UNA FORMULA DADA POR VILLARREAL

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1 UNA FORMULA DADA POR VILLARREAL Itroducció: El Biomio de Newto. U biomio, es ua epresió algebraica que costa de dos térmios algebraicos, (tambié llamados moomios, etediedo por térmio algebraico aquel que está compuesto por variables, multiplicada por ua costate (úmero, tambié llamado coeficiete, así teemos alguos biomios: a ; a b ; cb ; z 6w b desde luego u biomio es visualizado mejor cuado los moomios está separados por sigos de adició o sustracció. Teiedo la oció de poteciació a establecida, vamos a proceder a obteer el resultado de elevar a u epoete N biomio de la forma ; comecemos co u caso particular: ( ( ( ( hemos obteido ua epresió algebraica co mas térmios e este caso tres, llamada poliomio, uestra tarea es obteer ua fórmula para el caso ( co N, aalicemos alguos casos particulares: Por las reglas de poteciació se sabe que todo úmero o epresió elevado al epoete cero da como resultado la uidad: ( 0 0 por otro lado tambié se tiee ( (, si operamos ( ( (, se obtiee: ua observació válida, es afirmar que mietras crece el epoete, mas térmios se obtiee del biomio, de hecho otro observador precavido diría que eiste ua relació etre los coeficietes del poliomio el epoete al que a sido elevado el biomio; desde luego que esa afirmació si es cierta, a para el siglo XVI, el italiao Nicolo Tartaglia, ecotró esa relació; para ello colocó cada coeficiete de cada térmio algebraico e ua distribució triagular, los asoció co los biomios de la siguiete forma : 0 ( ( ( ( además, esos úmeros del arreglo triagular cumple ua relació, so obteidos a partir de la suma de los úmeros de la fila aterior, así se tiee

2 Ha que observar algo importate co respecto al poliomio, es que este, está ordeado,ascedetemete co respecto a ua variable descedete co respecto a la otra variable. Por ejemplo: Hallar el resultado de (, Primero ordeamos el poliomio e forma descedete co respecto a e forma ascedete co respecto a ; observado el arreglo aterior os fijamos e la cuarta fila, esos será los coeficietes del poliomio del desarrollo de dicho biomio, se tiee etoces: ordeado el poliomio, ( usado el arreglo aterior se tiee el resultado, dode cada asterisco es cada coeficiete, ( Ahora veamos para el caso dode ( co N --, es decir para los aturales egativos para eso veamos u ejemplo : Nos pide hallar l desarrollo del biomio (, esto es lo mismo que escribir, usado las lees de epoetes: ( ( ahora dividamos el poliomio co el método usual: Y así sucesivamete, se obtiee como resultado u poliomio de ifiitos térmios, llamado serie ifiita, cocluedo: (... =...

3 de hecho tambié eiste esa relació, etre los coeficietes del poliomio el epoete egativo; retomado de uevo el arreglo triagular, llamado tambié Triágulo aritmético, veamos: (+ - (+ - (+ - Observamos que los coeficietes so las diagoales de dicho arreglo triagular, además estos está alterados por sigos egativos positivos, teiedo e cueta que el poliomio esta e forma decreciete egativamete, tomado como referecia al epoete del biomio a elevar creciete positivamete co respecto a al otra variable; así por ejemplo: 6 (... ahora reemplazado cada asterisco por cada coeficiete del arreglo triagular, se tiee: 6 7 ( Para el caso ( co Q,, es decir es cualquier fracció, se llega a al coocida formula de Newto : k k (, dode k 0 k ( ( (...[ k... k ( k] llamado coeficiete biomial. Tambié se tiee para el biomio de Newto e la forma de combiacioes o aálisis combiatorio: k k! ( Ck dode C k!=... k!( k! k 0 este último llamado factorial de. Ahora aalicemos para el caso cuado ( co R,

4 Sea de uevo uestro biomio siguiete modo: ( (, pero le vamos hacer ua trasformació del ( = (, si Z, se tiee el biomio trasformado: ( = ( z, sólo aalicemos la parte (+z, R, ahora supogamos que este uevo biomio tiee la forma de ua serie ifiita: ( z a 0 + a + a + a +a +..., llamemos a este biomio G(, se tiee: G(= ( z, además llamemos F(= ( z, etoces teemos: [F(] = G(, derivado ambos miembros, se tiee : [F(] - F( = G (, multiplicado por F( a ambos lados, se tiee: [F(] F (= G (F( arreglado adecuadamete teiedo e cueta que [F(] = G(, se obtiee G(F ( = G (F( aalicemos el primer miembro: G(F ( G(= a 0 + a + a + a +a +... F (= ( multiplicado G(F ( = a 0 + a + a + a +a +... ahora, aalizado el otro miembro: G (F( G ( = a + a + a + a + a +... F( = + G (F( = a + a + a + a + a + 6a 6... a + a + a + a + a +... ( multiplicado (+Sumado G (F( = a + (a + a + (a +a + (a + a + (a + a +... igualado térmios: a 0 + a + a + a +a +... = a + (a + a + (a +a + (a + a + (a + a +... ahora empatado coeficietes termio a termio, se tiee: a = a 0, sabiedo de que, a 0 =, se tiee: a = a =a + a a = a ( a = (. a = a +a a ( ( a ( a.. a = a + a a ( ( ( a ( a... a podemos ituir la forma que tedrá el coeficiete del térmio geérico (a k será de la forma: a k ( ( ( (...[..... k ( k ]

5 esto último se le deomia coeficiete biomial; a Newto coocía este resultado auque o lo demostró, apareció e su libro De aalsi per aequatioes umero termioru ifiitas, escrito e 669, que o fue publicado hasta 7; Newto escribió este teorema de la deducció, e ua carta dirigida a Odeburg pero cuo destiatario real era Leibiz, el o lo dedujo de la maera epuesta por osotros, su deducció esta basada e la idea de Wallis, acerca de iterpolacioes o itercalculos, que se geeraro apartir de problemas de cuadraturas, si el uso del triágulo aritmético. El Poliomio de Villarreal: Después de aalizar el biomio de Newto, veamos u caso mas geeral, a o u biomio, sio que sucede cuado elevamos u poliomio a u epoete cualquiera: es decir: P(=a + b +c +d +...+z, u poliomio de grado, co + térmios, se desea obteer la formula para el caso [p(] m, m R, procediedo similarmete como e el caso del biomio de Newto ( co R, se tiee: Sea el poliomio P( = a + b + c + d +... w - + z, Y sea tambié F( = [P(] m = A + B + C + D +...W m- + Z m Etoces se tiee: F( = [P(] m, derivado e ambos miembros. F ( = m[p(] m- P (, multiplicado por P( F ( P(=m[P(] m P (, teiedo e cueta que F( = [P(] m Se tiee : F ( P(=mF(P (, Operado la primera parte: F ( = B + C + D + E +... P( = a + b + c + d +... multiplicado F ( P( = ab + ac + ad + ae +... bb + bc + bd +... cb + cc +... db F (P( = ab + (ac + bb + (ad + bc + cb + (ae + bd +cc+db +... Por otro lado: mf( = ma + mb + mc + md +... multiplicado P ( = b + c + d + e +... mf(p (= mba + mbb + mbc + mbd +... mca + mcb + mcc +... mda + mdb +... mea

6 mf(p ( = mba + (mbb + mca + (mbc + mcb +mda + (mbd + mcc + mdb + mea +... Ahora empatado resultados: ab + (ac + bb + (ad + bc + cb + (ae + bd +cc+db +...= mba + (mbb + mca + (mbc + mcb +mda + (mbd + mcc + mdb + mea +... Ahora, igualado coeficietes de cada termio algebraico se tiee: Sabiedo que A = a m ab=mba B b A( m a ac + bb = mbb + mca C m b ( m ( B a ad + bc + cb = mbc + mcb +mda D m b ( m cb ( m mda ( C ( ( a a a así sucesivamete. Villarreal llegó a la formula siguiete por recurrecia: Sea Q : cualquier coeficiete del poliomio resultate. b i c i d i Q Z( ( w( ( ( ( a a a z m( m A( ( A a w ( m B( ( a ( m. Este triágulo a se había usado e Chia, allá por los años 0 por Yag Hiu, tambié apareció e el libro del Espejo precioso de Chu Shih-Chieh ; Pascal muchos años después lo utilizó e problemas de probabilidades ecotró propiedades iéditas, allá por 6, este triágulo fue ta relacioado co el, que se le llamo Triágulo de Pascal.. Si hablamos e rigor, sólo podemos derivar la serie si esta es covergete, de hecho la suposició de que es covergete es válida (se demuestra.. Para ordear u poliomio, se toma e cueta el epoete de ua variable del moomio así se pasa a ordear de maor a meor o viceversa segú la variable escogida. Por ejemplo si se tiee si se le ordea co respecto a de forma descedete se tiee

7 . Federico Villareal llegó a esta formula allá por el año de 87 e Lambaeque auque sus detractores decía que esa fórmula a la había ecotrado Leibiz, lo cierto es que o se tiee igú documeto del sabio alemá acerca de este poliomio; mas bie se tiee sus trabajos para el caso de u triomio elevado al epoete, ( z

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