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1 Nombre: Santiago, julio 6 del 26. Tercera Solemne Cálculo Varias Variables. 1. La temperatura en un punto (x, y) sobre una placa metalica es T (x, y) 4x 2 4xy + y 2. Una hormiga camina sobre la placa alrededor del circulo de radio 5cm con centro en el origen. Cuales son la temperatura máxima y mínima que encuentra la hormiga?(3 Puntos) Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara. 1

2 2. Determine el volumen del sólido que se encuentra debajo del paraboloide z x 2 + y 2, arriba del plano XY dentro del cilindro x 2 + y 2 2ax, donde a >.(2 Puntos) Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara. 2

3 3. Suponga que en cierta región del espacio, el potencial eléctrico V esta dado por: V (x, y, z) xe x2 y 2 +2z 2 a) Determine la razón de cambio del potencial en P (3, 4, 5), en la dirección v (1, 1, 1). b) En que dirección cambia mas rapidamente V en P? c) Cuál es la mayor razón de cambio en P?. (24 Puntos) Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara. 3

4 4. Se define la integral impropia sobbre el plano: R 2 e (x2+y2) da Donde D a es el disco de radio a centrado en el origen. a) Usando la definición dada demuestre: e (x2 +y 2) dydx lím e (x2 +y2) da. a D a b) Deduzca que e (x2 +y 2) dxdy π. e x2 dx π. (26 Puntos) Observaciones. No se admiten consultas. No se permite el uso de apuntes ni libros. Duración 8 minutos. Preguntas incompletas o sin justificación serán evaluadas con menor puntaje. Puntaje Máximo 1 Puntaje Mínimo. 55 Puntaje Obtenido. Nota final. Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara. 4

5 Pauta Tercera Solemne Cálculo Varias Variables. 1. La temperatura en un punto (x, y) sobre una placa metalica es T (x,.y) 4x 2 4xy + y 2. Una hormiga camina sobre la placa alrededor del circulo de radio 5cm con centro en el origen. Cuales son la temperatura máxima y mínima que encuentra la hormiga? Solución. Observe que para determinar las temperatura máxima y mínima que encuentra la hormiga debemos determinar los máximos y mínimos de la función T (x,.y) 4x 2 4xy+y 2 sujeta a la restricción g(x, y) 25 donde g(x, y) x 2 + y 2. De lo anterior podemos deducir que debemos resolver el problema utilizando multiplicadores de Lagrange. Para lo cual debemos resolver el sistema: T x (x, y) T y (x, y) λg x λg y x 2 + y 2 25 es decir debemos resolver el sistema (1) 8x 4y 2λx (2) 4x + 2y 2λy (3) x 2 + y 2 25 Así de (1) y (2) se tiene que 8x 4y x 4x + 2y y, es decir: que es equivalente a la ecuación de segundo grado: 8xy 4y 2 4x 2 + 2xy la cual tiene solución en la variable y dada por: 2y 2 3xy 2x 2 y 3x ± 9x x 2 4 3x ± 5x 4 y x 2 y 2x Observe que si y x 2 entonces al reemplazar en (3) obtenemo que: Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara. 5

6 x 2 + x x ± 2 de donde podemos deducir que los posibles máximos y mínimos son: ( 2, 5) y ( 2, 5) (4) Por otro lado si y 2x entonces al reemplazar en (3) obtenemos que: x 2 + 4x 2 25 x ± 5 de donde podemos deducir que los posibles máximos y mínimos son ( 5, 2 5) y ( 5, 2 5) (5) Por último para determinar cual de los puntos obtenidos en (4) y (5) son el máximo absoluto y el mínimo absoluto solo basta reemplazar en T (x, y). T ( 2, 5) T ( 2, 5) T ( 5, 2 5) T ( 5, 2 5) Por lo tanto la temperatura máxima es 8 grados celcius y la temperatura mínima es 45 grados celcius. 2. Determine el volumen del sólido que se encuentra debajo del paraboloide z x 2 + y 2, arriba del plano XY dentro del cilindro x 2 + y 2 2ax, donde a >.(2 Puntos) Solución: Primero grafiquemos la región determinada por x 2 + y 2 2ax: Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara. 6

7 Por lo tanto usaremos coordenadas polares [ para determinar el volumen del solido. Por lo tanto de la figura podemos deducir que el angulo θ π 2, π ]. Por otro lado la ecuación del contorno de la region 2 esta dado por (x a) 2 + y 2 a 2, asi al reemplazar x r cos(θ) e y r sen(θ) obtenemos que: r 2a cos(θ). De lo anterior podemos deducir que el volumen a determinar esta dado por: V D (x 2 + y 2 )da π/2 π/2 2a cos(θ) r 3 dr dθ π/2 π/2 [ r 4 4 ] 2a cos(θ) dθ π/2 π/2 4a 4 cos 4 (θ) dθ 2a 4 π/2 (1 + 2 cos(2θ) + 12 (1 + cos(4θ)) ) dθ 2a 4 [ 3θ 2 ] π/2 sen(4θ) + sen(2θ) + 3πa Suponga que en cierta región del espacio, el potencial eléctrico V esta dado por: V (x, y, z) xe x2 y 2 +2z 2 a) Determine la razón de cambio del potencial en P (3, 4, 5), en la dirección v (1, 1, 1). Solución. Observe que determinar la razón de cambio del potencial en P (3, 4, 5), en la dirección v (1, 1, 1). Es equivalente a determinar: V (3, 4, 5) u donde u es el vector unitario en la dirección de v, es decir: Por otro lado tenemos: u v ( 1 v 1 3,, 1 ). 3 3 V (x, y, z) ((1 2x 2 )e x2 y 2 +2z 2, 2xye x2 y 2 +2z 2, 4xze x2 y 2 +2z 2 ) Así ( 1 V (3, 4, 5) u ( 17e 25, 24e 25, 69e 25 1 ) 3,, 1 ) 11e Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara. 7

8 b) En que dirección cambia mas rapidamente V en P? Solución. La dirección e la cual cambia más rapidamente V es en la dirección de: c) Cuál es la mayor razón de cambio en P? Solución. La mayor razón de cambio en P es: p ( 17e 25, 24e 25, 69e 25 ) V (3, 4, 5) e 25 (24 Puntos) 4. Se define la integral impropia sobbre el plano: R 2 e (x2+y2) da Donde D a es el disco de radio a centrado en el origen. a) Usando la definición dada demuestre: e (x2 +y 2) dydx lím e (x2 +y2) da. a D a Solución. Observe que si a >, entonces la integral: e (x2 +y 2) dxdy π. D a e (x2 +y2) da representa la integral doble sobre a disco centrado en el origen y de radio r, por lo tanto si usamos coordenadas polares, obtenemos: Así: D a e (x2 +y2) da 2π a e r2 rdrdα 2π [ ] a e r2 2 π(1 e a2 ) e (x2 +y 2) da lím e (x2 +y2) da lím π(1 e a2 ) π. a D a a Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara. 8

9 b) Deduzca que: Solución. Observe que por lo tanto: R 2 e x2 dx π. a a e (x2+y2) da lím e (x2 +y2) da lím e (x2 +y 2) da.(!!!) a D a a a a (26 Pun π Así de lo anterior podemos deducir: [ e x2 dx e x2 dx e (x2 +y 2) dxdy ] 2 e x2 dx e x2 dx π. e y2 dy e x2 dx Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara. 9

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