Resumen de Análisis Matemático IV

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1 Resumen de Análisis Matemático IV 1. Funciones inversas e implícitas y extremos condicionados 1.1. Teorema de la función inversa Teorema de la función inversa: Sea A abierto de R n, f : A R n tal que f C k con k 1 y a A/det(Jf(a)) 0. Entonces U abierto, con a U A, tal que se verica: (1) det(jf(x)) 0 para todo x U (2) f U es inyectiva (3) f(u) es abierto (4) f 1 : f(u) U es de clase k Observaciones: (1) El teorema asegura que f 1 bajo ciertas condiciones, pero no dice quién es (2) La inyectividad local que asegura el teorema no tiene nada que ver con la global. Aunque la función sea localmente inyectiva en todo punto, no tiene por qué ser ser inyectiva globalmente (3) Si det(j(f(a)) = 0, entonces no es posible encontrar inversa (4) Si f es diferenciable en lugar de C k, entonces no se puede aplicar el teorema 1.2. Teorema de la función implícita Teorema de la función implícita: Sea G abierto de R n+m, f : G R m /f C k con k 1, (a, b) G/f(a.b) = 0, las m últimas columnas de Jf(a,b) son linealmente independientes. Entonces U abierto, con (a, b) U G tal que: (1) las m últimas columnas de Jf(x, y) son linealmente independientes para todo (x, y) U (2)!ϕ : V R m de clase k denida en el abierto V de R n con a V y ϕ(a) = b de forma que: (x, y) U/f(x, y) = 0} = (x, y) R n+m : x V y ϕ(x) = y} 1

2 Observaciones: (1) El teorema da condiciones sucientes, pero no necesarias (2) Quiere decir que las soluciones del sistema f(x, y) = 0 coinciden con la gráca de ϕ (3) Posibles enunciados equivalentes de ejercicios que necesitan de la aplicación del teorema de la función implícita: 1 a componente=0 (3.1) Demostrar que el sistema de ecuaciones 2 a componente=0 es equivalente a un sistema del tipo y 1 = ϕ 1 (x 1, x 2 ) y 2 = ϕ 2 (x 1, x 2 ) con ϕ 1, ϕ 2 de clase innito en un entorno del punto (3.2) Demostrar que el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones 1 a componente=0 2 a componente=0 coincide con la gráca de una función ϕ de clase innito en un entorno del punto (3.3) Demostrar que el sistema de ecuaciones 1 a componente=0 2 a componente=0 dene a y 1, y 2 como funciones de clase innito de las variables x 1, x 2 en un entorno del punto (1) Considerar F : G R n+m denida como F (x, y) = (x, f(x, y)) R n+m (2) Vericar las condiciones del Teorema de la Función Inversa y aplicarlo (3) El u que nos da la inversa lo tomamos como el U del teorema (4) Como det(jf(x, y)) 0 para todo (x, y) U las m últimas columnas son l.i. (5) V = x R n /(x, 0) F (U)} = x R n / y R m con (x, y) U y f(x, y) = 0} (6) F 1 : F (U) U es F 1 (x, y) = (x, h(x, y)) ϕ(x) = h(x, 0) y ahí se verican las demás condiciones (7) La igualdad como comprobación por doble incusión (8) Probar la unidad suponiendo que existe otra, entonces las grácas coinciden Derivación implícita: Jϕ(x) = (D i f i (x i, ϕ(x i ))) 1.(D j f i (x i, ϕ(x i ))) i = 1,..., m i = 1,..., m j = n + 1,.., n + m j = 1,..., n (1) g(x) = (x, ϕ(x)),h = f g (2) Aplicar la regla de la cadena y despejar matricialmente haciendo producto por cajas 2

3 1.3. Variedades diferenciables en R n, extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange Variedad diferenciable en R n : Es un subespacio topológico M de dimensión m n con m, n N y 1 m < n, tal que para todo x M, U x abierto de R n con x U x y F x : U x R m de clase 1 con rango(jf x (y)) = m para todo y U x M = y U x /F x (y) = 0} Curva en R n : Variedad diferenciable de dimensión 1 (m = n 1) Supercie en R 3 : Variedad diferenciable de dimensión 2 (m = 1, n = 3) Hipersupercie en R n : Variedad diferenciable de dimensión n-1 (m = 1) Variedad diferenciable generada por F: m, n N con 1 m < n, A abierto de R n y F : A R m es C 1. M = x R n /F (x) = 0 y rango(jf (x) = m} Teorema: M variedad difrenecibale de dimensión n m en R n para todo x M, se tiene que W x abierto de R n con x W x y g x : V x R m de C 1 denida en un abierto de R n m tales que M W x = (y, z) R n /y V x, z = g x (y)}. Además, ϕ x : V x R n, donde ϕ x (y) = (y 1,..., y n m, g x (y)) es homeomorsmo de V x en W x M Observación: El teorema dice que si M es variedad, existe un abierto en la topología de subespacio M que contiene al x y es homeomorfo a un abiertov x de R n m (1) Aplicar el teorema de la función implícita (2) Comprobar las propiedades del homeomorsmo (continuidad suya y de la inversa y biyección) Vector tangente a M en x 0 : Es un vector v R n tal que ψ( δ, δ) R n diferenciable con ψ( δ, δ) M, ψ(0) = x 0 y ψ (0) = v T M (x 0 ) = vectores tangentes a M en x 0 }. Es el espacio tangente en x 0 Teorema: M variedad diferenciable de dimensión n m. Sea x o M. Entonces: (1) T M (x 0 ) = Ker(DF x0 (x 0 )) = Im(Dϕ x0 (y 0 ) donde ϕ x0 es la del teorema e y 0 V x0 /ϕ x0 (y 0 ) = x 0 (2) T M (x 0 ) es un subespacio vectorial de dimensión n m N M (x 0 ): Es el complemento ortogonal de T M (x 0 ). Es el conjunto de vectores normales a M en x 0 Teorema: las las de JF x0 (x 0 ) F 1 x 0 (x 0 ),..., F m x 0 (x 0 )} forma una base de N M (x 0 ) Variedad tangente a M en x 0 : Es el subespacio afín que pasa por x 0 y es paralelo a T M (x 0 ), es decir, x 0 + T M (x 0 ) Variedad normal a M en x 0 : Es subespacio afín que pasa por x 0 y es paralelo a N M (x 0 ), es decir, x 0 + N M (x 0 ) Teorema de los multiplicadores de Lagrange: G abierto de R m de C 1, M variedad diferenciable en R n generada por F, f : G R diferenciable con x 0 M extremo local de F M, entonces: f(x 0 ) es normal a M en x 0 y!λ 1, λ 2,..., λ m R/ f(x 0 ) = λ 1 F 1 (x 0 ) + + λ m F m (x 0 ) 3

4 2. Sucesiones y series de funciones 2.1. Convrgencia puntal y uniforme de sucesiones de funciones Convergencia puntual de sucesiones de funciones: A R n, f k } sucesión con f k : A R m. f k } convrge puntualmente si para todox A, lím x f k (x)}. En tal caso, f : A R m denida por f(x) = lím x f k (x)} se llama límite puntual Observación: (1) Una sucesión de funciones continuas puede converger puntualmente a una función no continua. Ejemplo: f k : [0, 1] R, f k (x) = x k (2) Una sucesión de funciones derivables puede converger puntualmente a una función no x 1 < x < 1 k 2 continua. Ejemplo: f k : ( 1, 1) R, f k (x) = k 2 x k 2 1 x 1 2 k k 1 x < x < 1 k (3) Una sucesión de funciones integrables puede converger punutalmente a una función no 1 x x 1,..., x k } = Q [0, 1] integrable. Ejemplo: f k : [0, 1] R, f k (x) = 0 resto Convergencia uniforme de sucesiones de funciones: A R n, f k } sucesión con f k : A R m,f : A R, f k } convrge uniformemente a f si ε > 0, k 0 / k k 0 se tiene que f k (x) f(x) < ε para todo x A. A f se le llama límite uniforme Observación: (1) Si f k } no converge puntualmente f k } no converge uniformemente (2) Si f k } converge puntualmente a f f k } (si converge) convergerá a f uniformemente (3) Si f k } converge uniformemente a f f k } converge puntualmente a f Procedimiento: Resolver un ejemplo concreto de convergencia de una sucesión (1) Probar la convergencia puntual de f k } (2) Calculamos, para cada k, sup x A f k (x) f(x) = α k (quizás convenga estudiar el crecimiento de α k (x)) (3) Hay convergencia uniforme lim k α k = 0 Teorema de convergencia uniforme y continuidad: A R n, f k : A R m sucesión de funciones continuas que converge uniformemente a f : A R m. Sea a A y f k continua en A para todo k f es continua en A (1) Denición de convergencia uniforme para f k con ε 3 (2) Denición de continuidad para f k0 y tomamos δ (3) Denición de continuidad para f, ±f k0 (x) y f k0 (a) y aplicar las dos desigualdades anteriores 4

5 Corolario: A R n, f k : A R m sucesión de funciones continuas que convergen a f : A R m, entonces f es también continua Teorema de convergencia uniforme e integrabilidad: [a, b] R, f k : [a, b] R sucesión de funciones integrables que converge uniformemente a f : [a, b] R, entonces: (1) f es integrable en [a, b] (2) b f = lim b a k f a k (el límite de la integral es la integral del límite) (1) Vamos a demostrar que b a f = b a f (2) Tomar α k y hacer desigualdad con f en medio (3) Con la desigualdad de la izquierda se aplica y con la de la derecha (4) Se unen todas las desigualdades, se hace resta de extremos resta de medios y se toma lim (5) Se toma otra vez la misma desigualdad, pero ya sabiendo que f es integrable para demostrar (2) Convergencia uniforme y diferenciabilidad: Sea f k } una sucesión de funciones de clase 1 en el intervalo abierto (a.b) que converge puntualmente a una función f en (a.b). Supongamos que la sucesión f k } converge uniformemente a una cierta función g en (a, b) f es de clase 1 y f = g (1) Aplicando teorema continuidad, g es continua por ser f k C 1 (2) Aplicando teorema integrabilidad sobre g y f k (3) Aplicar 2 o T F C entre x 0 y x (4) Aplicar la convergencia puntual para quitar el lim (5) Denir F (x) = x 0 g y 1T F C x Condición uniforme de Cauchy: f k } sucesión de funciones denidas como f k : A R n R m. La condición es: si ε > 0, k 0 N/si r, k k 0 f r (x) f k (x) < ε para todo x A Teorema: f k } f uniformemente se verica la condición uniforme de Cauchy (1) Aplicar la denición y desigualdad triangular (1) Pasar uniforme de Cauchy de suceisones de funciones a reales f k (x)} converge puntualmente (2) Denición de la condición para k y k + m (3) lim m en la expresión de la norma Teorema de aproximación de Weierstrass: Si f : [a, b] R es uniformemente continua P n } f uniformemente, con P n funciones polinómicas 5

6 (1) Polinomio de Bernstein: P n (x) = n ( n ) k=0 k f( n k )xk (1 x) n k generalidad (2) Denición de uniformemente continua en [0, 1] sin pérdida de (3) Tomar n 0 > M donde f(x) M x [0, 1] y empezar a demostrar la convergencia 2εδ 2 uniforme por denición usando n ( n k=0 k) x(1 x) n k = 1 y desigualdad triangular (4) A =valores de k/ k x < δ f( k ) f(x) < ε n n x A < ε (5) B =valores de k/ k n x δ k B 1 ( k n x)2 δ 2 Espacio de las funciones continuas: C([a, b], R) = f : [a, b] R :f continua} Norma en este espacio: f = sup x [a,b] f(x) Propiedades: (1) f k } converge en el espacio normado f k } converge uniformemente (2) El espacio es completo (de Banach) [Por el teoerma de la condición de Cauchy] (3) Las funciones polinómicas son densas en C([a, b], R) [Teorema de Weierstrass] 2.2. Convergencia puntual y uniforme de series funcionales. Criterio de Weierstras Serie funcional converge puntualmente: Si x A, la serie numñerica k=1 f k(x) es convergente Serie funcional converge uniformemente: Si la sucesión de sumas parciales S k = f f k converge uniformemente Teorema de continuidad e integrabilidad: A R n, k=1 f k una serie funcional uniformemente convergente en A. Sea f denida como f(x) = k=1 x A. Entonces: (1) Si cada f k es continua f es continua (2) si n = 1, A = [a, b] y f k es integrable en [a.b] para todo k f es integrable en [a, b] y, además, b f = b a k=1 f a k Teorema de diferenciabilidad: (a, b) R k=1 f k una serie funcional puntualmente con- converge uniformemente en (a, b) f vergente en (a, b) con suma f. Si f k C 1 y k=1 f k C 1 y f (x) = k=1 f k (x) para todo x (a, b) Criterio de Weierstrass: A R n, k=1 f k una serie de funcional con f k : A R. Si k N, M k R/ f k (x) M k para todo x A y k=1 M k es convergente k=1 f k converge absoluta y uniformemente (1) La serie converge absolutamente por el criterio de comparación (2) f(x) = k=1 f k Ver que S k f (3) Estimar el sup x A f(x) S k (x) k=1 M n (4) Tomar límites 6

7 2.3. Series de potencias Serie de potencias centrada en a: Es una serie funcional de la forma n=0 a n(x a) n donde a n R. Observación: Los puntos donde es convergente es un intervalo llamado de convergencia, en los puntos interiores de dicho intervalo la convergencia es uniforme, mientras que en los de la frontera no se sabe. Teorema: Si I es el intervalo de convergencia de la serie n=0 a n(x a) n La serie converge uniformemente en todo intervalo cerrado y acotado contenido en I (1) Basta probar la convergencia uniforme para un intervalo [0, b] I (2) Llamamos R k = n=k a nb n que tiene límite 0 cuando k (3) Tomamos el k 0 de la def. de limite para R k con ε 3 (4) Def. de convergencia uniforme para la serie (5) Tomar límite, multiplicar y dividir por b n y escribir a n b n = R n R n+1 (6) Desarrollar la suma, Sacar factor común cada R i y aplicar desigualdad triangular Corolario: Si n=0 a n(x a) n es una serie de potencias con intervalo de convergencia I, la función f(x) = n=0 a n(x a) n verica: (1) f es continua en el intervalo de convergencia (2) f es integrable para cada intervalo [c, d] I y, además, d f(x)dx = c n=0 a n( (d a)n+1 (c a)n+1 ) n+1 n+1 (3) f C ( I)y para cada k N y todo x I se tiene que f (k) (x) = n=0 a nn(n 1)... (n k + 1)(x a) n k Observación: El radio de convergencia de la serie n=0 a n(x a) n coincide con el de la serie de las derivadas n=0 na n(x a) n 1 Función desarrollable en serie de potencias en el punto a: Si existe una serie de potencias centrada en a, n=0 a n(x a) n tal que f(x) = n=0 a n(x a) n para todo x en un entorno de a Observación: La única serie de potencias candidata es la serie de Taylor: n=0 a n(x a) n donde a n = f (n) (a) n! Procedimiento para comprobar si una función es desarrollable en serie de potencias: (1) Comprobar si f C en un entorno de a (2) Construir su serie de Taylor (3) Comprobar si f(x) = f (n) (a) n=0 (x a) n n! 7