. Las escalas deben construrse buscando obtener como resultado un dbujo armónco y proporconado. *Debe nomnarse los ejes de modo tal que no quede duda alguna 5

26 acerca de las varables que en ellos se representan. *No olvdar el corte de ejes en caso de ser necesaro. Éste debe efectuarse entre el 0 y el valor mínmo a representar. *Aclaracón de las undades de representacón *Las referencas serán colocadas al pe o al costado del gráfco. *En caso de usarse abrevaturas, éstas serán aclaradas con la debda extensón, en el renglón sguente al correspondente a las fuentes. *En lo posble acompañar los gráfcos con las tablas estadístcas que lo orgnen. *S el trabajo lo requere y es necesaro expresar algunos valores en %, deben consgnarse las cfras de las cuales provenen éstos porcentos. Clasfcacón A. Gráfcos con coordenadas. A.1.Coordenadas ortogonales. 1) Hstogramas ) Polígonos de frecuencas 3) Barras smples, compuestas, agrupadas. 4) Lneales 5) De sluetas 6) De fajas. A.. Coordenadas pseudoortogonales. A.3 Coordenadas no ortogonales. 1.Polares.Trangular equláteras B.Gráfca sn coordenadas B.1. De fguras o pctogramas. B.. De superfces: smples (trangulares, cuadrangulares, rectangulares, etc.) y compuestos (trangulares, cuadrangulares, rectangulares, sectores crculares, etc. B.3. Cartogramas: 1) de señalzacón y ) de densdad B.4. De volúmenes: smples y compuestos. (Pramdales, cúbcos, prsmátcos, clíndrcos,etc. CAPITULO II. 6

27 MEDIDAS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN INTRODUCCIÓN En todo trabajo estadístco luego de recolectar los datos, ordenarlos y agruparlos en tablas y presentarlos gráfcamente, es precso extraer alguna nformacón que permta descrbr la poblacón de la cual se extrajeron los msmos. Exsten algunas meddas que resumen los datos, es decr que nos permten representarlos con un únco valor; éstas meddas pueden proporconar nformacón referda a la poscón del conjunto de datos en el eje de las x y se llaman Meddas de Poscón y otras que mden como se dstrbuyen los datos alrededor del valor central y que se denomnan Meddas de Dspersón. Cuando las meddas de poscón nos ndcan además el centro del conjunto de datos, se denomnan Meddas de Tendenca Central. Hay otras meddas ndcan úncamente localzacón o ubcacón de determnados valores en la sere son los: cuartles, decles y percentles y se denomnan meddas de localzacón. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Según el crtero usado para determnar el centro del conjunto de datos se dstnguen las sguentes meddas : meda artmétca, medana, modo y meda cuadrátca. MEDIA ARITMÉTICA a) Cálculo de la meda artmétca en seres smples Es quzás la más conocda y usada, se la llama tambén promedo; se la obtene al dvdr la suma de todos los valores de la sere entre la cantdad valores sumados. Se representa con x, y consderando una sere smple con n observacones se calcula de la sguente manera x = Ejemplo: Se dspone de las sguentes alturas de plantas en cm. y se quere averguar cual es la altura promedo: x = altura de plantas en cm. x = 15; 16; 1; 14; 11 x n x = = = 13, 6cm 5 5 7

28 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA Es reproductora del total. Esta propedad permte conocer totales. Ejemplo: Sí en una plantacón de paraísos a los 9 años de edad, en el Departamento Alberd, Pca. De Santago del Estero, el volumen promedo por ha es de m 3, cuál es el volumen en la superfce total que es de 15 has?.? Volumen total = m 3 / ha. * 15 has. = m 3. La suma de los desvíos con respecto a la meda artmétca es sempre gual a cero. En el ejemplo de las cnco alturas de plantas el promedo era gual a 15 cm.( x = 15 ) Alturas (x ) d = x - x d =0 ( ) Es muy sensble a valores extremos. S por equvocacón al pasar los datos en el ejemplo de las cnco plantas colocamos 56 en vez de 16 cm, la meda toma el valor 1,6 cm por lo que deja de representar el centro del conjunto de datos, alejándose haca el valor extremo. La meda artmétca ocupa el lugar correspondente al centro de gravedad y consttuye el punto de equlbro de los datos. La suma de los cuadrados de los desvíos con respecto a la meda artmétca es mínma. d = ( x x) mín = En el ejemplo que se venía desarrollando, s se eleva al cuadrado los desvíos con respecto a la meda y se los suma se tene: (-1.6) (-.6) = 17. Que es el valor más bajo que se puede tener al restar cualquer valor a nuestros datos y luego elevarlos al cuadrado. Por ejemplo, s en vez de la meda restamos a nuestros datos el valor 15 y a ésta dferencas las elevamos al cuadrado se tene 8

29 (15-15) + ( 16-15) + ( 1-15) + (14-15) + ( 11-15) = 7 Se comprueba de esta manera la propedad ctada anterormente pues 17. es menor que 7. b) Cálculo de loa meda artmétca en seres de frecuencas Como en una sere de frecuencas, f nos ndcan las veces que se repte el valor de la varable, debemos consderarlas en el cálculo de la meda artmétca. Deseamos obtener la altura meda d las plántulas de un vvero, los datos se presentan en la Tabla 14. Tabla N 14.Altura de plantas (en cm.) de un vvero Total 3 FUENTE:Datos fctcos donde x : altura de plantas en cm. f : número de plantas que poseen esas alturas x f x = ( )/3 Esto se podría calcular de la sguente manera 11* * * * 7 + 3* x = = 13.53cm. 3 ahora expresando lteralmente la fórmula de la meda artmétca es: x *f x = f Consdere ahora el cálculo de meda artmétca del dámetro de ejemplares de álamos de una parcela, en una plantacón de Santago del Estero. Los datos fguran en la tabla 15 Tabla N 15. Ejemplares de álamos de una parcela en una plantacón de Sgo. del Estero, clasfcados por clases damétrcas. Clases de x f x * f dámetro en cm

30 Total Fuente: Cátedra de Estadístca FCF. UNSE. En este caso se toma el punto medo de la clase x que resume todos los que están en esa clase. x = x f *f 55.6 = = 6.91cm 37 como el valor Cuando el promedo se obtene con todos los datos de la poblacón, es decr cuando se efectúa un censo, obtenemos lo que se denomna parámetro de la poblacón y se representa y calcula de la sguente manera, sendo N el tamaño de la poblacón x µ = N MEDIANA La meda artmétca no es recomendable para representar el centro del conjunto de datos cuando en la sere exsten valores extremos, pues se vo que en su cálculo ntervenen todos los valores de la sere, y es sensble a ellos. Por esta razón, en el conjunto de datos con éstas característcas se utlza otra medda de tendenca central que se denomna Medana y la representamos con Md. La medana es aquel valor que dvde a la sere ordenada de datos en dos partes guales, de manera tal que a ambos lados de ella quedan gual número de valores. Para su cálculo debemos ordenar prmero los datos en forma ascendente o descendente. S el número de observacones es mpar el valor de la medana concde con el valor del centro. En caso de que el número de observacones fuera par, el valor de la medana corresponde al promedo de los dos valores centrales. La ubcacón de ese o esos valores centrales se obtene ubcando n + 1 el o los valores que se encuentran en la poscón. Ejemplo: Las muestra posee tamaño mpar n=5 x : ngresos mensuales de cnco operaros en una carpntería (en pesos) 00; 350 ; 00 ; 85 ;

31 Para calcular la medana 1ª) Se ordena los datos: 150 ; 00 ; 00 ; 350 ; 85 n + 1 ªSe calcula la poscón del valor medano: 5+ 1 = 3, Sgnfca que el valor medano es el que corresponde al 3 er lugar, que en este caso corresponde a 00. Entonces M e = ; 00 ; 00 ; 350 ; 85 Esto sgnfca que el 50% de los operaros de esa carpntería ganan $00 o menos, o el 50% de los operaros ganan $00 o más. La muestra posee tamaño par n = 6 89; 3 ; 74 ; 1 ; 46 ; 5 1ª) Se ordena los datos: 1; 3; 5 ; 46 ; 74 ; 89 ª)Se calcula la poscón del valor medano: 6+ 1 = 35., sgnfca que está ubcada entre el 3 er ordenada: 1 ; 3 ; 5 ;46 ; 74 ; 89 n + 1 y 4 lugar de la sere Md = = 355. el valor de la Medana se obtene promedando los valores centrales Para el caso de seres agrupadas: Tabla N 16. Número de árboles atacados por nsectos en una parcela x f f a

32 Total 11 FUENTE: Datos fctcos En la seres de frecuencas los datos ya están ordenados, por lo que solo resta encontrar el valor central, cuya poscón se encuentra ubcando el valor: f = = Para ello se calculan las frecuencas acumuladas y luego ubcamos el menor valor que contene a 105 y a 106, en éste caso concde y es 140. Sgnfca que el la poscón 105 y 106 tenemos el valor de varable que es 1, por lo que en éste caso M d =1. MODO Es el valor de varable que más se repte. Es la únca medda de poscón que se puede calcular para varables cualtatvas nomnales, es decr en las varables cualtatvas en las que no se puede establecer un orden entre sus valores. X I : Color de flor R: rojo N: naranja A: amarllo X : A ; R ; R ; A ; N ; A ; R ; R ; R ; A ; N ; R ; R ; R Modo : Mo : R En la sguente sere de frecuencas anteror, nos fjamos en la columna de frecuencas absolutas cuál es el valor más alto, en éste caso es 80, que nos ndca la cantdad de árboles con nngún ataque, es decr el valor modal es cero. MEDIA CUADRÁTICA La Meda cuadrátca (Mc) es la raíz cuadrada de la meda artmétca de los cuadrados de los valores de la varable. Mc= x en seres smples n Mc = x * f f en seres de frecuencas La Meda cuadrátca se utlza: a.- Cuando se promedan valores de una varable que luego será empleada elevada al cuadrado. b.- En oportundades de promedar valores de varable que presenten la característca de que su suma da sempre cero. Es el caso de los desvíos con respecto a la meda artmétca. Ejemplo: Tabla N 17. Dstrbucón damétrca de los árboles de un bosque rregular 3

33 DAP(cm) f x Fuente: Cátedra de Estadístca. FCF.UNSE Calcular la meda cuadrátca. En realdad este valor es el dámetro correspondente a la seccón normal meda (DAP: dámetro a 1.30m, conocdo vulgarmente como dámetro a la altura de pecho) Aplcando la fórmula Mc= = 16.3 cm 165 CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES Son otras Meddas de Poscón que no tenen en cuenta el centro de la dstrbucón. Se referen a otras fraccones de la sere. Los cuartles son tres Q 1, Q, Q 3, Dvden a la sere en cuatro partes guales. El segundo cuartl concde con la Medana. Por debajo del prmero quedan el 5% de los datos; por debajo del segundo el 50% de los msmos y por debajo del tercero el 75%. Los Decles son nueve y dvden a la sere en 10 partes guales; los percentles son 99 y la dvden en 100 partes guales. MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DISPERSIÓN Las Meddas de Poscón no son sufcentes para descrbr el conjunto de datos sno que es necesaro tener una dea de como se dstrbuyen los datos alrededor del centro de la dstrbucón. Para eso surgen las Meddas de Dspersón. RANGO Es llamado tambén ampltud total de varacón de la varable. Se lo obtene como la dferenca entre el valor máxmo y mínmo de la varable. Ejemplo: Los sguentes son datos de temperatura ( C) durante 5 días: x ( o C) =, 6, 7, 6, 34 Rango= 34 - = 1 La desventaja de esta medda es que solo consdera los valores extremos sn tener en cuenta el comportamento del resto de las observacones. Para soluconar este problema surgen otras meddas como: DESVÍO MEDIO Se podría trabajar con los desvíos ndvduales, sumarlos y promedarlos, pero no se puede hacer esto ya que sempre su valor sería cero, por propedad de la meda artmétca. Para soluconar el problema de sgnos y así poder encontrar el valor promedo podemos utlzar el valor absoluto de los desvíos. 33

34 DM = n d = x n x En el ejemplo anteror la meda es gual a 7 x d = x - x DM = == 8. 5 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Es la meda cuadrátca de los desvíos. Cuando se trabaja con muestras la desvacón estándar muestral es: S = ( x x) n 1 en seres smples ( x x) * f S = en seres de frecuencas f 1 Para el ejemplo de las temperaturas ( 5) + ( 1) s= = Para ejemplfcar el caso de una sere de frecuencas se trabajará los datos de la Tabla N 17: ntervalo de clase f x (x - x ) *f

35 Total x = = 14 s= = COEFICIENTE DE VARIACIÓN Las tres meddas de varabldad enuncadas precedentemente son meddas de varabldad absoluta. El coefcente de varacón es una medda de varabldad relatva. Expresa la desvacón estándar como un porcentaje de la meda. S CV%= * 100 x En el ejemplo de la sere smple: 4.36 CV% = *100 = 16.15% 7 En el ejemplo de la sere de frecuencas: 8.4 CV% = *100 = 60.14% 14 Uso de la calculadora centífca para el cálculo de Meddas de Poscón y Dspersón. Segur las sguentes nstruccones: Debe procurar que la calculadora se encuentre en dsposcón para efectuar cálculos estadístcos. Para ello en la parte superor de la pantalla debe aparecer la notacón SD. En algunas calculadoras esto se consgue hacendo MODE. Debe cercorarse de que no hay nada acumulado. Para ello debe pulsar la tecla n. En algunas calculadoras esto se consgue hacendo INV 6. S sale 0 en la pantalla se está en condcones de acumular los datos. S no hay que borrar lo que hay en memora hacendo INV AC. Acumulacón de datos: 1 er dato y se apreta M+ do dato y se apreta M+ Así sucesvamente hasta haber cargado todos los datos. Pulsando INV 6 obtenemos el número de datos ntroducdos; INV 7 la meda artmétca. S se tene una sere de frecuencas la acumulacón de datos se debe hacer así: 1er dato x prmera frecuenca M+ dato x segunda frecuenca M+ y luego se procede como en la sere smple para obtener la meda artmétca. Para obtener la desvacón estándar se apreta INV9(s se trabaja con muestras) o INV8 (s se trabaja con poblacón) 35